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Problèmes de localisation
« Facility location problems »
2
Décisions à prendre ?
Quel est le rôle ou la mission d’un site?
Localisation des sites : Où?
Allocation de la capacité : Combien de capacité doit-on allouer à
chaque site?
Allocation (affectation) de l’offre et de la demande :
• Quels marchés devraient être desservis par chaque entrepôt?
• Quels usines devraient desservir chaque entrepôt?
• Quels fournisseurs devraient desservir chaque usine?
Fournisseurs Usines CD Clients
3
Facteurs qui influencent la décision
Stratégiques et technologiques (proximité aux marchés,
fournisseurs, ressources, clusters,…)
Politique et Macroéconomique (réglementation, Impôts,
taxes, tarifs, …)
Infrastructure (gaz, électricité, eau, communication,
transport, ….)
….
Coûts associés à la logistique et à l’opération d’un site
4
Facteurs qui influencent la décision
5
Types de problèmes
Single-Facility Location Problems: détermination optimale de la
localisation d’un site.
Multi-Facility Location Problems : recherche simultanée de la
localisation de plusieurs sites (problème de localisation / allocation)
• Center of gravity method
• The p-Median Problem
• SS-Capacitated Facility Location Problem
• MS-Capacitated Facility Location Problem
• Multi-Commodity Network Design
6
Localisation d’un site :
Méthode du barycentre
Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine
m points à desservir;
Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande
(ou poids) wi;
Distance Euclidienne (carré):
Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)
2 ]
7
Localisation d’un site :
Méthode du barycentre
Exemple: Localisation d’un entrepôt / usine
m points à desservir;
Chaque point i à une localisation (xi,yi) et une demande
(ou poids) wi;
Distance Euclidienne (carré):
Min TC = Σi wi [(x-xi)2 + (y-yi)
2 ]
8
Région (Xi-Yi) Wi WiXi WiYi
A (11-22) 15 165 330
B (10-7) 10 100 70
C (4-1) 12 48 12
D (3-6) 4 12 24
Total 41 325 436
Exemple
9
Région (Xi-Yi) Wi WiXi WiYi
A (11-22) 15 165 330
B (10-7) 10 100 70
C (4-1) 12 48 12
D (3-6) 4 12 24
Total 41 325 436
10.641
436 ; 7.9
41
325
i
ii
c.g.
i
ii
c.g.
W
YWY
W
XWX
Exemple
10
p-Median
p entrepôts à localiser sur un ensemble de m sites potentiels pour
livrer n clients.
Pas de coût fixe;
Pas de contraintes de capacités.
cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.
11
p-Median
p entrepôts à localiser sur un ensemble de m sites potentiels pour
livrer n clients.
Pas de coût fixe;
Pas de contraintes de capacités.
cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.
sinon.,0
choisie,est on localisati la si,1 jy j
sinon.,0
i,client ledessert on localisati la si,1 jxij
12
p-Median
mjy
mj
nix
yx
Py
nix
xc
j
ij
jij
m
j
j
m
j
ij
n
i
m
j
ijij
,..,11,0
..,,1
..,,11,0
,
,
..,,1,1
:S.t
zMinimiser
1
1
1 1
13
SS-Capacitated Facilty Location
Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites
potentiels pour desservir n clients.
Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a
une capacité maximale kj
di : la demande du client i
cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.
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SS-Capacitated Facilty Location
Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites
potentiels pour desservir n clients.
Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a
une capacité maximale kj
di : la demande du client i
cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.
sinon.,0
choisie,est on localisati la si,1 jy j
sinon.,0
i,client ledessert on localisati la si,1 jxij
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SS-Capacitated Facilty Location
mjy
mj
nix
nix
mjykxd
xcyf
j
ij
m
j
ij
n
i
jjiji
m
j
n
i
ijijj
m
j
j
..,,11ou 0
..,,1
..,,11ou 0
..,,1,1
..,,1,
:S.t
zMinimiser
1
1
1 11
16
Mutli-Source Capacitated Facility Location
Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites
potentiels pour livrer n clients.
Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a
une capacité maximale kj
di : la demande du client i
cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.
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Mutli-Source Capacitated Facility Location
Sélectionner un ensemble d’entrepôts à localiser sur m sites
potentiels pour livrer n clients.
Il existe un coût fixe fj pour la localisation de l’entrepôt j et celui-ci a
une capacité maximale kj
di : la demande du client i
cij : le coût de transport de l’entrepôt j au client i.
Notons la fraction (pourcentage) de la demande du client i livrée à
partir de l’entrepôt j
Et
sinon.,0
choisie,est on localisati la si,1 jy j
ijx
18
mjy
mj
nix
nix
mjykxd
xcyf
j
ij
m
j
ij
n
i
jjiji
m
j
n
i
ijijj
m
j
j
..,,11ou 0
..,,1
..,,11 0
..,,1,1
..,,1,
:S.t
zMinimiser
1
1
1 11
Mutli-Source Capacitated Facility Location
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Il existe une formulation forte du problème de localisation sans
capacités (uncapacitated facility location problem) lorsque la
capacité des entrepôts n’entre pas en jeu, alors la contrainte
peut s’écrire
n
i
jjijj ykxd1
nimjyx jij ,..,1 ..,,1,
Mutli-Source Capacitated Facility Location
20
• C’est le problème dit de localisation simple
(formulation forte) :
njy
mix
yx
njx
xcyf
i
ij
iij
m
i
ij
m
i
n
j
ijiji
m
i
i
,,11ou 0
,,1,10
,0
,,1,1
:S.t
zMin
1
1 11
(FF):
21
On peut réduire le nombre de contrainte en adoptant une
formulation plus faible du problème de localisation simple.
