Комплексные числа

Комплексные числаКомплексные числаКомплексные числаКомплексные числаМАОУ лицей «Морской МАОУ лицей «Морской

технический»,учитель математики технический»,учитель математики Дементьева Т.А.Дементьева Т.А.

ЧИСЛОВЫЕ И БУКВЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ Комплексные числа. Геометрическая

интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть, модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

Понятие комплексного числа

Х+А=В - недостаточно положительных

чисел

А·Х + В=0 (А≠0) – разрешимы на

множестве рац.чисел

Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные

числа

Х+5=2

Иррациональные числа

Рациональные числа

Действительные числа

Решение квадратных уравнений

А · Х²+ В ·Х+ С =0При D<0 действительных корней

нет

Иррациональные числа

Рациональные числа

Действительные числа

+

Иррациональные числа

Рациональные числа

Действительные числа

+

Комплексные числа

Вид комплексного числа

Х²=-1

Х=i -корень уравнения

i- комплексное число, такое , что

i²=-1

А + В· i

ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А и В – действительные числаi- некоторый символ , такой, что

i²= -1А – действительная частьВ – мнимая частьi – мнимая единица

А + В· i

Геометрическая интерпретация

комплексного числа

Модуль комплексного числа

Z=А - В· i СОПРЯЖЕННОЕZ= А + В· i

(Z) = Z

Комплексно

сопряженные числа.

Z = A + B i= 22 ВА

Тригонометрическая форма комплексного числа

Z =r

φ- аргумент аргумент комплексного числа

Z=r cos φ + i Z sin φ =

= r (cos φ+ i sin φ)

Для Z=0 аргумент не определяется

Т.к Z =r =

22 ВА Z= А + В· i= cosφ+i sinφ

22 ВА

22 ВА

22cos

BA

A

22sin

BA

В

A

Btg

Сложение и умножение комплексных чисел

Алгебраическая форма

Геометрическая форма

Сумма

(A+iB) + (C+iD)=

(A+C)+(B+D)IПроизведение

Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)

Z2= r2(cos φ2+ i sin φ2)

Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+

φ2)]

Произведение

(A+iB) · (C+iD)=

(AC-BD)+(AD+BC)i

Если Z 1= Z2, то получим

Z²=[r (cos φ+ i sin φ)]²= r² (cos2 φ+ i sin 2φ)Z³= Z²·Z=[r (cos φ+ i sin φ)]²·r (cos

φ+ i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)

)sin(cos

)]sin(cos[

ninr

irZn

nn

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

Число Z называется корнем степени n из числа ω (обозначается ), если (*)

Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения

является корнем степени n из числа ω.

n

nZ

nZ

Z= r (cos φ+ i sin φ) ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)

Zkknn

rили

Zkгдеknиr

ininr

n

n

n

,2

,

,2

)sin(cos)sin(cos

Zkknn

iknn

Z nk )],

2sin()

2[cos(

Вторая формула Муавра

Вторая формула Муавра определяет все корни двучленного уравнения степени n

.

0...

0,...,

01

11

1

числаыекопмплекснзаданныеaaгде

aZaZaZa

n

nn

nn

Каждое алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно n-корней.

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Пример:Решить уравнение:

iix

ix

iix

k

Zkk

ik

x

r

r

Zkk

kтогда

Zkkikir

irx

Zkkik

x

31))3

4

3sin()

3

4

3(cos(2

2))3

2

3sin()

3

2

3(cos(2

31)3

sin3

(cos2

...2,1,0

)),3

2sin

3

2(cos2

2

8

,3

2

23

)),2sin()2(cos(8)3sin3(cos

)sin(cos

)),2sin()2(cos(88

8

3

2

1

3

3

3

Свойства сложения и умножения

Переместительное свойство:

Сочетательное свойство:

Распределительные свойство:

Z1 + Z2 = Z1 +Z2 Z1 · Z2 = Z1 ·Z2

Z1 ·(Z2 + Z3 )= Z1 · Z2+ Z1 · Z3

(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +

(Z2+Z3)(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Вычитание и деление комплексных чисел

Z+ Z2 = Z1

Вычитание – операция, обратная сложению:

Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2 )Z= Z1 - Z2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:Z · Z2 = Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

022

1 ZZ

ZZ

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Примеры:Найти разность и частное

комплексных чисел iZиiZ 4354 21

Решение:

iiZ

Z

iiiZZ

41

1

41

32

2516

5344

2516

4534

1)54()43(

1

2

12

Конец