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Algoritmos e Estruturas de Dados I
Prof. Amintas Paiva Afonsoamintas@matematiques.com.brwww.matematiques.com.br
Sistemas de NumeraçãoSistemas de Numeração
Bases numéricasBases numéricas
Representação de números de ponto fixoRepresentação de números de ponto fixo
Representação de números de ponto flutuanteRepresentação de números de ponto flutuante
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
SumárioSumário
SumárioSumário
Bases numéricasBases numéricas
Representação de números de ponto fixoRepresentação de números de ponto fixo
Representação de números de ponto flutuanteRepresentação de números de ponto flutuante
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração
Um sistema de numeração é formado por um Um sistema de numeração é formado por um conjunto de símbolos conjunto de símbolos (alfabeto) que é utilizado (alfabeto) que é utilizado para para representar quantidadesrepresentar quantidades e por e por regrasregras que que definem a forma de representação.definem a forma de representação.
É definido por sua É definido por sua basebase, a qual define o número , a qual define o número de algarismos (ou dígitos) utilizados para de algarismos (ou dígitos) utilizados para representar números.representar números.
Sistemas de Numeração Sistemas de Numeração
Bases mais utilizadas em computação:Bases mais utilizadas em computação: B=2B=2 bináriabinária B=8B=8 octaloctal B=10B=10 decimaldecimal B=16B=16 hexadecimalhexadecimal
Sistemas PosicionaisSistemas Posicionais
O valor atribuído a um algarismo O valor atribuído a um algarismo depende dadepende da posiçãoposição em que ele ocupa no número. em que ele ocupa no número.
No sistema decimal, por exemplo, o símbolo 5 No sistema decimal, por exemplo, o símbolo 5 pode representar:pode representar: o o valor 5valor 5, como em , como em 2525 o o valor 50valor 50, como em , como em 5757 (50 + 7) (50 + 7) o o valor 500valor 500, como em , como em 523523 (500 + 20 + 3) (500 + 20 + 3)
Quanto mais à Quanto mais à esquerdaesquerda o símbolo está, mais ele o símbolo está, mais ele vale (vale (mais significativomais significativo).).
Sistemas Não PosicionaisSistemas Não Posicionais
O valor de um símbolo é o mesmo, O valor de um símbolo é o mesmo, independentemente da posiçãoindependentemente da posição em que em que ele se encontra dentro do número.ele se encontra dentro do número.
Sistema de numeração romano.Sistema de numeração romano. Os símbolos e seus valores são sempre:Os símbolos e seus valores são sempre:
I I 1 1V V 5 5X X 10 10L L 50 50C C 100 100D D 500 500M M 1000 1000
Sistema de Numeração Genérico na base BSistema de Numeração Genérico na base B
Em uma base Em uma base BB genérica, são usados B genérica, são usados B algarismos (ou dígitos) distintos:algarismos (ou dígitos) distintos: Base 2: Base 2: 0, 10, 1 Base 4: Base 4: 0, 1, 2, 30, 1, 2, 3 Base 8: Base 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Base 10:Base 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Base 16:Base 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
IntroduçãoIntrodução
Sistema binárioSistema binário – sistema de numeração – sistema de numeração que utiliza apenas os dígitos que utiliza apenas os dígitos 00 e e 11..
BITBIT – Dígito binário – Dígito binário (contração das palavras (contração das palavras BIBInary diginary digiTT).).
BYTEBYTE – Conjunto de – Conjunto de 8 bits8 bits..
Sistema de Numeração Genérico na base BSistema de Numeração Genérico na base B
Dada uma base Dada uma base BB, quanto vale seu maior , quanto vale seu maior dígito? E o menor?dígito? E o menor?
