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03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences1
Modélisation
Le livre de la nature est écrit en caractères mathématiques
Galilée
(1564-1642)
Mythe ou réalité?
A quoi servent les mathématiques?
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en sciences2
Plan de l’exposé
Présentation du socle commun Modélisation (lien) Rôle des mathématiques (lien) Exemples concrets de modélisation
dans les sciences (lien) Modélisation en sciences (lien) Projet P3 : activité interdisciplinaire (lien) Annexes, Vocabulaire et bibliographie
La réalité, du monde du travail a changé et les enjeux sont devenus européens et même mondiaux. l’Europe se fixe des objectifs au niveau des systèmes éducatifs. (nécessité d’amener 50% d’une tranche d’âge au niveau licence et permettre aux citoyens de pouvoir se former et évoluer tout au long de leur vie).
-Il y a maintenant des outils d’évaluation sur les objectifs à atteindre notamment pour le socle commun : par ex les tests du programme PISA.
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en sciences3
Socle Commun
Penser en termes de :
ConnaissancesCapacitésAttitudes
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en sciences4
Ce qui se rajoute On a l’habitude de parler en terme de K et de
compétences beaucoup moins en terme d’attitude : Quelles attitudes peuvent développer l’enseignement
des maths et des sciences? Appréhender le monde de façon rationnelle pour
mieux le comprendre. -développer un espace de démocratie dans la
classe. -on peut communiquer avec d’autres (langage
universel et même mode validation de la vérité)
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en sciences5
Pourquoi le socle commun
Définir un ensemble de connaissances et de compétences qu'il est indispensable de maîtriser pour accomplir avec succès sa scolarité
-offrir à chacun les moyens de développer toutes ses facultés en mettant en valeur toutes les formes d’intelligence et toutes les aptitudes
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en sciences6
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en sciences7
Socle : Compétences viséeshttp://eduscol.education.fr/D0231/accueil.htm
la maîtrise de la langue française ; la pratique d'une langue vivante
étrangère ; les principaux éléments de
mathématiques et la culture scientifique et technologique ;
la maîtrise des techniques usuelles de l'information et de la communication ;
la culture humaniste ; les compétences sociales et civiques ; l'autonomie et initiative.
Modalités
Permettre à l’individu citoyen de pouvoir se former et évoluer tout au long de sa vie.
pas de compensation. : il faut valider les 7 compétences
-les compétences, connaissances et attitudes peuvent s’acquérir par l’intermédiaire de chaque discipline :
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en sciences8
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en sciences11
Les Mathématiques automatismes en calcul (calcul mental, apprentissage
des quatre opérations) l’apprentissage de la démonstration dans la démarche
mathématique notion de chance, de probabilité, d’incertitude, proportionnalité, notamment la « règle de 3 », fonctions représentations graphiques (tableaux, diagrammes,
points sur un axe, dans un repère).
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en sciences12
Conditions d’acquisition
Résolution de problèmes, Ancrage dans la réalité notamment
à partir de situations proches de cette réalité. On peut pour cela s’inspirer des
tests du programme Pisa qui partent toujours d’une situation concrète à modéliser.
https://www.pisa.oecd.org/
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en sciences14
Attitudes
On peut appréhender la réalité à partir de lois logiques
L’enseignement des mathématiques doit permettre : rigueur et précision, respect de la vérité rationnellement
établie, le goût du raisonnement fondé sur des
arguments dont la validité est à prouver.
Les filles sont meilleures que les garçons en math
garçons filles
algèbre 23/200 85/500
géométrie 400/500 90/100
algèbregéométrie
11,5%80%
17%90%
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en sciences15
Pas si sûr !!!!
garçons filles
algèbregéométrie
23/200400/500
85/50090/100
algèbregéométrie
423/70060,5%
175/60029,2%
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en sciences16
-En statistiques il faut toujours vérifier de quoi l’on parle et se méfier des généralisations hâtives.
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en sciences18
Culture scientifique et technologique développer la curiosité de l’élève accéder à une représentation
globale et cohérente du monde comprendre son environnement
quotidien distinguer entre faits démontrables
d’un côté, opinions et croyances de l’autre
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en sciences20
Pour atteindre ces buts
l'observation, le questionnement, la manipulation et l'expérimentation.
