บทที่ 1 กรณฑ์ที่สอง3

รากทสอง

บทนยาม ให n เปนจ านวนจรงบวกใดๆ หรอ ศนย รากทสองของ n คอจ านวนจรง

ทยกก าลงสองแลวได n

ตวอยาง

หมายเหต

1.รากทสองของ 0 คอ 0

2.รากทสองของจ านวนจรงบวกจะเปนจ านวนตรรกยะหรอจ านวนอตรรกยะอยาง

ใดอยางหนงเทานน

3.รากทสองของจ านวนจรงลบจะไมเปนจ านวนจรง

4.ถา n เปนจ านวนจรงใดๆ จะได l n l เมอ l n l แทน คาสมบรณของ n

การหารากทสอง

1. การหารากทสองโดยแยกตวประกอบ ตวอยางท 1 จงหารากทสองของ 64 วธท า 64 = 2 x2x2x2x2x2 = 8 x 8 = 82 หรอ 64 = (-8) x (-8) = (-8) 2 ดงนน รากทสองของ 64 คอ 8 และ -8

2. การหารากทสองของเลขจ านวนเตมบวกโดยการตงหาร

1. แบงตวเลขจากหลงมาเปนคๆ ถาเปนเลขทศนยมกแบงจากจดทศนยมไปทางขวามอ ถาไมครบคใหเตมศนยใหครบค

2.หาเลขจ านวนหนง ซงคณตวมนเองไดคาใกลเคยงกบตวเลขหนาหรอคหนามากทสด ( แตตองไมมากกวา ) ใหตงตวเลขทไดลงในชองผลลพธตวหนง และชองตวหารตวหนง

3.ยกก าลงสองของผลลพธ ไดเทาไรเอาไปตงเปนตวลบเลขตวแรกหรอคแรกเศษเทาไรชกลงมาแลวชกเลขคตอไปลงมาคหนง

4.เอา 2 คณผลลพธ ไดเทาไรเอาไปหารตวเลขทชกลงมาใหถงจ านวนทชกลงมาเพยงจ านวนเดยว ไดผลลพธเทาไรเอาตงทผลลพธตวหนง และตงทชองหารตวหนง

5.เอาเลขลพธตวใหมคณตวหารทงหมด ตงเปนตวลบเหลอเศษเทาไรชกลงมา พรอมกบชกเลขตวตงลงมา 2 จ านวนดวย

6.ในกรณทผลคณในขอ 5. ไดผลลพธของตวลบเกนตวตงใหลดคาของผลลพธทไดจากขอ 4. ลงมาอนดบหนง ตอจากนนท าเวยนจากขอ 4. ลงมาจนหมดกจะไดคารากทสอง

1. การหารรากทสองของทศนยม โดยการตงหาร มหลกเหมอนการหารากทสองของเลขจ านวนเตมทกประการ จะแตกตาง

กนกแตเพยงการแบงเลขเปนชด ๆ หลงจดทศนยมจะแบงจากซายไปขวา (โดยเรม

จากจดทศนยม) ครงละ 2 หลก โดยมเครองหมาย , คนเชนกน ลองท าดนะคะ

เชน จงหาราทสองของ 10.58 = 3.2527

รากทสองของสอง

รากทสองของสอง หรอทรจกในชอ คาคงตวของพทาโกรส เขยนแทนดวย

√2 เปนจ านวนจรงบวกทเมอคณกบตวเองแลวจะมคาเทากบ 2 มคาประมาณ

1.414213562373095

ในทางเรขาคณต รากทสองของสองคอความยาวของเสนทแยงมมของรปสเหลยม

จตรสทมความยาวดาน 1 หนวย ความยาวนเปนไปตามทฤษฎบทพทาโกรส ซงราก

ทสองของสองนถอเปนจ านวนอตรรกยะจ านวนแรกทเปนทรจก

ประวต

จากหลกฐานบนทกบนกอนโคลนของชาวบาบโลเนยเผยใหเหน

คาประมาณของ ในรปผลบวกของเลขพหคณของ จ านวน 4 พจน ซงมคาใกลเคยง

ถงทศนยมต าแหนงทหก

บนทกในหนงสอ Sulbasutras ของชาวอนเดยโบราณ (800-200 ปกอนครสตกาล)

