Описание световых волн

Основы оптики

кафедра прикладной и компьютерной оптики

Описание световых волн

2

Основные свойства световых полей

Световое поле – электромагнитное поле в оптическом диапазоне частот

Особенности оптического диапазона: в оптическом диапазоне выполняются законы геометрической оптики в оптическом диапазоне свет очень слабо взаимодействует с веществом

рентгеновское излучение

ультрафиолетовое излучение

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 40.0

видимый свет инфракрасное излучение

…

мкм,

Гц1514 1010

3

Параметры уравнений Максвелла

Вектор электрической напряженности поля:),( trEE мвольт /E

),( trHH мА /H

Вектор магнитной напряженности поля:

где t – время, r – радиус-вектор

),( trDD 2/ мклDЭлектрическая индукция:

),( trBB 2/ мвеберBМагнитная индукция:

4

Параметры уравнений Максвелла

Объемная плотность заряда:),( tr 3/ мкл

),( trJJ 2/ мАJ

Поверхностная плотность тока:

)(r

)(r

Электрическая и магнитная проницаемость среды:

5

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла:

уравнения (5-6) – материальные уравнения

(1)

(2)

(3) (5)

(4) (6)

BE

JDH

D

0 B

ED

HB

6

Уравнения Максвелла

Уравнения Максвелла в классических обозначениях:

(1)

(2)

(3)

(4)

BrotE

JDrotH

Ddiv

0Bdiv

(4)

(3)

(2)

(1)

BE

DH

0 D

0 B

Уравнения Максвелла для диэлектрической среды:

7

Скорость света в среде

Для вакуума из уравнений Максвелла можно получить:

где – скорость распространения электромагнитного излучения в вакууме, и – электрическая и магнитная постоянные в вакууме

c

100

скмc 8103

0 0

Для линейных сред электрическая и магнитная постоянные не зависят от интенсивности света

8

Взаимное расположение векторов

Вектор электрической напряженности (E) перпендикулярен вектору магнитной напряженности (H), и оба они перпендикулярны направлению распространения света (S)

E

H

S

9

Пример из тестов

Уравнения Максвелла не учитывают: вторых производных напряженности поля магнитных и электрических свойств среды поляризации поля зависимости характеристик среды от энергии поля плотности энергии поля

(1) скалярные уравнения

(2) уравнения для диэлектрической среды

(3) векторные уравнения

(4) материальные уравнения

(2) –

(4) –

(1) –

(3) –

BE JDH

D 0 B

ED HB

BE

DH0 D 0 B

Установите соответствие между названием группы уравнений Максвелла и их выражениями:

10

Вывод волнового уравнения

Уравнение для ротора электрического поля:

tt

HB

BE

2

2

2

2

tt

tttt

EE

DH

HE

Векторно домножим это уравнение на :

2

22

t E

EE

Воспользовавшись математическими тождествами, получим:

11

Волновое уравнение для электрической составляющей поля

Электрическое поле в диэлектрической среде:0 D

0 E

Электрическое поле в однородной среде:

2

22

t E

E

02

22

t E

E

Волновое уравнение для электрической составляющей поля:

или

12

Волновое уравнение для электрической составляющей поля

Векторное уравнение распадается на три скалярных:

z

y

x

E

E

E

E

2

22

2

22

2

22

t

EE

t

EE

t

EE

zz

yy

xx

13

Волновое уравнение для магнитной составляющей поляВолновое уравнение для магнитной составляющей поля:

2

22

t H

H

z

y

x

H

H

H

H

2

22

2

22

2

22

t

HH

t

HH

t

HH

zz

yy

xx

Векторное уравнение распадается на три скалярных:

14

Волновое уравнение в общем виде

Волновое уравнение в общем виде:

где – любая из составляющих электрического вектора (возмущение поля в точке пространства в какой-то момент времени),

– вторая производная возмущения по пространственным координатам,

– вторая производная возмущения по времени

2

22

t

VV

tzyxV ,,,

V2

2

2

t

V

15

Скорость света в среде

Скорость распространения волны для диэлектриков связана с электрической и магнитной постоянной:

2

1

1

или:

00

cn

Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется показателем преломления данной среды по отношению к вакууму:

16

Волновое уравнение для одной оси координат

Общий вид волнового уравнения:

