الجبر رياضه1

سعيد الصباغسعيد الصباغ

سعيد الصباغسعيد الصباغ

وغاريتماتلالوغاريتماتلالاألسساألسس

سعيد الصباغسعيد الصباغ

األسساألسساألسساألسس

أأ

..... نن × × × مره= ن ألى أ أ أ ..... أ × × × مره= ن ألى أ أ أ أ

أأ

ن ن أ× أ×

م م أأ ==

م+ م+ ن األساسات ن ضرب األساسات عند ضرب عنداألسس تجمع األسس المتحده تجمع المتحده

أأ

ن ن ÷÷ أأ

م – أأ == مم م – ن األساسات ن قسمة األساسات عند قسمة عنداألسس تطرح األسس المتحده تطرح المتحده

((ننأأ ) )33 = = 22((55 33 = ) = )55((22 33))مثال مثال م×م×ننأأ == مم 1010

عودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

أأ

( ننب × ب × نن × ب = ) ( أ × ب = ) المختلفه أ األساسات ضرب عند المختلفه ن األساسات ضرب عند ن

ونضرب المرفوعهالمرفوعه األس نثبت متساويه ونضرب ألسس األس نثبت متساويه ألسس22× × 11س+س+ 33األساس األساس

66 = = 11س+س+11س+س+

( ±±س) س) تذكرأن تذكرأن ( ص ننص ص ±± ننس ≠ س ≠ ننص

** **أأ(11= = صفر صفر صفر ≠ ) ≠ األساس صفر أ (حيث صفر ≠ ) ≠ األساس صفر أ حيث

) (صفر) معينه صفرصفرصفر) غير معينه كميه غير كميه حل مجموعة حل أوجد مجموعة 11 = = صفرصفر( ( 66س – س – 22- ) - ) 11أوجد

66س ≠ س ≠ 22أذا أذا 00 ≠ ≠ 66س – س – 22الحل الحل ≠ ح = - 33س ≠ س ح = - الحل 33الحل

صفر أس معنىالعدد قسمة هو

نفسه على

عودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

حل ) - - 22 مجموعة حل ) أوجد مجموعة معينه صفر =صفر = ((66س – س – 22أوجد غير معينه كميه غير كميه33س = س = 00 = = 66س – س – 22الحل الحل

33الحل = الحل =

حل ) - - 22 مجموعة حل ) أوجد مجموعة معينه صفر =صفر = ((66س – س – 22أوجد غير معينه كميه غير كميه33س = س = 00 = = 66س – س – 22الحل الحل

33الحل = الحل = : أذاكان أن أذاكان : تذكر أن أأتذكر

أأ = = ننأ = ≠ -مم حيث م ن أ = ≠ -فأن حيث م ن 1فأن 1،1 1، ، ،

00 22 - أأأذاكان - أذاكان

ن = = ننب = ب = نن أو ب أ ن = = فان أو ب أ 00فان

: س حل مجموعة أوجد س : مثال حل مجموعة أوجد 22 = = 99- - 22سسمثال 99--22سس

= س س = أما س 22أما س أو 33 ± ± س =س =00= = 99 – – 22أو الحل الحل مجموعة 3، -، -22مجموعة 3،3 3، حل مجموعة حل أوجد مجموعة 33أوجد

55س+س+س = س = 55س+س+ عودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

أن : أن : ذكر أأذكرص+ ص+ س أأ = = س

سس××

أأ صص

أأص - ص - س أأ = = س

سس÷÷

أأصص

: األسيه مالحظه : مالحظه المعادله األسيه حل المعادله المشترك- 11حل العامل بأخراج أو المشترك- بالتحليل العامل بأخراج أو بالتحليل11 -زوجى ألس مرفوع األول الحد أذاكان زوجى- التحليل ألس مرفوع األول الحد أذاكان األوسط = ½ ووالتحليل الحد األوسط = ½ أس الحد أس األول الحد األول اس الحد اس حل مجموعة أوجد حل مثال مجموعة أوجد للتحليل 00==2727 + + سس33 × ×1212 – – سس22 33مثال للتحليل قابله قابله((3333– – س س 33()()99 - -سس = ) = )33 00

