В. С. Филинов

Квантовое моделирование термодинамических и кинетических

свойств неидеальной кварк – глюонной плазмы

В. С. Филинов

Объединенный институт высоких температур РАН, Москва

Содержание докладаСодержание доклада Превращения вещества при высоких давленияхПревращения вещества при высоких давлениях Квантовое описание КГП с помощью Квантовое описание КГП с помощью

интегралов по траекториям интегралов по траекториям Квантовые эффекты в межчастичном Квантовые эффекты в межчастичном

взаимодействии и «цветовой» потенциал взаимодействии и «цветовой» потенциал Кельбга Кельбга

Термодинамические величины КГПТермодинамические величины КГП Вигнеровская формулировка квантовой Вигнеровская формулировка квантовой

механики в фазовом пространстве механики в фазовом пространстве Интегральная форма «цветового» уравнения Интегральная форма «цветового» уравнения

Вигнера – Лиувилля Вигнера – Лиувилля Квантовое и «цветовое» обобщение Квантовое и «цветовое» обобщение

классического метода молекулярной динамики классического метода молекулярной динамики Кинетические коэффициенты КГПКинетические коэффициенты КГП

Превращения вещества при больших Превращения вещества при больших давлениях и высоких темпратурахдавлениях и высоких темпратурах

14 310 /g cm

15 32.510 /g cm

3/1 cmg

Квантовые числа – «цвет» и «аромат»

Атомное ядро адроны (прононы, нейтроны) -«безцветные связанные состояния «одетых» кварков;

массивные «цветные одетые» кварки, в оболочке вакуумных виртуальных кварков

Точки - «цветные» (легкие) токовые кварки в лагранжиане КХД

Кружочки:

КХД схема возможных превращений вещества при экстремальном сжатии

1 2

1 и 2 -два КХД сценария фазового перехода в фазу деконфайнмента цветных кварков и исчезновения оболочек вакуумных виртуальных кварков и антикварков

Квантовая квазичастичная модель КГПКвантовая квазичастичная модель КГП

Phase diagram(F.Karsch)

?

massive dressed quarks and soft gauge fields

Feinberg, Litim, Manuel, Stoecker, Bleicher,, Richardson, Bonasera,Maruyama, Hatsuda, Shuryak,….Confinement

Chiral restoration

Суммирование диаграмм в квантовой хромодинамики и расчеты в рамках решеточных моделей КХД показывют, что КГП в определенной области фазовой диаграммы может рассматриваться как система «одетых» квазичастиц,сильно взаимодействующих с помощью «цветового» кулоновского потенциала. Кварковые, антикварковые и глю- онные квазичастицы формируются благодаря сильному взаимодействию с виртуальными вакуумными кварк - глюонными флуктуациями. Масса и «время жизни» квазичастиц зависят от температуры и химического потенциала (=0 при T~Td или выше Td и ниже Tc если Td<Tc)

Основные приближения квазичастичной модели КГП

1) Во взаимодействие квазичастиц преобладает «цветовой кулоновский» потенциал ~ g2 <Q|Q> / r, со слабо зависящей от межчастичного расстояния «константой» взаимодействия g и «цветовыми зарядами» Q.

2) В качестве «цветовых» зарядов Q используются средние значения операторов «цвета» КХД , которые для группы «цвета» SU(3) можно представить в виде 8-мерных векторов. (Здесь (Q|Q) скалярное произведение векторов Q).

3) В данной модели рассматриваются кварковые и антикварковые релятивистские «цветовые» квазичастицы, соответствующие наиболее стабильным кваркам трех «ароматов» (up, down and strange).

4) Кварковые квазичастицы имеют одинаковую массу отличную от массы глюонов

Параметры модели 1) Зависимость массы квазичастиц от T и химического потенциала 2) Зависимость константы g от T и химического потенциала Параметры модели должны быть взята из оценок КХД или

экспериментальных данных и использованы в квантовом операторе Гамильтона H.

Данная модель обобщает модель, предложенную в статье

Shuryak , Phys.Lett.B478,161(2000), Phys. Rev. C, 74, 044909, (2006)

Термодинамика релятивистской КГП

, , , , , ,

, 0, , exp( ( ))

, , , / ! ! ! ! ! ! !

;

u d s gdu s

g q qN N N N N N N

q g u d s gq u d s

q u d s q u d s

V N N

Z N N N N N N N N N N

N N N N N N N N

, , , , , ;q q g

V

Z N N N drd Q r Q

++++++++++++++++++++++++++++

exp ( ) exp ( ) exp ( )H H H

n+1 1n kT1

Большая статистическая сумма

2 2

22 2

,

( )

(| |, ) |( )

4 | |

C a a Ca

a b a ba a

a a b a b

H K U p m U

g r r Q Qp m

r r

в SU(3) интеграл по мере Хаара

Интегралы по траекториям Метод Монте - Карло

11

33 3, ,

1, , ; 1 P

q q gq gq

nn

NN NP P P P Vq gq

r Q dr dr d Q d Q

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

(2) ( ) 11 1ˆ ˆ ˆ, ; , ; , , ;n nn nr Q r Q r Q ;Pr PQ S P

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

spinmatrix

parity ofpermutations

q’b

Qa ,rb antiquark

, ', , ',1/q q g q q gm qa

quark, antiquark, gluon

Qa,ra,

q

r

3 2 3, , ', , ', , ',2 ( / ( 1) )q q g q q g q q gm n T

r(1) = r + (1)

r(2)

r(n)

r(n+1) r’

