View
5
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
179
عزم القصور الذاتي
Moment of Inertia
الثاني عشرالفصل
180
عزم القصور الذاتي Moment of Inertia
مقدمة 1.13مارجيةبحالةحركتهدونتغيروعندتأثيرقوى–عندانعدامالقوىالخارجية–هوماصيةالجسماالحتفاظالقصور:
هوماصيتهتغييرحالتهححركتهاتدرجياأياكتسابعجالتمحدودةوتتغيرحركةالجسمببطءأكثركلماكانقصورالجسمأكبر.
لدوران.ارومقياسقصورالجسمفيالحركةاالنتقاليةهوكتلتهوفيالحركةالدورانيةهوعزمقصورهالذاتيحولمحو
تعريف عزم القصور للمساحات 2.13ســـــوفنحددالمركزالهندســـــيللمســـــاحةبأمذالعزماألولللمســـــاحةحولمحور،ممنأجلذلكقمنابإجراءتكاملمن
الشكل xdAالتكاملالثانيلعزمالمساحة. dAx يشيرإلىعزمالقصورللمساحة.2ةعلىا،أوالقوةبواحدةالمســاحة،والمطبقsigmaالقصــورللمســاحةعبارةعنالمقدارالمرتبطباإلجهادالناظميحعزم
لىالذييســـــــببانحناءالجائز.نزريةاآلالتللموادتشـــــــيرإMالمقطعالعبوريللجائزالمرن،بتطبيقالعزمالخارجيللجائزعبرالمقطعالعرضـــــــــــيCالمحورالماربالمركزالهندســـــــــــيأناإلجهادبالجائزيتغيرمطيامعالمســـــــــــافةمن
ا.13-1كمافيالشكلحkzللمساحة.مثال
1-13الشكل
kzdAdAdFالمبينةفيالشكل:dAقيمةالقوةالمطبقةعلىعنصرالمساحة حيثأنهذهالقوةتقععلى،dAkzdFzdMيســـــــــــاوي:yحولالمحورdF،وعزمyمنالمحورzالمســـــــــــافة 2العزمالناتجمنتوزعكل.
،حيثMاإلجهاداتيكونمساوياللعزمالمطبق dAzkM 2..yيمثلهذاالتكاملعزمالقصورللمساحةحولالمحور
181
عزم القصور.بالتعريفعزومالقصـــــــورللمســـــــاحةx-yوالموجودةفيالمســـــــتوي،ا2-13حالشـــــــكلالمبينةفيAباعتبارالمســـــــاحة
dAydIتكون:yوxحولالمحورdAالعنصــريةالمســطحة 2
x وdAxdI 2
y علىالترتيب.منأجلكاملالمساحةتحددعزومالقصوربإجراءالتكامالت:
2-13الشكل
ا1ح
A
2
y
A
2
x
dAxI
dAyI
فيالشـــــكلالســـــابق.zاأوحولالمحورOحولالقطبحمبدأاإلحداثياتdAنســـــتطيعأيضـــــاإيجادالعزمللمســـــاحةي:ندعوهذاالعزمبالعزمالقطبيللقصـــــــور.يســـــــتخدمهذاالعزملتحديدإجهادالفتلللقضـــــــيبأوالعمود.ويعرفكالتال
dArdJ 2
O حيثrلقطبحالمحورالمســــــافةالعموديةمناzابالنســــــبةللمســــــاحةالعنصــــــريةdAمنأجلكامل.المساحةيكونالعزمالقطبيللقصور:
yxا2ح
A
2
O IIdArJ
222ممكنةبحيثوOJالعالقةبين yxr .كمافيالشكلالسابقتكوندوماموجبةحيثأنهاتنتجمنجداءمربعالمسافةمعالمساحة.لذلكتكونواحدةOJومنالواضحأن
.4mmأو4mعزمالقصورهيواحدةطولمرفوعةلألسأربعة،مثال
yx I,I
yx I,I
182
