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Dos problemas fundamentales de la geometría analítica
Primer problema fundamental: Gráfica de una ecuación
Intersección con los ejes Simetría Extensión de la curva Asíntotas Construcción de curvas
En este capítulo haremos un estudio preliminar
de dos problemas fundamentales de la
Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dada una ecuación,
interpretarla geométricame
nte
Dada un figura geométrica,
determinar su ecuación
Supongamos que se nos da una ecuación de dos variables,
e que podemos escribir en la forma
, =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
e que satisfacen esta ecuación. Cada uno
x y
f x y
x y de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( , ) de
un punto en el plano.
x y
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas s
gráfica de la e
atisfagan una ecuación
, =0
se llama o,
bien, su
cuación
lugar geométr co .i
f x y
Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
, =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
f x y
En Álgebra se estudia el trazado de gráficas del tipo
, =0
El procedimiento consiste en trazar un cierto número
de puntos y dibujar una linea continua que pase por
todos ellos, tal como mostramos en las
f x y
transparencias
anteriores.
Definición: El conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfagan una ecuación, se llama gráfica de la ecuación ó lugar geométrico.
Se necesitaPlano
cartesiano
Ecuación
Pares ordenados de puntos
Lugar geométrico ó gráfica de la
ecuación
Al menos una de las variables debe de estar en
función de otra
y F x yxyx /,
El conjunto solución de la
ecuación, formado por los
puntos ordenados, debe
pertenecer al conjunto de los números reales
¿Qué figura geométrica
representa la ecuación
2 3 0?x y
2 3 0x y
Esta ecuación está en la forma implícita:
, 0F x y
Debemos ponerla en forma explícita
despejando alguna de las variables.
Elegimos despejar , y tenemos 2 3
y f x
y y x
2 3y x
x y0 -3
2 3y x
x y0 -31 -1
2 3y x
x y0 -31 -1-1 -5
2 3y x x y0 -31 -1-1 -52 1
2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -7
2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3
2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -9
2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5
2 3y x
x y0 -31 -1-1 -52 1-2 -73 3-3 -94 5-4 -11
2 3y x
Intersección con los
ejes
Construcción de la
curva
Extensión de la curva
Asíntotas
Simetría
Cálculo de
coordenadas
La intersección de la curva con el eje ,
es la abscisa del punto de intersección
de la curva con el eje.
La abscisa al origen es ,0
X
f x
Para encontrar la intersección con el eje X: Se hace y = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 2 3 0
La resolvemo
La curva intersecta al eje en la
a
s
bs
3 /
ci
2
sa 3 / 2
X
x
y
x
x
2 3 0x y
2 3y x 3
,02
La intersección de la curva con el eje ,
es la ordenada del punto de intersección
de la curva con el eje.
La ordenada al origen es 0,
Y
f y
Para encontrar la intersección con el eje Y: Se hace x = 0 en la ecuación y se encuentran las raíces de la ecuación resultante
Hacemos 0
La ecuación que resulta es 3 0
La resolvem
La curva intersecta al eje en la
ordenad
3
a 3
os
x
y
y
Y
y
2 3 0x y
2 3y x
0, 3
El segundo punto a considerar, en
relación con la discusión de una
ecuación, es la simetría de la curva
que representa, con respecto a los
ejes coordenados y con respecto a1
origen.
Se dice que dos puntos son simétricos con
respecto a una recta si la recta es
perpendicular al segmento que los une en
su punto medio.
l
A B
La recta con respecto a la cual
son simétricos los dos puntos se
ll eje de simetama ría.
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
l
A B
En la figura, los dos puntos y
son simétricos con respecto a1
eje de simetría si la recta es
perpendicular a1 segmento
en su punto medio.
A B
l l
AB��������������
Se dice que dos puntos son simétricos con respecto a una recta si la
recta es perpendicular al segmento que los une en su punto medio.
l
A B
Se dice que dos puntos son simétricos a un punto O, si O es el punto medio del segmento que los une.
El punto O se llama centro de simetría.
A BO
El punto O se llama centro de simetría.
A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
O
O
A BO
Se dice que dos puntos son simétricos respecto a un punto ,
si es el punto medio del segmento que los une.