Qc,rc gluon

gc

),;,()(),;,( )()1()()()1()()1()1()()( llllllllll QrQrQQQrQr

Цветовой кулоновский Цветовой кулоновский потенциал и потенциал потенциал и потенциал

КельбгаКельбгаab ab abx r 2 2ab ab

2|

4a b

ab ab

Q Q g

x

ab abr

22|

, 1 14

abxab a bab ab ab

ab ab

Q Q gx e x erf x

x

0abr

Richardson, Gelman, Shuryak, Zahed, Harmann, Donko, Levai, Kalman (r=0 ?)

Objects Q are color coordinates of quarks and gluonsThere is no divergence at small interparticle distances and it has a true asymptotics (T, xab )

Ha -> kBTc , Tc =175 Mev, Tc < T, ma ~ kBTc/c2 , Lo ~ hc/kBTc , rs= <r>/Lo~0.3,

Lo~1.2 10-15 m

2|~

4a b

ab

Q Q g

Параметры модели при1) Константа взаимодействия

( ) ~ / ~ 5T U K

2( ) ( ) / 4 1T g T

Плотность кварков - из расчета в БКА, rs – радиус Вигнера-Зейтца

2) Массы квазичастиц: mq, mq, mg

Отношение потенциальной энергии к кинетической

0B

Уравнение состояний, энергия, энтропияУравнение состояний, энергия, энтропия The trace anomaly.

Сравнений с расчетами в решеточной модели КХДСравнений с расчетами в решеточной модели КХД (2+1 (2+1) )

The QCD equation of state with dynamical quarks Szabolcs Borsanyi, Gergely Endrodi, Zoltan Fodor, Antal Jakovac, Sandor D. Katz, Stefan Krieg, Claudia Ratti, Kalman K. Szabo, JHEP 11 (2010) 077

1.0 1.5 2.0 2.5 3.08

9

10

11

12

13

PIMC lattice (2010)

/T4

T/Tc

Вигнеровская формулировка квантовой механики

в фазовом пространстве

2

( , )( , );

( ,0) ( );

( )2

o

q tih H q t

tq q

hH V q

m

WL – функция Вигнера -Лиувилля

Квантовая динамикаКвантовая динамика

,Ht

i

deqqpqW ipNd

L ,,

dpep

qqWqq pqqiL ,,

dsqstqspdsW

qW

mp

tW L

LL

,,,

'

sin,sq

qqUqdqs Nd

pW

qU

qW

mp

tW LLL

mp

q qU

p

Матрица плотности:

Функция Вигнера:

Уравнение Вигнера - Лиувилля:

Классический предел ħ 0:

Характеристики уравнеия Вигнера-Лиувилля (уравненмя Гамильтона)

qqqq *, C

RW L

Интегральная форма квантового уравнения Вигнера – Лиувилля

, ,p q t

0 0 0 0 0 0 0

' ' ' ' ' ' '

0

, , , , ; , ,0 ,

' , , ; , , ' , , ' ,

L W

tW L

W p q t p q t p q W p q dp dq

d dp dq p q t p q dsW p s q s q

' ' ' ', | ; , , 't t

dpF q t q t p q q

dt

' ' ' ', | ; , , 't t

dqp t m p t p q p

dt

Классические динамические траектории :

',, '' qp

p q

',,;()',,;()',,;,,( '''''' qptqqqptppqptqp ttW

Функция Грина :

p q

, ,p q t, ,p q t

',, '' qp

Решение интегрального уравнения.

Итерационный ряд. Квантовые средние. 0 0 0 0

0

0 1

0

( , , ) ( , ,0) ( , , ) ( , ) ....

`| ( , , ) ( , ) | |

!

tL L L

t nL

n

W p q t W p q d dsW p s q s q

t Qd dsW p s q s q

n

s

0 0 0( , )LW p q( , , )LW p q t

t

q

p

0

0 0 0( , )LW p q

Начальная функция. Уравнение Климонтовича и условия Татарского

Квантовая динамика в фазовом пространстве

mtp

dtqd

tqFdtpd

)(

))((

0~ ( (0), (0))LP W p q

)0()( ptp)0(),0( qp

)(),( tqtp sign ( (0), (0))Lweight W p q

Случайные скачки импульса

Средние символов Вейля

операторов

Виртуальные классические траектории

Виртуальные квантовые траектории

Метод молекулярной динамики, как классический предел квантовой динамики

mtp

dtqd

tqFdtpd

)(

))((

0 ( (0), (0)) ~ exp( ( (0), (0))CW p q H p q

)0()( ptp

)0(),0( qp

)(),( tqtp

Кинетические свойства релятивистских квазичастиц КГП. Формулы Кубо

1

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 22

1 1 1 2 2 2

1

( ) {exp( ) exp( ) exp( )}

1( ), , {exp( )}

1( ) ( , , ) ( , , )

