انتشار إشارة وانتشار موجة ميكانيكية دورية : التداخلات

287

2 + 1: الوحدة IVالمجال *òŠb’g@Šb“näa *@óîŠì†@óïÙïäbÙïà@óuíà@Šb“näa

: انتشار اضطراب– 1عمودي على ) منحنى االنتشار ( الطاقة و فيه يكون منحى انتقال : االضطراب العرضي –أ

) منحنى االضطراب ( ة ادمنحنى انتقال المآحبل من مطاط أو نابض مرن و طويل على منضدة أفقية أو أنبوب : البعدفي وسط أحادي -*

طويل مملوء إلى نصفه بالماء

في السطح ) اضطراب ( ميكانيكية إشارةعندما تحدث : )مستوى ( في وسط ثنائي البعد - * .السائب لسائل ساآن تتكون تجاعيد دائرية قطرها يتزايد بشكل منتظم

أو ( شاقولية ةرجحيأتلى سطح السائل جسم عائم فعندما يصله االضطراب يقوم بحرآة إذا آان ع ) ال يوجد نقل للمادة ( في مكانه دون أن ينسحب سطحياً ) غير شاقولية

يكون منحنى انتقال الطاقة منطبقَا على منحنى انتقال المادةفيهو: االضطراب الطولي/ب حدثه في بعض حلقات نابض أو انتشار نآما في انتشار انضغاط : في وسط أحادي البعد-*

.حدثه في طرف غاز يمأل أنبوب أسطواني نتضاغط

طراب اض

ار ة االنتش ماء جه

ار ة االنتش جه

طراب ة االض جه

( ن(مخمد قط ل حب

طراب ائم اض م ع اء جس طح الم د س تجاعي

ائي وض م ح

ـــار ـــة االنتشـ جهـ

ـــار ـــة االنتشـ جهـــغاط ــ االنضــ

ــغاط ــ االنضــ

غاز

288

اد ثي األ في وسط ثال -* ادي : بع ينتشر االضطراب في الفضاء المزاز طوال اء ) طراب الطولي ض الا(ني على شكل اهت في جميع أنح

ة واج آروي كل أم ى ش ا عل ار هن ون االنتش ادي و يك اء الم الفض .آاألمواج الناتجة عن شحنة بارود أو حرآة الطائرة في جو األرض

، و لكي ينتشر اضطراب ينبغي أن يج : مالحظة* تاز و سطَا مادياَ .يشترط أن يكون تام المرونة لكي يوصل مختلف اإلشارات

نعتبر وسطَا تام المرونة تتوضع عليه النقاط : مفهوم سرعة االنتشار – 2

0 1 2M , M , M , 0: يصلها االضطراب بالتتابع في اللحظات . . . 1 2t , t , t , . . .

0: هر أنتظالعملية الدراسة 1 2 31 2 te=

1 0 2 1 3 2

M M M MM M = = = . . . = v = ct - t t - t t - t

:هرت الدراسة التجريبية أن ظأ : ت سرعة انتشار اضطراب و نتائج قياسهاامميز/ أ . االضطراب ينتشر بسرعة ثابتة - ينتشر االضطراب العرضي في وسط ما ، بغير السرعة الثابتة التي ينشر بها االضطراب الطولي -

في نفس الوسط .ار متعلقة بالخواص الفيزيائية لوسط االنتشار سرعة االنتش- .ال تتغير سرعة انتشار االضطراب بتغير سعته أو جهة انتشاره أو شكل المنحنى المتعرج الذي يمثله -

: قياس سرعة انتشار االضطراب في األوتار و الغازاتدساتير –ب : )وتر ( سرعة االنتشار على حبل *

ينتشر على طول ) االضطراب ( َا في حبل مشدود آما هو مبين، فإن النبضة حدث اضطرابنعندما الحبل محافظَا على شكله ، و تعتمد السرعة التي ينتقل بها االضطراب على مقدار الشد في الحبل و

.على آتلة وحدة الطول له ب على الحبل عتبر شكل االضطراعة انتشار االضطراب في الحبل ، نإليجاد العالقة التي تحدد سر

.جزء من دائرة و تسارع الجزء المهتز ذو تسارع مرآزي : حسب قانون نيوتن الثاني

ii

F = m a∑ حيث :T N Ta = a + a , a = 0

: إذن 2

i Ni

vF = F 2F sin θ = m R⇒∑

1: حيث 2F = F = F

0M 1M 2M 3M 4M . . .

0t 1t 2t 3t 4t . . .

v

v

Rθ

0

∆

1F2F

289

للحبل في آل نقطة ، و في حال آون سعة االهتزاز صغيرة إذا اعتبرنا أن قوة الشد تكون مماسية

: صغيرة و بالتالي θمقارنة مع طول الحبل تكون الزاوية 2vsin θ θ 2F θ = m R⇒

∆ ) آتلة القطعة من الحبل التي طولها m: حيث = 2 R . θ ) ∆

M: و بما أن mρ = = ( kg/m )∆ فإن :2 2v∆ M2F θ = M = 2 θ v∆

2θ

. . . . . . . . . . : ومنه e

F Fv = = ( m /s )M ρ

F : ، قوة الشد في الحبلρ : الكتلة الخطية للحبل

سط غازي في و) صوتي ( تعطى سرعة انتشار اضطراب : سرعة االنتشار في الغازات*

p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : بالعبارة التالية

v v

c pv = . ( m/s )c ρ

( Pa )ضغط الغاز : P ، ( J/kg )الحرارة الكتلية عند ضغط ثابت : pc: حيث

vc : الحرارة الكتلية عند حجم ثابت( J/kg ) ، vρ : 3الكتلة الحجمية للغاز( kg/m )

v: و بما أن M.Pm mP .V = nRT = RT ρ = = M V RT⇒

M : الجزئية للغاز ،الموليةالكتلة R ثابت الغازات العام .

0: و بأخذ 0

0

P . VR = T ) عند الشروط النظامية (

.الكتلة الحجمية للغاز عند الشروط النظامية : 0ρ حيث 0 0( T = 173 k , P = 1 atm)

أنظر التمرين األول : تطبيق :مميزات انتشار االضطراب في وسط مرن - 2

:يلي ققنا في آيفية و آلية حدوث انتشار االضطراب في الوسط المادي المرن نالحظ ماإذا د . الوسط المادي ليس آنيًا فيانتشار االضطراب * .تكرر آل نقطة من الوسط حرآة المنبع حين يصلها االضطراب * غرق االضطراب تتأخر آل نقطة من الوسط المادي المرن في الحرآة عن المنبع بالزمن الذي يست*

xθليصل إليها بمقدار = v .

، وإنما تقوم آل نقطة منه ) مادة الوسط المرن ( شار االضطراب انتقال في المادة نتيرافق ا ال* .بحرآة اهتزازية حول وضع توازنها

290

تضيع إذا آان الوسط يرافق انتشار اضطراب انتقال الطاقة الميكانيكية التي نعطيها للمنبع حيث* . معزول غير المرونة و اليس تام

: مفهوم الموجة– 3عند إحداث اضطراب في وسط مرن ينتقل االضطراب دفعة واحدة على طول : الموجة المتقدمة –أ

.الحبل مشكال قطارًا يسمى قطار األمواج أو الموجة المتقدمة

ة ال تكون إن الدراسة الس : طول الموجة –ب اط الوسط في لحظة معين ة ابقة تبين أن نق حالآل مجموعة تهتز نقاطها ات لها واحدة ، إن مجموعة نقاط الوسط تكون على مجموعات هتزازاال

مسافة تسمى طول الموجة ) في نفس المجموعة ( ة ، و تفصل بين آل اثنتين منهما قتبصفة متواـ افة ب ذه المس ز له د λ و نرم ي دور واح زاز ف ا االهت ي يقطعه افة الت : أي T و هي المس

vλ = T . v = ( m )f

(s)دور االهتزاز : T ، (m/s) سرعة االنتشار v ، (Hz) تواتر االهتزاز f: حيث : في الشكل نالحظ

شكل مجموعة لوحدها و تهتز في توافق مثنى مثنى ت A ، E ، N ، O: النقط - تشكل مجموعة لوحدها و تهتز أيضا في توافق مع بعضها 1M ، 2M ، 3M النقط -

) األزواج - C , A ) ، ( E , C ) ، ( G , E ) ، ... مثال في تعاآس مع بعضها.

λ : ي إن المسافة بين نقطتين تهتزان في توافق مع بعضها ه-

λ: إن المسافة بين نقطتين تهتزان في تعاآس مع بعضها هي -2

x v اغط تض

v

ار ة االنتش جه

ع المنب

ي طراب العرض االض

واج ار األم قط

ة ة الموج جبه

A

B

C

D

E

F

G

H

N

M

K

L

O

T

λλ λ/2

1M 2M 3M

291

حالة حبل أو سطح سائل في لحظة معينة شكال مشابها للشكل الذي إن الشكل أعاله يمثل في - .يأخذه آل منها واقعيًا

D ، H ، L قمم التجاعيد و النقط B ، F ، M ، T في حالة حوض به ماء نسمى النقط - التجاويف

: ظواهر التراآب و االنعكاس واالنعراج في األمواج – 4 : تداخل األمواج /أ

نقطة أن تتداخل فيما بينهالعدة أمواج متالقية في يمكن دخال مع أن فا لما يحدث لجسمين إذ ال يمكن خال( يت

ت س الوق ان في نف س المك ل نف د ) بعضهما ليحت و ق يكون التداخل بناء أو هدامًا

عندما يحدث اضطرابًا في وسط ما : انعكاس األمواج/ ب

األخر لكن ما يحدث فإن هذا االضطراب يصل إلى الطرف لالضطراب هذا انعكاسه عندما يالقي حاجزاً

: ) حيودال( االنعراج -جـ نسمع في آثير من الحاالت الصوت القادم نحونا من

مصدر خلف جدار ، و هذا يدل على أن األمواج تلتف ج ألموا نالحظ أن انحرافًا يحصل، وحول المعيقات

الماء عندما يعترض مسارها معيق بفتحة ضيقة أ وحاجزًا مستقيما أو صغيراً

طراب ع اض منب

س طراب منعك اجز اض ح

ى و األعل نح

فل و األس نح( دة( انعكاس اضطراب على طول حبل ة مقي نهاي

ى و األعل نح

ى و األعل نح

( نهاية حرة( انعكاس اضطراب على طول حبل

292

@óuíà@Šb“näaóïÙïäbÙïà@

: التحليلية لألمواج الجيبية ة الدراس– 1 :معادلة حرآة نقطة من وسط االنتشار / أ :يهتز منبع بحرآة جيبية اهتزازية معادلتها : المعادلة الزمنية لحرآة منبع : أوال -

y ( t ) = a sin ( ω t + )ϕ

يهتز المنبع t = 0نفرض أنه عند النقطة انطالقًا من ( V > 0 )في االتجاه الموجب

y ( t: ، فيكون y = 0وضع التوازن ) = a sin ωt

: M ( x) لحرآة نقطة المعادلة الزمنية:ثانيًا

M نقطة تبعد عن المنبع بالمسافة x تهتز متأخرة عنه بالمقدار الزمني xθ = v

λ: وبما أن سرعة انتشار االضطراب v: حيث = Tv فإن ، xθ = . Tλ

: إذن ) وسط االنتشار مرن ( ستعيد نفس حرآة المنبع Mإن النقطة My ( t ) = y ( t - θ ) = a sin ω ( t - θ : و بالتالي (

