Красота радует…

Красота Красота радует…радует…

Штауб Ирина ЮрьевнаШтауб Ирина ЮрьевнаУчитель русского языка и литературыУчитель русского языка и литературыМОУ Гимназия № 56МОУ Гимназия № 56

Красота - Красота - 1. ед. Все красивое, прекрасное, 1. ед. Все красивое, прекрасное,

все то, что доставляет все то, что доставляет эстетическое и нравственное эстетическое и нравственное наслаждение. наслаждение.

2. мн. Красивые, прекрасные 2. мн. Красивые, прекрасные места. места.

3. Красота!, в знач. сказ. о чем-н. 3. Красота!, в знач. сказ. о чем-н. очень хорошем, впечатляющемочень хорошем, впечатляющем. .

пирамидапирамида

Красота радует Красота радует взорвзор

Красота радует Красота радует слухслух

Сосуд она, в котором Сосуд она, в котором пустота,пустота,

Или огонь, мерцающий Или огонь, мерцающий в сосуде?в сосуде?

(Заболоцкий)(Заболоцкий)

Красота радует…Красота радует…

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – это Теорема Пифагора, а другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота;второе же больше напоминает драгоценный камень. И.Кеплер.

АВ

СВ

СВ

АС =0,618

«Генеалогическое древо кроликов» в задаче Фибоначчи.

Золотое сечениев

животном мире

ва

в

в

а

Математик, так же, как и художник Математик, так же, как и художник или поэт, создаёт узоры. И если эти или поэт, создаёт узоры. И если эти узоры более устойчивы, то лишь узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей. потому, что они составлены из идей. И они обязаны быть прекрасными: И они обязаны быть прекрасными: подобно краскам и словам – подобно краскам и словам – гармонически соответствовать друг гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое другу. Красота есть первое требование: в мире нет места требование: в мире нет места некрасивой математике.некрасивой математике.

(Г. Харди, английский математик)(Г. Харди, английский математик)

Дано:Дано:1F

F2F1A

A

21

21

21

;

120

;72

;

FF

Найти

НF

AFF

FF

Две равные по величине силы приложены к одной точке под

углом 72˚ друг к другу. Найдите величины этих сил, если

величина их равнодействующей равна 120 Н.

FРешениеРешение

(По опр.

)/72sin

72sin*

72)2

90)1

:

21

21

12

1

21

AFAA

AFAA

AAF

A

FAAРассмотрим

)/36sin

36sin*

36)2

90)1

:

1

1

1

1

AFAA

AFAA

F

A

FAAРассмотрим

(По опр. )(2,74:

)(17,74809,0/60

36cos/60

6036cos*

36sin*12036cos*36sin*2

36cos*36sin*2)36*2sin(72sin

cos*sin*22sin

36sin*72sin*

21

1

21

2

2

2

НFFОтвет

НF

AFF

AF

AF

AAA

AFAF

Тогда

По формуле синуса двойного

аргумента

1F

F2F1A

A

Вывод:Вывод: красота данной задачи красота данной задачи заключается в том, что здесь воедино заключается в том, что здесь воедино сливаются два предмета геометрия и сливаются два предмета геометрия и физика. Из физики взяты две силы, физика. Из физики взяты две силы,

которые в геометрии практически не которые в геометрии практически не используются. Задача плавно переходит используются. Задача плавно переходит из физики в геометрию. Рассмотрев два из физики в геометрию. Рассмотрев два разных треугольника с общей стороной, разных треугольника с общей стороной,

мы решили по формуле синуса мы решили по формуле синуса удвоенного аргумента. Мы эту формулу удвоенного аргумента. Мы эту формулу

еще не проходили, но поискав в еще не проходили, но поискав в математическом справочнике, математическом справочнике,

использовали её для презентации. По использовали её для презентации. По данной формуле мы свели к минимуму данной формуле мы свели к минимуму тригонометрические вычисления углов. тригонометрические вычисления углов. Задача решена очень просто - «за два Задача решена очень просто - «за два счета». По нашему мнению эта задача счета». По нашему мнению эта задача

является логичной, оригинальной и является логичной, оригинальной и креативной.креативной.

