Στάσιμα κύματα

Στάσιμα κύματαΣτάσιμα κύματα

Στάσιμα κύματα Στάσιμα κύματα δημιουργούνται:δημιουργούνται:

στη χορδή της στη χορδή της κιθάρας ή του πιάνουκιθάρας ή του πιάνου

στην αέρια στήλη στο στην αέρια στήλη στο κλαρίνοκλαρίνο

στα τύμπανα,στα τύμπανα,

αλλά καιαλλά και στο νερόστο νερό..

Τι είναι το στάσιμο κύμαΤι είναι το στάσιμο κύμα

Τι παρατηρείτε;Τι παρατηρείτε; Υπάρχουν σημεία του μέσου που Υπάρχουν σημεία του μέσου που

παραμένουνπαραμένουν διαρκώς ακίνηταδιαρκώς ακίνητα. .

Τα σημεία αυτά λέγονται: Τα σημεία αυτά λέγονται: δεσμοίδεσμοί.. Όλα τα άλλα σημεία του μέσου Όλα τα άλλα σημεία του μέσου

ταλαντώνονται με τηνταλαντώνονται με την ίδια ίδια συχνότητασυχνότητα..

Το πλάτος της ταλάντωσης Το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι δεν είναι ίδιοίδιο για όλα τα σημεία που για όλα τα σημεία που ταλαντώνονται.ταλαντώνονται.

Υπάρχουν σημεία του μέσου που έχουν Υπάρχουν σημεία του μέσου που έχουν μέγιστο πλάτοςμέγιστο πλάτος ταλάντωσης. ταλάντωσης.

Τα σημεία αυτά λέγονται: Τα σημεία αυτά λέγονται: κοιλίεςκοιλίες.. Οι κοιλίες βρίσκονται στο Οι κοιλίες βρίσκονται στο μέσομέσο της της

απόστασης μεταξύ απόστασης μεταξύ δύο διαδοχικών δύο διαδοχικών δεσμώνδεσμών. .

Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται στάσιμο κύμαστάσιμο κύμα..

Το στάσιμο κύμα Το στάσιμο κύμα δενδεν είναι κύμα είναι κύμα!! Αντίφαση: Αντίφαση: στάσιμοστάσιμο = ακίνητο και = ακίνητο και

κύμακύμα = διαταραχή που τρέχει. = διαταραχή που τρέχει. Στο κύμα: Στο κύμα: όλαόλα τα σημεία εκτελούν τα σημεία εκτελούν

διαδοχικάδιαδοχικά την την ίδια κίνησηίδια κίνηση.. Στο στάσιμο: δε συμβαίνει το ίδιο.Στο στάσιμο: δε συμβαίνει το ίδιο.

Πως δημιουργείται ένα στάσιμο κύμαΠως δημιουργείται ένα στάσιμο κύμα

httphttp://://wwwwww..phyphy..ntnuntnu..eduedu..twtw//javajava//waveSuperpositionwaveSuperposition//waveSuperpositionwaveSuperposition..htmlhtml

Παραγωγή στάσιμου κύματοςΠαραγωγή στάσιμου κύματος

Πως δημιουργείται ένα στάσιμο κύμαΠως δημιουργείται ένα στάσιμο κύμα

Το στάσιμο κύμα, που μελετάμε, είναι αποτέλεσμαΤο στάσιμο κύμα, που μελετάμε, είναι αποτέλεσμα της της συμβολήςσυμβολής δύο δύο όμοιωνόμοιων κυμάτων, κυμάτων, τα οποία διαδίδονται στο τα οποία διαδίδονται στο ίδιο μέσοίδιο μέσο,, σε σε αντίθετες κατευθύνσειςαντίθετες κατευθύνσεις..

Μαθηματική μελέτη Μαθηματική μελέτη Το αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη Το αρμονικό κύμα που διαδίδεται κατά τη

θετική φοράθετική φορά του άξονα του άξονα xx έχει εξίσωση: έχει εξίσωση:

1 2t x

y AT

1 2t x

y AT

Το δεύτερο Το δεύτερο όμοιοόμοιο κύμα (ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα), κύμα (ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα), που διαδίδεται που διαδίδεται κατά την κατά την αντίθετη φοράαντίθετη φορά, έχει εξίσωση:, έχει εξίσωση:

Σύμφωνα με την Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίαςαρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση , η απομάκρυνση ενός σημείου Σ του μέσου, από τη θέση ισορροπίας ενός σημείου Σ του μέσου, από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή του, τη χρονική στιγμή tt θα είναι: θα είναι:

και

έχουμε

Επειδή

Επειδή 2 2 2

1 2t x

y AT

1 2

t xy A

T

2 2t x t x

y AT T

Η σχέση: Η σχέση:

γίνεται τελικά

2 2t x t x

y AT T

22 2

xy A t

T

Εξίσωση του στάσιμου κύματος

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος παίρνει τη μορφή:

2 y A΄ t

T

22 A A x

όπου

είναι το πλάτος του στάσιμου κύματος

Εξίσωση του στάσιμου κύματος

Η εξίσωση του στάσιμου κύματος είναι η εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης.