ไดกลาวถงคาประมาณของรากทสองไวคอ เปนการเพมความยาว (ของดาน) ดวย

หนงในสามเทาของคานน แลวเพมดวยหนงในสเทาของหนงในสามเทาคานน

แลวเพมดวยหนงในสามสบสเทาของคาหนงในสเทาคานน

การคนพบจ านวนอตรรกยะน ถอเปนผลงานทส าคญของฮปปาซส (ศษยในส านก

ของปทากอรส) ซงเปนผทพสจนความเปนอตรรกยะของรากทสองของสอง เปนท

เชอกนตามค ากลาววาปทากอรสเชอในความสมบรณแบบของจ านวนและท าใหไม

ยอมรบในการคนพบจ านวนอตรรกยะ ถงแมวาปทากอรสจะไมสามารถพสจน

ความไมมอยของจ านวนอตรรกยะได แตเขากไดสงลงโทษประหารฮปปาซสโดย

การกดน า ต านานอนเลาวาเขาถกฆากดน าโดยศษยคนอนของปทากอรสหรออาจ

ถกขบออกจากส านก

วธการค านวณ

นกคณตศาสตรไดคนหาวธการค านวณรากทสองของสองในรปแบบตาง ๆกนเพอ

เขยนคาประมาณใกลเคยงของรากทสองของสองออกมาในรปของอตราสวนของ

จ านวนเตมหรอเลขทศนยม หนงในวธการทถอวาเปนเบองตนทสดคออลกอรธม

ของบาบโลเนยนเพอค านวณรากทสองของสอง ซงถอเปนพนฐานการค านวณของ

คอมพวเตอรและเครองคดเลข อลกอรธมเพอหารากทสอง (อาจใชเพอหารากท

สองของจ านวนใดๆ ไมเฉพาะของสอง) ดงกลาวสามารถท าไดดงน

1.เลอก a0 >0 คา a0 ทเลอกนจะมผลกระทบตอความเรวในการลเขาสคาของ √2

ในระดบความแมนย าหนงเทานน

2.ใชฟงกชนเรยกตวเองเพอค านวณ a1, a2, a3, ..., an

ตวอยางการค านวณโดยเลอก a0=1 ไดผลดงน

a0 = 1

a1 = 3/2 = 1.5

a2 = 17/12 = 1.416...

a3 = 577/408 = 1.414215...

a4 = 665857/470832 = 1.4142135623746...

ในป ค.ศ.1997 ทมของยาซมาสะ คานาดะไดค านวณคาของ √2 แมนย าถงทศนยม

ต าแหนงท 137,438,953,444

เดอนกมภาพนธป ค.ศ.2006 ความทาทายในการค านวณคาของ √2 ไดถกท า

ใหหมดไปดวยการใชคอมพวเตอรบาน ชเกร คอนโดไดค านวณคาประมาณ

ใกลเคยงของ √2 ถงทศนยมต าแหนงท 200,000,000,000 ในเวลา 13 วน 14 ชวโมง

โดยใชเครองคอมพวเตอรสวนบคคลขนาด 3.6 GHz และหนวยความจ า 16 Gb

อยางไรกด เปนทยอมรบกนทวไปวาในจ านวนคาคงตวอตรรกยะทาง

คณตศาสตรตางๆ ทถอเปนความทาทายตอนกคณตศาสตรทจะเขยนในรปของ

ทศนยมไมรจบ คา π ดจะเปนจ านวนทถกประมาณไดแมนย าละเอยดสงสด

แบบฝกหดเรองรากทสอง

1.ขอใดตอไปนไมถกตอง

1. รากทสองของ 484 คอ 22 และ -22

2. -21 เปนรากทสองของ 441

3. รากทสามของ 1,331 คอ 11 และ -11

4. 9 เปนรากทสามของ 729

2.ใดตอไปนไมถกตอง

1.

2.

3.

4.

3.จงหาผลลพธของ

4.จงหารากทสองของ 2,601

5.จงหารากทสองของ 3,025

6.จงหารากทสองของ 4,225

7.จงหารากทสองของ 4,900

8.จงหารากทสองของ 6,084

9.

เปนสเหลยมดานขนาน มฐานยาว 15 ซม.พนท 150 ตาราง

เซนตเมตร

และ เปนสวนสง จงหาวา ยาวประมาณกเซนตเมตร(ตอบเปนจ านวน

เตมหนวย)

10.จากรปก าหนดให

ม AB = 24 หนวย BC = 7 หนวย และ AC = CD จงหาความยาว (ตอบเปน

ทศนยมสองต าแหนง)

11.จงหารากทสองของ 2,601

12.จงหารากทสองของ 3025

13.รปสเหลยมผนผารปหนงยาว 8 ซม. มเสนทแยงมม 9 ซม.

จงหาวารปนกวางกเซนตเมตร (ตอบทศนยม 2 ต าแหนง)

14.ก าหนดใหทรงสเหลยมมมฉาก ABCDEFGH ม AB = 5 หนวย

BC = 3 หนวย และ CD = 4 หนวย จงหาความยาว (ตอบเปนทศนยมสอง

ต าแหนง)

15.

16.

17.

18.

19.

20.รากทสองของ 4,096

เฉลยแบบฝกหด

1.ตอบ 3. รากทสามของ 1,331 คอ 11 และ -11

2.ตอบ 4.

3.ตอบ

4.ตอบ

5.ตอบ

6.ตอบ

7.ตอบ

8.ตอบ

9.วธท า พนทสเหลยมดานขนาน = ความยาวฐาน x สง

พนท

เมอเรารความสงของรปสเหลยมแลว ตอไปเรา จะหา AE

พจารณา Δ ABE อยในเสนขนาน AB // DC และม BE เปนเสนตงฉาก กบ DC

เกดมมแยงกน ดงนน จะได

มม

ท Δ ABE จาก ทฤษฎบทพทาโกลส

10.วธท า พจารณา Δ ABC เปนสามเหลยมมมฉาก จาก ทฤษฎบทพทาโกลส

11. วธท า การหารากทอง ใชการแยกตวประกอบ จะได

12.การหารากทสอง ใชการแยกตวประกอบ จะได

13.วธท า จากรปดานบน เราดท Δ ABC จาก ทฤษฎบทพทาโกลส

14.วธท า จากรปดานบนเราก าลง จะหา BH จะไดดงรปท 2

จากรป หา BH จากสามเลยม ABH มม A เปนมมฉาก

จาก ทฤษฎบทพทาโกลส เราจะหา BH ไดดงน

ตอไปเราจะหา GB พจารณาสามเหลยม GBH

15.

16.

17.

18.

19.

20.