El punto O se llama centro de simetría.
O
O
En la figura los dos puntos y son simétricos
con respecto a1 centro de simetría siempre
que sea el punto medio del segmento .
A B
O
O AB��������������
Se dice que una curva es simétrica con respecto a un eje de simetría cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que estos dos puntos son simétricos respecto al eje.
y
xO
P(x, y)
P’(a, b)
M(x, 0)
24 9 36y x
Se dice que una curva es simétrica con respecto a un centro de simetría O, cuando para cada punto de la curva hay un punto correspondiente, también de la curva, tal que dos puntos son simétricos respecto a O.
2 29 4 36x y
Todas las definiciones anteriores son
puramente geométricas .
Ahora interpretaremos estas definiciones
analiticamente, usando los ejes coordenados
como ejes de simetria y el origen como
centro de simetria.
Sea , un punto cualquiera de una curva.
Si esta curva es simétrica con respecto al eje , de la
definición 3 se deduce
que debe haber otro punto
' , sobre la curva,
tal que el segmento '
queda bise
P x y
X
P a b
PP
ctado
perpendicularmente por
el eje .X
Sea el punto medio de ';
sus coordenadas son,
evidentemente, ( ,0).
M PP
x
Entonces, por las fórmulas del punto medio
dadas en el corolario del teorema 3,
artículo 7, tenemos
y 02 2
de donde, trivialmente,
y
a x y bx
a x b y
Sea el punto medio de '; sus coordenadas son ( ,0)M PP x
Por tanto, las coordenadas de ' son ,P x y
Pero como ' está sobre la curva se deduce
que sus coordenadas deben de satisfacer la
ecuación de la curva. Es decir , una ecuación
, 0 que sí se satisface para las
coordenadas , de se satisface ta
P
f x y
x y P
mbien
para las coordenadas , de ', siempre
que la curva sea simetrica respecto a1 eje .
x y P
X
Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable y es reemplazada por –y, la curva es simétrica respecto al eje X.
El recíproco también es verdadero
x y y0.0 0.0 0.01.0 1.0 -1.02.0 1.4 -1.43.0 1.7 -1.74.0 2.0 -2.05.0 2.2 -2.26.0 2.4 -2.47.0 2.6 -2.68.0 2.8 -2.89.0 3.0 -3.010.0 3.2 -3.211.0 3.3 -3.312.0 3.5 -3.513.0 3.6 -3.614.0 3.7 -3.715.0 3.9 -3.916.0 4.0 -4.017.0 4.1 -4.118.0 4.2 -4.219.0 4.4 -4.420.0 4.5 -4.5
2y x
Si la ecuación de una curva no se altera cuando la variable x es reemplazada por –x, la curva es simétrica respecto al eje Y.
x y-10 100-9 81-8 64-7 49-6 36-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 256 367 498 649 8110 10011 121
2y x
3) Si la ecuación de una curva no se altera cuando las variables x y y son reemplazadas por –x y –y, la curva es simétrica respecto al origen O.
x y-10 -1000-9 -729-8 -512-7 -343-6 -216-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 1256 2167 3438 5129 72910 100011 1331
3y x
NOTA. Si comparamos los teoremas 1, 2 y 3
veremos que, si una curva es simétrica con
respecto a ambos ejes coordenados, es también
simétrica con respecto al origen.
Pero el reciproco no es necesariamente verdadero.
Por ejemplo, la curva cuya ecuación es 1
es simétrica con respecto a1 origen, pero no es
simétrica con respecto a ninguno de los ejes
coordenados.
xy
La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y son valores reales.
Es útil porque:
da la localización general de la curva en el plano e
indica si la curva es cerrada o si es de extensión indefinida.