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en sciences21
Capacités à développer dans les sciences expérimentales
démarche d’investigation observer, questionner, formuler une hypothèse et la
valider, argumenter, modéliser de façon élémentaire
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en sciences27
Place de la modélisation dans la démarche d’investigation
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en sciences28
Modélisation : Pourquoi?
Question dont la réponse n’est pas évidente Expérimentation coûteuse ou impossible. Favoriser l’observation et l’étude. Acquérir une représentation cohérente du
monde reposant sur des connaissances. Se créer des images. Pour échanger avec les non spécialistes en ayant
un langage commun. Pour pouvoir modifier certains paramètres et
ainsi prévoir, anticiper, simuler. Rigueur, précision.
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en sciences29
Modèle mathématique
Un modèle mathématique est une représentation : fonctionnelle de la réalité par des objets abstraits sur
lesquels on peut appliquer un traitement théorique analogique (imiter pour pouvoir observer et étudier) sélective (on retient certaines caractéristiques et on en
ignore d’autres)
Un même modèle, de part son abstraction, peut s’appliquer dans des contextes différents.
Modélisation et modèle
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en sciences30
RéalitéMonde empirique
Modèle mathématique
Symbolisme
Modèle descriptif(interpréter et
analyser)
Modèle prédictif(anticiper une action)
La résolution de problème consiste entre cet aller-retour entre réalité qui peut être déjà abstraite et le modèle. On analyse la réalité, on cherche, on décrit, on interprète les informations. Traitement à l’intérieur du modèle puis retour pour valider le modèle et l’interpréter dans la situation concrète.
C’est cet aller-retour qui donne du sens aux mathématiques. Actuellement des profs de math se cantonnent à ne travailler
que dans le modèle et à faire des gammes. En contradiction avec les autres pays ou cet aller-retour entre
réalité et modèle mathématique s’exerce d’avantage. (Voir le contenu des tests PISA)
-Certains profs de sciences vont aussi parfois trouver plus confortable de faire des maths plutôt que de la physique par exemple.
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en sciences31
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en sciences32
Modèle
un modèle est toujours lié à ce que l'on veut en faire, à une théorie.
un modèle n'est jamais parfait ni totalement représentatif de la réalité.
il y a toujours plusieurs modèles possibles.
C’est utile pour traiter le réel, mais il ne faut pas le prendre pour le réel.
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en sciences34
Comment Modéliser? Inspiration, imagination, analogie, rasoir d’Occam et
changement de point de vue, courage intellectuel face aux modèles dominants.
Il faut bien limiter le champ du problème, chercher la simplicité.
filtrer les données pour atteindre l’essentiel. Introduire des paramètres manquants, éventuellement
adopter une approche probabiliste. Bien décrire l’ensemble des règles ou équations. valider le modèle. avoir l’esprit critique et faire un retour à la réalité
Le rasoir d'Occam ou rasoir d'Ockham : consiste à ne pas utiliser de nouvelles hypothèses tant que celles déjà énoncées suffisent.
Contre-modèles : Trois noms importants : Copernic (1473-1543) Galilée (1564-1642 ) Newton (1643-1727)
Copernic à pris en compte les observations plus précises des trajectoires des planètes en étudiant leur déplacement non plus autour de la terre mais, autour du soleil.
Cette étape pourrait sembler facultative car il est possible d'obtenir des trajectoires justes en les calculant depuis la terre ou depuis le soleil. La différence est dans la complexité des équations qui régissent ces phénomènes.
Vu du soleil, au contraire, les trajectoires des planètes sont admirables de simplicité. Il s'agit de simples ellipses avec le soleil à l'un des foyers.