33أو أو 99 = = سس33 = = سس

3333أو أو 22 33 = =سس

س =22س = س = 11 33 = = سس س =، 1الحل = الحل = 11، 2،1 2،

حل مجموعة أوجد حل تدريب مجموعة أوجد 2525تدريب55××66 – – سس

00= = 125125 + + 11س+س+

33 33 + + سس

8282 = = سس --44

33 أذاكان أذاكان33 ×× سس

33؛ ؛ 2727 = = صص33 + + سس

ص 1212 = = صص ، س قيمة ص فما ، س قيمة فما

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

) الجذور ) الكسريه (األسس الجذور ) الكسريه األسس

= = أ فأن ب أ كان أ = = أذا فأن ب أ كان ببأذا نن

( حل مجموعة أوجد حل ) مثال مجموعة أوجد 2727( = ( = 55س – س – 22مثال22 – 44 33 = = 55س – س – 22( ( 2727 = ) = )55س – س

22 – 8686س = س = 22 8181 = = 55س – س =الحل = 4343س= س الحل = مجموعة 4343مجموعة × × أذاكان ع ص س قيمة أذاكان × × أوجد ع ص س قيمة أوجد

1

ن

3

44

3

3

4

1

5

- 6

7ص = 8س = ع =2، ،64

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

= ) ( س د األسيه ) ( = الداله س د األسيه أأالداله+ ЗЗ أأحيث حيث سس + ح ح

- -11

= ) ( س د األسيه ) ( = الداله س د األسيه أأالداله+ ЗЗ أأحيث حيث سس + ح ح

- -11 = ) ( س د ( = أرسم ( س د قيمة سس 22أرسم أوجد الرسم قيمة ومن أوجد الرسم ومن

22 3232، √ ، √ 55 = =سس

= سس22ص = ص

2255ص =ص =55 = = سس ≈ 22وو22س ≈ س √ √3232 = = 22 = س = س √ √3232 ≈ ≈ 8855وو

5

25

2

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

المشترك العامل أخراج باستخدام األسيه المعادله المشترك حل العامل أخراج باستخدام األسيه المعادله حلمتساويه األسس معامالت اذاكانت متساويه تستخدم األسس معامالت اذاكانت تستخدم

= ) ( س د ( = أذاكانت ( س د 22أذاكانتد ) س س د ) ، )11س – س – 22، )د( + 8080( = ( = 11س + س + 22د( +

س قيمة س أوجد قيمة أوجد22

22 22 + + 11-- سس

22 8080 = = 11س+ س+ 2222

8080[ = [ = 2222+ + 11 ] ] 11-- سس

2222

على 8080 = = 55× × 11-- سس على بالقسمه 22 55بالقسمه22

1616 = = 11-- سس

2222

44 = = 11س – س – 22 44 22= = 11-- سس

22 = 22وو55س = س = 55س = س = ) ( س د ( = أذاكانت ( س د 33أذاكانت

)سس د ،( د )33س +س +22، )د( + 270270( = ( = 11س + س + 22د( +

س قيمة س أوجد قيمة أوجد

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

= ) ( س د ( = أذاكلنت ( س د تحقق 11س +س + 33أذاكلنت التى س قيمة تحقق اوجد التى س قيمة اوجد

العالقهالعالقه+ (س س) +د -11د ( س ( + -د ( س ( + 2828( =( =22د2828= = 11 س –س – 33+ + 22س +س + 33 2828= = 22 – – 11س +س + 33+ + 11 + +11س +س + 33 2828 = = 2828× × 11س -س - 33 2828 [ = [ = 11 + + 3333] ] 11 س –س – 33 11س = س = 00 = = 11س – س – 11= = 11س -س - 33