Resposta:Resposta: Maior dígito: Maior dígito: B-1B-1 Menor dígito: Menor dígito: 0 (zero)0 (zero)
Conversão da base B para a base decimal:: Parte inteiraConversão da base B para a base decimal:: Parte inteira
Considere um número na base Considere um número na base BB com: com: n+1n+1 dígitos na parte inteira (n ≥ 0) dígitos na parte inteira (n ≥ 0)
O valor na base decimal desse número é O valor na base decimal desse número é obtido da seguinte maneira:obtido da seguinte maneira:
0121)( aaaaaN nnB
00
11
22
1110)( BaBaBaBaBaN n
nn
n
Conversão da base B para a base decimal:: Parte fracionáriaConversão da base B para a base decimal:: Parte fracionária
Considere um número na base Considere um número na base BB com: com: n+1n+1 dígitos na parte inteira (n ≥ 0) dígitos na parte inteira (n ≥ 0) kk dígitos na parte fracionária (k ≥ 0): dígitos na parte fracionária (k ≥ 0):
knnB aaaaaaaN 21011 ,)(
kk
nn
nn
BaBa
aBaBaBaN
1
1
01
11
110)(
parte fracionáriaparte fracionária
parte inteiraparte inteira
Conversão da base B para a base decimalConversão da base B para a base decimal
Exemplos:Exemplos: (1011.11)(1011.11)22 = 1· = 1·2233 + 0· + 0·2222 + 1·+ 1·2211 + 1·+ 1·2200 ++
+ 1· + 1·22-1-1 + 1·+ 1·22-2-2 = (11.75)= (11.75)1010
(34.2)(34.2)88 = 3· = 3·8811 + 4·+ 4·8800 + 2·+ 2·88-1-1 = (28.25)= (28.25)1010
(FBA)(FBA)1616 = 15· = 15·161622 + 11·+ 11·161611 + 10·+ 10·161600 = (442)= (442)1010
(34.2)(34.2)1010 = 3· = 3·101011 + 4·+ 4·101000 + 2·+ 2·1010-1-1 = (34.2)= (34.2)1010
Conversão da base decimal para a base BConversão da base decimal para a base B
É necessário converter É necessário converter separadamenteseparadamente a a parte inteira e a parte fracionária e fazer a parte inteira e a parte fracionária e fazer a concatenação dos resultadosconcatenação dos resultados
A vírgula continua separando as duas A vírgula continua separando as duas partes na nova base partes na nova base BB..
Conversão da base decimal para a base B
:: Conversão da parte inteira
Conversão da base decimal para a base B
:: Conversão da parte inteira
1.1. Divide-se o número decimal dado e os Divide-se o número decimal dado e os quocientes sucessivos por quocientes sucessivos por BB até que o até que o quociente resulte em quociente resulte em 00..
2.2. O último quociente e todos os restos, tomados O último quociente e todos os restos, tomados no sentido no sentido ascendenteascendente (de baixo para cima), (de baixo para cima), formarão o número na base formarão o número na base BB..
Conversão da base decimal para a base B
:: Conversão da parte inteira
Conversão da base decimal para a base B
:: Conversão da parte inteira Exemplo:Exemplo:
(197)(197)1010 (11000101) (11000101)22
Conversão da base decimal para a base B:: Conversão da parte fracionáriaConversão da base decimal para a base B:: Conversão da parte fracionária
Para transformar a parte fracionaria de Para transformar a parte fracionaria de um número decimal para a base um número decimal para a base BB, ela , ela deve ser deve ser multiplicadamultiplicada, repetidamente, por , repetidamente, por BB..
Após cada multiplicação, o Após cada multiplicação, o dígito da parte dígito da parte inteirainteira do resultado será transportado do resultado será transportado para a parte fracionária da nova base.para a parte fracionária da nova base.
Repete-se o processo com a parte Repete-se o processo com a parte fracionária do resultado, até que:fracionária do resultado, até que: Atinja-se a precisão desejada, ouAtinja-se a precisão desejada, ou O novo resultado seja igual a zero.O novo resultado seja igual a zero.