Mx Ty ( t ) = a sin (ωt - ω )λ ومنه :M

2 π y ( t ) = a sin (ωt - x )λ

2πω: حيث = T ) نبض اهتزاز المنبع (

: معينة تمام التعيين فإن M إذا اعتبرنا نقطة من الحبل :ة زمن جيبية األ–ب

t e=

2π xα = - = Cλ و بالتالي :My ( t ) = a sin ( ωt + α )

Myتصبح ( t ) للزمن فقط دورها دالة جيبيةT و النقطة M تكرر حرآة المنبع آلما ازداد

t: ، أي Tالزمن بمقدار + T ، t + 2 T ، t + 3 T ، . . . ندما تصل الموجة إلى ع

تهزها نحو األعلى Mالنقطة بنفس الكيفية التي اهتزت

t = 0عند اللحظة بها المنبع

ار ة االنتش جه

xOM

0

y

y

t

tt0 t=θ

+a

+a

-a

-a

T

293

te: في لحظة : جيبية المسافات /جـ =t = C فإن النقطة M تأخذ معادلة من الشكل :

M2π xy ( t ) = a sin ( - + ω t)λ

tبأخذ e β = ω t = c فيكون :M2π xy ( t ) = a sin ( - + β )λ

Myتصبح ( t ) دالة جيبية للمسافة x

نفس M و تكرر النقطة λ و دورها فقط دادت المسافة بالمقدارحرآة المنبع آلما از

λ : x + λ ، x + 2λ ، x + 3λ ، . . . : فرق الصفحة بين نقطتين من وسط االنتشار/د

2 و1xا على الترتيبم من وسط االنتشار فاصلته2M و1Mالنقطتيننعتبر 1 2( x > x ) x لكل

؛ : منهما 1

1M

2π xy ( t ) = a sin ( ω t - )λ

22

M2π xy ( t ) = a sin ( ωt- )λ

1: فرق الصفحة بينهما 2∆ θ = θ - θ

2: حيث 2

2π xθ = - λ ، 11

2π xθ = - λ 2: ومنه 1 λx - x = . ∆θ2π

θ∆: في توافق في الصفحة إذا آان 2M و 1Mتكون النقطتان * = 2 k π K : 2: ن عدد صحيح ، إذ 1x - x = k . λ ) المسافة بين النقطتين (

θ∆: في تعاآس في الصفحة إذا آان2M و 1Mتكون النقطتان * = ( 2 k + 1 )π

K : 2: عدد صحيح ، إذن 1λx - x = ( 2 k + 1 ) 2

π∆θ ع في الصفحة إذا آانب في ترا2M و 1M تكون النقطتان * = ( 2 k + 1 ) 2

K : 2: عدد صحيح ، إذن 1λx - x = ( 2 k + 1 ) 4

لى توافقالح ترابع الحرآة على تعاآس الحرآة ع رآة على

M4 M3 M2 M1 M1 توافق ترابع توافق M2 ترابع توافقتعاآس M3 تعاآس توافق M4 توافق توافق

x + λ

y

0 x x + 2λ

λ

x

1x

y

02x

x

1M

2M

x

xxx 1θ1M

1M1M

2M

2M

1θ1 2θ =θ1θ 2θ2θ

y

0x

2 M

1 M3 M

4 M

2M

294

و التي ) في الحاالت الخاصة و المميزة فقط ( ز مختلف نقاط الوسط لمعرفة طبيعة اهتزا: نتيجة 2: ا بينها بالمسافة مفيتبتعد 1x - x فإننا نقوم بتحديد النسبة

1 2 2k ( عدد زوجي ) (1 )x - x = 2k + 1 ( ردي دد ف 2) ( ع )λ / 2 2 k + 1 ( ردي دد ف ف ع 3) ( نص )2

( 1 ) ، النقطتان تهتزان في توافق في الصفحة : ( 2 النقطتان تهتزان في تعاآس في الصفحة : (

( 3 نصف عدد فردي ، النقطتان تهتزان على تراجع في الصفحة : (

. . . . . . . . . . . أنظر التمرينين : تطبيقات * : تداخل األمواج الجيبية – 3

التداخل و تتولد عندما اثنين أو العديد من الحرآات ميزة جد مهمة للحرآات الموجية و هي ظاهرة .المهتزة تتواجد معًا في الفضاء و في نفس اللحظة

هي حرآات متساوية في الدور فقط و التي ال يشترط أن يكون :ة قتالحرآات الجيبية المتوا/ أ .لها سعات متساوية أو أطوار ابتدائية متساوية

: غيرة ترآيب الحرآات الصمبدأ /ب لمؤثرين يكسبها األولMحين تخضع نقطة مادية

و يكسبها الثاني بمفرده مطاال 1yبمفرده مطاال صغيرًا *

غيراً إ 2y ص س اللحظ ذا ، ف ي نف ة ف عت النقط ة خض

هو y مطاًال محصال للمؤثرين معًا ، تكتسب في آل لحظةحظة ، و لمطالين المرآبين في تلك الالمجموع الهندسي لل

1: نكتب 2y = y + y . . . . . ( 1 )

1: ميم ذلك مهما يكون عدد الحرآات الصغيرة عو يمكن ت* 2 ny = y + y . . . + y . . . (2)

: الشعاعي عبارة مجموع جبري ذا آانت اإلزاحة على نفس الحامل لكل من المؤثرين يكون المجموعإ*

( 3 1) التأثير في اتجاه واحد . . . ( ( 2y = y + y

( 4 1) التأثير في اتجاهين مختلفين . . . ( ( 2y = y - y

يهتزان على التوافق بنفس 2s و 1sبر منبعين نعت: متوافقتينترآيب حرآتين جيبيتين/ جـ

على الترتيب و يعطي تأثيرهما في نقطة من وسط االضطراب آل 2a و 1a و بسعات fالتواتر

1 : على حدى بالشكل 1 12 πy ( t ) = a sin ( ω t - r )λ

M

1M

2M

N

y1y

2y

1M 2M NM

NM1M 2M

295

2 2 22 πy ( t ) = a sin ( ω t - r )λ

. على الترتيب2s و 1sلكل من المنبعين ما بالنسبة موضع نقطة 2r و 1rحيث

: في نفس المنحنى فإننا نستطيع آتابة 2s و 1s من المنبعين Mى إذا أثر االضطراب الوارد إل

M 1 2y ( t ) = y ( t ) + y ( t ) = a sin ( ω t + φ )

: الصفحة االبتدائية للحرآة المحصلة و الذي يعطى بالعبارة φحيث

1 1 2 2

1 1 2 2

a sin φ + a sin φtgφ = . . . ( 5 )a cos φ + a cos φ

2: حيث 2

2 π rφ = - λ ، 11

2 π rφ = - λ

: و سعة االهتزاز المحصل بالشكل 2 21 2 1 2 2 1a = a + a + 2 a a cos ( φ - φ ) . . . ( 6 )

)إن العالقة 6 y ( t تظهر( 1 محصورة بين قيمتين ( 2a + a 1 أ و 2a - a و ذلك تبعًا لقيمة

2 1cos ( φ - φ 2: أي ( 1 2 1 1 22πcos(φ - φ ) = 1 (φ - φ ) = ( r - r ) = 2 k πλ⇒

2 1 2 1 1 22πcos(φ - φ ) = -1 (φ - φ ) = ( r - r ) = (2 k+1) πλ⇒

2يمثل هنا 1( φ - φ . M الصادرين عن المنبعين عند النقطة ناالضطرابيي فرق الصفحة بين (

1:نسمي تداخل بناء إذا آان * 2a = a + a ) 1: أي ) تشكل بطون 22π ( r - r ) = 2 k πλ

1:هدام إذا آان نسمي تداخل* 2a = a + a ) 1:أي ) تشكل عقد 22π ( r - r ) = ( 2 k +1)πλ

" تداخل بناء aازدياد السعة " " ، تدخل هدام aتناقص السعة "

0: إذا آان المنبعان لهما نفس السعة :مالحظة 1 2a = a = a فإن :

1 21 2

φ + φ πφ = = - ( r + r )2 λ ) الصفحة االبتدائية (

2 10 0 2 1

φ - φ πa = 2 a cos = 2 a cos ( r - r )2 λ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

)سعة االهتزاز (

1s

2s

1r

2r

M

x

1a

2aφ

2φ1φ1a + 2a

x

2a1a

1a + 2a

1φ 2φφ

296

: تطبيقات /د

مزودة ة تنتهي بفرشا Hz 40رنانة آهربائية تواترها : سائل التداخل على سطح /1 –د ، 1o تنتشر األمواج المتولدة عن المنبعين ، شاقوليًا على سطح سائلهتزان ت1o ، 2oبإبرتين

2o 0,8الحر للسائل بسرعة على السطح m /s .

: نفرض أن هذه األمواج تتالشى مجرد و صولها إلى حواف الحوض الذي يحتوي السائل ، و ليكن

0a = 3 mm ، 1 2 = o o = 8 cm.

1 حدد على القطعة المستقيمة - 1 2[o o و ) تداخل بناء ( مي ظ النقط ذات االهتزاز األع مواقع[ ما هي سعة اهتزازها ؟

) .تداخل هدام ( نفس السؤال بالنسبة للنقط الساآنة - 2 . ضع رسمًا للشكل الذي يأخذه سطح السائل – 3

:التحليل 1مي على طول القطعة المستقيمة ظ تحديد مواقع النقط ذات االهتزاز األع– 1 2[o o ].

: مي يجب أن يكون ظذات اهتزاز أع) وسط التداخل ( حتى تكون نقطة من سطح السائل

r 2 1δ = r - r = k λ فرق المسير بين الموجتين الواردتين إلى النقطة rs: حيث ( 1 ) . . .

