СБОРНИК КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

СБОРНИК СБОРНИК КОМБИНАТОРНЫКОМБИНАТОРНЫ

Х ЗАДАЧХ ЗАДАЧАвтор: Автор: Надежда Александровна Родионова,Надежда Александровна Родионова,

учитель начальных классовучитель начальных классовМОУ «Школа-интернат №53» г. НовоуральскМОУ «Школа-интернат №53» г. Новоуральск..

Автор: Автор: Надежда Александровна Родионова,Надежда Александровна Родионова,учитель начальных классовучитель начальных классов

МОУ «Школа-интернат №53» г. НовоуральскМОУ «Школа-интернат №53» г. Новоуральск..

План:План:

Основные понятия методики обучения решению комбинаторных задач в начальной школе

Поэтапная работа по обучению решению комбинаторных задач в начальной школе

Основные понятия Основные понятия методики обучения решению методики обучения решению

комбинаторных задач комбинаторных задач в начальной школев начальной школе

Граф Дерево возможных вариантов Комбинаторика Комбинаторная задача Комбинаторные методы Организованный перебор

ПланПлан

ГРАФ ГРАФ – совокупность объектов со связями между – совокупность объектов со связями между ними. Объекты представляются как ними. Объекты представляются как вершинывершины, или , или узлы графаузлы графа, а связи – как , а связи – как дугидуги, или , или ребраребра. . Исследование графов ведется Исследование графов ведется комбинаторными методами математики.математики.

ПонятияПонятия

ДЕРЕВО ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ ДЕРЕВО ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ – граф, – граф, схема, отражающая структуру задачи, упорядочения схема, отражающая структуру задачи, упорядочения многошагового процесса принятия решений. многошагового процесса принятия решений. ВетвиВетви дерева отображают различные события, дерева отображают различные события, которые могут иметь место, а которые могут иметь место, а коренькорень дерева – дерева – состояние, в котором возникает необходимость состояние, в котором возникает необходимость выбора.выбора.

ПонятияПонятия

КОМБИНАТОРИКА КОМБИНАТОРИКА –– область математики, в область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. условиям, можно составить из заданных объектов.

ПонятияПонятия

КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА КОМБИНАТОРНАЯ ЗАДАЧА –– задача, задача, требующая осуществления перебора всех требующая осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа. возможных вариантов или подсчета их числа.

ПонятияПонятия

КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ –– совокупность совокупность методов, основанных на идеях методов, основанных на идеях комбинаторики..

ПонятияПонятия

ОРГАНИЗОВАННЫЙ ПЕРЕБОР ОРГАНИЗОВАННЫЙ ПЕРЕБОР –– строгий строгий порядок разбора всех случаев, возможных решений.порядок разбора всех случаев, возможных решений.

ПонятияПонятия

Поэтапная работа по обучению Поэтапная работа по обучению решению комбинаторных задач решению комбинаторных задач

в начальной школев начальной школе1. Подготовительный этап

2. Ознакомление с приемами решения комбинаторных задач

3. Этап отработки умения выполнять организованный перебор

ПланПлан

Подготовительный этапПодготовительный этап

Цель:Цель: формирование мыслительных формирование мыслительных операций в процессе решения операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью комбинаторных задач с помощью хаотического перебора.хаотического перебора.

Задачи, решаемые на данном этапе:Задачи, решаемые на данном этапе: задачи-игры;; «жизненные» задачи (задачи, решаемые в (задачи, решаемые в повседневной деятельности человека).повседневной деятельности человека).