Conversão da base decimal para a base B:: Conversão da parte fracionáriaConversão da base decimal para a base B:: Conversão da parte fracionária
Exemplo:Exemplo:
(.4375)(.4375)1010 (.0111) (.0111)22
Conversão da base decimal para a base B:: Conversão da parte fracionáriaConversão da base decimal para a base B:: Conversão da parte fracionária
Exemplo:Exemplo:
(.060546875)(.060546875)1010 (.0F8) (.0F8)1616
Erro de arredondamentoErro de arredondamento
A precisão da mudança de base de A precisão da mudança de base de decimal para binário depende do decimal para binário depende do número número de bits de bits que representam a parte que representam a parte fracionária.fracionária.
Considere uma fração de quatro bits na Considere uma fração de quatro bits na forma:forma:
Ela pode representar um número X na Ela pode representar um número X na base 10:base 10:
4321,0 xxxx
44
33
22
11 2222
xxxxX
4321 0625,0125,025,05,0 xxxx
Erro de arredondamentoErro de arredondamento
Considere as seguintes palavras binárias:Considere as seguintes palavras binárias:
A fração decimal A fração decimal 0,92700,9270 não pode ser não pode ser representada de forma exata usando representada de forma exata usando 4 4 bitsbits..
Valor binário mais próximo: Valor binário mais próximo: XXbb = 0,1111 = 0,1111.. De quanto é o erro?De quanto é o erro?
1111,0
1110,0
b
a
X
X
9375,0
8750,0
b
a
X
X
Erro de arredondamentoErro de arredondamento
Erro de arredondamento:Erro de arredondamento:
A única maneira de solucionar o problema A única maneira de solucionar o problema é adicionar é adicionar mais bits mais bits à representação à representação binária.binária.
1009270,0
9270,09375,0
%13,1
SumárioSumário
Bases numéricasBases numéricas
Representação de números de ponto fixoRepresentação de números de ponto fixo
Representação de números de ponto flutuanteRepresentação de números de ponto flutuante
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
Representação de número de ponto fixoRepresentação de número de ponto fixo
Temos somente os algarismos Temos somente os algarismos 00 e e 11 para para representar todos os números inteiros.representar todos os números inteiros.
Inteiros positivos são transformados em Inteiros positivos são transformados em binário:binário: 41 41 == 0010 10010010 1001 11 == 0000 00010000 0001 6464 == 0100 00000100 0000
Essa representação de números inteiros Essa representação de números inteiros em binário é em binário é diretadireta e não se preocupa com e não se preocupa com sinal, nem com formatação dos bits.sinal, nem com formatação dos bits.
Representação de número de ponto fixoRepresentação de número de ponto fixo
Como representar inteiros negativos?Como representar inteiros negativos?
Opção “natural”:Opção “natural”: Alocar um bit para guardar o sinal do número.Alocar um bit para guardar o sinal do número. Opção conhecida como Opção conhecida como magnitude de sinalmagnitude de sinal..
Ponto fixo:: Magnitude de sinalPonto fixo:: Magnitude de sinal
Bit mais à esquerda representa o sinal:Bit mais à esquerda representa o sinal: 0 0 positivo positivo 1 1 negativo negativo
Exemplos:Exemplos: +18 = 0001 0010+18 = 0001 0010 -18 = 1001 0010-18 = 1001 0010
Problemas:Problemas: Duas representações de zero (+0 e -0).Duas representações de zero (+0 e -0). Deve-se tomar cuidado com o bit de sinal nas Deve-se tomar cuidado com o bit de sinal nas
operações aritméticas.operações aritméticas.