Newton a imaginé une action a distance en contradiction avec les principes de son époque03/12/2008
journées IUFM sur la modélisation en sciences
35
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en sciences39
Année Pourcentage de mauvais poisson
1914 11,9
1915 21,4
1916 22,1
1917 21,2
1918 36,4
1919 27,3
1920 16
1921 15,9
1922 14,8
1923 10,7
Statistiques de pêche à Triestre
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en sciences40
Proies-prédateursVolterra (1860-1940)
Bons poissons (sardines) : x(t) Mauvais poissons (Sélaciens) : y(t) Variation du nombre de sardines : x’(t)
Si pas de requins : + ax(t) Si rencontre avec Sélaciens : - bx(t)y(t)
Variation du nombre de Sélaciens y’(t) Si pas de sardines : - dy(t) Si rencontre avec sardines : + cx(t)y(t)
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en sciences41
Système différentiel
x’(t) = a x(t) – b x(t)y(t) y’(t) = - d y(t) + c x(t)y(t)
On utilise la méthode d’Euler :
x(t+h) approximé par : x(t) + hx’(t) pour h « petit »
Voir fichier :
proie_predateur_différentielle.xls
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences42
Les coefficients a, b, c et d représentent respectivement le taux de croissance ou taux de natalité de la proie, le taux de mortalité de la proie due à la prédation, le taux de croissance ou taux de natalité du prédateur dû à la prédation et le taux de mortalité naturelle du prédateur lorsqu’il n’y a pas de proie, i.e., mortalité due à la famine.reproches principaux: -absence de réalisme.-la mort naturelle n’est pas prise en compte. Ce qui signifie qu’en l’absence de prédateur, la proie ne meurt jamais. -la croissance du prédateur est entièrement contenue dans sa capacité de prédation. C’est-à-dire que sa population augmente après chacun de ses repas. -les croissances de chaque espèce ne sont en rien perturbées par des évènements extérieurs. Ils sont en comme isolés du monde extérieur. il faut connaître les quatre coefficients ci-nommés avec une précision diabolique.le taux de prédation, c’est-à-dire finalement l’appétit du prédateur : rien n’est plus difficile à apprécier qu’une variable aussi aléatoire que celle-ci.
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en sciences43
La forme canonique expliquée aux enfants Un carré et 10 choses valent 39
X² + 10X = 39 Combien vaut X?
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences45
X² 5X
5X 25
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en sciences46
De l’intérêt de se parler (I)Approximation affine et usage dans les sciences
Que penser d’un exercice formulé ainsi? Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à
20°C. A 30°C il ne reste que 2,8l dans le récipient. La physique nous apprend que, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température.
1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide restant dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C.
2)En déduire le volume à 40°C.
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en sciences47
Proposition de modification-l’exercice ne doit pas induire de mauvaises images chez l’élève-il doit permettre à l’élève d’utiliser le modèle fonction affine et proportionnalité des « écarts » avec un support tiré des sciencescomment noter la variable? x ou t?
EX : Dans un récipient on chauffe un liquide de volume 4l à 20°C. A 30°C le volume dans le récipient est de 4,8l. On a constaté expérimentalement que pour ce liquide, entre 20°C et 40°C, l’accroissement de volume est proportionnel à l’accroissement de température. On note x la température.
1)Donner une expression en fonction de x du volume V(x) de liquide dans le récipient à la température x, pour x entre 20°C et 40°C.
2)En déduire le volume à 40°C.
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en sciences50
Du bon usage de la continuitéDeuxième exemple :
A une élection on vote pour A ou pour B. Peut-on, avant le scrutin faire une prédiction qui ne sera pas démentie par les faits?
H Simons (prix Nobel d’économie) pense que oui et argumente : Soit p une prédiction (%de suffrages pour A) Soit f(p) le résultat du scrutin. On fait l’hypothèse que f est continue. Alors la
courbe de f coupe forcément la droite d’équation y=x. Donc il existe bien p telle que : p = f(p).
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en sciences51
Contre-Exemple
On sait que : 15% votent pour B, 30% votent pour A, 15% votent pour le candidat
annoncé gagnant et 40% sont des contestataires.
Si p < 50 alors ??
Si p >50 alors ??
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en sciences52
Quelle est la vitesse optimale à prendre en cas de risque de bouchon ?
Cahier des charges : on veut un débit maximum.
Paramètres : V : vitesse km.h-1
l (en m) la longueur d'une voiture L(en m) la distance entre les arrières D : le débit, et tr, le temps de réflexe de freinage et
d : distance de freinage.