ЭтапыЭтапы

Задачи-игрыЗадачи-игры

«День – ночь»

«Башенки»

Подготовительный этап

Подготовительный этап

«День – ночь»«День – ночь»

Участвуют три игрока. Они садятся на стулья. Участвуют три игрока. Они садятся на стулья. По команде ведущего «День!» ребята встают и По команде ведущего «День!» ребята встают и могут передвигаться. По команде ведущего могут передвигаться. По команде ведущего «Ночь!» они садятся на стулья, но так, чтобы «Ночь!» они садятся на стулья, но так, чтобы каждый раз порядок расположения их был каждый раз порядок расположения их был другой. Все остальные следят за тем, чтобы другой. Все остальные следят за тем, чтобы играющие выполняли поставленное условие. играющие выполняли поставленное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не Игра продолжается до тех пор, пока не обнаружатся все возможные варианты. обнаружатся все возможные варианты. Вопрос:Вопрос: сколько всего вариантов получится? сколько всего вариантов получится?

Решение Задачи-игры

«День – ночь»

6 вариантов6 вариантов

Катя Миша

Лиза

Миша

Катя Лиза

Лиза Миша

Катя

Катя Лиза Миша

Миша

Лиза Катя

Лиза

Миша

Катя

«Башенки»«Башенки»

Ведущий кладет в коробку три кубика: зеленого, синего Ведущий кладет в коробку три кубика: зеленого, синего и желтого цветов и говорит, что будет брать, не глядя, и желтого цветов и говорит, что будет брать, не глядя, по одному кубику и составлять башенку следующим по одному кубику и составлять башенку следующим образом: первый кубик – нижний этаж, второй – образом: первый кубик – нижний этаж, второй – средний, третий – верхний. Игрокам предлагается средний, третий – верхний. Игрокам предлагается нарисовать башенку, изображая кубики квадратами нарисовать башенку, изображая кубики квадратами соответствующего цвета. Затем кубики вынимаются из соответствующего цвета. Затем кубики вынимаются из коробки. Тот, кто угадал, становится победителем. коробки. Тот, кто угадал, становится победителем.

Вопрос:Вопрос: сколько различных башенок надо нарисовать, сколько различных башенок надо нарисовать, чтобы быть уверенным, что сколько бы башенок мы не чтобы быть уверенным, что сколько бы башенок мы не составляли, среди рисунков всегда окажется нужный и составляли, среди рисунков всегда окажется нужный и ты всегда будешь выигрывать? ты всегда будешь выигрывать?

РешениеЗадачи-игры

«Башенки»

6 рисунков6 рисунков

«Жизненные» задачи«Жизненные» задачи

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Подготовительный этап

Подготовительный этап

Задача 1Задача 1

У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. В начале продажи касса пуста.

Вопрос:Вопрос: как должны расположиться ребята, чтобы как должны расположиться ребята, чтобы

никому не пришлось ждать сдачиникому не пришлось ждать сдачи??

Решение «Жизненные» задачи

Задача 1

Вариант 1:Вариант 1:

Вариант 2:Вариант 2:

Задача 2Задача 2

В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.путем, т.е. не нужно было идти в обход.

Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.Задание: покажи, какие дорожки надо сделать.

Решение«Жизненные»

задачи

Задача 2

Задача 3Задача 3

4 парусника готовились к соревнованиям. У 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо каждого был свой корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека и было ясно, кто из спортсменов идет издалека и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает.впереди, кто запаздывает.

Задание: покажи, как по-разному раскрасить паруса, Задание: покажи, как по-разному раскрасить паруса, если есть всего две краски.если есть всего две краски.

Решение«Жизненные»

задачи

Задача 3

Ознакомление с приемами Ознакомление с приемами решения комбинаторных задачрешения комбинаторных задач

Цель:Цель: ознакомление учащихся с методом ознакомление учащихся с методом организованного перебора.организованного перебора.

Задачи, решаемые на данном этапе:Задачи, решаемые на данном этапе: задачи, решаемые методом организованного перебора ; задачи, решаемые с помощью таблиц; задачи, решаемые с помощью графов; задачи, решаемые с помощью дерева возможных вариантов.