Ponto fixo:: Complemento de doisPonto fixo:: Complemento de dois
Número negativo é assim obtido:Número negativo é assim obtido: Inverte-se os bits do número positivo Inverte-se os bits do número positivo
equivalente:equivalente:(5)(5)decdec : 0101 : 0101 1010 1010
Soma-se 1 ao número invertido:Soma-se 1 ao número invertido:(-5)(-5)decdec: 1010 + 1 : 1010 + 1 1011 1011
Mais Exemplos:Mais Exemplos: +2 +2 == 0000 00100000 0010 +1 +1 == 0000 00010000 0001 +0 +0 == 0000 00000000 0000 -1 -1 == 1111 11111111 1111 -2 -2 == 1111 11101111 1110
Ponto fixo:: Complemento de doisPonto fixo:: Complemento de dois
Para encontrar um número positivo a Para encontrar um número positivo a partir do seu oposto, procede-se da partir do seu oposto, procede-se da mesma forma:mesma forma: Inverte-se os bits do número negativo Inverte-se os bits do número negativo
equivalente:equivalente:(-2)(-2)decdec : 1110 : 1110 0001 0001
Soma-se 1 ao número invertido:Soma-se 1 ao número invertido:(2)(2)decdec: 0001 + 1 : 0001 + 1 0010 0010
Por quê?Por quê?
Ponto fixo:: Complemento de doisPonto fixo:: Complemento de dois
0000000000010001
00100010
00110011
01000100
01010101
01100110
0111011110001000
10011001
10101010
10111011
11001100
11011101
11101110
11111111
1 1 + + 1 1 – –
2 2 + +
3 3 + +
4 4 + +
5 5 + +
6 6 + +
7 7 + +
2 2 – –
3 3 – –
4 4 – –
5 5 – –
6 6 – –
7 7 – – 8 8 – –
0 0
Ponto fixo:: Complemento de doisPonto fixo:: Complemento de dois
Benefícios:Benefícios: Uma representaçãoUma representação do número zero.do número zero.
Facilita-se o trabalho aritméticoFacilita-se o trabalho aritmético: a subtração é : a subtração é transformada em duas operações conhecidas – transformada em duas operações conhecidas – adição e inversão.adição e inversão.
Ponto fixo:: Extensão de sinalPonto fixo:: Extensão de sinal
Como um número representado por Como um número representado por kk bits bits pode ser representado por pode ser representado por k+xk+x bits, x>0? bits, x>0? Os bits acrescentados à esquerda não devem Os bits acrescentados à esquerda não devem
alterar o alterar o valorvalor, nem o , nem o sinalsinal do número. do número.
Simplesmente replica-se o bit de sinal para Simplesmente replica-se o bit de sinal para a esquerda até completar os novos bits:a esquerda até completar os novos bits: NúmerosNúmeros positivospositivos têm infinitos têm infinitos zeroszeros à à
esquerda.esquerda. Números Números negativosnegativos têm infinitos têm infinitos unsuns à à
esquerdaesquerda..
Ponto fixo:: Extensão de sinal :: ExemploPonto fixo:: Extensão de sinal :: Exemplo
-4-4decdec (16 bits) para 32 bits: (16 bits) para 32 bits:
1111 1111 1111 1100 1111 1111 1111 1100 binbin
1111 1111 1111 1100 1111 1111 1111 1100 binbin
1111 1111 1111 1111
Operações com ponto fixoOperações com ponto fixo
Adição:Adição: Dígitos são somados bit a bit, da direita para a Dígitos são somados bit a bit, da direita para a
esquerda.esquerda. Carries (vai-um) são passados para o próximo dígito à Carries (vai-um) são passados para o próximo dígito à
esquerda.esquerda.
Subtração:Subtração: Nega-se o subtraendo e soma-se um (complemento de Nega-se o subtraendo e soma-se um (complemento de
2)2) Soma-se o resultado anterior com o diminuendoSoma-se o resultado anterior com o diminuendo
Operações com ponto fixo:: OverflowOperações com ponto fixo:: Overflow
Situação anormal que ocorre quando o Situação anormal que ocorre quando o resultado resultado de uma operação não pode ser representadode uma operação não pode ser representado com com um dada quantidade de bits, a depender da um dada quantidade de bits, a depender da arquitetura de computador.arquitetura de computador.