= ) ( س : د أذلكانت ( = تدريب ( س : د أذلكانت التى سس33تدريب س قيمة التى أوجد س قيمة أوجدتحققتحقق

11+ ( س- ) +د س- ) – 11د س ( + ) – د س ( + 9090 ( = ( = 11د22( )د- )3636س( – س( – 22د- + ) ( د × س )د + ) ( د × س 00( = ( = 55د33 = ) ( س- د ( = أذاكانت ( س- د المعادله 11س+س+55أذاكانت حل المعادله أوجد حل أوجد

+ ( + ) ( س د س ) +د + ) ( س د س 750750( = ( = 11دعودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

الرئيسيه للقائمه الرئيسيه عوده للقائمه عوده

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

اللوغاريتماتاللوغاريتمات = لو س كان لو = أذا س كان ص = أأأذا فان ص = ص فان أأص

س س

ص ص حيث + ЗЗحيث أ + ح أ + - ЗЗح + - ح 11ح الصوره لتحويل السابقه العالقه الصوره تستخدم لتحويل السابقه العالقه تستخدم

األسيه الصوره الى األسيه اللوغاريتميه الصوره الى اللوغاريتميه لو اذاكان لو مثال اذاكان س 44 = = 8181سسمثال قيمة س أوجد قيمة أوجد السابقه العالقه السابقه من العالقه 44س= س= 4433 44س = س = 8181من

= 44س = س لو أذاكان س قيمة لو أوجد أذاكان س قيمة 55س = س = 22أوجد

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

لو حل مجموعة لو أوجد حل مجموعة 33 ( = ( = 55س – س – 22 ) )22أوجد( : ( = 55س – س – 22الحل : )الحل = ) 99 = = 55س -س -22 33 22

الحل = 77س = س = 1414س = س = 22 الحل = مجموعة 77مجموعة من كال فى س قيمة أوجد من تدريب كال فى س قيمة أوجد تدريب11 -س = س = 128128 22لو- لو- 22 55س = س = 33لو- لو33 -22 = = ((33س) – س) – 44لو- لو- 44 44( = ( = 99 – – 22س )س )22لو- لو

س أذاكانت س الحظ أذاكانت لو ن = ن = صصالحظ لو فأن ص = سسفأن ص = ن ن لوغاريتميه صوره فى لوغاريتميه أكتب صوره فى أكتب243243 = = 33 55 55

3232 = = 55-- ) ( ) (11 = = صفرصفر

لو= 11 55لو لو 55 = = 243243 33لولو لو= صفر 55 = - = - 3232صفر

12

12

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

اللوغاريتمات اللوغاريتمات قوانين اللوغاريتمات قوانين اللوغاريتمات قوانين قوانينص = لو لو + + س س أألولو ص = أ ص×أ أ لولوأ ص×س ضرب = ( ) )س حاصل لو اللوغاريتمات ضرب = (جمع حاصل لو اللوغاريتمات جمع

س – لولو س – أ ص = لولوأ ص = أ لوقسمه ) = (لولوأ اللوغاريتمات طرح لوقسمه ) = (أ اللوغاريتمات طرح أ

سسأ أ لولو = = سسأ أ لولون ن

( ن )ن ) أس يحول اللوغاريتم (معامل أس يحول اللوغاريتم معامل

األساس = 11أ = أ = أ أ لولو األساس = العدد اللوغاريتم = العدد اللوغاريتم = فان 11فان

00ألىأساس = ألىأساس = 11لوغاريتم لوغاريتم 00 = = 11 أألولو

األساس : : مالحظهمالحظه فان اللوغاريتم يذكرأساس األساس أذالم فان اللوغاريتم يذكرأساس أذالم==1010

معتاد لوغاريتم معتاد ويسمى لوغاريتم ويسمىلو 11 = = 1010لولو لو ، لو 22 = = 100100، لو ، ،1000010000 = =44