Для определения ширины реки отметили два пункта А и Вна берегу реки на расстоянии 70 метров друг от другаи измерили углы САВ и АВС, где С – дерево, стоящее на

другом берегу у кромки воды. Оказалось, что0312 САВ

'4872АВС

. Найдите ширину реки.

70

8472

0312

АВ

hСН

В

А

АВС

Найти - h

ДАНО

1. Рассмотрим АВС:По т. Синусов:

C

АВ

A

BC

sinsin

C

AАВВС

sin

sin

8494)84720312(180)(180 ВAC

8185sin)8185180sin(8494sin (По формуле приведения)

2,159966,0

2164,070

8185sin

0312sin70

ВС

2.Рассмотрим ВСН:

BC

СHВ sin

BBCh sin

По опр. синуса

5,149553,02,158472sin2,15 h

Мы считаем, что наша задача очень жизненна.Со стороны математики она решалась не очень сложно. Мы нашли много способов ее решения. Мы думаем, что наша задача красива еще и потому, что нам доставило удовольствие решать ее, т.к она была интересной и познавательной.

Найдите биссектрисыНайдите биссектрисы треугольника треугольника, если , если одна из его сторон равна одна из его сторон равна a, а прилежащие к a, а прилежащие к этой стороне углы равны этой стороне углы равны ∂∂ и B. и B.

D

F

E

N

M

K

Дано:▲DEFDF=a∟FDE=∂∟ DFE=BEN, DM, FK - биссектрисы

Найти:EN, DM, FK

a

∂

B

Решение:

1) Найдем1) Найдем угол DEF: угол DEF:

2

MDF

2180DMF

22180

sinsin

sin

MFDMа

22180 sin

sin

sin

sin aaDM (по формуле (по формуле

приведения)приведения)

(по теореме синусов)(по теореме синусов)

2) Рассмотрим ▲DFM:

180DEF

D

F

E

N

M

K

a

∂

B

3) Рассмотрим ▲DKF:

2180180

DKFDKF

22180

sinsin

sin

DKFK

22180

sin

sin

sin

sin aaFK

(по теореме синусов)(по теореме синусов)

(по формуле (по формуле приведения)приведения)

D

F

E

N

M

K

a

∂

B

4) Рассмотрим ▲EFN: 2

180

2

DEFNEF

290

2

180

2

1802360

2

180180180

NEFENF

sinsinsin

EDaEF

180

sin

sin

sin

sin aaEF

180

(по теореме синусов)(по теореме синусов)

(по формуле(по формуле приведения)приведения)

D

F

E

N

M

K

a

∂

B

290

290

sinsin

sin

NFEFEN

(по теореме синусов)(по теореме синусов)

ТогдаТогда

2290

cossin

sinsin

sin

sinsin

sina

a

EN

2290

cossin

sinsin

sin

sinsin

sina

a

EN

( по формуле( по формуле приведения, если приведения, если B≥∂B≥∂ ))

( по формуле( по формуле приведения, если приведения, если B<∂B<∂ ))

D

F

E

N

M

K

a

∂

B

ОтветОтвет::

2sin

sin aDM

2

sin

sin aFK

2

cossin

sinsin aEN

2

cossin

sinsin aEN

(при (при B≥∂B≥∂ ))

(при (при BB<<∂∂ ))

Красивые задачиКрасивые задачи

Все гениальное просто. Все гениальное красиво. Или можно Все гениальное просто. Все гениальное красиво. Или можно сказать: все простое красиво. сказать: все простое красиво.