La extensión de una curva es la determinación de los intervalos de variación para los cuales los valores de x e y
Los intervalos para los cuales los valores de x e y son reales se determinan resolviendo la ecuación dada para y en términos de x, y para x en términos de y
2 29 4 36x y
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
4 36 9
9 99 4
4 43
42
Por tanto, 2,2
x y
x
y x
y x x
y x
2 29 4 36 2,2x y x
2 29 4 36x y
2 2
2 2
2 2 2
2
9 4 36
9 36 4
4 44 9
9 92
93
Por tanto, 3,3
x y
y
x y
x y y
x y
2 29 4 36 3,3x y y
2 3 0y x
2 3
3
0
Por t
0
anto
y x
y
x
x
2 3 0y x
2 3
23
0
Por tan o
t
x
y
y x
y
R
2 3 0y x
Si para una curva dada, existe una recta tal que, a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente del origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama asíntota de la curva.
Esta definición implica dos cosas :1)una curva que tiene una asíntota no es cerrada o de extensión finita, sino que se extiende indefinidamente2)una curva se aproxima a la asíntota más y más a medida que se extiende más y más en el plano coordenado
Siendo la asíntota una línea recta, puede tener una cualquiera de tres posiciones particulares . Si es paralela o coincide con el eje X, se llama asíntota horizontal.Si es paralela o coincide con el eje Y, asíntota vertical.Si no es paralela a ninguno de los ejes coordenados, asíntota oblicua.
Aquí consideraremos solamente la determinación de asíntotas verticales y horizontales.Posteriormente veremos la determinación de asíntotas oblicuas para una curva particular conocida con el nombre de hipérbola.
Se debe tener presente que una curva no tiene necesariamente una o más asíntotas. Hay muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin embargo , si una curva tiene asíntotas, su determinaciónserá , como veremos , una gran ayuda para construir su gráfica.
En el capitulo siguiente haremos un estudio
detallado de la ecuación general de la recta.
Pero ahora tenemos necesidad de saber
hallar ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
Sea una recta cualquiera
paralela a1 eje y que dista
unidades del eje. Todo punto
de , cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a .
Las coordenadas de todos los
puntos de
l
Y
k
l
k
satisfacen , por tanto,
la ecuación .
l
x k
Recíprocamente, cualquier punto
cuyas coordenadas satisfacen esta
ecuación es un punto cuya abscisa
es y situado, por tanto, a una
distancia de unidades del eje ,
y, en consecuencia , está sobre
la rec
k
k Y
ta .l
La ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
x
k
k
Y
Y
La ecuación de una recta
paralela al eje es:
donde es la distancia
de la recta al eje .
y
k
k
X
X
Vimos que se puede determinar la extensión
de una curva despejando en función de
y en función de . Para obtener las asintotas
verticales y horizontales, usaremos estas
mismas ecuaciones en las que
y x
x y
aparecen
despejadas las variables.
Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuelvase la
ecuación dada para en función
de e igualese a cero cada uno de
los factores lineales del denominador;
estas son las ecuaciones bus
y
x
cadas.
Análogamente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase la
ecuación dada para en funcion de e
igualese a cero cada uno de los factores
lineales del denominador.
x y
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1 0xy y
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1 1
1
1
y x
xy y
xy y
y x
yx
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
1
x
x
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 0xy y
1) Despejar en función de
1 0
1
1
x y
xy y
xy y
yx
y
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
0
ó sea que la asíntota tiene como ecuaci
0
ón:
y
y
1x
0y
2
2
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
2 2
2
1) Despejar en función de
Ya está despejada, entonces tenemos 1
pero debemos escribir el denominador como
factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos
1 1 1
y x
xy
x
x xy
x x x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación 1 1 1
x xy
x x x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
1 0 y 1 0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticale
1 1
s:
y x
x
x
x
2 2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1 1 1
x xy
x x x
2
2
2 2
2 2
2
1) Despejar en función de
1
1
0
1 0
x y
xy
x
y x x
yx x y
y x y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
2
2
1) Despejar en función de
1 0
0 0 4 1 4 1 2 1
2 1 2 1 2 1
1
1
x y
y x y
y y y y y yx
y y y
y yx
y
2
2Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
1
xy
x
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1de la ecuación 1 0 ó
1xy y y
x
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
1 0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación
1
:
y
y
2
2 1
xy
x
2
2 1
xy
x
1
1
1
x
x
y
Una curva puede tener más de una
asintota vertical u horizontal.
Asi, la curva cuya ecuación es
1
1 2
tiene dos asintotas verticales,
1 y 2.
yx x
x x
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