(2 )

( , , ; , , ; ; ),

( , , ) exp( ) | |2 2

(

FA

FA

Ht HtG t Z Tr H F i A i

h h

H K V qQ Z Tr HkT

C t d Q dp dq d Q dp dq F p q Q A p q Qh

W p q Q p q Q t i h

pA p q Q d i q A q

h

W p

1 1 1 2 2

1 1 2 2 2 1 2

*1 2 2 1

1 2 2 1

, , ; , , ; ; ) exp( )exp( )

| exp( ) | | exp( ) |2 2 2 2

c c

p pq Q p q Q t i h Z d d i i

h h

Ht Htq i q q i q

h h

Представление Гейзенберга оператора А

Интегральное уравнение Вигнера - Лиувилля0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2

1 1 1 2 2 2 1 1 2 2

0

1 1 2 2 1 1 2 2

( , , ; , , ; ; ) ( , , ; , , ;0; ) ( )

( , , ; , , ; ; ) ( , , ; , , ),

1( , , ; , , ) { ( , , ) ( ) ( , , ) (

2

t

W p q Q p q Q t i h W p q Q p q Q i h Q Q

d ds d W p s q Q p q Q i h s q Q q Q

s q Q q Q s q Q q Q

1,

1 1 11 12 2

1

,1,

1, 1 1,

1 1 1 1

)}, ( , ) ( , )

4 2 ' ( )( , , ) ' ( ', ) ( ) ( , )

(2 )

1 1, ( , ),

2 2( )

1( , ),

2

( , , ,

ci

q

t t tt t

t

t ai abc b t t

i Qb c

t

s F q Q V q Q

sq d sq Q dq V q q Q Sin F q Q

h h h ds

dq p dpF q Q

dt dtm p

dQf Q V q Q

dt

p t p q Q

2,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 22 22 2

2

,2,

2, 2 2,

2 2 2 1 2 2

) , ( , , , ) , ( , , , )

1 1, ( , ),

2 2( )

1( , ),

2

( , , , ) ,

ci

t t

t t tt t

t

t ai abc b t t

i Qb c

t

p q t p q Q q Q t p q Q Q

dq p dpF q Q

dt dtm p

dQf Q V q Q

dt

p t p q Q p q

2 2 1 2 2 2 2 2 2( , , , ) , ( , , , )t tt p q Q q Q t p q Q Q

Характеристики временной эволюции в будущее t>0 и прошлое t<0 – следствиепредставления Гейзенберга операторов

Характеристики «цвета» в SU(3)

Начальные условия t=0

Релятивистские уравнения Гамильтона

t>0

t<0

Пояснения к квантопой динамике в «цветном» фазовом пространстве

Mqqq ...21

Mqqq ~...~~21

e

p1q1Q

p2q2Q

exp(-K) exp(-V)

t=0

-t/2

+t/2

<p(-t/2)p(t/2)> 0h

Траектории в будущее t>0 соответствуют знаку плюс в экспоненте

Траектории в прошлое t<0 соответствуют знаку минус в экспоненте

( ) ~ {exp( ) exp( / ) exp( / )}AFC t Tr H F itH h A itH h

Автокорреляционная функция скоростей и коэффициент

диффузии КГП

0

1

lim ( ) lim ( )

( ) ( / 2) ( / 2)

1( / 2) ( / 2)

3

t

t t

N

i ii

D D t d D

D v v

v vN

Автокорреляционная функция тензора сдвиговой вязкости и сдвиговая вязкость КГП

0

, ,1

lim ( ) , ( ) ( / 2) ( / 2)3

1 1( ) /

2

t

t XY XYX YB

N

XY ix iy i ij x ij yi i j

nd

k T

p p m r FN

Сравнение коэффициента Сравнение коэффициента диффузии и сдвиговой вязкрсти диффузии и сдвиговой вязкрсти с экспериментальными даннымис экспериментальными данными

Релятивистские связанные состояния в гармоническом потенциале эволюция распределения по импульсу z=100,1,0.1. (МФТИ А.Ларкин)

Релятивистские связанные состояния в гармоническом потенциале : замедление собственного времени. (МФТИ А.Ларкин)

Релятивистские связанные состояния в гармоническом потенциале: эволюция распределения по скорости z=1, 0.1. (МФТИ А.Ларкин)

ВыводыВыводы

• Представление термодинамических величин в виде интегралов по траекториям и метод Монте – Карло являются эффективным средством расчета термодинамических свойств КГП •Сочетание квантовой вигнеровской динамики и динамики «цвета» Вонга позволяет провести квантовое обобщение известного метода молекулярной динамики и рассчитывать кинетические свойства КГП •Результаты расчетов согласуются с доступными теоретическими и экспериментальными данными . •Развитый нами подход эффективен для исследования термодинамических и кинетических свойств произвольных квантовых неидеальных плазменных сред (кварк -гдюонная, электронно – дырочная, водородная плазмы)

Благодарю за внимание Благодарю за внимание