2

2

22 1

t

VV

2

2

2

1

t

V

x

V

Волновое уравнение для одной оси координат:

17

Пример из тестов

Волновое уравнение описывает: распространение плоских волн в однородной линейной среде распространение гармонического поля в однородной линейной среде распространение векторного поля в неоднородной среде распространение светового поля в однородной линейной

диэлектрической среде распространение светового поля в любой однородной диэлектрической

среде

Вывод волнового уравнения основывается на том, что: длина волны считается бесконечно малой величиной оптические среды не являются магнитными оптические характеристики среды не зависят от длины волны,

пространственных координат и напряженности поля в оптических средах отсутствуют свободные электрические заряды размеры оптических неоднородностей считаются пренебрежимо малыми

по сравнению с длиной волны

18

Монохроматическое поле

Монохроматическое поле – это поле, зависящее от времени по гармоническому закону:

где – амплитуда возмущения (функция пространственных

координат), – циклическая частота изменения поля во времени,

– фаза поля (функция пространственных координат)

T

at

V

))(cos()(),( 0 rrr tatV

)(ra

)(0 r

19

Монохроматическое поле

Характеристики монохроматического поля:

T

at

V

период колебаний T [c]

2

k

волновое число:

2 T

длина волны (пространственный период):

[мм], [мкм], [нм]

2

срад

циклическая частота:

T

1 Гцc 1

частота:

20

Спектр видимого излучения

400 450 500 550 600 650 700

УФ ИК

нм,

21

Монохроматическое поле

Не зависят от показателя преломления: частота циклическая частота период колебаний

Меняются в зависимости от показателя преломления: длина волны волновое число

nkkn 00

0

Длина волны и волновое число в некоторой среде:

где – длина волны в вакууме, – волновое число в вакуумеc

k

0

22

Монохроматическое поле

Волновое возмущение:

где – это эйконал поля:

)(cos)(),( 0 rrr EctkatV

rE

00

0

0

2

k

E нм

23

Монохроматическое поле

Оптическая длина луча nl – это произведение показателя преломления n на геометрическую длину пути l

если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на :

если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на :

если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на :

2

02 E

20

20 E

2

40

420 E

0

nlE Приращение эйконала равно оптической длине луча:

24

Комплексная амплитуда

Экспоненциальное представление комплексных чисел:

где – действительная часть, – мнимая часть

sincos iei cos sin

ctikEikEctk eeaeatV 000 )()( )(Re)(Re),( rr rrr

)(0)( rr Eikea ctike 0

Монохроматическое поле – это действительная часть от функции:

где зависит только от пространственных координат,

зависит только от времени

25

Комплексная амплитуда

Комплексная амплитуда поля:

где – вещественная амплитуда

)()()( 0 r

rrEik

eaU

)()( rr Ua

Однородная волна – волна, у которой вещественная амплитуда не зависит от пространственных координат

)(arg1

)(0

rr Uk

E

)()(arg 0 rr U

Эйконал поля:

где – фаза поля

26

Комплексная амплитуда

При сложении полей их комплексные амплитуды складываются, а временной экспоненциальный множитель можно вынести за скобки и не учитывать :

где – поле 1, – поле 2ctikeUtV 0)(),( 11 rr ctikeUtV 0)(),( 22

rr

21 UUU

27

Пример из тестов

Комплексная амплитуда: входит в уравнения Максвелла для напряженности электрического поля характеризует поле как функцию от эйконала заменяет собой понятие эйконала характеризует амплитуду и фазу поля является функцией от времени и пространственных координат

Чем определяется фаза светового поля? величиной пройденного оптического пути количеством пространственных периодов, для которых амплитуда

постоянна отставанием во времени по отношению к начальному колебанию величиной, обратно пропорциональной пройденному оптическому пути квадратному корню из суммы квадратов пройденных оптических путей

28

Уравнение Гельмгольца

Уравнение Гельмгольца:

или

022 Uk

020

22 UknU

29

Интенсивность поля

Поле меняется во времени с частотой:11510 сек секT 1510

сек1510 Время инерции приемника излучения:

Регистрируется усредненная во времени величина – интенсивность поля

*2UUUI

Интенсивность равна квадрату модуля комплексной амплитуды:

30

Наблюдаемые величины при сложении полей

Суммарная интенсивность при сложении двух полей:

где – поле 1, – поле 2

IIIIIeaaeaaaa

UUUUUUUUUUUUUUUIii cos2 2121

)(2121

22

21

*12

*21

*22

*11

*2

*121

*2

2121

cos2 2121 IIIII

021

2

E

Уравнение интерферограммы:

где – разность фаз поля

интерференция – явление, возникающее при сложении двух полей интерферограмма – картина, наблюдаемая при интерференции

111

ieaU 222

ieaU

31

Сложение когерентных полей

Разность фаз (эйконалов) двух когерентных полей остается постоянной за время инерции приемника суммарная интенсивность определяется уравнением интерферограммы картина распределения интенсивности представляет собой чередование

темных и светлых полос

Регистрируемая картина взаимодействия двух полей, одно из которых референтное, называется голограммой голограмма – это запись полной информации о поле, то есть его

комплексной амплитуды референтное (эталонное) поля – имеет известную картину фаз

32

Сложение некогерентных полей

Некогерентные поля – разность фаз меняется случайным образом много раз за время регистрации

cos2 2121 IIIII

1I 2I 0cos

При регистрации суммарной интенсивности ее значения по времени усредняются:

, постоянны,

21 III

Сложение двух некогерентных полей:

33

Пример из тестов

При сложении когерентных полей: интенсивность зависит от отношения комплексных амплитуд слагаемых интенсивность гармонически зависит от разности фаз слагаемых интенсивность не зависит от разности фаз интенсивность убывает пропорционально квадрату расстояния интенсивность убывает с увеличением разности фаз

34

Пример из тестов

В результате когерентного сложения двух полей и появилось суммарное поле с результирующей фазой:

yxiyxu ,exp, 11 yxiyxu ,exp, 21

yxyxyx ,,, 21

yxyxyx ,,, 21

yxiyxiyx ,exp,expln, 21

yxyxyx 21,

yxyxyx ,*,, 21

35

Квазимонохроматическое и полихроматическое поле

Квазимонохроматическое поле – поле, близкое к полной монохроматичности

),( tU rПолихроматическое поле – сумма (суперпозиция) монохроматических составляющих

где – распределение интенсивности монохроматической составляющей по длинам волн, – весовая спектральная функция, , – реальные границы диапазона излучения

dSII 2

1

)(I

)(S1 2

Интенсивность полихроматического поля:

1 2

S

I

36

Плоские волны

Плоские волны имеют плоские волновые фронты

Волновой фронт – это поверхность в пространстве, на которой эйконал поля (или фаза) имеет одинаковые значения:

направление распространения света перпендикулярно волновым фронтам

…

x

y

z

Направление распространения

1E2E

3E4E

constE r

37

Направление волнового фронта

Вектора, показывающего направление волнового фронта: S – единичный вектор направления (орт) 1S

q – оптический лучевой вектор

где X, Y, Z – направляющие косинусы,

– пространственные частоты плоской волны

nq

z

y

x

z

y

x

n

n

n

Z

Y

X

q

q

q

cos

cos

cos

q

xq yq

nk

0

22

k

k – волновой вектор

где k – волновое число

38

Плоские волны

Уравнение плоской волны:

)(0

0 rr EikeUU

zZyYxXE rqr

Эйконал плоской волны:

при таком описании эйконала волновой фронт плоский и перпендикулярен оптическому лучевому вектору

39

Сферические волны

Сферические волны имеют волновой фронт в виде концентрических сфер

Уравнение эйконала сферической волны:

где – длина радиус-вектора точки в пространстве

rr nE

222 zyx r

x

y

z

…

1E2E

r

rr Eike

UU 00

Уравнение сферической волны:

40

Пример из тестов

Сферическая волна – это: волна, имеющая сферический волновой фронт и постоянную в пространстве

амплитуду волна, амплитуда которой убывает пропорционально расстоянию, а эйконал

увеличивается пропорционально расстоянию волна со сферическим волновым фронтом постоянной кривизны волна, представляющая собой сферу с началом координат в центре

кривизны волна, распространяющаяся во всех возможных направлениях

Плоская волна – это: волна, имеющая произвольное направление распространения в

пространстве незатухающая волна, имеющая конкретное направление распространения,

заданное направляющими косинусами волна, распространяющаяся в одной плоскости волна, амплитуда которой убывает пропорционально расстоянию волна, амплитуда которой постоянна в плоскости распространения