ЭтапыЭтапы

Задачи, решаемые методом Задачи, решаемые методом организованного перебораорганизованного перебора

Задача 4

Задача 5

Задача 6

Задача 7

Задача 8

Задача 9

Задача 10Этап

ознакомления с приемами перебора

Этап ознакомления

с приемами перебора

Задача 4Задача 4На каждом флажке должны быть полоски разного На каждом флажке должны быть полоски разного цвета: синяя, красная, белая. Раскрась флажки так, цвета: синяя, красная, белая. Раскрась флажки так, чтобы они отличались друг от друга. Сколько разных чтобы они отличались друг от друга. Сколько разных флажков ты раскрасил? Можете ли вы указать способ флажков ты раскрасил? Можете ли вы указать способ позволяющий назвать число флажков, не производя позволяющий назвать число флажков, не производя непосредственного их подсчёта? непосредственного их подсчёта?

Решение Методические указания Задачи, решаемыеметодом

организованного перебора

Задача 4

6 флажков6 флажков

Ответ на вопрос задачи можно дать после выполнения следующей Ответ на вопрос задачи можно дать после выполнения следующей практической работы.практической работы.Один цвет позволяет, очевидно, сделать один флажок:Один цвет позволяет, очевидно, сделать один флажок:

Вторую цветную полоску можно приложить к этому флажку двумя способами Вторую цветную полоску можно приложить к этому флажку двумя способами при условии, что каждый цвет мы хотим использовать только один раз. при условии, что каждый цвет мы хотим использовать только один раз. Вторую полоску мы прикладываем снизу или сверху:Вторую полоску мы прикладываем снизу или сверху:

Как можно добавить к этим цветным полоскам третью? Мы помещаем её либо Как можно добавить к этим цветным полоскам третью? Мы помещаем её либо сверху, либо снизу, либо посередине, между двумя первыми полосками. Из сверху, либо снизу, либо посередине, между двумя первыми полосками. Из левого двухцветного флажка мы получает три новых трехцветных. Точно так левого двухцветного флажка мы получает три новых трехцветных. Точно так же из правого флажка мы получаем три новых. Выходит, что трёх же из правого флажка мы получаем три новых. Выходит, что трёх разноцветных полосок можно составить всего разноцветных полосок можно составить всего 2*3=6 флажков. флажков.

Задача 4

Задача 5

Прямоугольник состоит из трех квадратов. Сколькими способами можно раскрасить эти квадраты тремя красками: красной, зеленой и синей?

Решение

Задача 5

6 способами6 способами

Задача 6Задача 6

У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?

Решение Задачи, решаемыеметодом

организованного перебора

Задача 6

3 варианта3 варианта

Задача 7Задача 7

В магазине продают воздушные шары: красные, В магазине продают воздушные шары: красные, желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно желтые, зеленые, синие. Какие наборы можно составить из двух разных шаров? Сколько наборов составить из двух разных шаров? Сколько наборов у тебя получилось?у тебя получилось?

Решение Методические указанияЗадачи, решаемые

методом

организованного перебора

Задача 7

5 наборов5 наборов

Важно обратить внимание учащихся на то, что при Важно обратить внимание учащихся на то, что при выборе двух шаров не имеет значения, какой из них выборе двух шаров не имеет значения, какой из них находится справа, а какой слева.находится справа, а какой слева.

Задача 7

Задача 8Задача 8

Представь, что у тебя 10 тюльпанов: 3 желтых, Представь, что у тебя 10 тюльпанов: 3 желтых, 2 оранжевых, 5 красных. Какие разные букеты из 2 оранжевых, 5 красных. Какие разные букеты из трех тюльпанов ты можешь составить? трех тюльпанов ты можешь составить?

Решение Задачи, решаемыеметодом

организованного перебора

Задача 8

Задача 9Задача 9

На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, На цветочной клумбе сидели шмель, жук, стрекоза, бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары бабочка и муха. Два насекомых улетели. Какие пары насекомых могли улететь?насекомых могли улететь?

Решение Задачи, решаемыеметодом

организованного перебора

Задача 9

Задача 10Задача 10

Перечислите все двузначные числа, в записи Перечислите все двузначные числа, в записи которых встречаются цифры 0, 1, 2.которых встречаются цифры 0, 1, 2.