2: و بما أ ن .المدروسة 1r + r : فإن ( 2 ) . . . =

2 1 2 1( r - r ) + ( r + r )= + k λ

2: ومنه λr = + k 2 20: حيث 2 r ≤ ≤

v :تطبيق عددي 80λ = = = 2 cmf 1r: إذن 40 = 4 + k , k ∈ Z

r 20: و بالتالي 0 4 + k 8 cm≤ ≤ ⇒ ≤ ≥k 4 4-: ومنه ≥ ≤

43 2 1 0 - 1 - 2 - 3 - 4 k

87 6 5 4 3 2 1 0 2r ( cm )

0a = 2 . a: و هذه النقط تهتز بسعة - = 2 3 = 6 mm×

1على طول القطعة المستقيمة ) ال تتحرك ( تحديد مواقع النقط الساآنة – 2 2[o o حتى تكون : [

) يصلها تداخل هدام ( النقطة من وسط التداخل ساآنة

2: إذا آان 12π ( r - r ) = ( 2 k' + 1 )πλ 2: ومنه 1

λr - r = ( 2 k' + 1) . . . (3)2

2: وبما أن 1r + r 2: إذن ( 4 ) . . . =λ2r = + ( 2 k' + 1) 2

2: ومنه λr = + ( 2 k' + 1)2 r 20 : وحيث أن 4 ≤ ≤

M

2r1o

1r2r

297

2: فإن 8 2r = + ( 2 k' + 1) = 4,5 + k'2 ≥k' 3,5 4,5 -: ومنه 4 ≤

≥ k' 3 , k 4 -: و بالتالي ≤ ∈Z a = 0: و هذه النقاط ذات سعة اهتزاز معدومة * الشكل الذي يأخذه سطح الماء – 3 0a: األعظمي االهتزاز يشمل النقاط ذات دب الخط المستمر يعبر عن ه- = 2 a

a: يشمل النقاط الساآنة ذات السعة دب الخط المتقطع يعبر عن ه- = 0 : التداخل الميكانيكي على طول حبل / 2 –د

مشدود إلى نقطة cm 90 = حبل طوله A ه األخر إلى ثابتة و موصولة من طرف

ز بتواتر ة تهت إذا آانت Hz 50فرع رنان m/s 30سرعة االنتشار على الحبل هي

.ضع رسمًا لشكل الحبل v( 0 ) > 0 ، y: ة و بداية الحرآة أي زمنباختيار مناسب لمبدأ األ* :التحليل (0)= 0 ، t = 0

0y: تكون من الشكل Oفإن المعادلة الزمنية لحرآة المنبع ( t ) = a sin ω

واردة و تسمى موجة O منبعان الهتزاز الموجه الصادرة من O ، Aتلعب النقطتان * مع مالحظة أن الموجة الواردة و المنعكسة تجعل . تسمى موجة منعكسةAالصادرة عن

': أي: دومًا ساآنة Aالنقطة "A Ay (t) + y (t) = 0 t∀

'A 0y ( t ) = y ( t ) = a sin ωt فإن :''

A 0y ( t ) = - y ( t ) = - a sin ωt

تهتز متقدمة M فإن النقطة O عن النقطة xسافة م تبعد عن الحبل بMنقطةالباعتبار * : بالموجة الواردة و متأخرة عنها بالموجة المنعكسة إذن Aعن

k=0

1r2r

1o2o

xM

oA

298

'M A 0

2 πy ( t ) = y ( t + ∆t ) = a sin ( ω t + x )λ

''M A 0

2 πy ( t ) = y ( t - ∆t ) = - a sin ( ω t - x )λ

: ظة تأثيرهما في نفس اللحMو تهتز النقطة

' ''M M M 0 0

2 π 2 πy ( t ) = y ( t ) + y ( t ) = a sin ( ω t + x ) + a sin ( ωt - x + π )λ λ : و حسب إنشاء فرنيل نالحظ أن

0: سعة االهتزاز لها العبارة 2 π xa = a sin λ

πφ: و الصفحة االبتدائية لها العبارة = 2

فرق الصفحة بين الموجة يكون عندها) تداخل بناء ( األعظمي االهتزازإن النقط من الحبل ذات * : الواردة و المنعكسة بالشكل

2 π 2 π∆ θ = ( x ) - ( - x + π ) = 2 k . πλ λ 4: إذن π x = ( 2 k + 1 ) πλ

λx = ( 2 k + 1 ): و بالتالي ; k 4 ) مواقع البطون ( ∋

المنعكسة وجة الواردة و ميكون عندها فرق الصفحة بين ال) تداخل هدام ( أما النقاط الساآنة * π 2: بالشكل 2 π∆ θ = ( x ) - ( - x + π ) = ( 2 k + 1 )πλ λ

π 4: إذن x = 2 ( π + 1 ) = 2 k' πλ و بالتالي :λx = k' ; k' 2 ) مواقع العقد ( ∋

v: طول الموجة :تطبيق عددي 30λ = = = 0,6 mf λ: إذن 50 = 60 cm

λx = k' = 30k' ( cm )2: لدينا : على طول الحبل ) قد الع( مواقع النقط الساآنة -

' ' ' '3 3 4 4x ( k = 2 ) = 60 cm ; x ( k = 3 ) = 90 cm ؛ ' '

2 2x ( k = 1 ) = 30 cm ، ' '1 1x ( k = 0 ) = 0

' يقابل الفاصلة cm 90 = الحظ أن طول الحبل 4x

: على طول الحبل ) البطون ( األعظمي هتزازاالمواقع النقط ذات *

x = λ( k + 1 2 ): لدينا = ( 2 k + 1 ) 15 ( cm )4

2 2 3 3x ( k = 1 ) = 45 cm ; x ( k = 2 ) = 75 cm 1 ؛ 1x ( k = 0 ) = 15 cm

x تجعل K = 3إن القيمة ) مرفوض ( <

2 ππ- xλ2 π- xλ

a

0a0a

o2k'

1k2k3k

1k'3k'4k'

299

التماريـــــــن : األولالتمرين .

آما في الشكل N 10 بثقل شدته g 15 و آتلته cm 60ربط خيط طوله جد مقدار سرعة االنتشار في الخيط * :الحل

: حساب االنتشار على طول الخيط

3-: لدينا 10Fv = = 0,6 = 20 m /s ρ 15 . 10

×

: التمرين الثاني . و الضغط °c 55 - أحسب سرعة الصوت في منطقة مرتفعة في الجو حيث درجة الحرارة

8 cm Hg

p: بأخذ

v

Cγ = = 1,4C ، 3

0ρ = 1,3 kg/ m

:الحل

0: لدينا : حساب سرعة الصوت

0 0

Pv = γ . . Tρ T

5 :بيق عددي تط 30 a 0T = - 55 c° + 273 = 218° k ; P = 1,013 . 10 P ; ρ = 1,3 kg/m

51,013 10v = 1,4 218 295 m /s1 ,3 273

×× × ≅×

: التمرين الثالث . m/s 1,2 في وسط أحادي البعد بسرعة f = 20 Hzتنتشر موجة متقدمة جيبية تواترها

.نقطتين على توافق في الصفيحة / أ : ين أحسب المسافة ب– 1 .نقطتين على تعاآس في الصفحة/ ب . ع في الصفحةبنقطتين على ترا/ جـ

cm 2 أحسب فرق الصفحة بين نقطتين البعد بينهما – 2

:الحل

1,2vλ: حدد في البداية طول موجة االنتشار لدينا ن على األسئلة اإلجابة حتى نستطيع = = = 6 cmf 20

300

: من أجل نقطتين متتاليتين تهتزان في توافق في الصفحة / أ – 12: لدينا 1x - x = λ ; K 2: إذن 1 = 1x - x = 6 cm

:من أجل نقطتين متتاليتين تهتزان في تعاآس في الصفحة / ب

2: لدينا 1λx - x = ; K 2: إذن 02 = 1

6x - x = = 3 cm2

: ع في الصفحة بمن أجل نقطتين متتاليتين تهتزان على ترا/ جـ

2: لدينا 1λx - x = ; K 2: إذن 04 = 1

6x - x = = 1,5 cm4

: cm 2 حساب فرق الصفحة بين نقطتين ، المسافة بينهما -2

2: لدينا 1 2 12π∆θ = θ - θ = ( x - x )λ

2π: إذن π∆θ = 2 = 2 rad6 3×

: التمرين الرابع .تولد فيه أمواجاً جيبية عرضية تنشر بسرعة ف من سطح سائل ساآن Oتضرب نهاية إبرة مهتزة نقطة

20 cm/s يالحظ أنه في نقطة M25 بمسافة تبعد cm تقوم بحرآة ذهاب و إياب شاقولية بين . s 0,5دة قدرها مه آاملة في ز، بحيث تقطع هذه المسافة خالل هmm 3موضعين البعد بينهما

؟ O و آيف تهتز هذه النقطة بالنسبة للمنبع ؟هو دور هذه الحرآة ما / 1y ( t: علمًا أن المنبع يهتز بحرآة معادلتها Mحرآة اهتزاز هذه النقطةمعادلة أوجد / 2 ) = sin ωt

1tما هو عدد األمواج المتشكلة عند اللحظة / 3 = 2 s ؟

. 1t و جهة حرآتها عند اللحظة Mعين مطال النقطة / 4

M و النقطة O و الواقعة بين المنبعM ما هو عدد نقاط السائل التي تهتز على توافق مع النقطة/ 5

:الحل : بالنسبة للمنبع Mحساب دور االهتزاز ، و تحديد آيفية اهتزاز النقطة / 1 تتحرك خالل حرآة آاملة ذهابًا و Mإن النقطة: حساب الدور : وال أ

التي تمثل دور t = 0,5 s∆إيابًا على طول مسارها الشاقولي خالل مدةTاالهتزاز = ∆t = 0,5 s

2: دينا ل: طبيعة اهتزاز النقطة بالنسبة للمنبع : ثانيًا 1x - x = γ( λ / 2 )

λ: و بأخذ = T . v ) ومنه ) طول الموجة :λ = 0,5 20 = 10 cm× 1x: و باعتبار 2x، ) فاصلة المبدأ ( 0 = = x ) فاصلة النقطةM (

2θ1θ

∆θ = 120°

x

1M2M

x'

ω

+1,5mm

-1,5mm

O

M(t)

301

25x: فإن = = 5λ / 2 10 / xإن النسبة 2λ / M تمثل عددًا فرديًا هذا يعني أن النقطة 2

.تهتز على تعاآس مع المنبع x بفارق زمني O تهتز متأخرة عن المنبع Mالنقطة : Mإيجاد معادلة اهتزاز النقطة / 2

v

M: إذن ستكون معادلتها الزمنية من الشكل 2π xy ( t ) = a sin (ωt - )λ

2πω: حيث = = 4 π rad/sT ؛ a = 1,5 mm 5 ؛x = λ 2

my. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : إذن ( t ) = 1,5 sin ( 4 πt - 5π ) ( mm)

1tعدد األمواج المتشكلة في اللحظة / 3 = 2 s

1: تكون جبهة الموجة على بعد 1tعند اللحظة 1x = t . v = 40 cm من المنبع ، لذلك

1x: و المنبع هو 1x بين النقطة التي فاصلتها λسيكون عدد األمواج 40 = = 4λ 10

و نحو األعلى حسب حرآة المنبع في البداية 1Mلرسم قطار األمواج نبدأ من النقطة : مالحظة

1xثم العدد λاالضطراب منبع ى نصل إلى من األمواج حت.

