ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Μελέτη Δ.Ε. με χρήσητου Mathematica

Εισαγωγή

Η επίλυση ΔΕ με Mathematica γίνεται απευθείας με τις εντολές

DSolveDSolve : επίλυση με συμβολικό τρόπο

NSolveNSolve : αριθμητική (προσεγγιστική) επίλυση

ΕισαγωγήΚαι οι δυο εντολές δέχονται

μια ή περισσότερες εξισώσεις για επίλυσηΠρώτης ή ανώτερης τάξης εξισώσειςΓραμμικές ή μη γραμμικές εξισώσειςΠροβλήματα με αρχικές συνθήκες, συνοριακά προβλήματα.

Η εντολή DSolve

Συμβολική επίλυση (symbolic solution)

Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξηςΓενική λύση ΔΕ:

eqn=y’[t] ==eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕτύπος ΔΕ

DSolve[eqn,y[t],t]DSolve[eqn,y[t],t]όπου eqn η ονομασία που δείνει ο χρήστης y[t] η άγνωστη συνάρτηση της ΔΕκαι t η μεταβλητή

ΠαραδείγματαΈστω η ΔΕ eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) DSolve[eqn,y[t],t]

' ( )y ry m y

Οι εξισώσεις Οι εξισώσεις 0ρίζονται με διπλό 0ρίζονται με διπλό ==

Όπου C[1] είναι η σταθερά ολοκλήρωσης cΗ λύση της ΔΕ δόθηκε από το πρόγραμμα : .

1

mrt mc

mrt mc

e mye

ΔΕ με αρχικές συνθήκες

Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης με αρχικές συνθήκες

eqn=y’[t] ==eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕτύπος ΔΕ

con=con=αρχική συνθήκηαρχική συνθήκη

DSolve[DSolve[{{eqneqn,,concon}},y[t],t],y[t],t]

Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς y’y’

ΠαραδείγματαΝα λυθεί το πρόβλημα ' 0

(0) 2

y y

y

ΠρόβλημαΝα βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ

2 2

'

(1) 2

x yy

xy

y

Λύση

Η λύση είναι με Mathematica

Γραφικές παραστάσεις

Πολλές φορές θέλουμε να έχουμε εκτός από τη λύση της ΔΕ και την γραφική παράσταση κάποιας ή κάποιων μερικών λύσεων από τη γενική λύση της διαφορικής

ΠρόβλημαΝα λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής

' cos5

(1) 0

xy y e x

y

Μετά να γίνει η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα -1<χ<1

Λύση

Η λύση με Mathematica

Γραφική λύση

ΠαράδειγμαΝα βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ

Να γίνει γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ)

2' cosy

y xx

Λύση

Βρίσκουμε τη γενική λύση, με την εντολή:

Γραφική παράσταση

Η εντολή Evaluate είναι απαραίτητη για να δημιουργηθεί πρώτα η Λίστα των 5 λύσεων και μετά να δουλέψει η Plot

Evaluate

ΠαράδειγμαΝα λυθούν οι ΔΕ

Στη δεύτερη ΔΕ να γίνουν ολοκληρωτικές καμπύλες για 10 αρνητικές τιμές της αυθαίρετης σταθεράς και για τιμές y στο διάστημα -5<y<0

2 3

' 5

'

y y

y y x

Λύση

Γραφική λύση

Η εντολή PlotRange δίνεται για να καθορίσουμε το σύνολο τιμών στον άξονα y

PlotRange

Αρκετές ΔΕ που καταλήγουν σε ΔΕ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ μεταβλητών αντιμετωπίζονται αμέσως με την εντολή DSolve DSolve χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε επι μέρους ολοκληρώσεις σε κάποιο ενδιάμεσο στάδιο.

ΠαράδειγμαΝα λυθεί η ΔΕ

Να σχεδιαστούν οι ολοκληρωτικές καμπύλες όταν η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τιμές -2,-1,0,1,2

2

2

sin'y t

yt

Λύση

Γραφική παράσταση

Η εντολή PlotStyle δείνει χρώμα στη κάθε γραφική παράσταση λύσης

PlotStyle RGBColor

H εντολή RGBColor δείνει το κατάλληλο χρώμα