Решение 1 Решение 2Задачи, решаемые

методом

организованного перебора

Задача 10

Задача 10

Задачи, решаемые с помощью Задачи, решаемые с помощью таблицтаблиц

Задача 11

Задача 12

Задача 13

Задача 14

Задача 15

Задача 16

Задача 17Этап

ознакомления с приемами перебора

Этап ознакомления

с приемами перебора

Задача 11Задача 11Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?клетки?

Решение

Единицы

Десятки1 2 3

1

2

3

Задачи, решаемые

с помощью таблиц

Задача 11

Единицы

Десятки1 2 3

1

2

3

11111111 13131313

22222222 23232323

31313131 32323232 33333333

12121212

21212121

Задача 12Задача 12

Проверь, правильно ли заполнена таблица?Проверь, правильно ли заполнена таблица?

Решение

Единицы

Десятки5 9

2 2525 92 92

7 7575 97 97

1 1515 91 91

Задачи, решаемые

с помощью таблиц

Задача 12

Единицы

Десятки5 9

2

7

1

25252525

75757575

15151515

92929292 29292929

97979797 79797979

91919191 19191919

Задача 13Задача 13

Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали Для изготовления двуцветных ручек на фабрике использовали красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных красные, желтые, зеленые и синие стержни. Сколько различных видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и видов двуцветных ручек выпускала фабрика? Заполни таблицу и проверь свой ответ.проверь свой ответ.

Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны Обведи зеленым цветом клетки таблицы, в которых записаны возможные наборы двуцветных ручек.возможные наборы двуцветных ручек.

Решение Методические указания Задачи, решаемые

с помощью таблиц

Задача 13

6 различных видов6 различных видов

При решении задачи сначала необходимо При решении задачи сначала необходимо разгадать правило, по которому составлена разгадать правило, по которому составлена таблица и заполнить ее. Составленная таблица и заполнить ее. Составленная таблица соотносится с условием задачи. таблица соотносится с условием задачи. Далее обвести зеленым цветом только Далее обвести зеленым цветом только клетки, в которых показаны ручки разных клетки, в которых показаны ручки разных цветов. цветов.

Задача 13

Задача 14Задача 14

В одной деревне по сложившейся традиции В одной деревне по сложившейся традиции мужчин называют каким-либо из следующих мужчин называют каким-либо из следующих имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. имен: Иван, Петр, Василий и Михаил. Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может Проживают в этой деревне 15 мужчин. Может ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с ли оказаться так, что в деревне нет мужчин с одинаковым именем и отчеством? одинаковым именем и отчеством?

Реши задачу, составив таблицу.Реши задачу, составив таблицу.

Решение Задачи, решаемые

с помощью таблиц

Задача 14

МожетМожет

ОтчестваОтчества

ИменаИменаИвановичИванович ПетровичПетрович ВасильевичВасильевич МихайловичМихайлович

ИванИван

ПетрПетр

ВасилийВасилий

МихаилМихаил

Иван Иванович

Иван Иванович

Петр Иванович

Петр Иванович

Василий ИвановичВасилий Иванович

Михаил ИвановичМихаил

Иванович

Иван Петрович

Иван Петрович

ПетрПетрович

ПетрПетрович

Василий ПетровичВасилий Петрович

Михаил ПетровичМихаил Петрович

Иван Васильевич

Иван Васильевич

Василий ВасильевичВасилий

Васильевич

Петр Васильевич

Петр Васильевич

Михаил Васильевич

Михаил Васильевич

Иван Михайлович

Иван Михайлович

Петр Михайлович

Петр Михайлович

Василий Михайлович

Василий Михайлович

Михаил Михайлович

Михаил Михайлович

Задача 15Задача 15

У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота У Миши 4 ручки разного цвета и 3 блокнота разного размера. Сколько различных наборов разного размера. Сколько различных наборов из ручки и блокнота сможет составить из ручки и блокнота сможет составить Миша? Реши задачу, составив таблицу.Миша? Реши задачу, составив таблицу.