Если честно, то дать определение выражению «Красивая Если честно, то дать определение выражению «Красивая задача» оказалось не так легко. Мы привыкли сочетать слово задача» оказалось не так легко. Мы привыкли сочетать слово «Красивая» с гораздо более банальными вещами: красивый «Красивая» с гораздо более банальными вещами: красивый

человек, красивая картина, красивый гол, в конце концов. Но с человек, красивая картина, красивый гол, в конце концов. Но с красивыми задачами сталкиваться нам еще не приходилось. красивыми задачами сталкиваться нам еще не приходилось. Вернее сказать, приходилось, но мы не подозревали об их Вернее сказать, приходилось, но мы не подозревали об их

красоте. А красивыми задачами мы условились называть такие, красоте. А красивыми задачами мы условились называть такие, которые соответствуют следующим признакам:которые соответствуют следующим признакам:

а)Задача должна иметь минимальное количество условийа)Задача должна иметь минимальное количество условийб)При первом прочтении у решающего должно возникнуть б)При первом прочтении у решающего должно возникнуть

впечатление, что задачу эта с предоставленным минимумом впечатление, что задачу эта с предоставленным минимумом условий не решаетсяусловий не решается

в)Решение данной задачи должно быть простым и логичным. в)Решение данной задачи должно быть простым и логичным. Чтобы когда не решивший задачу человек, увидев насколько Чтобы когда не решивший задачу человек, увидев насколько

легко она решается, с досады стукнул себя по лбу, удивившись легко она решается, с досады стукнул себя по лбу, удивившись своей глупости.своей глупости.

Задача №1, которую мы решали,Задача №1, которую мы решали, соответствует всем соответствует всем вышеперечисленным признакам. Там даны всего лишь два угла вышеперечисленным признакам. Там даны всего лишь два угла

и сторона. И только подумав, понимаешь, что найти все три и сторона. И только подумав, понимаешь, что найти все три биссектрисы треугольника не составляет особого труда. биссектрисы треугольника не составляет особого труда.

Все гениальное просто. Все гениальное красиво.Все гениальное просто. Все гениальное красиво.В началоВ начало

Задача № 4Задача № 4

В параллелограмме смежные стороны равны 11 см и 23 см, а диагонали относятся как 2:3. Найти диагонали параллелограмма.

Дано: АВСD – параллелограммАВ = 11 смАD = 23 смАВ и АD – смежные стороныВD : АС = 2:3Найти: ВD и АС

Решение:Из треугольника АВD:BD2 = АВ2 + АD2 – 2*AВ*АD* соsA ( по т. Косинусов)ВD2 = 121 + 529 – 2*11*23* соsA BD2 = 650 – 506 cоsA

Из треугольника ABC: АC2=AB2+BC2–2*AB*BC*cos B(по т.Косинусов)Где угол В=180- А( по свойству параллелограмма) cos B=cos (180– А)=-cos A(формула приведения)следовательно АC2=AB2+BC2+2*AB*BC* cos AAC2 =650 + 506 * cos A

Пусть x (см) составляет одну часть, тогда BD = 2x (см), AC = 3x (см) (по

условию задачи), то составим и решим систему уравнения. (2x)2 = 650 - 506 cos A(3x)2 = 650 + 506 cos A

13x2 = 1300x2 = 100x1 = 10

x2 = -10 (не подходит по смыслу задачи)Тогда BD = 2*10= 20AC = 3*10 = 30(см)

Ответ :BD = 20 (см); AC = 30 (см).

Красивая задачаКрасивая задача = гениальная = гениальная + легкая + удивительная + + легкая + удивительная + заманчивая + удовлетворенность заманчивая + удовлетворенность от решения + неожиданная + от решения + неожиданная + логичная + изумительная + логичная + изумительная + упоительная + проникновенная + упоительная + проникновенная + сладкая + страстная + краткая + сладкая + страстная + краткая + интересная + ясная + интересная + ясная + прекрасная + красивая + прекрасная + красивая + сложная + веселая.сложная + веселая.