: 1t و جهة حرآتها عند اللحظة Mتحديد وضع النقطة / 4

My: لدينا : تحديد الموضع : أوال ( t ) = 1,5 sin (4 πt - 5 π )

1tو عند اللحظة = 2 s يكون :My ( t=2s ) = 1,5 sin ( 3 π ) = 0

تعين جهة الحرآة من خالل تحديد القيمة الجبرية للسرعة : جهة الحرآة : ثانيًا

M: لدينا dy(t)v (t) = = 6 cos(4πt - 5 π )dt

1t: و عند اللحظة = 2 s يكون :M 1v ( t = 2 s ) = 6 cos (3 π ) = 6 mm/s > 0

) نحو األعلى ( في اتجاه المطاالت الموجبة Mإذن تتحرك النقطة OM] داخل المجالMتحديد عدد النقاط التي تهتز في توافق مع النقطة / 5 ] :

و المحصورة M حتى نستطيع تحديد عدد النقاط التي تهتز في توافق في الصفحة مع النقطة : يجب أن يتحقق الشرطان التاليان Oلمنبع ا و Mبين النقطة

λ λ λ λ

1M

ة الموجة جبه

O

302

n: فاصلة النقط تحقق الشرط * M0 < x < x

M: فرق الصفحة * n2π∆θ = ( x - x ) = 2 K πλ

n: إذن Mx = x - Kλ ومنه :M0 < x < 25 cm 10 - 25 > 0: وبالتالي.K < 25

K > 0: و بتبسيط العبارة نجد K = {1 ; 2 }: وبالتالي 2,5 >

: و في هذه الحالة تكون فواصل هذه النقط هي K = 1 x ( K = 1 ) = 25 - 10 . 1 = 15 cm ⇒

K = 2 x ( K = 2 ) = 25 - 10 . 2 = 5 cm ⇒

: التمرين الخامس . sy أقصى ارتفاع لها s لحبل طويل مشدود أفقيًا ، تبلغ النقطة sننقل بشكل عمودي الطرف

tفي اللحظة = 30 m sتها بداللة الزمن معطاة في الجدول أدناه ، و تغيرا :

40 30 20 10 0 t ( ms )

0 1,5 1 0,5 0 sy ( cm )

تبلغها ألول مرة cm 0,75 هو s من النقطة d = 2 m تقع على بعد Mارتفاع نقطة

1t = 825 m s

. بداللة الزمن s ارتفاع النقطة مثل بيانيًا تغيرات– 1 . v أحسب قيمة سرعة الموجة المتقدمة – 2tمن أجل ( ما هو طول الجزء من الحبل المتأثر باإلشارة – 3 > 40 m s ( ؟ اإلشارة ؟M في أي لحظة تستقبل النقطة – 4 ؟ و التي تبلغ ارتفاعها األعظمي1tة من الحبل السابق ، في اللحظ Pما هو موضع النقطة – 5

. مثل شكل الجزء من الحبل المتأثر باإلشارة في هذه اللحظة – 6

:الحل بداللة الزمن باختيار سلم رسم مناسب s التمثيل البياني لتغيرات ارتفاع النقطة – 1

k=1k=2

1v (t )

5cm

15cm

2n 1nM(25cm)

x

y-1,5mm

+1,5mm

303

1 cm 10 ms1 cm 1 cm

⎯⎯→⎯⎯→

حظة التي تالمس فيه الموجة لالبين إن الفارق الزمني : لالضطراب v السرعة حساب قيمة– 2 إذن سيكون التأخر الزمني لالهتزاز ms 15: هو cm 0,75 ووصلها إلى االرتفاع Mالنقطة

M∆ t: هو Mبالنسبة للنقطة = 0,825 - 0,015 = 0,81 s

: إذن سرعة االنتشار هي M

SM 2v = = 2,47 m/s∆ t 0,81

v = : لدينا t > 40 ms طول الجزء من الحبل المتأثر باالضطراب عندما يكون – 3 . t ×m 0,1 0,0988 = 0,04 2,47 = : إذن

s 0,82 بتأخر زمني عند بدايته مقداره ) االضطراب ( اإلشارة M تستقبل النقطة – 4 : عن المنبع1t ذات االرتفاع األعظمي عند اللحظة P تحديد موضع النقطة– 5

و بلوغها االرتفاع Pإلى موضع النقطة ) اإلشارة ( إن الفارق الزمني بين لحظة وصول الموجة : إذن سيصل إليها االضطراب متأخر بمقدار ms 30األعظمي هو

P∆ t = 0,825 - 0,030 = 0,795 s

SP: ومنه ×pSP = v ∆t: إذن = 2,47 - 0,795 = 1,963 s

1t تمثيل جزء الحبل المهتز عند اللحظة – 6

: التمرين السادس . r = 60 cmتسقط آرية صغيرة في إناء أسطواني مملوء بالماء ، نصف قطره

نهمل االحتكاك الناتج عن مقاومة / طح الماء س من cm 80تبدأ الكرية حرآتها على ارتفاع .نأخذ آمبدأ لألزمنة لحظة مالمسة الكرية للماء ، الهواء

المستوي المرجعي الخاص بالطاقة الكامنة هو سطح الماء ، و نأخذ نصف قطر الكرية هو R = 5,00 mm 3: حجمية هي و آتلتها ال 3ρ = 2 . 10 kg/m يعطى :

g = 9,8 N/kg 34: ، حجم الكريةV = π R3

. أحسب سرعة الكرية لحظة مالمستها الماء – 1

10 20 30 40 50

10 ms

1cm

sy (cm)

t( ms)

ار ة االنتش جه

1,963m2mSx(m)

M

P1t = 0,825s

304

قة تتحول ؟؟ إلى أي شكل من أشكال الطانقصد لحظة التصادم ، تفقد الكرية نصف طاقتها ؛ أي طاقة – 2 ماذا تشاهد على سطح السائل ؟ آيف يتم االنتشار ؟ – 3 سطح الماء ، استنتج سرعة انتشار الموجات على t = 0,1 s اإلناء في اللحظة حافةتصل الموجة إلى – 4 : آيف ستتغير هذه السرعة – 5

؟لى من األع cm 50 إذا سقطت الكرية من على ارتفاع –أ ؟) آتلة حجمية أقل ( إذا استبدلنا الماء بالزيت –ب

من نقطة التصادم ، في أي لحظة تبدأ بالحرآة ؟ أي طاقة cm 1 سدادة موجودة على بعد – 6 مي ؟ ظتستطيع استرجاعها بشكل أع

:الحل حساب سرعة الكرية لحظة مالمستها سطح الماء - 1

34m: حساب آتلة الكرية : أوال = ρ V = π R . ρ3× 34: حيثV = π R3

3- :تطبيق عددي 3 3 -34m = 3,14 . ( 5 . 10 ) 2 . 10 = 1,05 . 10 kg3 ×

mإذن ستكون آتلة الكرية = 1,05 g

حساب السرعة : ثانيًا ء بتطبيق مبدأ انحفاط الطاقة و بأخذ مبدأ قياس الطاقة الكامنة الثقالية مستوى سطح الما

PPE : ، وبإهمال قوى مقاومة الهواء نجد 0 = ( 0 )

CA PPA CB PPBE + E = E + E 2 2

A A B B1 1 m V + mg . h = m V + mg . h2 2

Bh: و بأخذ = 0 ، BV = V ؛ Ah = h = 80 cm ، AV = 0

21mg h = m: فإن V2 إذن :V = 2 gh

v :تطبيق عددي = 2 . 9,8 . 0,8 = 3,96 m/s

و ) و هي التي نقصد بها ( عندما تصطدم الكرية بسطح السائل تفقد نصف طاقتها الحرآية – 2 .التي يمتصها السائل بشكل حرارة

حرآية يحول إلى طاقة تجعل سطح السائل يضطرب و الذي إن النصف الثاني من الطاقة ال– 3 .تظهر عليه أمواج عرضية تنتشر مشكلة دوائر متمرآزة حول نقطة االصطدام

اإلناء تكون قد حافةعندما تصل األمواج على : حساب سرعة االنتشار على سطح السائل – 4x∆قطعت مسافة = r = 60 cm خالل مدة مقدارها ∆t = 0,1 s انطالقا من لحظة االصطدام

= = xv∆0,6: إذن = 6 m/s∆t 0,1

305

: Ah < hسرعة االنتشار عندما تسقط الكرية من ارتفاع / أ – 5

بل الصدم صغيرة أقل من السابق فإن الطاقة الحرآية قh = 50 cmإذا سقطت الكرية من ارتفاع لكن سرعة االنتشار ال تتغير و تبقى ) الضائعة ( و الطاقة المحولة إلى الماء تكون أيضًا صغيرة

. هي عليه على ماو إن سرعة االنتشار تتناقص بتناقص / إن عطالة وسط تقاس بواسطة آتلة واحدة الحجوم / ب

زداد بزيادة تماسك الوسط ، وبما أن و على خالف ذلك فهي ت) الكتلة الحجمية ( عطالة الوسط إذا ستكون سرعة ) ظاهريًا ( الماء و الزيت وسطي شبه متماثلين من حيث تماسك الجزئيات

.االنتشار في الزيت ضعيفة زاز من نقطة االصطدام في cm 1بدأ النقطة الموجودة على بعد ت - 6 متأخرة بفارق زمني االهت

-2 -310∆x∆t = = = 1,66 . 10 sv الطاقة الحرآية بشكل نصف و يستطيع السداد استرجاع 6

.) غير ضائعة ( أعظمي

: السابعالتمرين . أمواج ، ويسمح زر للضبط بتغير برنانةعلى سطح سائل ) جيبية ( تتشكل الموجات مستقيمة الخطوط

.مواج نستعمل إضاءة متقطعة تسمح باستقرار الصورة تواتر هذه األمواج ، ألجل قياس طول األ أهداب مضيئة متتابعة ، تكبير 10التي تفصل ( Dمن أجل آل توتر نقيس على الشاشة المسافة

γالصورة على الشاشة هو = 1,79 λ و D للموجات على سطح الماء بداللة λ عبارة طول الموجة الحقيقي أعط – 1 : أآمل مأل الجدول التالي - 2

36 33 30 27 23 20 17 14 11 f ( Hz ) 90 94 98 105 118 132 154 184 230 D ( mm ) V ( m/s ) ر، هل يسمح المنحنى المرسوم بالقول بأن أنشئ التمثيل البياني للسرعة بداللة التوات– 3

.الموجات على سطح الماء تخضع للتبدد

:الحل λ و D الحقيقي بداللة λ عبارة طول الموجة – 1

λشاشة كبير المأخوذ على الت أهداب مضيئة غير حقيقية ، فإذا أخذنا ال10 بين D المسافة