Решение Методические указанияЗадачи, решаемые

с помощью таблиц

Задача 15

12 различных наборов12 различных наборов

В основе решения данной задачи лежит В основе решения данной задачи лежит правило произведенияправило произведения: : «Если объект «Если объект А А можно можно выбрать выбрать mm способами, а другой объект способами, а другой объект В В можно выбрать можно выбрать kk способами, то объект способами, то объект «А и «А и »» можно выбрать можно выбрать mm ∙∙ k k способами».способами».

Учащимся данное правило не сообщается.Учащимся данное правило не сообщается.

Задача 15

Задача 16Задача 16

У Кати 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. У Кати 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. Может ли Катя в течение 7 дней недели Может ли Катя в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?надевать каждый день разные костюмы?

Решение Задачи, решаемые

с помощью таблиц

Задача 16

Не можетНе может

Задача 17Задача 17

В танцевальном кружке занимаются пять В танцевальном кружке занимаются пять девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и девочек: Женя, Маша, Катя, Юля и Даша и пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и пять мальчиков: Олег, Вова, Стас, Андрей и Иван. Сколько различных танцевальных пар Иван. Сколько различных танцевальных пар можно составить? Заполни таблицу и проверь можно составить? Заполни таблицу и проверь свой ответ.свой ответ.

РешениеЗадачи, решаемые

с помощью таблиц

Задача 17

25 пар25 пар

Женя Маша Катя Юля Даша

Олег

Вова

Стас

Андрей

Иван

Олег Олег Олег Олег Олег

Вова Вова Вова Вова Вова

Стас Стас Стас Стас Стас

Андрей Андрей Андрей Андрей Андрей

Иван Иван Иван Иван Иван

Женя

Женя

Женя

Женя

Женя

Маша

Маша

Маша

Маша

Маша

Катя

Катя

Катя

Катя

Катя

Юля

Юля

Юля

Юля

Юля

Даша

Даша

Даша

Даша

Даша

Задачи, решаемые с помощью Задачи, решаемые с помощью графовграфов

Задача 18Задача 19Задача 20Задача 21Задача 22Задача 23Задача 24Задача 25

Этап ознакомления

с приемами перебора

Этап ознакомления

с приемами перебора

Задача 18Задача 18

Пятеро друзей встретились после каникул и Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий? сделано рукопожатий?

РешениеЗадачи, решаемые

с помощью графов

Задача 18

10 рукопожатий10 рукопожатий

Задача 19 Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?

Решение Задачи, решаемые

с помощью графов

Задача 19

16 чисел

Задача 20Задача 20

Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг Миша, Вася, Катя и Лиза поздравили друг друга с Новым годом, подписав открытки. друга с Новым годом, подписав открытки. Покажи красным цветом стрелки, которые Покажи красным цветом стрелки, которые показывают, кому Миша подписал открытки, а показывают, кому Миша подписал открытки, а синим – кто подписал Мише.синим – кто подписал Мише.

Решение Задачи, решаемые

с помощью графов

Задача 20

Задача 21Задача 21

Из каждой пары чисел 63, 9, 7, 70 составь Из каждой пары чисел 63, 9, 7, 70 составь всевозможные суммы. всевозможные суммы.

Выбери граф, который соответствует Выбери граф, который соответствует данному заданию.данному заданию.

Решение Задачи, решаемые

с помощью графов

Задача 21

Задача 22Задача 22

Соедини линией каждое задание с графом, Соедини линией каждое задание с графом, который ему соответствует.который ему соответствует.

Решение

3. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые больше 50.

2. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые меньше 50.

1. Используя цифры 4, 5, 6, запиши все возможные двузначные числа.

Задачи, решаемые

с помощью графов

Задача 22

3. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые больше 50.

2. Используя цифры 4, 5, 6, запиши двузначные числа, которые меньше 50.

1. Используя цифры 4, 5, 6, запиши все возможные двузначные числа.

Задача 23Задача 23

Рассмотри граф.Рассмотри граф.

