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设 A 是任一 T- 代数,( G, ) 是按定理19.1的构造方法生成的 X n ={x 1 ,x 2 ,…x n } 上的自由 T- 代数, 是 X n →G 的映射,且 ( x i )=x i 。 X n 到 A 中的映射 , ( x i )=a i ,a 1 ,a 2 ,…a n 为 A 中的任何元素(允许 a i =a j ,i j)。 由自由代数定义,存在唯一的同态映射 : G→A, 使得 = . - PowerPoint PPT Presentation
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设 A 是任一 T- 代数, (G,) 是按定理 19.1的构造方法生成的 Xn={x1,x2,…xn} 上的自由T- 代数,是 Xn→G 的映射,且 (xi)=xi 。
Xn 到 A 中的映射 ,(xi)=ai , a1,a2,…an 为 A 中的任何元素 ( 允许 ai=aj,ij) 。
由 自 由 代 数 定 义 , 存 在 唯 一 的 同 态 映 射 :G→A ,使得 =.
(xi)=((xi))=(xi)=(xi)=ai , (i=1,…,n) ,当 wG 时, (w) 由 A 中元素 a1,a2,…an 唯一确定。
定义函数 fA:An→A ,使得 fA (a1,a2,…an) = (w) 。简写为 f (a1,a2,…an)
特别,当 A=G , ai=xi(i=1,…,n) 时,因 (xi)=xi ,故是恒等映射,
有 (w)=w ,定义 19.7: 变量 x1,x2,…xn 上的 T 字 (T-
word) ,就是自由生成集 Xn ={x1,x2,…xn}上的自由 T- 代数 G 的一个元素。
定义 19.8:T- 代数 A 的元素 a1,a2,…an 上的字 (word) ,就是元素 wA(a1,a2,…an) A ,这里 w 是变量 x1,x2,…xn 上的一个 T-字。
定义 19.9: 一个 T- 代数变量 (T-algebra variable) 是一个自由 T- 代数的自由生成集的元素。
研究真假值和形式证明之间的关系构造一个简单的数学推理模型——命题
逻辑构造较为精细的模型—— 一阶谓词逻辑
§2 命题代数定 义 20.1: 设 T={F,→} , 这 里
ar(F)=0 , ar(→)=2 。称任何这样的 T-代数为命题代数。
例 : 对于 Z2={0,1} ,构造 T- 代数。令 FZ2
:Z20={}→Z2, FZ2
()=0,
→Z2:Z2
2→Z2, →Z2(m,n)=1+m·(1+n)
“+,·” 是模 2 加法和乘法运算 .构成了一个命题代数。 a·b 简写为 ab 。
由 可 列 集 X={x1,…,xn,…} 生 成 的 自 由 {F,→} 代 数P(X) ,这也是命题代数。
P0={F,x1,…,xn,…}
P1={(→,ai,aj)|ai,ajP0}
={(→,F,F)} {(→,F,x∪ i)|xiX}∪
{(→,xi,F)|xiX} {(→,x∪ i,xj)|xi,xjX}
P2={(→,ai,aj)|aiP0,ajP1} {(→,a∪ i,aj)|aiP1 , ajP0}
P(X) 为: P(X)=Nn
nP
按类型 T=({F,→},ar) 定义 P(X) 上的运算 :把 0 元运算 FP(X) 规定为 P(X) 中的特定元素 F
二元运算→ P(X) 定义为 :
→P(X)(p,q)=(→,p,q) ,构成了 X 上 T- 代数 [P(X),FP(X),→P(X)], 即命题代数自由代数
定义 20.2: 设 X 是可列集, X 上的自由T ( =({F,→},ar) ) - 代数称为 X 上关于命题演算的命题代数,记为 P(X) ,并称 X 为命题变量集, X 中的元素称为命题变元, P(X) 中的每个元素称为命题演算的合式公式,简记为 wff ,仅由一个命题变元符组成的合式公式称为原子公式,所有原子公式全体称为原子公式集。
在任何命题代数中,可利用 F 和→定义一元运算和其它二元运算 ,, ,定义为:
)()(
))(p)((
p)(
ppdef
pqqpqp
qqp
qqp
F
def
def
def
(p)(q) 可简写为 pq 。运算的优先次序排列为: > > > → > 在相同优先级的运算之间,先左后右。
§3 命题演算的语义一、 P(X) 的赋值定义 20.3: 设 P(X) 是 X 上关于命题演算的
命题代数,称 P(X)→Z2 的同态映射 v 为P(X) 的赋值 。对于任意的 pP(X) ,若v(p)=1 则称 p 按赋值 v 为真,若 v(p)=0 则称 p 按赋值 v 为假。
定理 20.1: 设 A 为命题代数, v0 为 X→A的映射,则 v0 可唯一扩张为 P(X)→A 的同态映射 v 。
定义 20.4: 设 v0 为 X→Z2 的映射,称 v0
为命题变元的一个指派。v(p→q)=v(p)→v(q)=1+v(p)(1+v(q)) =1+v(p)+v(p)v(q) ;v(p)=v(p→F)=v(p)→v(F)=1+v(p)(1+v(F)) =1+v(p)(1+0)=1+v(p) ;v(pq)=v(p→q)=v(p)→v(q)=1+(1+v(p))(1+v(q)) =v(p)+v(q)+v(p)v(q) ;v(pq)=v((pq))=1+v(pq)=v(p)v(q);v(pq)=v((p→q)(q→p))=1+v(p)+v(q)
二、 P(X) 中元素的解释和真值表把 P(X) 中的每个元素 ( 即命题演算的合
式公式 ) 解释为可判断真假的语句原子公式集中的每个原子公式 ( 命题变
元 x) 表示任意的简单命题 ( 即原子命题 )P(X) 中的其它元素表示复合命题。对任意 pP(X) 和给定的赋值 v:P(X)→Z2 ,
若 v(p)=1 ,则说 p 所表示的命题为真,简称 p 为真;若 v(p)=0 ,则说 p 所表示的命题为假,简称 p 为假。
在 P(X) 上所定义的一元和二元运算 ,,, →,, 可分别解释为命题联结词“非”,“合取”,“析取”,“蕴含”和“等价”。
列出下述表格 ( 在表中 p 表示 v(p)) :
v(p) v(p) 0 1 1 0
v(p) v(q) v(p→ q) 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1
v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
v(p) v(q) v(p q) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
v(p) v(q) v(pq) 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
通过对 P(X) 的解释 , 命题代数 P(X)所建立的形式系统就可以表示我们所熟悉的命题 .