Dγ: بالعالقة = 10λنجد طول الموجة الحقيقي : Dλ = 10 γ

vبما أنه : إآمال الجدول – 2 = λ . f فإن :D . fv = λ f = = 0,0559 D .f10 . λ

306

36 3 30 27 23 20 17 14 11 f ( hz ) 0,0900,0940,0980,1050,1180,1320,1540,1840,230D ( mm )0,1810,1730,1640,15160,15150,1470,1460,1440,141V ( m/s )0,00500,00520,00540,00580,00660,00730,00840,0100,0128v/f

: التمثيل البياني )EXCELباستعمال المجدول (

v النسبة نالحظ أنf غير ثابتة هذا يعني أن

سرعة االنتشار تتعلق بتواتر االضطراب مما .وسط مبدد ) الماء ( يعني أن الوسط

: الثامنالتمرين .و f مثبت برنانة تهتز شاقوليًا بتواتر O طرفيه أفقيًا ، أحدcm 2 = يشد حبل مرن طوله

فتنتشر على طول الحبل أمواج عرضية متقدمة ، تعطى المعادلة الزمنية لمنبع aبسعة 0y بالعالقة Oاالهتزاز ( t ) = a sin ( 100 π t + π )

. يوجد انعكاس و ال تخامد لألمواج نفرض أنه ال1tالشكل بجانبه يمثل صورة للحبل في اللحظة

:عين اعتمادًا على منحنى الشكل ما يلي – 1 . a سعة االهتزاز –أ

. λطول الموجة / ب . vسرعة االنتشار / جـ . التي أخذت فيها صورة الحبل 1tاللحظة / د

بفاصل O متأخرًا عن المنبع االهتزاز من الحبل يصلها M أآتب معادلة اهتزاز نقطة – 2t = 5 . 10∆3-زمني s آيف تهتز M بالنسبة للمنبع O ؟

:الحل : االعتماد على البيان ب- 1 a : االهتزازتعيين سعة / أ = 1 4 = 4 mm×

λ: طول الموجة / ب = 4 0,2 = 0,8 m× 0y: بما أن : سرعة االنتشار / جـ ( t ) = a sin ( 100 π t + π )

2πω: فإن = = 100 π rad/sT 2: ومنهT = = 0,02 s100

0255075

100125150175200

0 5 10 15 20 25 30 35 40

v (m/s)

f(Hz)

307

0,8λv: لتالي و با = = = 40 m/sT 0,02

قد قطع مسافة ) االضطراب ( التي أخذت فيها صورة الحبل من البيان جبهة الموجة 1tاللحظة / د

1x = 6 0,2 = 1,2 m× و بالتالي تكون لحظة أو مدة هذا االنتشار هي :

11

x 1,2t = = = 0,03 sv 40

المشار إليها متأخرة عن المنبع Mالنقطة : من الحبل Mتابة معادلة اهتزاز نقطة آ– 2t = 5 . 10∆3-بفارق زمني قدره s و بما أن ، M تهتز بنفس الكيفية أي بنفس السعة و الدور

M :فإن 0y ( t ) = y ( t - ∆ t ) و بالتالي :

[ ]M1y ( t ) = 4 sin 100 π( t - ∆t ) + π = 4 sin [100 πt - π + π ]2

M: و في األخير πy ( t ) = 4 sin ( 100 πt + ) ( mm )2

: االهتزاز من خالل معادلتي M ، النقطة Oعند مقارنة الصفحة االبتدائية لكل من المنبع *

Mπy ( t ) = 4 sin ( 100 πt + ) 2 ، Oy ( t ) = 4 sin ( 100 πt + π )

O: يكون Mπ π∆ θ = θ - θ = π - = rad2 2

: التاسعالتمرين . بحرآة جيبية و مغذى؛ ) امتوتر ( ا مشدود حبال Oنثبت في نهاية شفرة حديدية و في النقطة

في ، cm/s 40سرعة بحبل ال على طول mm 1سعة بهتزازات اال تنتشر 100Hzتواترها .النهاية األخرى له حيث جهزنا مقاوما ضد االنعكاس

λ و طول الموجة T أحسب الدور – 1 ، حيث يتم االهتزاز بأخذ مبدأ األزمنة لحظة بداية O أآتب العبارة الزمنية لحرآة النقطة -2

.موجب الصاعد االنتقال في االتجاه ال . O من cm 3,3 تقع على بعد M استنتج العبارة الزمنية لحرآة نقطة – 31t مثل بيانياً شكل الحبل عند اللحظتين – 4 = 0,01 s 2 وt = 0,0125 s.

:الحل

1T: لدينا : Tحساب الدور : أوال – 1 = f 1: إذنT = = 0,01 s100

λ: نعلم أن : حساب طول الموجة : ثانيًا = v T و بالتالي :λ = 40 0,01 = 0,4 cm× y ( t: نعلم أن : آتابة المعادلة الزمنية الجيبية الهتزاز المنبع – 2 ) = a sin ( ω t + )ϕ

v: و بأخذ الشروط االبتدائية لالهتزاز بعين االعتبار نجد ( O ) > 0 ، y ( O ) = 0 ، t = 0

308

y(0) = a sin φ:إذن dv ( t ) = y ( t ) = a ω cos ( ω t +φ: و بما أن ( 1 ) . . . 0 = )dt

v (0) = a ω: فإن cosφ 0...( 2 )من <( 1 ) و ( 2 φ من المناسب أن يكون ( و 0 =

y ( t: بالتالي ) = sin ( 200πt )( mm )

: M آتابة العبارة الزمنية لالهتزاز نقطة – 3 ستهتز متأخرة عن ها فإنx = 3,3 cm نقطة من وسط االنتشار تبعد عن المنبع مسافة Mبما أن

πθ 2 بفارق في الصفحة Oالمنبع = - xλ

M: إذن 2 πy ( t ) = a sin ( ω t - x )λ و بأخذ :x = 8,25 sλ ،

My. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . : فإن ( t ) = sin (200 πt - 16,5 π )( mm )

النقطة مصدر اإن أي نقطة من الحبل ما عد : 2t و 1t تمثيل شكل الحبل عند اللحظتين – 4

M: تهتز متأخرة عن المنبع بمعادلة من الشكل االهتزاز2 πy ( t ) = a sin ( ω t - x )λ

1t: عند اللحظة * = 0,01 s : تكون الجيبية المكانية معبر عنها بالشكل :

M 12 πy ( t ) = a sin ( ωt - x ) = sin ( π - 5 π x )λ

My: أي ( t ) = sin ( 5 π x )( m m )

1 و بما أن 1x = vt = 40 0,01 = 0,4 cm×

1xأي أن = λ

2tعند اللحظة * = 0,0125 s : تكون الجيبية المكانية في هذه الحالة :

M πy ( t ) = sin ( - 5 π x )( mm)λ

2: و في نفس الوقت 2x = vt = 0,5 cm

2x: أي أن = 1,25 λ

: العاشـــرالتمرين . سرعة انتشار الموجات v ، نسمي Tل اهتزازات جيبية دورها تحدث في الحب) هزازة ( رنانة

بداللة M لنقطة My، ونأخذ االرتفاع ) نهمل تأثير الثقالة ( الميكانيكية على طول الحبل

M: بالعالقة xفاصلتها 2 πt 2 π xy ( x , t ) = 0,04 sin ( - )0 ,01 0 ,02 .

x(cm)

M 1y (t )

0

λ

x(cm)

M 2y (t )

0

λ

λ/4

309

) بالثانية t و الزمن ( m ) بالمتر Myيقدر * s ).

ما هو الدور الزمني للموجة المنتشرة على طول الحبل ؟ و ما هو طولها الموجي ؟ – 1 أم عرضية ؟ ما هي سرعة انتشار الموجة على طول الحبل ؟ هل هي موجة طولية – 2 ما هي سعة اهتزاز الحبل ؟ – 3 على t = 0 ؟ إذا تولدت اهتزازات عند اللحظة Mة ط على أي مسافة من المنبع تقع النق– 4

؟ آيف نسمي هذه المدة Mات النقطة االهتزاز تبلغ هذه tمستوى المنبع ؛ ففي أي لحظة ؟الزمنية

. بداللة الزمن sy نهاية الرنانة ، عبر عن s لتكن – 5

:الحل : نتشار االضطراب و طول موجة بمقارنة المعادلة ال استنتاج الدور الزمني – 1

M2 πt 2 π xy ( x , t ) = 0,04 sin ( - ) . . . . . . ( 1 )0,01 0 ,02

M: لعامة لنقطة تهتز من الوسط بالمعادلة ا2 πt 2 π xy ( x , t ) = a sin ( - ) T λ

λ: يمكن أن نجد = 0,02 m ؛ T = 0,01 s

λv: نعلم أن : حساب سرعة االنتشار – 2 = T 0: إذن ,02v = 2 m/s0 ,01=

ن فيه جهة االنتشار عمودي على جهة االضطراب هذا النوع من االضطراب عرضي تكو)بنفس االعتبار الوارد في السؤال: سعة اهتزاز الحبل – 3 1 يمكن استنتاج سعة االهتزاز من (

)مطابقة المعادلة 1 ) و ( 2 a = 0,04 m : أن نجد ( عن منبع االضطراب ، M يحدد موضع النقطة xإن المقدار : M موضع النقطة – 4

OM = x: أي : حيث t∆ بفارق زمني O متأخرًا عن بداية اهتزاز النقطة Mو يبلغ هذا االهتزاز النقطة * x∆t = v حيث :λv = T

s إيجاد المعادلة الزمنية لالهتزاز المنبع – 5: أي t∆ بالمقدار Mمما سبق يمكن اعتبار المنبع متقدم في اهتزازه على النقطة

s My (t ) = y ( t + ∆t s: و بالتالي ( 2 πy (t ) = a sin [ω ( t + ∆t ) - x ]λ

πx 2: و بما أن T∆t = = x 2 π ∆t = xTv λ λ⇒ 2: أي π 2 π. ∆t - x = 0T λ

s: إذن 2 π 2 πy ( t ) = a sin ( ωt - ω ∆t - x) = a sin ωt = a sin t λ T

= 0,04 sin 200 πt (m)

310

: الحادي عشرالتمرين . ، و ضعية المكبس تتطور m 1يولد مكبس بانضغاطه و تمدده أمواجا في نهاية نابض طوله

Tبشكل اهتزازات جيبية ، دورها = 0,1 s 1 و سعة cm تنتشر هذه الموجات على طول .m/s 2النابض بسرعة

خالل آم من الزمن حتى تبدأ الحلقة الواقعة في منتصف النابض باالهتزاز ؟ ما هي سعة – 1 اهتزاز هذه الحلقة ؟

محددة في t لحظة ل مثل في بيان تطور موضع الحلقة المرآزية و آذا المكبس من أجل آ– 20s , 0,45 sالمجال ⎡ ⎤⎣ ية للحلقة المرآزية و المكبس ، هل االهتزازالحالة ، قارن بين ⎦

الموجة طولية أو عرضية ؟ من أجل أي قيمة تكون ؟ن على توافقا ما هي أدنى مسافة تفصل بين حلقتين متتاليتين تهتز– 3