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en sciences53
1s
Contraintes entre les paramètres
Débit : nombre de voitures passées en un lieu en T (h)
D = 1000vT/L Donc D = k v/L
Distance de freinage : (elle doit annuler l’énergie cinétique et tenir compte du temps de
réaction) d = k1 v² +tr v Avec d <= L- l
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en sciences54
1000vT
L
Au mieux on a donc :
d = L – l et donc : k1 v² +tr v + l = L
Mais D = kv/L donc D = kv/(k1 v² +tr v + l )
Avec la dérivée : D’(v) = 0 v² = l/k1 Donc Vopt = rac(l/k1)
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en sciences55
1
l
k
Sans connaître la notion de dérivée(point de vue graphique)
1/D = (k1 v²+tr v +l)/(k v) Donc 1/D = (k1/k) v+ (tr/k) + l/(k v)
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en sciences56
Calcul de la vitesse optimale Relation entre D et v :
k1Dv2 + (Dtr - k) v + Dl = 0 Pb : à priori 2 racines v1 et v2.
v1v2 = Dl/k1D = l/k1 >0 donc il faut v1+v2 > 0 Dtr – k < 0. t très petit donc OK
Au fait : y-a-t-il des racines? Delta >=0 (Dtr - k)² >= 4D²lk1 c-a-d Dtr – k <= - 2 D rac(lk1) car Dtr – k < 0 Donc D[tr +2 rac(lk1)] <= k. D<= k./[tr +2 rac(lk1)]
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en sciences57
Pour maximiser le Débit
Au mieux : Dmax = k./[tr +2 rac(lk1)] . Dans l’équation de départ on a une racine double : v1=v2= (k-Dtr)/(2k1D) mais k-Dtr = 2Drac(lk1) donc Voptimale = rac(l/k1) Sur Internet : df = v² / (2g(cfl + ou – p)
v = vitesse en mètres par secondeg = 9,81 m/s² (accélération de la pesanteur)cfl = coefficient de frottement longitudinalp = déclivité du profil en long (en m/m)
D’ou k1 = 1 / [2g(cfl)] sur sol horizontal (p=0)
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en sciences58
What a surprise!!
Pour g = 9,8, l = 5 m, Pour cfl
0,8 pour un béton bitumineux propre et sec
0,7 pour un revêtement moyen 0,6 pour un pavé sec
Vopt = ?
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en sciences59
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en sciences60
Des mathématiques aseptisées aux Mathématiques Tout Terrain
Exemples Beaucoup de problèmes concrets échappent aux
mathématiques classiques. Pourtant les maths ont leur rôle à jouer mais
différemment : Utilisation de l’informatique : discrétisation des
problèmes et modélisation. Elaboration de conjectures, travail critique,
plausibilité d’un résultat, débat, contre-exemples. Puis démonstration pour emporter la conviction Ancrer les maths dans la réalité
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en sciences61
Modèles en Sciences
Ce qui est donné pour servir de référence (souches…)
Ce qui est représentatif d’une catégorie (type de volcan…)
Reproduction à échelle différente (cellule, temps géologiques…)
Structure utilisée pour rendre compte de phénomènes non reproductibles ou non visibles…
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en sciences62
1 - Les modèles animaux
Permettent d’utiliser des animaux possédant certaines particularités anatomiques ou physiologiques
Permettent d’étudier les animaux sur plusieurs générations
Peuvent être soumis à des tests ou expérimentations
Transposition à l’homme ultérieurement
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en sciences63
Drosophile Antennapedia
Antennapedia Encore appelé ANT-C, est un gène HOX de la Drosophile qui
contrôle le placement des pattes. Il est porté sur le chromosome III. Une perte de la fonction par mutation dans la région de régulation de ce gène peut donner comme résultat la conversion de la seconde paire de pattes en des antennes ectopiques. Ceci est seulement une illustration de la tendance des organismes à exhiber des variations sur un thème, en répétition modulée. Les pattes et les antennes sont liées de la même façon que le sont les molaires et les incisives ou que les doigts et les pouces, les bras et les jambes. Au contraire, les allèles du gène définissant le gain de la fonction convertissent les antennes en des pattes ectopiques.