Adição:Adição: Quando os sinais dos operandos são iguais, pode Quando os sinais dos operandos são iguais, pode
ocorrer overflow.ocorrer overflow.
Subtração:Subtração: Quando os sinais dos operandos são diferentes, pode Quando os sinais dos operandos são diferentes, pode
ocorrer overflow.ocorrer overflow.
SumárioSumário
Bases numéricasBases numéricas
Representação de números de ponto fixoRepresentação de números de ponto fixo
Representação de números de ponto flutuanteRepresentação de números de ponto flutuante
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
Um número Um número realreal pode ser representado no pode ser representado no seguinte formato:seguinte formato:
(-1)(-1)ss ×× mm ×× BBee
s s – – sinalsinal mm – – significando (mantissa)significando (mantissa) BB – – basebase ee – – expoenteexpoente
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)
O bit mais à esquerda guarda o sinal do O bit mais à esquerda guarda o sinal do número:número: bit = 0 bit = 0 número positivo número positivo bit = 1bit = 1 número negativo número negativo Não há mais notação de complemento de 2 Não há mais notação de complemento de 2
para o número representado!para o número representado!
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754):: SinalPonto flutuante (Padrão IEEE 754):: Sinal
O significando é representado na forma O significando é representado na forma normalizada (base binária):normalizada (base binária):
1.xxxxx1.xxxxx E não na forma científica:E não na forma científica:
0.1xxxx0.1xxxx
O significando é composto por:O significando é composto por: Algarismo 1Algarismo 1 Ponto de separaçãoPonto de separação FraçãoFração
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754) :: FraçãoPonto flutuante (Padrão IEEE 754) :: Fração
O algarismo 1 e o ponto de numeração O algarismo 1 e o ponto de numeração não não precisam ser armazenadosprecisam ser armazenados, pois são os mesmos , pois são os mesmos para todos os números reais representados.para todos os números reais representados.
Caso a fração possua menos bits que o esperado, Caso a fração possua menos bits que o esperado, zeros devem ser colocados zeros devem ser colocados à direitaà direita, pois não , pois não têm significância.têm significância.
11001100000000000000000
23 bits
fração
fração = 1,110011
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754):: FraçãoPonto flutuante (Padrão IEEE 754):: Fração
A base A base BB é implícita (binária) e é implícita (binária) e não precisa não precisa ser guardadaser guardada, pois é a mesma para todos , pois é a mesma para todos os números representados.os números representados.
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754):: BasePonto flutuante (Padrão IEEE 754):: Base
O expoente é representado na O expoente é representado na notação notação deslocadadeslocada, ou excesso de N, ou excesso de N
Maior expoente representável: Maior expoente representável: 22n-1n-1
Representado por: Representado por: 11...1111...11
Menor expoente representável: Menor expoente representável: -(2-(2n-1n-1 - 1) - 1) Representado por: Representado por: 00...0000...00
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754):: ExpoentePonto flutuante (Padrão IEEE 754):: Expoente
DecimalDecimal Complemento Complemento de doisde dois
Notação Notação excesso de excesso de
NN
+4+4 ---- 111111
+3+3 011011 110110
+2+2 010010 101101
+1+1 001001 100100
00 000000 011011
-1-1 111111 010010
-2-2 110110 001001
-3-3 101101 000000
-4-4 100100 ----
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754):: Notação excesso de NPonto flutuante (Padrão IEEE 754):: Notação excesso de N
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754):: Notação deslocadaPonto flutuante (Padrão IEEE 754):: Notação deslocada
Representação do valor Representação do valor zerozero: : 01...1101...11..
Representação do valor Representação do valor umum: : 10...0010...00..
Demais valores: Demais valores: somar ao zero somar ao zero (deslocamento)(deslocamento)..