Задача № 5Задача № 5

В одном параллелограмме В одном параллелограмме были измерены две были измерены две смежные стороны (а и смежные стороны (а и bb) и ) и угол между диагоналями угол между диагоналями Чему равна его площадь?Чему равна его площадь?

Дано: ABCD-

параллелограмм AC и BD-диагонали AB=a, Смежные BC=b стороны AC ∩ BD = 0 <AOB = a Найти SABCD

A

B

D

C

a

b

O

РешениеРешение SSABCD ABCD =2S=2S AOBAOB +2S +2S BOCBOC

1)S 1)S AOB AOB =1\2BO*AO*sin =1\2BO*AO*sin 2)S 2)S BOC BOC =1\2BO*OC*sin<BOC==1\2BO*OC*sin<BOC=

==1\2BO*AO*sin(1801\2BO*AO*sin(180°- °- )). (т.к. . (т.к. <AOB <AOB и и <BOC<BOC – смежные), – смежные), ((sin sin по формуле по формуле приведенияприведения).).

=> => 1S 1S AOB AOB == S S BOCBOC, тогда , тогда AOBAOB ии

BOCBOC – равновеликие. – равновеликие. Значит, Значит, SSABCDABCD = 4 = 4S S AOB AOB

=4*1\2*=4*1\2*AO*BO*sin AO*BO*sin =2AO*BO*sin =2AO*BO*sin

A

B

D

C

a

b

O

Найдем Найдем AO*BO=?AO*BO=? 3)3)из из AOB AOB по по cos: acos: a22==BOBO2 2 ++ AAOO2 2 –– 2BO*AO *cos 2BO*AO *cos - & - & 4)4)изиз BOC BOC по по cos: cos: bb22==BOBO2 2 ++ OCOC2 2 –– 2BO*OC *cos (180 2BO*OC *cos (180°- °-

)) bb22=A=AOO2 2 ++ BBOO2 2 ++ 2 2AAO*BO *cos O*BO *cos - # ( - # (т.к.т.к.cos (180cos (180°- °- )=-cos )=-cos

)) Из равенства Из равенства && выразим выразим AAOO2 2 ++ BBOO22= = aa22 ++ 22AAO*BO *cos O*BO *cos

Из равенства Из равенства ## выразим выразим AAOO2 2 ++ BBOO22= = bb22 - -22AAO*BO *cos O*BO *cos

A

B

D

C

a

b

O

==> a> a22 ++ 22AAO*BO *cos O*BO *cos bb22 - -22AAO*BO *cos O*BO *cos 2AO*BO* cos 2AO*BO* cos ++ 22AAO*BO* cos O*BO* cos = = bb2 2 ––aa22

4AO*BO*cos 4AO*BO*cos = = bb2 2 ––aa22

AO*BO= AO*BO= bb2 2 ––aa22/4cos /4cos Итак,Итак,SSABCD ABCD ==2*(2*(bb2 2 ––aa22/4cos /4cos )*)*sin sin ==((bb22 – a– a22)*)*

sin sin //22cos cos = = ((bb2 2 ––aa22//22)*tg )*tg

A

B

D

C

a

b

O

Что такое «Красивая задача»?Что такое «Красивая задача»?

ИнтереснаяИнтересная С некоторыми сложностямиС некоторыми сложностями ЗагадочнаяЗагадочная НеобычнаяНеобычная НепредсказуемаяНепредсказуемая

Красота и гармония – Красота и гармония – важнейшие категории важнейшие категории познания. В конечном итоге, познания. В конечном итоге, художник ищет истину в художник ищет истину в красоте, а учёный – красоту в красоте, а учёный – красоту в истине.истине.

Красота радует Красота радует взор, слух и разумвзор, слух и разум

Домашние заданиеДомашние задание

В треугольнике АВС даны стороны а, в, с, где Lс- биссектриса угла С. Доказать, что для треугольника АВС справедливо равенство Lс=(2ав cos c:2):(a+b).