س

ص

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

: لو لو : مالحظه 55لو- لو- 11 = = 22لو لو 22لو – لو – 11 = = 55مالحظه22 - أساس = س س لو - لو ألى تصلح العالقه هذه أساس = ص ألى تصلح العالقه هذه ص لو أن أثبت لو مثال أن أثبت لو × ببمثال لو × جـ العالقه) 11ب = ب = جـجـجـ باستخدام العالقه) الحل باستخدام الحل

السابفه(السابفه( األيمن األيمن الطرف األيسر = 11× = × = الطرف األيسر = األيمن األيمن

قيمة قيمة أوجد لو × أألولو أوجد لو × ب جـ جـ ببلو× لو× أ أ جـجـب قيمة أوجد الحاسبه أستخدام بدون قيمة مثال أوجد الحاسبه أستخدام بدون مثال00و و 99لو – لو – 00وو7575لو +لو +44لو + لو + 3030لولو لو + - = 44لو +لو +3030لولو لو لو + - = لو لو لو = 22= = 100100لو = لو

لوص

لوس

لوجـ

لوب

لوب

لوجـ

75100

910

30 ×4 × 75 × 10

100 ×9

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

أن = 22مثالمثال أن = أثبت 22لو – لو – 11أثبت لو لو = األيمن األيمن = الطرف الطرف لو لو = = = = = 22لو – لو – 11 = = 55لو = لو ( لو حل مجموعة لو ) أوجد حل مجموعة 00 = = 1515– – 22سس 22لو + لو + 22س (س ( 22أوجد ( لو لو ) الحل 00= = 1515س - س - 22لو لو 22 + + 22س (س (22الحل( ( = 33س - س - 22لو ( ) لو ( ) 55س + س + 22لو )لو = )00 لو 55س = -س = -22لو لو لو أو 33س = س = 22أو = 33 22س = س = 55-- 22س = س = ، ح ، = م ح 88م

5لو + 8لو – 40لو

+ 7لو – 28لو25لو

5لو + 8لو – 40لو

+ 7لو – 28لو25لو

40 × 5

8

28 × 5 2

7

25لو

100لو

5لو 2

2

1

32

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

لو لو أذاكان قيمة 22س = س = 55أذاكان قيمة اوجد اوجد

22 55س = س = 22س = س = 55لولو

= فى = 2525س = س فى = بالتعويض بالتعويض

= = = = = = لو حل مجموعة لو أوجد حل مجموعة 00 ( =( =11س -س -55))44لولو33لو لو 22أوجد

لو : لو : الحل لو ) 00( [ = ( [ = 11س – س – 55))44لولو33لو] لو] 22الحل لو ) تذكر ((00= = 11تذكر

لو ) 11 = = [[((11س – س – 55) ) 44لولو] ] 33لولو لو ) تذكر ((11أ =أ =أأتذكر

33 44 = = 11س – س – 55 33( = ( = 11س – س – 55))44لو لو

55 = ح = 1313س = س = 6565س = س ح = م 1313م

4لو + 2س5لوس

(6س + 3 ) 3لو 4لو + 2س5لو

س

(6س + 3 ) 3لو

25 ×4لو + 6255لو

(6 + 25×3 ) 3لو

100لو+ 4 5 5لو

(81 ) 3لو

4 +2

4

6

4

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

= : لو جـ أن : = تذكر لو جـ أن = =جـجـ 5555لو=لو=جـجـ 3333وول=ل=جـجـ 22 22تذكر

جـجـ 1010لولو

اللوغاريتميه الصوره ألى حقيقى عدد أى تحويل اللوغاريتميه يمكن الصوره ألى حقيقى عدد أى تحويل يمكن× = + = ب أ أن أثبت لوب جـ لوأ ب = + = ×أذاكان أ أن أثبت لوب جـ لوأ جـجـ1010أذاكان = – + = جـ لوب لوأ لوب حـ لوا جـ = + – = الحل لوب لوأ لوب حـ لوا الحل = = جـ جـ = = لو اللوغاريتم) جـجـ 1010لو اللوغاريتم) تحويل تحويل