؟ cm 5هذه المسافة

:الحل لواقعة في منتصف النابض بالهتزاز تحديد المدة الزمنية التي تبدأ منها الحلقة ا– 1

SS'SM: لدينا = = 0,5 m2 إذن :SMSM = v ∆t ∆t = v× ⇒

t∆0,5 :تطبيق عددي = = 0,25 s2

فإن سعة اهتزاز هذه الحلقة و آامل حلقات ) الجملة معزولة ( إذا لم يكن هناك ضياع في الطاقة a = 1 cmالنابض

حتى نستطيع رسم بيان آل من النقطتين : كبس م تمثيل بيان تطور موضع الحلقة المرآزية و ال– 2M و S أي :My ( t ) ، sy (t )

λنأخذ = v . T = 2 . 0,1 = 0,2 m أي أن :SM = 2,5 λ

2π∆θ = SM = 5 π هو S وMفحة بين اهتزاز النقطتينصفرق ال: و من جهة ثانية radλ

متوازية لذلك ) الحلقات تهتز وفق جهة االنتشار ( إن جهة انتشار االضطراب و طريقة إحداثه سنعتبر أن االضطراب طولي

: أن يكون ب حتى تهتز حلقتان على توافق وج: هتزان على توافق أدنى مسافة بين حلقتين ت– 3

S S'M

t(s)

y(cm)

+1

-1

0

S M

0,450,25

311

2 1 2π∆θ = ( x - x ) = 2k πλ ومن أجلk = 1 2: فإن 1

2π ( x - x ) = 2 πλ

2: إذن 1 ∆x = x - x = λ = 0,2 m

x = λ∆ من أجل االهتزاز و تكون قيمة تواتر - = 5 cm هي : v 2f = = = 40 Hzλ 0,05

: الثاني عشرالتمرين . لسائل متجانس و ساآن ، الحر تحمل صفيحة معدنية مرنة في طرفها الحر شوآة تالمس السطح

f = 50 Hz و تواترها mm 4توى شاقولي بحرآة جيبية مستقيمة سعتها ستهتز الشوآة في ممتكونة تنتشر بسرعة ثابتة ، يهمل االنعكاس و التخامد ، الشكل يمثل مقطع شاقولي األمواج ال

.12cm تساوي AB ، المسافة 1tلسطح السائل مأخوذ في اللحظة

t بدأ حرآته في اللحظة Oنبع مال = 0 .ى، االتجاه الموجب للحرآة نحو األعل

ولية ؟ طة على الشكل ين األمواج المب– 1 عرضية ؟ أم مستقيمة ؟ علل إجابتك ؟

) أحسب قيمة – 2 λ طول الموجة ؟ ( Oًا عليه عدد النقاط التي تهتز على تعاآس في الصفحة مع المنبع ين أنقل الشكل مب– 3

) الحساب غير مطلوب ( 1tن جهة حرآة هذه النقاط في اللحظة عي/ أ – 4

استنتج الشروط االبتدائية للمنبع / جـ 1tأحسب قيمة / ب ، و أحسب قيمة سرعتها x = 3 λ تبعد بمسافةM أآتب المعادلة الزمنية لحرآة نقطة – 5

1tفي اللحظة

2t قارن في اللحظة – 6 = 0,20 s بين مطالي آل من المنبع O و نقطة N تبعد عن O cm 1,25بمسافة

:الحل منحنى ( نقاط الوسط تهتز بشكل شاقولي االضطراب الحادث عرضي ، إن : طبيعة االضطراب – 1

يبقى متموضع في نقطة معينة بل يشمل جميع نفس الوسط الو أن هذا االضطراب ) االضطراب .أي أن منحنى االضطراب عمودي على منحنى االنتشار ) السائل ( المهتز

:λ حساب طول الموجة – 2

OB: ومنه OA = OB = 3 λ: من الشكل نالحظ أن 6λ = = = 2 cm3 3

: إظهار النقاط التي تهتز على تعاآس مع المنبع – 3

A BO

312

: حتى تهتز نقطة من سطح السائل على تعاآس مع المنبع يجب أن يكون 2π∆θ = x = ( 2k + 1 ) πλ أي أن :λx = ( 2k + 1 ) 2

3 : ومنه 5 λx = 2 ، 2

3 λx = 2 ، 1λx = 2

1: إن الثنائيات واقعة على نفس الدائرة التي نصف قطرها 1R = x ، 2 2R = x ، 3 3R = x ': و هي

2 1( M , M ) ، '2 2( M , M ) ، '

3 3( M , M )

) في الشكل المأخوذ في السؤال 1t اللحظة دتعيين جهة حرآة هذه النقاط عن/ أ – 4 3 النقطة (

O 1 متجهة أثناء حرآتها في اللحظةtنحو األسفل و بما أن الثنائيات النقطية '2 1( M , M )

'و2 2( M , M ' و(

3 3( M , M . تهتز في تعاآس مع المنبع فحرآتها ستكون نحو األعلى (

1: بما أن : 1tحساب قيمة / ب 1OAOA = OB = v t t = v× ⇒

ABOA = = 6 cm2 λv :تطبيق عددي = = λ . f = 2 50 = 10 cm/s = 1 m/sT ×

16t = = 0,06 s100

شر فإنه يهز نقاط الوسط بنفس ت إن االضطراب عندما ين :استنتاج الشروط االبتدائية للمنبع / جـ صانعة دائرة تشمل 1tموجه متقدمة عند اللحظة الكيفية التي بدأ فيها ففي الشكل المعطى جبهة ال

. B و Aالنقطتين A: ا سيكون هو عند 1 B 1 A 1 B 1y ( t ) = y (t ) = 0 , v ( t ) = v (t ) < 0

0t = tو هي نفسها الشروط االبتدائية التي تحكم حرآة المنبع عن اللحظة و التي يكون 0 = y: عندها ( 0 ) = 0 , v( 0 ) < 0

x = 3 التي تبعد عن المنبع بالمسافة Mة المعادلة الزمنية لحرآة النقطة تاب آ– 5 λ . Mفي البداية وجب علينا تحديد المعادلة الزمنية للمنبع و من ثم استنتاج معادلة اهتزاز النقطة *

y: لدينا ( t ) = a sin ( ω t - φ : و من الشروط االبتدائية (

2φ = π 1 أوy ( 0 ) = a sin φ = 0 φ = 0⇒

v( t ) = a ωو بما أن cos ( ω t - φ v( 0 ) = a ω: إذن ( cos φ < 0

A BO

1M 2M 3M'1M'

2M'3M

A BO

1M 2M 3M'1M'

2M'3M

313

1φ: و بالتالي = φ = π rad إذن :y ( t ) = a sin ( ω t - π )

M: بفارق في الزمن O متأخرة عن المنبع و أي نقطة ستهتزM

xt = v

M: و بالتالي My ( t ) = y ( t - t M: إذن ( 2 πy ( t ) = a sin ( ω t - π - x )λ

Mx = x: ومن أجل = 3 λ فإن :M2 π xy ( t ) = a sin ( ωt - π - ) = a sin ( ω t - 5π )λ

1tا عند اللحظة و سرعته* = t معطاة بالعبارة :

M 1 1v ( t ) = a ω cos ( ωt - 5 π ) = a ω cos ( 100π . 0,06 - 5 π ) = a ω cos π = - a ω ( سرعة عظمى )

في اللحظة x = 1,25 cm تبعد عنه بالمسافة M و نقطة Oمقارنة مطالي المنبع – 6

2t = 0,20 s ، وجدنا :y ( t ) = a sin (100 π t - π ) معادلة المنبع ( (

N: آما أن πy ( t ) = a sin (100 π t - )4 ) معادلة النقطةN (

2tمن أجل اللحظة = 0,20 s يكون :N 22y ( t ) = - a2 ، 2y ( t ) = 0

: الثالث عشرالتمرين . O ير في نقطة على سطح الماءثزودة بإبرة تم و هي f = 100 Hzبتواتر صفيحة تهتز

و ينتشر على سطح سائل و في 1mmاضطرابا عرضيًا دوريًا جيبيًا له الدور نفسه و سعته . cm/s 37جميع االتجاهات بسرعة منتظمة تساوي

O عن x التي تبعد مسافة N بداللة الزمن ثم معادلة النقطة O أآتب معادلة حرآة النقطة – 1ل المعادلتين مّث، في المنطقة الصغيرة المدروسة تغيرات السعةإهمالعلى فرض أنه يمكن

من أجل قيمة خاصة x = 11,1 mmبيانياً ؟ ارسم هذا الشكل على طول أحد المحاور المنبعثة من t آيف يبدو سطح الماء في اللحظة – 2

O 1 في اللحظةt = 0,060 s 2 ثمt = 0,065 sمتخذا مبدأ الزمن اللحظة التي تبدأ ،

. باالهتزاز انطالقًا من وضع التوازن Oفيها النقطة

:الحل .Nو النقطة O آتا بة معادلتي اهتزاز المنبع – 1

: فيها باالهتزاز ذاهبة نحو األعلى أي باعتبار مبدأ الزمن اللحظة التي تبدأ * t = 0 , y ( 0 ) = 0 , v ( 0 ) > 0

y:يكون من أجل ( t ) = a sin ( ω t + φ ) : y ( 0 ) = a sin φ = 0 sin φ = 0⇒

2φ :ومنه = φ = π rad 1 أوφ = φ = 0

314

v( 0 ) = a ω:و بما أن cos φ 1φ: أي أن 0 < = φ y: إذن 0 = ( t ) = a sin ( ω t )

ω = 2 π: و حيث أن f = 100 π rad/s ، a = 1 mm y( t ) = sin200: إذن π t ( mm )

: بالفاصل الزمني O تهتز متأخرة عن المنبع Nإن النقطة * - 3

-211,1 . 10x∆t = = = 0,03 sv 37 . 10

Ny ( t ) = y ( t - ∆ t ) = sin 200 π ( t - 0,03 ) = sin ( 200 π t - 6π ) ( mm)

t∆: بياني لالتمثيل ا = ∆t f = 100 0,03 = 3T × t∆: أي أن × = 3 T

2t و 1t رسم شكل سطح الماء عند اللحظتين – 2

t : R = v tتظهر على سطح السائل تجاعيد دائرية نصف قطرها عند اللحظة * يكون شكل سطح السائل على طول نصف القطر 1tفعند اللحظة *

1 1R = v t 37 0,06 = 2,22 cm= ×

vλ: و حيث أن = v . f = = 0,37 cmf 1: أي أنR = 6 λ

ل على طول نصف القطر يكون شك2tو عند اللحظة *

2 2R = v t 37 0,065 = 2,405 cm= 2R: أي أن × = 6,5 λ

Ny (mm)y (mm) y(t)

Ny (t)

1

-1T 2T 3T

t (s)

0

y

x

0

y

x

(mm)

(cm)

(mm)

(cm)

315

: الرابع عشرالتمرين .نحقق تجربة انتشار اضطراب عرضي على طول حبل مرن بواسطة صفيحة معدنية تهتز بتواتر

f = 50 Hz الشكل ( ، نغمر النهاية السفلية للحبل في حوض ماء و ذلك لمنع االنعكاس. ( . أحسب طول موجة انتشار االضطراب في الحبل – 1 نأخذ مبدأ األزمنة لحظة مرور الصفيحة بوضع توازنها – 2

و هي تتحرك في االتجاه الموجب ، أآتب معادلة حرآة . Oالمنبع

بمسافة O من الحبل تبعد عن Aتهتز نقطة آيف – 3x = 1,25 m؟

1t مثل شكل الحبل عند اللحظة – 4 = 0,05 s.