نظرية المحاور المتوازية للمساحة 3.13إذاكانعزمالقصـــورلمســـاحةمعروفحولمحورمارمنمركزهالهندســـي،منالمفيدتحديدعزمالقصـــورللمســـاحة
للةحولمحاورمتوازيةمطابقةباســـــتخدامنزريةالمحاورالمتوازية.بفرضأننانريدإيجادعزمالقصـــــورللمســـــاحةالمز.xاحولالمحور3-13ح المبينةفيالشكل
3-13الشكل
،حيثثبتxمنالمحورالمركزيyالمتوضـــعةبشـــكلجزافيعلىمســـافةdAفيهذهالحالةالمســـاحةالعنصـــرية
بالمســــــافةxوxالبعدبينالمحورينالمتوازيينydعندهايكونعزمالقصــــــورلــــــــــــــــــــ،dAحولالمحورx:يســــــاوي
dAdydI2
yx :عندهايكونعزمالقصورلكاملالمساحة،ا3ح
A
2
y
A
y
A
2
A
2
yx
dAddAyd2dAy
dAdyI
183
xIيقدمالتكاملاألولعزمالقصـــــورللمســـــاحةحولالمحورالمركزي التكاملالثانييســـــاويالصـــــفرألنالمحور.x0dAydAyللمســاحة:Cيمرعبرالمركزالهندســي 0ألنy التكاملالثالثيقدمالمســاحةالكلية.
A:وبالتالييكون2ا4ح
yxx AdII
وبشكلمشابهيمكنالكتابةبالنسبةللمحورyI:
2ا5ح
xyy AdII
افيالشــــكلzحالمحورOالمارعبرالقطبوx-yوأميراالعزمالقطبيللقصــــورحولالمحاورالمتعامدةفيالمســــتويانحصلعلى:3-13ح
2ا6ح
CO AdJJ
أيشـــكلللعزممناألشـــكالالثالثةالســـابقةيبينأنعزمالقصـــورللمســـاحةحولمحوريســـاويعزمالقصـــورللمســـاحةينبحولمحورموازيمرعبرالمركزالهندسيلنفزالمساحةمضافاإليهناتججداءالمساحةبمربعالمسافةالعمودية
المحورين.
نصف قطر الدوران للمساحة 4.13مقدارايســــــتخدمغالبالرســــــماألعمدةفيالهياكلالميكانيكية.ونصــــــفقطرالدورانلمســــــاحةمســــــطحةلهواحدةالطول
فةالمساحةوعزمالقصوريكوننصفقطرالدورانمحددابالعالقة:بمعرا7ح
A
Jk
A
Ik
A
Ik O
O
y
yx
x
شـــــكلهذهالمعادالتيذكرناببســـــاطةوبشـــــكلمشـــــابهلتلكالعالقاتالموجودةلعزمالقصـــــورللمســـــاحةالعنصـــــريةحول
dAyIمحور.مثال: 2
x حيثللمساحةالعنصريةيكونdAydI 2
x .
184
عزوم القصور للمساحة بالتكامل 5.13عندماتكونحدودالمساحةالمسطحةمحددةبتابعرياضي،فالمعادلتين:
ا8ح
A
2
y
A
2
x
dAxI
dAyI
يمكنأنيكاماللتحديدعزمالقصورللمساحةالمحددة.
ا:4-13مختلفةفياتجاهينكماهومبينبالشكلحإذاكانعنصرالمساحةالمختارإلجراءالتكامللهأبعاد
4-13الشكل
يجبإنجازتكاملينإليجادعزمالقصور.غالبايكونمناألسهلإنجازتكاملواحدوذلكبامتيارعنصريحويمقاس
تفاضليأوسماكةفياتجاهواحد.
عزوم القصور للمساحات المركبة 6.13زمعلسلةمناألجزاءأواألشكالكأنصافالدوائرأوالمستطيالتأوالمثلثات.بمعرفةالمساحاتالمركبةتتألفمنس
القصــورلكلشــكلمنهذهاألشــكالحولمحورماعام،وبعدهايكونعزمالقصــورللمســاحةالمركبةيســاويالمجموعالجبريلعزومالقصورلهذهاألشكال.
