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1
PROBLEMA 1
PROBLEMA 3
EXAMEN PRIMERA SEMANA. Febrero 2006
M
a
g
ne
t
i
s
m
o
E
l
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c
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d
a
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y
5/9/2018 060200 EyM Examen - slidepdf.com
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2
Sobre un segmento rectilíneo de longitud a y unasemicircunferencia de radio 2a y centro en el punto A (0,
a, 0) se distribuye una densidad lineal de carga P (véasefigura). Calcular el campo eléctrico y el potencial en el punto A.
Z
Y
a
2a
A
PROBLEMA 1. Cálculo de campo eléctrico y potencial (aportaciones infinitesimales)
Pasos previos: cálculo del campo creado por una densidad linealde carga P (ver cálculo 1.1) y del campo creado por una densidadconstante P sobre una semicircunferencia (ver cálculo 1.2)
Campo del segmento rectilíneo:
Campo de la semicircunferencia:
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Cálculo del potencial creado por una densidad lineal de carga (ver cálculo 1.3) y por una densidad lineal sobreuna semicircunferencia (ver cálculo 1.4).
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Campo del segmento rectilíneo:
Campo de la semicircunferencia:
Potencial en A
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PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales)
Z
Y
a/2
a
Por una espira, formada por una semicircunferencia ydos tramos rectos tal como indica la figura, circula la
corriente I . Calcular el campo magnético en el origen decoordenadas.
Pasos previos: cálculo del campo magnético creado por unfilamento rectilíneo que conduce la corriente I (ver cálculo 3.1) y del campo magnético creado por una
corriente I sobre una semicircunferencia (ver cálculo 3.2)
Puesto que todos los elementos conductores están situados en el planoYZ, el campo magnético resultante en el origen tendrá la dirección deleje X (perpendicular al plano del esquema)
Bd T
El campo magnético en origen de los tramos rectilíneos estará dirigido
en sentido entrante (compruébese con la regla de la mano derecha). Eldel tramo semicircular está dirigido en sentido saliente. Puesto que ladistancia de los elementos de corriente del tramo semicircular al origenes mayor, el campo neto debe ser de sentido entrante (se comprobará).
M
a
g
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d
y
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PROBLEMA 3. Cálculo de campo magnético (aportaciones infinitesimales, continuación)
? A xuh
I B
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0 sensen4
UUT
Q
A) Tramos rectilíneos
Según la orientación de la espira respecto a los ejes coordenados, el campode cada tramo rectilíneo se expresa como
Z
Y
a/2
a
donde h = a/2 y los ángulos U1 y U2 son para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y 30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es lamisma porque en el resultado final figura la suma de los senos de los ángulos).
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B) Tramo semicircular: su sentido es saliente xua
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CÁLCULOS M
a
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h
Z
Y
L
Cálculo 1.1. Campo eléctrico debido a densidad lineal de carga P en un punto arbitrario P.
Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuidasobre un segmento de longitud L con la orientación mostradaen la figura.
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20
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Relación entre el ángulo U y la coordenada z:
Utgh z !(El signo negativo obedece a que cuando la coordenada z decrece, elángulo U aumenta, pues su sentido positivo es el sentido antihorario)U
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El ánguloU es positivo en sentido antihorario y su línea de referencia es lahorizontal que pasa por P; por tanto los ángulos por encima de la horizontalque pasa por P tienen una contribución negativa a E z ya que su seno esnegativo (esto es lo que se muestra en el dibujo, pues se ha pintado unelemento d z por encima de esa horizontal). Los elementos d z por debajo de esa
horizontal tienen contribución positiva, pues su seno es positivo. Véase quetodas las contribuciones a E y son positivas, pues cos U = cos (-U).Tomamos como origen este punto
Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando h = a, L = 2a, cosU1 = 1/�5, senU1 = 2/�5, U2 = 0
¼½
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VOLVER Cálculo 3.1
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U0
Cálculo 1.2. Campo eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal P) en su centro.
VOLVER
P Rd U
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d U R
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E d T
Sea un arco de circunferencia de U0 radianes y radio R con densidad lineal P C/m
El sentido positivo del
ángulo U es el antihorario. UUT I
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Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, U0 = T rad
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Cálculo 1.3. Potencial eléctrico debido a densidad lineal de carga P en un punto arbitrario P.
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Tomamos como origen este punto
VOLVER Supongamos que la densidad de carga lineal está distribuidasobre un segmento de longitud L con la orientación mostradaen la figura.
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Calculemos el potencial en P
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_ a _ a12120
tantansecsecln4
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Caso particular planteado en nuestro problema:h = a, L = 2a, cosU1 = 1/�5, secU1 = �5, senU1 = 2/�5, tanU1 = 2
U2 = 0, cosU2 = 1, secU2 = 1, senU2 = 0, tanU2 = 015ln
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Cálculo 1.4. Potencial eléctrico de arco de circunferencia (densidad lineal P) en su centro.
VOLVER
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El sentido positivo del
ángulo U es el antihorario.00 44 TI
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Caso particular planteado en nuestro problema: Cuando R = a, U0 = T rad
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Sea un arco de circunferencia de U0 radianes y radio R con densidad lineal P C/m
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Cálculo 3.1. Campo magnético de un conductor rectilíneo en un punto arbitrario.
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El campo magnético debido a cada elemento de corriente en un puntocomo el indicado en el esquema tiene sentido entrante (a la derecha delconductor tiene sentido saliente, aunque esto no se muestra en la figura)
Cálculo del campo por Biot y Savart:
u I d l ul I d r
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Vector unitario perpendicular al planode la figura, entrante a la izquierda y
saliente a la derecha de la misma
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Discusión de lossignos en Cálculo 1.1.
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CASO PARTICULAR: En nuestro problema h = a/2 y los ángulos U1 y U2 son,respectivamente, para el conductor superior 30º y 60º, y para el inferior 60º y30º (véase que la contribución de cada uno de ellos es la misma porque en elresultado final figura la suma de los senos de los ángulos).
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Cálculo 3.2. Campo magnético de un conductor semicircular en su centro.
VOLVER Z
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El campo magnético en el centro debido a cada elemento de corrientetiene sentido saliente (compruébese con la regla de la mano derecha)
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44!!Módulo dB U
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Para calcular el campo en el origen producido por un arco de circunferenciade U0 radianes debemos integrar entre los límites U = 0 y U = U0 .
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Si se trata de una semicircunferencia U0 = T
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