En sommant sur les indices j de la contrainte
Elle devient
,0 iij yx
01
i
n
j
ij nyx
22
C’est la formulation faible du problème de localisation simple:
njy
mix
minyx
njx
xcyfz
i
ij
n
j
iij
m
i
ij
m
i
m
i
n
j
ijijii
,,11ou 0
,,110
,,1,0
,,1,1:(Ff)
:S.t
Min
1
1
1 1 1
23
Modèle pour l’allocation
de la demande (multi sources)
Quel marché sera desservi par quel site?
Quelles sont les sources pour un site?
xij = Qté livrée du site i au client j
– m clients ou marché potentiels
– n sites potentiels
24
Modèle pour l’allocation
de la demande (multi sources)
0
..
1
1
1 1
x
Kx
Dx
xc
ij
i
m
jij
j
n
iij
n
i
m
jijij
ts
Min
25
Localisation multi sites
et allocation multi sources
yi = 1 si l’usine ou site i est utilisé, 0 si non
Max k sites parmi n
xij = Qté transportée du site i au client j
26
Localisation multi sites
et allocation multi sources
1 1 1
1
1
1
. .
; {0,1}
n n m
ij iji ii i j
n
jiji
m
iij ij
m
i ii
Min
s t
k
f y c x
x D
yx K
y y
27
Localisation simultanée d’usines et de
centres de distribution
Fournisseurs Usines CD Client
28
Localisation simultanée d’usines et de
centres de distribution
• j= 1,..,m clients ou marchés
• i=1,..,n sites potentiels pour les usines
• h=1,..,l fournisseurs potentiels
• e=1,..,w sites potentiels pour les CD
• Dj – demande annuelle pour le client j
• Ki – capacité de l’usine i
• Sh – Capacité du fournisseur h
• We – Capacité du CD e
• Fi – Coût fixe de l’usine i
• Fe – Coût fixe du CD e
• Chi – coût de transport d’une unité du fournisseur h à l’usine i
• Cie – coût de production et de transport d’un produit du site i au CD e
• Cek - coût de transport d’un produit du CD e au client k
• Variables de décision:– yi =1 si l’usine i est utilisé, 0
autrement
– ye =1si le CD e est utilisé, 0 autrement
– xcej – qté transportée du CD e
au client j
– xbie - qté transportée de l’usine
i au CD e
– xahi - qté transportée du
fournisseur h à l’usine i
29
Localisation simultanée d’usines et de
centres de distribution
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 1
1
1
. t
(1) , pour 1,...
(2) 0, pour 1,...
(3) , pour 1,...,
(4)
hi ie ej
hi
hi ie
ie
ie
n w l n n w w ma b c
i i e e hi ie ej
i e h i i e e j
na
h
i
l wa b
h e
wb
i ì
e
b
i
Min f y f y c x c x c x
s
x S h l
x x i n
x K y i n
x
1
1
1
0, pour e 1,...
(5) , pour e 1,...,
(6) , pour j 1,...,
(7) , 0,1
ej
ej
ej
n mc
j
mc
e e
j
wc
j
e
i e
x w
x W y w
x D m
y y
30
Quelques astuces pour la modélisation
• maximisation des profits• Soit rj le revenu associé au produit dans le marché j
• La fonction objective devient
• Il faut aussi modifié l’équation de la demande
• Traitement de différent modes de transport– Utiliser une variable différente pour chaque mode
• x1ij, x
2ij
1 1 1 1 1
m n n n m
j ij ij iji ij i i i j
Max r x f y c x
1
pour 1,...n
ij j
i
x D j m
31
Problème d’allocation pure :
cas multi-produits
On veut distribuer des produits p: 1.. P à des points de demandes d :
1..D connus soit : Directement à partir des sources d’approvisionnement
(fournisseurs, usines) ou Par l’intermédiaire des entrepôts.
Chaque produit provient d’une source d’approvisionnement unique
qui a une capacité qui dépasse largement les besoins
Les entrepôts peuvent distribuer plusieurs produits et ont une
capacité limitée
Objectif :
• Déterminer quels produits et quels points de demande à affecter à chaque
entrepôt.
• Déterminer les flux annuels de marchandises entre les entrepôts et les
sources d’approvisionnements / clients
32
Formulation mathématique
33
Formulation mathématique
34
Coût unitaire de transport de
source d’approvisionnement
de P1 à l’entrepôt 1
Coût unitaire d’entreposage
dans l’entrepôt 1
Exemple
35
Exemple
36
Problème de localisation – allocation:
cas multi-produits
Exemple :
– plusieurs produits (ou familles de produits) proviennent de sources
uniques
– Ces produits doivent être acheminés vers des zones de
consommation par le biais de chaînes d'approvisionnement qui
partent d’une usine et qui passent par un entrepôt
– Certaines usines et entrepôts existent déjà, mais on a identifié des
sites potentiels pour l’implantation de nouvelles installations
– Objectif :
• Choisir une chaîne pour l'approvisionnement de chaque produit dans
chaque zone
• Et déterminer quels usines/entrepôts devraient être ouverts, ou fermés
37
Problème de localisation – allocation:
cas multi-produits
38
Formulation mathématique
39
Formulation mathématique
40
Variables de décisions
Formulation mathématique
41
Exemple
Usine
potentielle
Usine
potentielle
Entrepôt
potentiel
42
Exemple
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