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en sciences64
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en sciences65
Vibrio harveyi
Vibrio harveyi Deux familles de bactéries, les Vibrionacées et les Entérobactériacées
présentent des représentants luminescents. Il est possible de s’en procurer aisément soit en réalisant un isolement à partir d’un échantillon biologique (3) soit plus simplement dans le commerce (7). La culture de bactéries luminescentes et la bioluminescence elle-même sont porteuses d’un considérable potentiel pédagogique car elles conduisent à s’interroger sur de multiples problèmes biologiques et à les résoudre en intégrant des activités pratiques diversifiées. Outre l’acquisition des gestes techniques fondamentaux de la microbiologie, la mesure de l’émission lumineuse peut être utilisée pour établir la cinétique de croissance d’une population bactérienne et pour explorer les conditions de vie de ces organismes et leur métabolisme. Des bactéries luminescentes sont également utilisées comme organismes indicateurs dans des tests biologiques (1), outils de surveillance de l’environnement. Ainsi, un test commercial comme le test MICROTOX® permet de tester le potentiel toxique des eaux à l’aide de bactéries luminescentes.
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en sciences66
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences67
2 – Les modèles analogiques
Analogues géométriques, mécaniques ou électriques d’objets biologiques
Définis par l’invariance du rapport de certaines grandeurs ou propriétés homologues
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences68
Le cœur est une pompe
Il met en mouvement un fluide dans un circuit fermé
Le circuit est en parallèle et non en série
http://svt.framanet.free.fr/imagesvt/utilex/rev_card/rev_card.htm
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en sciences69
3 – Les modèles de simulation par ordinateur Simulation de la pression sanguine
sur la paroi d’un anévrisme : http://interstices.info/display.jsp?id=c_8694&portal=j_97&printView=true
Simulation des ondes sismiques : http://artic.ac-besancon.fr/svt/act_ped/svt_lyc/prem/sismologie/activites/college/mexico/mexico.htm
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en sciences70
Rôles des modèles
Expliquer
Ex : remontée du magma Prévoir
Ex : anévrisme Visualiser
Ex : faille de San Andréa
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en sciences71
Modèle, outil didactique
Objet de substitution, il aide à la construction des connaissances
Support concret, il demande un effort intellectuel moindre (surtout pour les plus jeunes)
Moyen de transmission de connaissances, c’est une forme de langage
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en sciences72
Projet P3
projet interdisciplinaire maîtrise de la langue française par les élèves, éducation
à l’environnement ou au développement durable, éducation à la santé, thème de convergence, TPE, IDD, PPCP,….).
Préparer une séquence d’enseignement Le travail doit être guidé par une problématique
pluridisciplinaire Il doit y avoir articulation entre plusieurs disciplines et
une approche théorique On prépare une séquence pédagogique
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en sciences73
Compétences évaluées
Exercer l’expression écrite et orale des élèves
Connaître le socle commun Mettre en œuvre des approches
pluridisciplinaires Maîtriser les TICE Travailler en équipe pluridisciplinaire Se former et innover
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en sciences74
Contenu du dossier
présentation de la problématique et éléments théoriques inter-disciplines (deux pages)
objectifs de la séquence et choix effectués (une page)
Calendrier, analyse à priori et à posteriori (3 pages)
choix de productions d’élèves représentatifs (1 page)
synthèse et propositions alternative ou prolongements possibles (1 page)
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en sciences75
Améliorer l’expression chez les élèves(Savoir utiliser un langage pour décrire une situation)
Enrichir l’emploi de la langue Approfondir la pratique de l’argumentation Fournir des mots nouveaux pour s’exprimer Exemples :
Résolution par traduction (analytique) Décrire en français un algorithme non commenté Fournir une bonne approximation, bien définie,
d’une fonction d’expression analytique inconnue. (chaque élève construit son modèle propre proposé aux autres)
Analyse mathématique de textes scientifiques
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en sciences76
Inter, pluri, trans disciplinarité
L’interdisciplinarité fait appel aux spécificités de diverses disciplines qui convergent par nécessité pour résoudre un problème.
La pluridisciplinarité exploite une situation, à travers certaines disciplines, de façon élégante et opportune, sans chercher des liens et sans obligation.
La transdisciplinarité relie les disciplines sans obligation, de manière à atteindre les mêmes objectifs à travers des activités très variés.