لألسس (لألسس ( × = ب ب = × أ جـجـ1010أ

( لو حل مجموعة أوجد لو ) مثال حل مجموعة أوجد س س 99 33لو= لو= 22س(س(33مثال( لو لو )الحل (33الحل (س لو )33لو + لو + 99 33لو = لو = 22س تذكر لو )س تذكر ( (22 = = 99 33س

00( = ( = 11س + س + 33لو ( )لو ( )22س – س – 33لو )لو )؛؛ 00 = = 22س – س – 33لو – لو – 22س(س(33لو )لو )

لو 22س = س = 33لو لو لو أو 11س = -س = -33أو = 99س = س = 11-- 33س = س = 22 33س = س ، ،

أ

ب

أ

ب

1

3

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

= ) ( لو س د ) ( = أرسم لو س د س س 22أرسم

لو = لو = ص = 22ص س = س س 22س صص

= الداله مدى اللوغاريتميه الداله مجال أن الداله = الحظ مدى اللوغاريتميه الداله مجال أن الحظاألسيه األسيه

] 00المجال [المجال[∞ ،[∞ ، = ح ح = المدى المدى لو قيمة عين الرسم لو من قيمة عين الرسم 11وو55س = س = 22من = 11وو55ص = ص = 11وو55 22س = س ≈ 33وو88= = 11وو55 22 33وو88س ≈ س = ) ( لو س د أرسم ( = تدريب ( لو س د أرسم الرسم 33تدريب ومن الرسم س ومن س 77 33لو لو 22وو55 33أوجد أوجد

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

باستخدام األسيه المعادالت باستخدام حل األسيه المعادالت حلالحاسبهالحاسبه

باستخدام األسيه المعادالت باستخدام حل األسيه المعادالت حلالحاسبهالحاسبه

حل مجموعة حل أوجد مجموعة 00 = = 1818 + + سس33××1111 – – سس22 33أوجد ( ( = 22 – – سس33( ) ( ) 99 – – سس33الحل ) الحل = )00 33 س = 22 33 = = سس33ومنها ومنها 99= = س س س = وتكون 22وتكون

لو 22 = = سس33أو أو س الطرفين لوغاريتم لو باخذ س الطرفين لوغاريتم 22لو = لو = 33باخذ ≈ = س الحاسبه باستخدام س س = ≈ ومنها الحاسبه باستخدام س 00وو6363ومنها

حل مجموعة حل أوجد مجموعة 11س - س - 55 = = 22+ + سس33أوجد

لو الطرفين لوغاريتم باخذ لو الحل الطرفين لوغاريتم باخذ 11-- سس55لو= لو= 22س+س+33الحل

+ (لو( 22س) + س )55لو(لو(11س = ) – س = ) – 33لو لو لو س لو = 33لولو22 + + 33س لو = س 55لو – لو – 55س لو لو س لو – 33س لو – س )33لو لو 22 – – 55لو = - لو = - 55س لو )س لو 33لولو22 – – 55لو( = - لو( = - 55لو – لو – 33س

≈ = س س = ≈س 77وو45194519 س

2لو

3لو

3لو 2 - 5لو-

5لو - 3لو

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

( جـجـلو( لو( 11 ) )مالحظه مالحظه ( جـ ) ن = ن = ننجـ ) ب) ( = ( ( 22 ) ) ب) ( = جـ جـ

( جـجـلو( لو( 11 ) )مالحظه مالحظه ( جـ ) ن = ن = ننجـ ) ب) ( = ( ( 22 ) ) ب) ( = جـ جـ