Vantagem: Vantagem: facilita a comparação de facilita a comparação de expoentesexpoentes entre números de mesmo sinal. entre números de mesmo sinal.
23 bits8 bits1 bit
fraçãoexpoentesinal
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)
O formato de precisão simples (O formato de precisão simples (floatfloat) ) ocupa ocupa 32 bits32 bits..
52 bits11 bits1 bit
fraçãoexpoentesinal
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)
O formato de precisão dupla (O formato de precisão dupla (doubledouble) ) ocupa ocupa 64 bits64 bits..
Exemplo:Exemplo:
(10)(10)binbin = +1.0 = +1.0 × 2× 211
0
1 bit
sinal
0000 0000 0000 0000 0000 000
23 bits
fração1000 0000
8 bits
expoente
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)
Mais exemplos:Mais exemplos:
Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)Ponto flutuante (Padrão IEEE 754)
fração fração em em
bináriobinárioexpoente expoente não não sinalizadosinalizado
floatfloat fração fração em em decimaldecimal
expoente expoente decimaldecimal
00 223131 - 1 - 1-2-23131
Inteiros representados
00- (2 - 2- (2 - 2-23-23) ) × 2× 2128128
underflow positivo
- - 22-127-127 22-127-127 (2 - 2(2 - 2-23-23) ) × 2× 2128128
underflow
negativonúmeros
representados
números representad
os
overflow positivo
overflow negativo
Ponto flutuante × Ponto fixoPonto flutuante × Ponto fixo
Densidade de números de ponto flutuanteDensidade de números de ponto flutuante
Números representados em ponto Números representados em ponto flutuante flutuante não são igualmentenão são igualmente espaçados, espaçados, tal como na tal como na notaçãonotação de ponto fixo. de ponto fixo.
Alguns cálculos podem produzir resultados Alguns cálculos podem produzir resultados que não são exatos e tenham de ser que não são exatos e tenham de ser arredondadosarredondados para a notação mais para a notação mais próxima.próxima.
222323 n nosos. reais . reais representadorepresentado
ss
222323 n nosos. reais . reais representadorepresentado
ss
0 00000000
0000000000000000000000fraçãoexpoentesinal
1 00000000
0000000000000000000000fraçãoexpoentesinal
““+ 0”+ 0”
““- 0”- 0”
Ponto flutuante:: ZeroPonto flutuante:: Zero
Como o zero é representado em ponto Como o zero é representado em ponto flutuante?flutuante?
0 11111111
0000000000000000000000fraçãoexpoentesinal +∞
1 11111111
0000000000000000000000fraçãoexpoentesinal -∞
Ponto flutuante:: InfinitoPonto flutuante:: Infinito
Notação especial para representar Notação especial para representar eventos incomunseventos incomuns:: permite que os programas possam manipulá-permite que os programas possam manipulá-
los sem que sejam interrompidos.los sem que sejam interrompidos.
x 11111111
xxx...xx ≠ 0fraçãoexpoentesinal
Ponto flutuante:: NaN – Not a NumberPonto flutuante:: NaN – Not a Number
É uma representação do resultado de É uma representação do resultado de operações inválidas, tais como:operações inválidas, tais como: 0/00/0 ∞ ∞ - ∞- ∞ ∞∞/∞/∞ 0 0 × ∞× ∞ √√x, x < 0x, x < 0
x 00000000
xxx...xx ≠ 0fraçãoexpoentesinal
Ponto flutuante:: Números desnormalizadosPonto flutuante:: Números desnormalizados
Servem para lidar com casos de Servem para lidar com casos de underflowunderflow..
Quando o expoente é muito pequeno para Quando o expoente é muito pequeno para ser representado em 8 bits (ser representado em 8 bits (menor que -menor que -127127), o número é ), o número é deslocado à direitadeslocado à direita até até que o expoente seja igual a que o expoente seja igual a -127-127..