:الحل

v: لدينا بصفة عامة : حساب طول موجة االضطراب – 1 25λ = = = 0,5 m = 50 cmf 50

االهتزاز وسعة الحرآة محددين في التمرين نبضن إ: آتابة المعادلة الزمنية لحرآة المنبع -2ω = 2 π: حيث f = 100 π rad/s , a = 1 cm

y: و بالتالي ( t ) = a sin ( ω t + φ )= sin ( 100 π t + φ )

t: يعتمد على الشروط االبتدائية φو إن تعيين = 0 , y = 0 , v > 0

2: إلى يؤديy( 0 ) = sin φ = 0: إذن 1φ = π φ أو = 0 أآبر من الصفر t = 0 و الحل المقبول يجعل إشارة السرعة عند اللحظة

dy ( t )v( t ) = = 100 π: لدينا cos ( 100 π t + φ )d t

v ( 0 ) = sin φ: و منه 1φ: إذن 0 < = φ = 0

: نبع من الشكل وفي األخير الشكل العددي لمعادلة اهتزاز المy ( t ) = sin 100 π t ( cm )

: O بالنسبة للمنبع A طبيعة اهتزاز النقطة – 2

= x ∆ t : متأخرة عن المنبع بفارق زمني يمكن اعتباره Aتهتز النقطة Tλ

A: إذن 2πy ( t ) = a sin ω ( t - ∆ t ) = a sin ( ω t - x ) λ

a = 1 cm , ω: و بما أن = 100 π rad/s , λ = 0,5 m , x = 1,25 m Ay: فإن ( t ) = sin ( 100 π t - 5 π ) ( cm )

∼

316

θ ∆:بمقارنة الصفيحتين نجد أن = 5 π rad أي أن النقطةA

Oتهتز على تعاآس مع المنبع وجب علينا معرفة النقطة 1t تمثيل شكل الحبل عند اللحظة – 4

: الموجة أي أن التي وصلت إليها جبهة 1 1x = v . t = 25 0,05 = 1,25 mm× 1و الطولx

: يمثل عدد معين من طول الموجة أي 1

1x 1,25 = = 2,5 x = 2,5 λλ 0,5 ⇒

: عشرالخامسالتمرين .ر هزاز آهربائي ، ف في ش Oرفه الحر ، ثم يربط ط 'Oيثبت طرف حبل مرن ، في نقطة ثابتة

Oبحيث يكون الحبل في وضع أفقي ، عندما يشغل الهزاز تهتز الشفرة و يتحرك طرف الحبل

fبحرآة مستقيمة جيبية شاقولية ، تواترها = 50 HZ 3- و سعتهاa = 5 . 10 m يوضع ، vعرضية جيبية بدون تخامد و بسرعة جهاز يمنع اهتزازات 'Oفي النقطة = 10 m/s.

التي تمر فيها بوضع 0t و ذلك بأخذ مبدأ األزمنة اللحظة Oأآتب المعادلة الزمنية لحرآة / 1

.على االتزان األفقي للحبل و هي تتحرك في اتجاه المطاالت الموجبة المختار من األسفل إلى األ . O من x = 0,5 m من الحبل توجد على بعد Bأآتب المعادلة الزمنية لحرآة نقطة / 2 . B ، Oقارن بين حرآتي النقطتين / 31tمثل مظهر الحبل في اللحظات / 4 = 0,095 s 2 ؛t = 0,090 s 0 ؛t = 0,080 s

)في أشكال منفصلة ، موضحًا في آل منها جهة المطاالت الموجبة و باعتبار اللحظة t = 0 )

.هي لحظة بدء انتشار األمواج

:الحل حرآة جيبية اهتزازية بمعادلة Oبصفة عامة تأخذ النقطة : O آتابة المعادلة الزمنية لحرآة – 1

y: من الشكل ( t ) = a sin ( ω t + φ )

ω = 2 πلدينا : ωتحديد نبض االهتزاز: أوالً f إذن :ω = 2 π . 50 = 100 π rad/s

3a = 5 . 10 - : ( a )سعة االهتزازات : ثانيًا m )الصفحة االبتدائية : ثالثًا φ t: من الشروط االبتدائية : ( = 0 , y = 0 , v > 0

: و باستعمال العبارتين y ( t ) = a sin ( ω t + φ )v ( t ) = a ω cos ( ω t + φ )

⎧⎨⎩

y: يمكن الحصول على ما يلي ( 0 ) = a sin φ = 0 1φ : ومن العبارة أعاله يكون = π φ أو = 0

0

λ

2λ

5 λ2

317

2:و بما أن 1v ( 0 ) = a ω cosφ v ( 0 ) = a ω cos φ و' 0 > 1φ = φ: فإن 0 < = 0

3y -: ومنه ( t ) = 5 . 10 sin ( 100 π t ) ( m ) منبع ( O تهتز متأخرة عن النقطة Bإن النقطة : B آتابة المعادلة الزمنية لحرآة النقطة – 2

B: لكن بنفس الشكل ) االهتزاز 0y ( t ) = y ( t - ∆ t )

B: و بعد التبسيط 2πy ( t ) = a sin ( ω t - x ) λ

1λ: و بما أن = v t = v . = 0,2 radf 0,52 . 2: و بالتاليπ x = π = 5 π radλ 0,2

3 -: إذن By ( t ) = y ( t ) = 5 . 10 sin ( 100 π t - 5π ) ( m )

: O و B المقارنة بين اهتزاز النقطتين – 3Oθ: بـ Oإذا أخذ الصفحة االبتدائية لالهتزاز المبدأ = 0

Bθ: بـ Bة و النقط = - 5 π rad فإن :B O∆ θ = θ - θ = 5 π rad فالحرآتان على تعاآس

1t ، 2t ، 3t تمثيل مظهر الحبل عند اللحظات – 4

λ موجة و آم تمثل من طول الموجةلنحدد في البداية مكان وجود جبهة ال

1 1 1t = 0,095 s x = t . v = 0,95 m = 4,75 λ⇒

2 2 2t = 0,090 s x = t . v = 0,90 m = 4,5 λ⇒

3 3 3t = 0,080 s x = t . v = 0,80 m = 4 λ⇒

و ذلك بأن B ، O دون تحديد موضع النقطتين 1t ، 2t ، 3tمثيل الحبل عند اللحظات تيمكن

من النقطة التي وصلتها جبهة الموجة نبدأ التمثيل انطالقاً 1x: الحالة األولى = 4,75 λ 1 ؛t = 0,095 s

صلتها الموجة و يمكن أن نتحقق من ذلك بأن نحدد مطال النقطة التي و

M 1 1 12πy ( t ) = a sin ( 100 π t - x ) = a sin ( 9,5 π - 9,5 π ) = 0λ

1: عندها يكون Oو موضع النقطة3πy( t ) = a sin( 9,5 π ) = a sin ( 8 π+ )= - a2

2x: عليك بإآمال الحل فستجد * = 4,5 λ ، 3x = 4 λ و شكرا عزيزي الطالب *

x

λλλλ3 λ4

y

318

x

0

: عشرادسسالتمرين ال . حرآة جيبية مستقيمة ، نقوم برسم المنحنيين الممثلين لتغيرات A ، Bيتحرك جسمان

.فاصلتي الجسمين بداللة الزمن : اعتمادًا على الشكل – 1 تان ؟تق هل هاتان الحرآتان متوا–أ

. علل إجابتك :ما استنتج المعادلة الزمنية لكل منه–ب Bx = f ( t ) ، Ax = f ( t )

) نعتبر حرآة المتحرك – 2 A) مماثلة لحرآة الطرف O 2,20 = لحبل أفقي طوله ، على طول مشدود إلى جهاز مانع االنعكاس ، تنتشر االضطرابات 'Oالطرف اآلخر للحبل vالحبل بسرعة ثابتة = 0,60 m/s .

. x من الحبل فاصلتها Mأآتب المعادلة لحرآة نقطة / أ . Oحدد عدد و مواقع النقاط المهتزة على تعاآس مع النقطة / ب

:الحل تان بدليل أن الدورين المالحظين ت غير متواق A ، Bالحرآتان اللتان تقومان بهما النقطتان / أ – 1

aT: غير متساويين لكل منهما إذ أن = 4 0,25 = 1 s× ؛ bT = 8 0,25 = 2 s×

: Aمعادلة اهتزاز النقطة : أوًال /ب A: المعادلة الزمنية للحرآة بصفة عامة Aتأخذ النقطة a ay ( t ) = a sin ( ω t + φ )

a: البيان نالحظ أن من a

2 πω = = 2 π rad/sT

av: و الشروط االبتدائية مأخوذة بحيث ( O ) = 0 ، t = 0 : y ( O ) = a > 0

A: إذن ay ( 0 ) = a sin φ = a > 0 و بالتالي : 1φ:ومن العبارة أعاله يكون = π φ أو A: و بما أن 0 = ay ( 0 ) = a sin φ = a > 0

a: و بالتالي aπsin φ = 1 φ = rad2⇒

2 - : هي Aو الشكل العددي لمعادلة اهتزاز النقطةA

πy ( t ) = 2 . 10 sin( 2πt + ) ( m )2

: عامة ة المعادلة الزمنية للحرآة نصف Bتأخذ النقطة : Bمعادلة اهتزاز النقطة : ثانيًا B b by ( t ) = b sin ( ω t + φ )

2 -: من البيان نالحظ أن B

b

2πω = = π rad/s , a = b = 2 . 10 mT

bv : و الشروط االبتدائية مأخوذة بحيث ( O ) = 0 ، Bt = 0 : y ( O ) = - a < 0

319

B: إذن By ( 0 ) = a sin φ = - a < 0 و بالتالي :b B3 πsinφ = -1 φ = rad2⇒

2- : هي Bو الشكل العددي لمعادلة اهتزاز النقطة B

3 πy (t) = 2 .10 sin( πt + )2

: من الحبل Mة الزمنية لحرآة نقطة آتابة المعادل/ أ – 2 2-: في البداية لدينا

A3 πy ( t ) = y ( t ) = 2 . 10 sin ( 2 π t + )2

y:حيث (t)قطة المعادلة الزمنية لحرآة اهتزاز المنبع المتشابه الهتزاز النA و بالتالي ستكون : متأخرة عن اهتزاز المنبع و معادلتها الزمنية من الشكل Mمعادلة اهتزاز النقطة