对任意的 v1,v2,vnZ2, 将 v1,v2,vn 分别指派给 x1,x2,xn
由定理 20.1 知此指派可唯一扩张为赋值v:P(Xn)→Z2,
此 时 对 任 意 pP(Xn), 都 有 确 定 的 真 值v(p)Z2
由此定义 n 元真值函数 fp:Z2n→Z2, 使得
fp(v1,v2,vn)=v(p).
定义 20.5: 函数 f: Z2n→Z2 称为 n 元真值函
数
定义 20.6: 设 pP(X) ,定义 p 的 n 元真值函数 fp:Z2
n→Z2 为: fp=v(p) ,称 fp 为 p 的真值函数。由 p 的真值函数所建立的函数值表称为 p 的真值表。
例 : 写出合式公式 (x1x2)→(x3→x1)真值表
v1 v2 v3 v3 v1 v2 v3 v1 (v1 v2) ( v3 v1) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
以后可简写为 :
(x1 x2 ) ( x3 x1) 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1
三、语言蕴含定义 20.7 :设 AP(X),qP(X) ,若对所
有使得 v(p)=1( 对一切 pA) 的赋值 v ,都有 v(q)=1 ,则称 q 是假设集 A 的后件,或称 A 语义蕴含 q ,记为 A╞q ,用 Con(A)表示 A 的后件全体,即 Con(A)={pP(X)|A╞p} 。
注意: A 是 P(X) 的子集,但 A 本身不是命题公式。
由定义知,对于 A 中的任意元素 p ,对所有使得 A 中元素的赋值为 1 的赋值 v ,都有 v(p)=1 ,因此 ACon(A).
又因为不存在赋值 v 使得 v(F){1} ,所以对任意的 pP(X) 总有 pCon(F) 。
即对任意 qP(X) ,有 {F}╞q 。定义 20.8: 设 pP(X) ,若对 P(X) 的任意
赋值 v 都有 v(p)=1 ,则称 p 是有效的,也称为重言式。若对 P(X) 的任意赋值 v都有 v(p)=0 ,则称 p 是永假式。
因此若╞ p ,则 p 就是重言式,简记为╞ p
注意 A╞p 是命题逻辑元语言中的陈述句,但它本身不是 P(X) 中的元素。
例: {p}╞p→q例: {x1→(x2→x3),x2}╞x1→x3
引理 20.1:Con 有如下性质:(i)ACon(A)(ii) 若 A1A2 ,则 Con(A1) Con(A2)
(iii)Con(Con(A))=Con(A)定义 20.9 :设 p,qP(X) ,若对 P(X) 的
任意赋值 v 有 v(p)=v(q) ,则称 p,q 等值。
定理 20.2: 下述结论是等价的。(1)p,q 等值。(2)╞pq 。(3)p,q 有相同的真值函数和真值表。定理 20.3: 对任意 p,q,rP(X) 有下述结
论:(1)╞pp ;(2)╞(pq)pq ;(3)╞(pq)pq ;(4)╞(p1p2…pn)p1p2…pn
(5)╞(p1p2…pn)p1p2…pn
四、析取范式和合取范式
定义 20.10: 形式为
)(11
ji
n
j
m
iy
的合式公式称为
析取范式,形式为 )(11
ji
n
j
m
iy
的合式公式称
为合取范式,这里 yij 为某个命题变元xk 或其否定 xk 。
例 : (x1x2)(x1x2)(x1x2x3) 是 析取范式,而 (x1x2) (x1 x3) 是合取范式。
定理 20.4: 任何命题合式公式 ( 即 P(X) 中的元素 ) 都有只含命题变元及 ,, 这三种运算的合式公式与该命题合式公式等值
证明 : 对任意 p=p(x1,x2,…xn)P(Xn)1. 对 P(Xn) 中任一赋值 v 恒有 v(p(x1,x2,…xn))
=02. 存在 P(Xn) 中的赋值 v 使得 v(p(x1,x2,…xn))
=1构造与该指派所对应的合式公式 y1y2… yn,
使得 :
0)(
1)(
ii
iii xvx
xvxy
目标是 v(yi)=1
定义 20.11: 一个合式公式若不是永假式,则用定理 20.4 的证明方法得到的等值析取范式称为该合式公式的标准析取范式。
推论 20.1: 每个非重言式必等值于一个合取范式。
定义 20.12: 一个合式公式若不是重言式,则用推论 20.1 的证明方法得到的等值合取范式称为该合式公式的标准合取范式。
例:求与 (x1→x2)→(x3) 等值的标准析取范式和标准合取范式。
作业 : P400 5,6,7
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