Подчеркни те задания, которые ему соответствуют.Подчеркни те задания, которые ему соответствуют.

Из каждой пары чисел 18, 36, 54 составь все возможные:Из каждой пары чисел 18, 36, 54 составь все возможные:

а) суммы; б) разности;а) суммы; б) разности;

в) произведения; г) частные,в) произведения; г) частные,

значение которых ты можешь вычислить.значение которых ты можешь вычислить.

Решение

Задачи, решаемые

с помощью графов

Задача 23

а) суммы; б) разности;а) суммы; б) разности;

в) произведения; г) частные.в) произведения; г) частные.

Задача 24Задача 24

Шесть девочек взяли напрокат двухместную Шесть девочек взяли напрокат двухместную лодку. Построй граф, на котором будет лодку. Построй граф, на котором будет показано, как девочки катались парами.показано, как девочки катались парами.

Решение Задачи, решаемые

с помощью графов

Задача 24

Задача 25Задача 25

Сколько разностей можно составить из чисел Сколько разностей можно составить из чисел 30, 25, 17, 9, если для их составления брать 30, 25, 17, 9, если для их составления брать два числа?два числа?

Проверь свой ответ, изобразив граф.Проверь свой ответ, изобразив граф.

РешениеЗадачи, решаемые

с помощью графов

Задача 25

10 разностей10 разностей

Задачи, решаемые с помощью Задачи, решаемые с помощью дерева возможных вариантовдерева возможных вариантов

Задача 26

Задача 27

Задача 28

Задача 29

Задача 30

Задача 31

Задача 32Этап

ознакомления с приемами перебора

Этап ознакомления

с приемами перебора

Задача 26Задача 26

Нарисуй башенки, которые «зашифрованы», Нарисуй башенки, которые «зашифрованы», для этого пройди по всем возможным путям для этого пройди по всем возможным путям от верхней точки до нижних.от верхней точки до нижних.

Решение Задачи, решаемыес помощью дерева

возможных вариантов

Задача 26

Задача 27Задача 27

Какое число зашифровано в выделенном пути? Какое число зашифровано в выделенном пути?

Покажи путь, в котором зашифровано число Покажи путь, в котором зашифровано число 5571.5571.

Решение

Задачи, решаемыес помощью дерева

возможных вариантов

Задача 27

57175717

Задача 28Задача 28

Миша решил в воскресенье навестить Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов организовать визиты? Сколько вариантов получилось?получилось?

Решение Методические указания

Задачи, решаемыес помощью дерева

возможных вариантов

Задача 28

6 вариантов6 вариантов

Здесь речь идет о числе перестановок Здесь речь идет о числе перестановок РР33 = 1 = 1∙ 2 ∙ 3 = 6, т.е. о выполнении трех ∙ 2 ∙ 3 = 6, т.е. о выполнении трех визитов в разной последовательности. визитов в разной последовательности.

Задача 28

Задача 29Задача 29

В класс пришли четыре новых ученика Миша, В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?него будет?

РешениеЗадачи, решаемыес помощью дерева

возможных вариантов

Задача 29

12 вариантов12 вариантов

Задача 30Задача 30

Сосчитай, сколько слов содержится в Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш или Ц, второй буквой начинаются с букв Ш или Ц, второй буквой могут быть О, И, Е, а оканчиваться слова могут быть О, И, Е, а оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х.могут буквами Р, К, Х.

Решение

Задачи, решаемыес помощью дерева

возможных вариантов

Задача 30

18 слов18 слов

Задача 31Задача 31

Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша должны Петя, Вася, Катя, Лиза и Миша должны участвовать в конкурсе чтецов. В каком участвовать в конкурсе чтецов. В каком порядке дети выступят, если Миша будет порядке дети выступят, если Миша будет выступать первым, а за ним пойдут Катя и выступать первым, а за ним пойдут Катя и Лиза?Лиза?