My ( t ) = y ( t - ∆ t ) 2-: أيM

π 2 π xy ( t ) = 2 . 10 sin ( 2 π t + - )2 λ

:و بما أن a

0,6vλ= = = 0,6 mT 2-: إذن 1M

π 10y (t) = 2 .10 sin( 2πt + - πx )2 3

:مواقع النقط المهتزة على تعاآس مع المنبع عدد و تحدد/ ب : على تعاآس مع المنبع يجب أن يتحقق Mحتى تهتز *

M10∆ θ = θ - θ = π x = ( 2 k + 1 ) π3

3x = ( 2 K + 1 ) = 0,6 k + 0,310: إذن عدد صحيح موجب k: حيث

: إذن x < = 2,20 m: خذ إن عدد النقاط مشروط تحديده بأ*

0k = 0 x = 0,6 0 + 0,3 = 0,3 m⇒ × 1k = 1 x = 0,6 1 + 0,3 = 0,9 m⇒ ×

2k = 2 x = 0,6 2 + 0,3 = 1,5 m⇒ × 3k = 3 x = 0,6 3 + 0,3 = 2,1 m⇒ × 4k) مرفوض ( = 4 x = 0,6 4 + 0,3 = 2,70 m⇒ ×

نقاط ) 4( نبع أربعة م المهتزة على تعاآس مع الو بالتالي سيكون عدد النقاط من الحبل

: عشرالسابعالتمرين . ، تنتشر عرضيًا بسرعة mm 2يحدث طرف رنانة آهربائية اهتزازات جيبية سعتها

v = 20 m/s 1 = على حبل مرن طوله mى ل أن أول نقطة من الحبل تهتز عت إذا علم . cm 10 تبعد عنه مسافة Oتعاآس مع المنبع

. f و التواتر λأحسب طول الموجة – 1 Oة بداية اهتزاز ظعلمًا أن مبدأ األزمنة هو لح O المنبع لحرآة المعادلة الزمنية أآتب – 2

.جبة انطالقًا من وضع التوازن نحو المطاالت المو t = 0,25 s∆ أحسب فرق الطور بين نقطتين من الحبل علمًا أن الفاصل الزمني بينهما – 3

.و استنتج آيف تهتز النقطتان بالنسبة لبعضها البعض t مثل مظهر الحبل في اللحظة – 4 = 0,02 s

320

:الحل :الموجة و التواتر حساب طول – 1

: حتى تكون أول نقطة من الحبل مهتزة على تعاآس مع المنبع يجب أن يكون * 2π∆ θ = ( 2 k + 1 ) π = x , k = 0λ إذن :λ x = λ = 2 x2 ⇒

λ: ع . ت = 2 x = 2 10 = 20 cm×

v: و يستنتج تواتر االهتزاز من العبارة * v 20λ = f = = = 100 Hzf λ 0,2⇔

y :بصفة عامة لدينا : المعادلة الزمنية لحرآة المنبع – 2 ( t ) = a sin ( ω t + φ )

2πω = = 200 π: حيث rad/s ; a = 2 mmT t: و بأخذ الشروط االبتدائية بعين االعتبار = 0 , y (0) = 0 , v (0) > 0

y: نجد أن (0) = a sin φ 1φ: ومنه 0 = 2φ أو 0 = = 0 v ( t ) = a ω: و بما أن cos ( ω t + φ )

1v (0) = a ω: فالحل المقبول هو cosφ > 0 φ = φ = 0⇒

y : . . . . . . . . و نأخذ معادلة المنبع الشكل العددي ( t ) = 2 sin ( 200 π t ) ( mm )

إن تطور ، t = s4 ∆1بين حرآتهمامني الزرق ابين نقطتين، الف) الصفحة( حساب فرق الطور – 3

2الحرآة االهتزازية للنقطتين بفرض التخامد مهمل يتم بسرعة نبض ثابتة لذلك 1∆ Ψ = Ψ - Ψ

1: حيث 1y ( t ) = a sin ( ω t + Ψ 2 و ( 2y ( t ) = a sin ( ω t + Ψ )

Ψ ∆1: تطبيق عددي = 200 π . = 50 π rad/s4

Ψ ∆: أي أ ن = 2 . 25 π = 2 k π و بالتالي نستطيع القول أن حرآة النقطتين تتم على توافق في الطور

t مظهر الحبل عند اللحظة – 4 = 0,02 s من لحظة بداية االضطراب االوجة بعد مموضع جبهة ال نتشار تقطع مسافة يمكن تحديدها انطالقاً

t: ى اللحظة إل = 0,02 s يكون :x = v t = 20 0,02 = 0,4 m× x: و هو يمثل عدد معين من طول الموجة أي = 2 x = 2 λλ ⇒

M: و بالتالي 2π xy ( t ) = 2 sin ( 200 π . 0,02 - )λ

M: إذن 2πy ( t ) = 2 sin ( x ) . ( mm )λ

x

My

0 λ 2λ

ة الموجة جبه

t = 0,02 s د اللحظة الصورة مأخوذة عن

321

: الثامن عشرالتمرين . 2g: نعتبر = 10 m/s

( s ) ، تنتشر األمواج انطالقًا من بداية الحبل fتهتز نقاط حبل اهتزازًا عرضياً جيبيًا بتواتر . vبسرعة ثابتة

من الحبل 2M و 1M الجيبيتين الزمنيتين لنقطتين ح الشكل يوض– 1

.استنتج تواتر االهتزاز / أ ؟أي الجيبيتين متقدمة زمنيًا عن األخرى / ب .استنتج الفرق الزمني بين الجيبيتين ثم فرق الصفحة بينهما / جـ . بداللة الزمن 2M و 1Mأآتب معادلة حرآة آل من النقطتين / د

الشكل في نهاية الحبل السابق أنظر m = 200 g إن الحبل السابق مشدود بكتلة – 2

4ρ -: نعطي الكتلة الخطية للحبل = 2 . 10 Kg/m

أحسب سرعة انتشار االضطراب على طول الحبل / أ آتلة الجسم المعلق ، ما هي سرعة االنتشار إذا ضاعفنا/ ب إذا ضاعفنا طول الحبل المهتز ما هي سرعة االنتشار / جـ

:الحل 2T = 2 10-: من البيان نالحظ : استنتاج تواتر االهتزاز / أ – 1 = 0,02 s×

1f: إذن = = 50 HzT

: ففي اللحظة 2M متقدمة عن جيبية اهتزاز النقطة 1Mإن جيبية اهتزاز النقطة / ب

1- 2

Mt =1,5 10 = 0,015 s× 2تبدأ فيها النقطةM تليها اللحظة من الحبل في االهتزاز ،

2

-2Mt = 3 .10 s = 0,03 s 2 التي تبدأ فيها النقطةM الحظ أن في االهتزاز

1 2M Mt < t

: الفارق الزمني بين االهتزازين و فرق الصفحة بينهما من البيان وجدنا أن / جـ

1Mt = 0,015 s ، 2Mt = 0,03 s

: إذن 2 1M M∆ t = t - t = 0,015 s بالتالي و: ∆θ = ω . ∆t

1My

2My1 2M My ; y ( mm )

t(s)-2

2

-210

AS

m

322

πω = = 100 π 2 حيث rad/sT 3: إذن∆θ = 100 π 0,015 = π rad2×

: نعلم أن : حساب سرعة االنتشار على طول الحبل / أ – 2e

Fv = ρ

4 - : إذن Pهنا قوة الثقل Fحيث يمثل e

mρ = = 2 . 10 kg/m ،

P = F = mg = 0,2 10 = 2 N× 4 -: و بالتالي2v = = 100 m/s

2.10

إذا ضوعفت آتلة الجسم المعلق آيف تصبح قيمة سرعة االنتشار ؟ / ب

'm: لدينا = 2 m F' = 2F⇒ إذن :e e

F' 2 Fv' = = ρ ρ

'v: و بالتالي = 2 v = 2 100 141,4 m/s×

لخطية عة االنتشار تعطى عبارة الكتلة اا ضاعفنا طول الحبل المهتز آيف تصبح قيمة سرإذ/ جـ e: بالعبارة

m'ρ' 'm: و بما أن ' = = 2 m ، ' : فإن 2 =

em' 2 m mρ' = = = ' e: و بالتالي 2 eρ' = ρ

بدون تبدد ( لينا و هو الشيء المتوقع إذ ال تتأثر سرعة االنتشار بتغير طول الحبل إذا فرضناه "v، إذن ) للطاقة = v = 100 m/s

. التمرين التاسع عشر . f بتواتر لحبل مرن اهتزازات جيبية عرضيةsيهتز الطرف = 50 Hz 0 سعتهa = 4 cm ،

. Aو الطرف الثاني مقيد إلى نقطة t نعتبر اللحظة – 1 للحبل في االهتزاز تنعكس األمواج على طول الحبل S يبدأ الطرف 0 =

( = 1,5 m )دة عند اللحظة عند النهاية المقيt = 0,075 s.

.أحسب سرعة انتشار االهتزازات على الحبل / أ .أحسب طول الموجة / ب 'نجعل طول الجزء المهتز من الحبل مساوياً – 2 = 1,5 mو نعلق في نهايته آتلة m = 0,2 Kg

.دة أمواج مستقرة على طول الحبل ، و استنتج عدد المغازل المتشكلة بين أنه يمكن مشاه/ أ gأحسب الكتلة الخطية للحبل ، نأخذ / ب = 10 N/Kg

:الحل

v: ، نجد v . t = : بأخذ : حساب سرعة االنتشار على طول الحبل / أ – 1 = t

323

1,5v: طبيق عددي ت = = = 20 m/st 0,075

vλ: حساب طول الموجة / ب = v T = f

20λ: تطبيق عددي = = 0,4 m50

vλ: لدينا : إثبات أنه من الممكن مشاهدة أمواج مستقرة على طول الحبل – 2 = f

: قع العقد على طول الحبل و بأخذ العالقة التي تعطي مواλx = k . , k 2 فعدد المغازل المتشكلة ∋

العظمى بشرط أن Kعلى طول الحبل هو نفسه قيمة maxxيكون =

max: إذن v = x = k . 2 . f ومنه :k = 2 f . v

1k . 50 . 2: تطبيق عددي = = 5 20 ∈

5: إذن عدد المغازل للحبل هو

: نعلم أن : حساب الكتلة الخطية للحبل –ب e

Fv = ρ

F : قوة الشدة في الحبل و تمثل هنا ثقل الجسم المعلقP = mg

eρ : ومنه الكتلة الخطية للحبل :e 2 2mgPρ = =

v v

3-: تطبيق عددي e 2

0,2 10ρ = = 5 . 10 Kg/m = 5 g/m20

×

λ2

AS