× ص + = س لو ص لو × لوس ص + = س لو ص لو لوس

س – = ) ÷ لو ص لو س – = ) ÷ لوس لو ص لو لوسص(ص(

+ =) + ( لوس ص س (= + لو + ( لوس ص س لولوص لوص

س ÷ = – لو ص لو س س ÷ = – لو لو ص لو س لوص ص لو لو

س س لو س = ننلو لو س = ن لو س) ( ن س) ( لو س = × ن ن لو لو س = × ن لو ن

س س لو ص – 22لو ص – لو لو = لو = 22لو 22

س س لو ص – 22لو ص – لو = = 22لو

() لوس) – ص لو () لوس لوس) – ص لو لوس) (لوص+ لوص+

لألعداد لوغاريتم لألعداد اليوجد لوغاريتم اليوجدالسالبهالسالبه

لو- = س لو- = لو س لو

س ) - ( = - لو س س ) - ( = - لو لو س لو

شائعه شائعه أخطاء شائعه أخطاء شائعه أخطاء أخطاء

س

ص

1

س

عودهعوده

ب بجـجـلو لو

عودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

:األتيه المعادالت حل مجموعة أوجد األتيه: تدريبات المعادالت حل مجموعة أوجد تدريبات11 + ( س س ) + لو س( + ) – 22لو س( + ) – لو 22لو – لو – 11( = ( = 22لو22 – ( س ) – لو س ) – 33لو س( + ) – لو س( + 55لو – لو – 11( = ( = 22لو33( س(22لو )لو)11س + س + 55 = = 44س – س – 33( ( 44 ) )00 = = 66س + س + 22لولو55 – – 22س

55 22 2200س = س = 22لولو44لولو33لو( لو( 66 ) )00==2828 + + سس22××1111 – – سس

77( = لو( 88لوس = )لوس )س = س = 33لو99 لو = 22لولو لو = س 11س+س+22× × 33 = = 33س+س+33× × 22( ( 1010 ) ) 99 44س

: أن أن :أثبت س أثبت س أذاكانت ص 88 = = صصأذاكانت ص ، س 99 = =سس، أن س أثبت أن أثبت==22 = = ،ص 33،ص

11 11س ( = س ( = 33لولو33لو+ لو+ 11 ) ) ÷÷ 33س س 33لولو33لو لو

22 44 = = 33سس55لولو33لو - لو - 243243سس55لولو33لو لو 33 ص – 44لوس+ لوس+ 33اذاكان اذاكان لوس ص – لوص لوس ((33لو + لو + 22لو)لو)22 = = 22لوص = ص س ان ص = أثبت س ان 66أثبت

2 (5لو - )25لو

و05لو

45لو – 2لو+ 1

15لو – 1

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ

عامه عامه تدريبات تدريبات

أوغير- 11 أوفرديه زوجيه كونها حيث من الداله نوع أوغير- أبحث أوفرديه زوجيه كونها حيث من الداله نوع أبحثزلكزلك

.a.a = ) س) س ( = د س) س ( = 22د ( - ظا س س د ب ( = جاس ( - ظا س س د ب سس22جاس

+ | | = ) ( س- س د | + جـ | = ) ( س- س د ( = + 33جـ ( - قتاس س س د ( = + د ( - قتاس س س د د33سس

ممايأتى- 22 كال حل مجموعة ممايأتى- أوجد كال حل مجموعة أوجد

| +55+ + 22س- س- 11 | +س| | - 55 – – 22س- س- 22 00 = = 66س| | - س| 00 = = 66س|

| =44 - | - |22||44س- | – س- | – 44 00 = =1414س – س – 33| + | + 66س – س – 22- | - | 33 | =س- 00س-

| =44 + | + | 22 | |44س- | – س- | – 55 | =س – 55 = = 99س + س + 66 – – 22س س √√- - 66 00س –

| | 55س | = | + س | = | + 33س- | – س- | – 99س س 55- = - = 88

9 - 2س 4

|3س - 2 |

عودهعودهعودهعوده

سعيد الصباغسعيد الصباغ للقائمه للقائمه عوده عوده

بالتوفيق االمانى أطيب بالتوفيق مع االمانى أطيب مع / الصباغ سعيد / أ الصباغ سعيد أ عودهعوده