Επομένως κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή

αρμονική ταλάντωση. Το πλάτος της ταλάντωσης:

22 A A x

δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία αλλά εξαρτάται από τη θέση x του σημείου και

παραμένει σταθερό με το χρόνο.

Θέση δεσμών Θέση δεσμών

Οι Οι δεσμοίδεσμοί του στάσιμου κύματος είναι τα σημεία του στάσιμου κύματος είναι τα σημεία του μέσου που έχουν:του μέσου που έχουν:

μηδενικό πλάτοςμηδενικό πλάτος ταλάντωσης, δηλαδή ταλάντωσης, δηλαδή παραμένουν συνεχώς παραμένουν συνεχώς ακίνηταακίνητα.. Οι δεσμοί βρίσκονται σε θέση Οι δεσμοί βρίσκονται σε θέση xx, τέτοια ώστε:, τέτοια ώστε:

δηλ.δηλ.2 2 0x

A΄ A

32 , , ..., 2 1

2 2 2

xK

3 , , ..., 2 1

4 4 4x K

όπου όπου ΚΚ = 0,1,2, … = 0,1,2, …

οπότεοπότε

Θέσεις δεσμών

2 0x

δηλ.δηλ.

Θέση κοιλιών Θέση κοιλιών Οι Οι κοιλίεςκοιλίες του στάσιμου κύματος είναι τα του στάσιμου κύματος είναι τα

σημεία του μέσου που έχουν:σημεία του μέσου που έχουν: μέγιστο πλάτοςμέγιστο πλάτος ταλάντωσης, δηλαδή ταλάντωσης, δηλαδή πλάτος Α΄=2Α.πλάτος Α΄=2Α. Οι κοιλίες βρίσκονται σε θέση Οι κοιλίες βρίσκονται σε θέση xx, τέτοια ώστε:, τέτοια ώστε:

δηλ.δηλ.2 2 2x

A΄ A A

0, , 2 , 3 , ...,2 2 2 2

x k

όπου όπου ΚΚ = 0,1,2, … = 0,1,2, …

οπότεοπότε

Θέσεις κοιλιών

2 0, , ...,x

K

2 1x

δηλ.δηλ.

HH απόσταση Δ απόσταση Δxx μεταξύμεταξύ δύο δύο διαδοχικών δεσμώνδιαδοχικών δεσμών,, ή δύο ή δύο διαδοχικών κοιλιώνδιαδοχικών κοιλιώνείναι:είναι:

όπου όπου λλ το μήκος κύματος των κυμάτων το μήκος κύματος των κυμάτων από τη από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.

2x

Η απόσταση αυτή Η απόσταση αυτή λλ/2 ονομάζεται /2 ονομάζεται μήκος μήκος κύματος του στάσιμου κύματοςκύματος του στάσιμου κύματος. .

Αποστάσεις δύο διαδοχικών

δεσμών,

(ή κοιλιών)

HH απόσταση Δ απόσταση Δxx μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι: είναι: λλ/2./2.

Πόσο είναι το μήκος κύματος του κύματος, σε Πόσο είναι το μήκος κύματος του κύματος, σε σχέση με το μήκος της χορδής σχέση με το μήκος της χορδής L, L, σε κάθε σε κάθε φωτογραφία;φωτογραφία;

Απάντηση:Απάντηση:

11ηη φωτο: φωτο: L= L= λλ/2/2..

22ηη φωτο: φωτο: L= 2 L= 2 λλ/2/2..

33ηη φωτο: φωτο: L= 3 L= 3 λλ/2/2..

44ηη φωτο: φωτο: L= 4 L= 4 λλ/2/2..

HH απόσταση Δ απόσταση Δxx μεταξύμεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως ενός δεσμού και της αμέσως

επόμενης κοιλίας είναι:επόμενης κοιλίας είναι:

όπου όπου λλ το μήκος κύματος των κυμάτων το μήκος κύματος των κυμάτων από τη από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα.

4x

ΠαρατήρησηΠαρατήρηση

Οι σχέσεις που δίνουν τις Οι σχέσεις που δίνουν τις θέσεις των δεσμώνθέσεις των δεσμών

ή των κοιλιώνή των κοιλιών

ισχύουν όταν, στη θέση ισχύουν όταν, στη θέση xx==0, 0, έχουμε έχουμε κοιλίακοιλία..

Στην περίπτωση στάσιμων Στην περίπτωση στάσιμων κυμάτων που στη θέση κυμάτων που στη θέση x=x=0 0 έχουμε έχουμε δεσμόδεσμό,,

η εξίσωση του στάσιμου η εξίσωση του στάσιμου κύματος:κύματος:

3 , , ..., 2 1

4 4 4x K

0, , 2 , 3 , ...,2 2 2 2

x k

χρειάζεται χρειάζεται τροποποίησητροποποίηση ώστε, για ώστε, για x=x=0 να δίνει 0 να δίνει δεσμό.δεσμό.