Qu’est-ce que la culture mathématique dans le cadre d’évaluation de PISA 2006 (OCDE, 2006a)
l’aptitude d’un individu à identifier et à comprendre le rôle joué par les mathématiques dans le monde, à porter des jugements fondés à leur propos et à s’engager dans des activités mathématiques, en fonction des exigences de sa vie en tant que citoyen constructif, impliqué et réfléchi (OCDE, 2006a).
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en sciences77
Evaluer les savoirs et savoir-faire des élèves en mathématiques
PISA 2006
en fonction de trois dimensions le contenu mathématique des différents
problèmes et questions, les processus à mettre en œuvre pour établir des
liens entre les phénomènes observés et les notions mathématiques pertinentes, puis pour résoudre les problèmes
les situations et les contextes qui servent de stimulus aux items et dans lesquels les problèmes s’inscrivent.
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en sciences78
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences80
Qu'est une véritable activité mathématique?introduction aux programmes de collège
(BO n° 4 du 4 avril 2004)
identifier et formuler un problème, conjecturer un résultat en
expérimentant sur des exemples, bâtir une argumentation, contrôler les résultats obtenus en
évaluant leur pertinence en fonction du problème étudié,
communiquer une recherche, mettre en forme une solution.
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences81
Méthode des tangentes parallèles pour la détermination du point d'équivalence E
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences82
Autre méthode : méthode du pic de la dérivée
dérivée
0
1
2
3
4
5
6
0 10 20 30 40
dérivée
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences83
Exemple de façon de travailler avec les élèves
Après analyse du problème répartir les élèves en groupes thématiques.
Chaque groupe est chargé d’une mission précise et devra produire un texte, rendant compte du travail accompli.
Une synthèse est alors organisée sous forme de débat ou chaque groupe apporte sa contribution.
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences84
Références bibliographiques (I)
Jacques Istas : Introduction aux modélisations mathématiques pour les sciences du vivant. Springer-Verlag, Berlin 2000.
Istas,J. (2005). Mathematical Modeling for the Life Sciences, Springer.
James Gleick : La théorie du chaos. (Champs-Flammarion)
T35 : E.J.Aubert (Mathematical intelligencer Vol 6 no 3)
Leçons de calcul infinitesimal. Deledicq-Diener 1989.
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
en sciences85
Références bibliographiques (II) Cherruault Y. (1998), Modèles et méthodes
mathématiques pour les sciences du vivant, Presses universitaires de France, (ISBN 2-13-048978-8)
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en sciences87
Vocabulaire Preuve : Faire une preuve c’est proposer une
explication acceptée relativement à la vérité d’un énoncé par une communauté de pensée à un moment donné.
Il y a : les preuves pragmatiques, les preuves intellectuelles, les preuves formelles, la démonstration. (Balacheff)
Une démonstration est : tout raisonnement valide permettant d’établir qu’un énoncé est vrai ou faux à l’intérieur d’un système théorique.
Elle a : un statut social , et deux fonctions : une fonction de validation dans le but de réduire le doute et une fonction explicative du pourquoi
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en sciences93
Forces de frottement fluide
On lâche un tube à hémolyse lesté dans un fluide.
On cherche à estimer les forces de frottement fluide qui interviennent. On va comparer plusieurs modèles.
Relation fondamentale de la dynamique : mg – ρVg – ff = m dV/dt.
D’ou : g – ρVg/m – ff/m = dV/dt
On pose A = g – ρVg/m d’ou A-f/m = dV/dt
03/12/2008journées IUFM sur la modélisation
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Modèles
Proportionnel à la vitesse : A-Bv = dV/dt
au carré de la vitesse : A-Cv² = dV/dt
Combiné des deux : A- Bv -Cv² = dV/dt
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Expérimentalement la vitesse semble avoir une limite finie quand t tend vers l’infini.
A la limite dV/dt = 0 d’ou : 1er cas : A –B vlim= 0 2ème cas : A –C (vlim)² = 0 3 ème cas : A –B Vlim –C (Vlim)² =0
A est connu en fonction des données A = g – ρVg/m. On en déduit B ou C en fonction des données expérimentales.
Dans le 3ème cas on exprime l’un des paramètres B ou C en fonction de l’autre
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