Adição e subtração:Adição e subtração: Ambos operandos precisam ter o mesmo Ambos operandos precisam ter o mesmo
expoente.expoente.
Divisão e multiplicação:Divisão e multiplicação: São mais simples de serem calculadas.São mais simples de serem calculadas.
Operações com ponto flutuanteOperações com ponto flutuante
Operações com ponto flutuanteOperações com ponto flutuante
Overflow:Overflow: ocorre quando o expoente é ocorre quando o expoente é muito grande para ser representado no muito grande para ser representado no campo expoente.campo expoente.
Underflow:Underflow: ocorre quando o expoente é ocorre quando o expoente é muito pequeno (= pequena fração) para muito pequeno (= pequena fração) para ser representado no campo expoente.ser representado no campo expoente.
Podem produzir uma das seguintes Podem produzir uma das seguintes condições:condições:
Overflow de expoenteOverflow de expoente Underflow de expoenteUnderflow de expoente Underflow de significandoUnderflow de significando Overflow de significandoOverflow de significando
Operações com ponto flutuanteOperações com ponto flutuante
O valor do O valor do expoente positivoexpoente positivo excede o maior excede o maior valor possível (128 para precisão simples):valor possível (128 para precisão simples):
s 11111111
ffffffffffffffffffffffffraçãoexpoentesinal
× 2× 2
s 00000000
ffffffffffffffffffffffffraçãoexpoentesinal
1
Operações com ponto flutuante:: Overflow de expoenteOperações com ponto flutuante:: Overflow de expoente
O valor do O valor do expoente negativoexpoente negativo é menor que o é menor que o mínimo possível (-127 para precisão simples):mínimo possível (-127 para precisão simples):
s 00000000
ffffffffffffffffffffffffraçãoexpoentesinal
× 2-1
s ????! ffffffffffffffffffffffffraçãoexpoentesinal
Operações com ponto flutuante:: Underflow de expoenteOperações com ponto flutuante:: Underflow de expoente
s exp 11001110001111000011011
s exp + 2 00110011100011110000110
11
Operações com ponto flutuante:: Underflow de significandoOperações com ponto flutuante:: Underflow de significando
No processo de alinhamento de No processo de alinhamento de significandos, dígitos podem sumir na significandos, dígitos podem sumir na extremidade direita.extremidade direita.
Ocasiona arredondamento.Ocasiona arredondamento.
s exp 11001110000000000000000
s exp 11001110000000000000000
++
s exp 10011100000000000000000
1
s exp - 1 11001110000000000000000
Operações com ponto flutuante:: Overflow de significandoOperações com ponto flutuante:: Overflow de significando
Adição de dois significandos pode resultar Adição de dois significandos pode resultar em um carry (vai um) no bit mais em um carry (vai um) no bit mais significativosignificativo
Pode ser resolvido com realinhamento.Pode ser resolvido com realinhamento.
XEXSX 2 XEXSX 2
YEYSY 2 YEYSY 2
YX EY
EX SSYX 22 YX E
YE
X SSYX 22
XYX EEYX
E SS 22 XYX EEYX
E SS 22
Operações com ponto flutuante:: Adição e subtraçãoOperações com ponto flutuante:: Adição e subtração
Representação de númerosRepresentação de números
Mais informações:
William Stallings. Computer Organization and Architecture: Designing for Performance. 7th Edition, Prentice Hall, 2005.
Wikipedia.
SumárioSumário
Bases numéricasBases numéricas
Representação de números de ponto fixoRepresentação de números de ponto fixo
Representação de números de ponto flutuanteRepresentação de números de ponto flutuante
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
Sistema Internacional de Medidas: SISistema Internacional de Medidas: SI Padroniza unidades de medidas e seus Padroniza unidades de medidas e seus
prefixos.prefixos.