Решение

Задачи, решаемыес помощью дерева

возможных вариантов

Задача 31

Задача 32Задача 32

Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные Из цифр 9, 7, 5, 0 составляют все возможные трехзначные числа, в которых нет трехзначные числа, в которых нет одинаковых цифр. Сколько среди чисел, одинаковых цифр. Сколько среди чисел, меньше 900?меньше 900?

РешениеЗадачи, решаемыес помощью дерева

возможных вариантов

Задача 32

12 чисел12 чисел

Этап отработки умения Этап отработки умения выполнять выполнять

организованный переборорганизованный перебор

Цель: Цель: отработать у учащихся умения решать отработать у учащихся умения решать комбинаторные задачи. комбинаторные задачи.

Задачи, решаемые на данном этапе:Задачи, решаемые на данном этапе:Задача 33;

Задача 34;

Задача 35;

Задача 36;

Задача 37.ЭтапыЭтапы

Задача 33

Поставь между цифрами один или несколько знаков арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства.

Решение

а) 3 3 3 3 = 10 е) 3 3 3 3 = 8

б) 3 3 3 3 = 111 ж) 3 3 3 3 = 9

в) 3 3 3 3 = 4 з) 3 3 3 3 = 3

г) 3 3 3 3 = 5 и) 3 3 3 3 = 6

д) 3 3 3 3 = 7 к) 3 3 3 3 = 1Этап

отработки умениявыполнять

организованный перебор

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Задача 33

а) 3 • 3 + 3 : 3 = 10;

б) 3 3 3 : 3 = 111;

в) (3 • 3 + 3) : 3 = 4;

г) 3 + (3 - 3 : 3) = 5;

д) 3 + (3 + 3 : 3) = 7;

е) 3 • 3 - 3 : 3 = 8;

ж) 3 • 3 • 3 : 3 = 9;

з) 3 • 3 - 3 - 3 = 3;

и) 3 + 3 + 3 - 3 = 6;

к) 3 3 : 3 3 = 1

Задача 34Задача 34

Сколько различных завтраков, состоящих из Сколько различных завтраков, состоящих из 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить 1 напитка и 1 вида выпечки, можно составить из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?из чая, кофе, булочки, печенья и вафель?

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4Этап

отработки умениявыполнять

организованный перебор

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Задача 34

Задание 1Задание 1

Составь таблицу, соответствующую условию Составь таблицу, соответствующую условию задачи. Сколько завтраков у тебя получилось?задачи. Сколько завтраков у тебя получилось?

Решение

Задача 34

Задание 1

6 завтраков6 завтраков

НапиткиНапитки

ВыпечкаВыпечка

Задача 34

Задание 2Задание 2

Заполни рисунок дерева возможных вариантов в Заполни рисунок дерева возможных вариантов в соответствии с условием задачи. соответствии с условием задачи.

Сколько завтраков у тебя получилось?Сколько завтраков у тебя получилось?

Решение

Задача 34

Задание 2

6 завтраков6 завтраков

Задача 34

Задание 3Задание 3

Дострой граф так, чтобы он соответствовал условию Дострой граф так, чтобы он соответствовал условию задачи.задачи.

Сколько завтраков у тебя получилось?Сколько завтраков у тебя получилось?

Решение

Задача 34

Задание 3

6 завтраков6 завтраков

Задача 34

Задание 4Задание 4

Сравни ответы, которые у тебя получились в Сравни ответы, которые у тебя получились в Заданиях 1, 2, 3.Заданиях 1, 2, 3.

Решение

Задача 34

Задание 4

Ответы одинаковые.Ответы одинаковые.

Задача 35

Шесть семей уехали отдыхать в разные города. Приехав к месту отдыха, они поговорили друг с другом по телефону. Сколько звонков было сделано?

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Задача 35

Задание 1Задание 1Закончи построение графа, Закончи построение графа, соответствующего данной задаче.соответствующего данной задаче.