185
عزم القصور للكتل 7.13الجســـــمهوماصـــــيتهلقياسمقاومتهعلىالتســـــارعالزاوي،حيثأنهيســـــتخدمفيالديناميكلدراســـــةعزمالقصـــــورلكتلة
الحركةالدورانية،والطريالمستخدمةلحسابهستناقشحاال.التيتركبهذاالجســــــــم،ليكنلديناdmنعرفعزمالقصــــــــورللكتلةعلىأنهتكاملحولمحورلكافةعناصــــــــرالكتلة
ا:5-13الشكلحالجسمالمبينفي
5-13الشكل
يساوي:zعزمالقصورللجسمحولالمحور
ا9حm
2dmrI
Iتجعلقيمةr.الصــــيغةالمســــتخدمةdmالعنصــــرالجزافيوهناعبارةعنالمســــافةالعموديةبينالمحورrذراعالعزم
.عزمالقصــورالمحســوبG.المحورالمختارعادةلحســابالعزميكونمارابمركزالكتلةللجســمzوحيدةلكلالمحوربـ،ووحدتهتقاسr.عزمالقصورللكتلةيكوندوماموجبابسببأنهتابعالمربعالمسافةGIحولهذاالمحوريعرفبـ
2m.kg.
186
إذاكانالجسممؤلفمنمادةغيرمتجانسةحلهاكثافاتمختلفةا، z,y,xعندئذيعبرعنالكتلةالعنصرية،dmالحجموللجســـــــمكتابعللكثافةdVdm بتعويضهذهالقيمةفيمعادلةالعزمالســـــــابقةيمكننامناســـــــتخدام.
امل:العناصرالحجميةإلنجازالتكا10ح
V
2 dVrI
ثابتةيمكنناإمراجهامارجالتكاملوعندهايصبحالتكاملتابعاللشكلالهندسي:فيالحالةالخاصةالتيتكونفيهاا11ح
V
2dVrI
dxdydzdVعندمايكونالعنصــرالحجميالمختارإلجراءالتكامللهمقاســاتمختلفةفياالتجاهاتالثالثة كما
،عندئذيحددعزمالقصورللكتلةبإجراءتكاملثالثي.اa-6-13فيالشكلحمقاستفاضـــليأوســـماكةفياتجاهيمكنتبســـيطهذاالتكاملإلىتكاملوحيدوذلكبامتيارالحجمالعنصـــريالذيله
ا.b-c-6-13واحد.طبقةأوقرصيستخدمعادةلهذااإلجراءكمافيالشكلينح
6-13الشكل
187
: كتلة الجسم(mاألجسام المتجانسة )المركز، وعزوم العطالة(.)بعض (: خصائص 1ملحق )
188
: كتلة الجسم(mاألجسام المتجانسة )المركز، وعزوم العطالة(.)بعض (: خصائص 2ملحق )
189
:كتلةالجسماmا:مصائصبعضاألجسامالمتجانسةحالمركز،وعزومالعطالةا.ح3ملحقح
190
:كتلةالجسماmا:مصائصبعضاألجسامالمتجانسةحالمركز،وعزومالعطالةا.ح4ملحقح
191
Lecture title: Moment of Inertia
Lecture syllabus:
- Definition of moments of inertia of areas
-parallel theorem for area
-Radius of gyration of an area
-Moments of inertia for an area by integration
-Moments of inertia for composite areas
- Mass moment of inertia
Conclusion:
Develop a method for determining the moment of inertia for area
Discuss the mass moment of inertia
References :
-Engineering Mechanics Statics, R. C. Hibbeler, 11th edition in SI Units.
- Engineering Mechanics Statics, A. Bedford and W. Fowler, Fifth edition in SI
Units.
2009 -2008د. ياسر حسن، منشورات جامعة تشرين، -الميكانيك الهندسي، د. عهد سليمان -
Name: Dr.Eng. Ahed SULEIMAN
Email: sulahed@yahoo.fr
192
إضافات مدرس المقرر
Recommended