Dois grandes grupos de prefixos:Dois grandes grupos de prefixos: MúltiplosMúltiplos de 10 de 10 SubmúltiplosSubmúltiplos de 10 de 10
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
PrefixoPrefixo SímboloSímbolo Potência de 10Potência de 10
kilokilo kk 101033
megamega MM 101066
gigagiga GG 101099
teratera TT 10101212
petapeta PP 10101515
exaexa EE 10101818
zettazetta ZZ 10102121
yottayotta YY 10102424
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
PrefixoPrefixo SímboloSímbolo Potência de 10Potência de 10
milimili mm 1010-3-3
micromicro μμ 1010-6-6
nanonano nn 1010-9-9
picopico pp 1010-12-12
femtofemto ff 1010-15-15
attoatto aa 1010-18-18
zeptozepto zz 1010-21-21
yoctoyocto yy 1010-24-24
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
310210
nn
BBBGB 303
910
9 25251055
103
102n
n
ou
Em Computação, costuma-se utilizar os Em Computação, costuma-se utilizar os mesmos prefixos das potências de 10 mesmos prefixos das potências de 10 como como aproximação aproximação de potências de 2.de potências de 2.
A conversão é feita de seguinte forma:A conversão é feita de seguinte forma:
Exemplo:Exemplo:
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
Quando representa uma aproximação de Quando representa uma aproximação de 221010, o prefixo kilo é escrito como , o prefixo kilo é escrito como KiloKilo, ou , ou seja, com a seja, com a inicial maiúsculainicial maiúscula..
Dessa forma, quando tratamos com Dessa forma, quando tratamos com potências de 2, temos:potências de 2, temos: Prefixos maiúsculos: Prefixos maiúsculos: múltiplos de 2múltiplos de 2.. Prefixos minúsculos: Prefixos minúsculos: submúltiplos de 2submúltiplos de 2..
Prefixos do Sistema Internacional de Medidas:: Correspondência entre potências de 10 e de 2
Prefixos do Sistema Internacional de Medidas:: Correspondência entre potências de 10 e de 2
PrefixoPrefixo SímboloSímbolo Potência de Potência de 1010
Potência de Potência de 22
kilokilo kk 101033 221010
megamega MM 101066 222020
gigagiga GG 101099 223030
teratera TT 10101212 224040
petapeta PP 10101515 225050
exaexa EE 10101818 226060
zettazetta ZZ 10102121 227070
yottayotta YY 10102424 228080
Prefixos da IECPrefixos da IEC
Em 1998, a IEC (International Em 1998, a IEC (International Electrotechnical Commission) aprovou Electrotechnical Commission) aprovou novos prefixos especialmente dedicados a novos prefixos especialmente dedicados a potências de 2.potências de 2.
Dessa forma:Dessa forma: 5 5 gigagigabytes (GB) deveriam significar bytes (GB) deveriam significar
exatamente exatamente 5 5 ×× 10 1099 bytes bytes.. 5 5 gibigibibytes (GiB) deveriam significar bytes (GiB) deveriam significar
exatamente exatamente 5 5 ×× 2 23030 bytes bytes..
Tal convenção Tal convenção ainda não foi amplamente ainda não foi amplamente adotada adotada no meio científico.no meio científico.
Prefixos da IECPrefixos da IEC
PrefixoPrefixo SímboloSímbolo Potência de 2Potência de 2
kibikibi KiKi 221010
mebimebi MiMi 222020
gibigibi GiGi 223030
tebitebi TiTi 224040
pebipebi PiPi 225050
exbiexbi EiEi 226060
Prefixo de potência de 10 + bi (binário)Prefixo de potência de 10 + bi (binário)
Prefixos do Sistema Internacional de MedidasPrefixos do Sistema Internacional de Medidas
Mais informações:Mais informações:
Francois Cardarelli. Encyclopaedia of Scientific Units, Weights and Measures. Editora Springer, 2003.
Wikipedia.Wikipedia.
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