Решение

Задача 35

Задание 1

Задача 35

Задание 2Задание 2Используя построенный граф, ответь на вопросы: Используя построенный граф, ответь на вопросы: «Сколько звонков сделала:«Сколько звонков сделала:а) первая семья _________,а) первая семья _________,б) вторая семья _________,б) вторая семья _________,в) третья семья _________,в) третья семья _________,г) четвертая семья ________,г) четвертая семья ________,д) пятая семья _________,д) пятая семья _________,е) шестая семья __________».е) шестая семья __________».

Решение

Задача 35

Задание 2

а) первая семья – 4 звонка,а) первая семья – 4 звонка,б) вторая семья – 3 звонка,б) вторая семья – 3 звонка,в) третья семья – 2 звонка,в) третья семья – 2 звонка,г) четвертая семья – 1 звонок,г) четвертая семья – 1 звонок,д) пятая семья – 0 звонков,д) пятая семья – 0 звонков,е) шестая семья – 5 звонков.е) шестая семья – 5 звонков.

Задача 35Задача 35

Задание 3Задание 3Обведи на графе красным цветом стрелки, Обведи на графе красным цветом стрелки, обозначающие разговор междуобозначающие разговор междуа) третьей и пятой семьями,а) третьей и пятой семьями,б) первой и четвертой семьями,б) первой и четвертой семьями,в) второй и третьей семьями.в) второй и третьей семьями.

Решение

Задача 35Задача 35

Задание 3

Задача 35Задача 35

Задание 4Задание 4

Ответь на вопрос задачи.Ответь на вопрос задачи.

Решение

Задача 35Задача 35

Задание 4

15 звонков15 звонков

Задача 35Задача 35

Задание 5Задание 5Проверь свой ответ, составив таблицу, Проверь свой ответ, составив таблицу, соответствующую данной задаче.соответствующую данной задаче.

Решение

Задача 35Задача 35 Задание 5

15 звонков15 звонков

––

–– ––

–– –– ––

–– –– –– ––

–– –– –– –– ––

–– –– –– –– –– ––

Задача 36

Поставь скобки так, чтобы получились верные равенства:

а) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 0;

б) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 28;

в) 8 + 40 : 8 – 3 ∙ 2 = 24

Решение

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Задача 36

а) (8 + 40) : 8 – 3 ∙ 2 = 0

б) 8 + 40 : (8 – 3 ∙ 2) = 28

в) 8 + 40 : (8 – 3) ∙ 2 = 24

Задача 37Задача 37

Задание 1Задание 1

Задание 2Задание 2

Задание 3Задание 3

Задание 4Задание 4

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Этап отработки умения

выполнять организованный перебор

Задача 37Задача 37

Задание 1Задание 1

На отрезке АВ поставь три точки и обозначь На отрезке АВ поставь три точки и обозначь их буквами М, К, Е.их буквами М, К, Е.

РешениеРешение

Задача 37Задача 37

Задание 1Задание 1

Задача 37Задача 37

Задание 2Задание 2

Ответь на вопрос: сколько новых отрезков Ответь на вопрос: сколько новых отрезков получилось?получилось?

РешениеРешение

Задача 37Задача 37

Задание 2Задание 2

9 отрезков9 отрезков

Задача 37Задача 37

Задание 3Задание 3

Проверь свой ответ, достроив граф.Проверь свой ответ, достроив граф.

РешениеРешение

Задача 37Задача 37

Задание 3Задание 3

Задача 37Задача 37Задание 4Задание 4

Запиши в таблицу все новые отрезки.Запиши в таблицу все новые отрезки.

Сколько клеток ты заполнил?Сколько клеток ты заполнил?

РешениеРешение

АА ВВ ММ КК ЕЕ

АА - - АМ

ВВ

ММ

КК

ЕЕ

Задача 37Задача 37

Задание 4Задание 4

9 клеток9 клеток

АА ВВ ММ КК ЕЕ

АА - - АМ

ВВ

ММ

КК

ЕЕ

АКАК АЕАЕ

ВМВМ ВКВК ВЕВЕ

МКМК МЕМЕ

КЕКЕ

-- --

--

--

--

-- --

--

------ --

----