22 2

xy A t

T

ΠαρατηρήσειςΠαρατηρήσειςΤα υλικά σημεία Τα υλικά σημεία μεταξύ μεταξύ

δύο διαδοχικών δεσμώνδύο διαδοχικών δεσμών βρίσκονται συνεχώς σε βρίσκονται συνεχώς σε συμφωνία φάσηςσυμφωνία φάσης..

Αυτό θα πει ότι: Αυτό θα πει ότι: Τη στιγμή που ένα από Τη στιγμή που ένα από

αυτά βρίσκεται στο άκρο αυτά βρίσκεται στο άκρο της δικής του της δικής του ταλάντωσης, καθένα από ταλάντωσης, καθένα από τα υπόλοιπα βρίσκεται τα υπόλοιπα βρίσκεται στο του άκρο της δικής στο του άκρο της δικής του ταλάντωσης.του ταλάντωσης.

Όλα μαζί περνούν από τη Όλα μαζί περνούν από τη θέση ισορροπίας τους.θέση ισορροπίας τους.

ΠαρατηρήσειςΠαρατηρήσεις

Τα υλικά σημεία Τα υλικά σημεία εκατέρωθεν ενός εκατέρωθεν ενός δεσμούδεσμού βρίσκονται βρίσκονται συνεχώς σε συνεχώς σε αντίθεση φάσηςαντίθεση φάσης..

http://www.ngsir.netfirms.com/http://www.ngsir.netfirms.com/englishhtm/StatWave.htmenglishhtm/StatWave.htm

Τι μάθαμεΤι μάθαμε Το στάσιμο κύμα είναι αποτέλεσμα της Το στάσιμο κύμα είναι αποτέλεσμα της συμβολήςσυμβολής

δύο δύο όμοιωνόμοιων κυμάτων, τα οποία διαδίδονται στο κυμάτων, τα οποία διαδίδονται στο ίδιο ίδιο μέσομέσο, σε , σε αντίθετες κατευθύνσειςαντίθετες κατευθύνσεις..

Στο στάσιμο κύμα: Στο στάσιμο κύμα: Υπάρχουν σημεία του μέσου που Υπάρχουν σημεία του μέσου που παραμένουν παραμένουν

διαρκώς ακίνηταδιαρκώς ακίνητα. Τα σημεία αυτά λέγονται: . Τα σημεία αυτά λέγονται: δεσμοίδεσμοί.. Όλα τα άλλα σημεία του μέσου ταλαντώνονται με Όλα τα άλλα σημεία του μέσου ταλαντώνονται με

την την ίδια συχνότητα ίδια συχνότητα αλλά με αλλά με διαφορετικό πλάτοςδιαφορετικό πλάτος ταλάντωσης.ταλάντωσης.

Τα σημεία του μέσου με Τα σημεία του μέσου με μέγιστο πλάτοςμέγιστο πλάτος ταλάντωσης λέγονται ταλάντωσης λέγονται κοιλίεςκοιλίες..

Το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου του Το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου του μέσου είναι από 0 (δεσμός) ως 2μέσου είναι από 0 (δεσμός) ως 2ΑΑ (κοιλία) και (κοιλία) και εξαρτάται από τη εξαρτάται από τη θέσηθέση του σημείου. του σημείου.

Αν τα κύματα που συμβάλλουν έχουν εξισώσεις:Αν τα κύματα που συμβάλλουν έχουν εξισώσεις:

καικαι1 2t x

y AT

2 2t x

y AT

το στάσιμο κύμα έχει εξίσωση:το στάσιμο κύμα έχει εξίσωση:2

y A΄ tT

22 A A x

όπου το πλάτος του στάσιμου κύματος

3 , , ..., 2 1

4 4 4x K

ΚΚ = 0,1,2, … = 0,1,2, …

Οι κοιλίες βρίσκονται στις θέσεις Οι κοιλίες βρίσκονται στις θέσεις xx::

0, , 2 , 3 , ...,2 2 2 2

x k

Οι δεσμοί βρίσκονται στις θέσεις Οι δεσμοί βρίσκονται στις θέσεις xx::

ΚΚ = 0,1,2, … = 0,1,2, …

HH απόσταση Δ απόσταση Δxx μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή δύο διαδοχικών κοιλιών είναι:δύο διαδοχικών κοιλιών είναι:

2x

ενώ η απόσταση Δενώ η απόσταση Δxx μεταξύ ενός δεσμού και της μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας είναι:αμέσως επόμενης κοιλίας είναι:

4x

Μελέτη:Μελέτη: σ. 52-55 σ. 52-55 Ερωτήσεις:Ερωτήσεις: 2.8-2.9, 2.11-2.12 2.8-2.9, 2.11-2.12 Προβλήματα:Προβλήματα: 2.32-2.36 2.32-2.36

Για το σπίτιΓια το σπίτι