08 dualidad

Teoria de Dualidad

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Introducción

Conceptos

Dualidad Simétrica

Dualidad Asimetrica

Dualidad Mixta

Propiedades

Interpretación Económica del Dual

Precio Sombra

Costo Reducido.

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Dualidad

La teoría de Dualidad es una propiedad Matemática. Este concepto se aplica a la teoría de optimización.

La teoría de Dualidad introduce un nuevo test de optimalidad, como también nuevos algoritmos para resolver problemas lineares.

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Dualidad

Todo problema de programación matemática existe asociado con otro problema llamado Dual.

En particular, todo problema lineal (primal) tiene su correspondiente problema dual

Denominemos por (P) al problema primal y (D) a su correspondiente dual.

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Dualidad (simétrica)

Problema primal

(P) max Cx

s.a

Ax < b

x>0

Problema dual

(D) min yb

s.a

yA> C

y > 0

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Dualidad (simétrica)

Problema primal

max 3x1+7x2 -4x3

s.a

2x1- x2 + x3 <2

7x1+5x2-2x3<10

x1,x2,x3>0

Problema dual

min 2y1 +10 y2

s.a

2y1 +7y2 > 3

-y1 +5y2 > 7

y1 -2y2 > -4

y1,y2 > 0

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Dualidad (asimétrica)

Problema primal

(P) max Cx

s.a

Ax = b

x>0

Problema dual

(D) min yb

s.a

yA> C

y libre

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Dualidad (asimétrica)

Problema primal

max 3x1+2x2

s.a

x1+ x2 = 6

5x1-x2 = 12

x1,x2 > 0

Problema dual

min 6y1 +12 y2

s.a

y1 +5y2 > 3

y1 - y2 > 2

y1, y2 libre

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Dualidad (mixta) Problema primal

max 5x1+7x2-x3

s.a

x1+2x2+3x3 < 20

2x1-x2 = 8

x1 +3x2-4x3 < 9

x1 + x3 =12

x1,x3 > 0

x2 libre

Problema dual

min 20y1+8y2+9y3+12y4

s.a

y1 +2y2 + y3 + y4 > 5

2y1- y2 +3y3 =7

3y1 -4y3 +y4 > -1

y1, y3 > 0

y2, y4 libre

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Relación entre Primal y Dual

FO. MAX FO. MIN

AM

Restricc.

N Variables

NRestricc.

M Variables

tA

X es var. primal Y es variable dual

C b

bC

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Relación entre Primal y Dual

Respecto a las desigualdades

Prob. de Max Prob. de Min

oirrestrict

0

0

RESTRICC VARIABLES

oirrestrict

0

0

VARIABLESRESTRICC

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Dualidad- Propiedades

El problema primal puede ser de Máximo o de Mínimo por conveniencia denominamos (P) a un problema de Máximo.

Propiedad 1: Dual de (D) es (P)

Propiedad 2: Si x’ es una solución factible de (P) e Y’ es una solución factible de (D) entonces bycx ''

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Dualidad- Propiedades

Propiedad 3: Si x’ es una solución factible de (P) e Y’ es una solución factible de (D) y

entonces x’ será óptimo de (P) e y’ sera óptimo de (D).

Propiedad 4: Si (P) tiene una solución óptima ilimitada entonces (D) será vacio.

Propiedad 5: Si x* es solución óptima de (P) e y* es solución óptima de (D) entonces

bycx ''

bycx **

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Dualidad- Propiedades

Teorema de dualidad (existencia): Dado un par de problemas (primal y su dual) uno y solamemnte uno de las tres afirmaciones es verdadero.

Los dos problemas son vacios

Uno es vacio y el otro ilimitado.

Ambos admiten soluciones óptimas finitas (sus funciones objetivo en el punto óptimo asumen igual valor)

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Dualidad- Propiedades

Primal Dual

Óptimo finito Óptimo finito

Óptimo no-finito Óptimo no-finito

No tiene solución No tiene solución

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Dualidad- Propiedades

Propiedad 6 (Complementaridad): Si x’ es óptimo de (P) e y’ es óptimo de (D) entonces

(y’A – c) x’ = 0 e y’(Ax’ – b) = 0

Esta propiedad nos dice que:

Las variables duales y las variables de holgura son complementares.

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Dualidad- PropiedadesEj: máx z= 5x1+ 2x2

s.a

x1 < 3

x2 < 4

x1 + 2x2 < 9

x1, x2>0

Resolver, sabiendo que los valores de las variables duales correspondientes son:

y1= 4, y2=0, y3=1 y ZD= 21

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Dualidad- PropiedadesAplicando la propiedad de complementariedad,

y’(Ax’ – b) = 0, se tiene:

y1(x1 – 3) =0

y2(x2 – 4) =0

y3(x1 + 2x2 -9) = 0

Reemplazando: y1= 4, y2=0, y3=1

4x1-12 =0 => x1 = 3

x1 +2x2-9 =0 => x2= 3

Y Zp = 5(3) +2(3) = 21

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Dualidad- PropiedadesEj: máx zp= 5x1+ 2x2 min zd= 3y1+4y2+9y3

s.a x1 < 3 s.a y1 + y3 ≥ 5

x2 < 4 y2+2y3 ≥ 2

x1 + 2x2 < 9

x1, x2>0 y1, y2, y3>0

Resolver, y encontrar el valor de las variables primales y duales.

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Dualidad-Propiedadesx1 x2 x3 x4 x5

x3 1* 0 1 0 0 3

x4 0 1 0 1 0 4

x5 1 2 0 0 1 9

-z 5 2 0 0 0 0

x1 1 0 1 0 0 3

x4 0 1 0 1 0 4

x5 0 2* -1 0 1 6

-z 0 2 -5 0 0 -15

x1 1 0 1 0 0 3

x4 0 0 ½ 1 -½ 1

x2 0 1 -½ 0 ½ 3

-z 0 0 -4 0 -1 -21

y4 y5 y1 y2 y3

X1 = 3,X4= 1,X2= 3,

X3=X5=0,Zp=21

Y1=4,Y2=0,Y3=1,

Y4=Y5=0,Zd= 21

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Interpretación económica del problema dualEj: max z= 60x1+ 30x2 +20x3

s.a

8x1 + 6 x2 + x3 < 48 <= listones de madera

4x1 + 2x2 +1.5x3 < 20 <= horas de acabado

2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 < 8 <= horas de carpintería

x1, x2, x3 >0

x1= número de escritorios a producir

x2= número de mesas a producir

x3= número de sillas a producir

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Interpretación económica del problema dual

Suponga que un empresario desea comprar todos los recursos de la empresa,entonces él debe determinar el precio que esta dispuesto a pagar por cada uno de los recursos:

y1= precio de un listón de madera

y2 = precio de una hora de acabado

y3 = precio de una hora de carpintería

El precio total de los recursos es:

48y1 + 20 y2 + 8y3

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Interpretación económica del problema dual

Ya que desea minimizar el costo de la compra

min 48y1 + 20 y2 + 8y3

el dueño de la empresa dice que los precios deben ser justos esto es, el precio por la cantidad de recursos utilizados para producir un producto sea cuando menos la utilidad que este proporciona:

8y1 + 4y2 +2y3 > 60

6y1 + 2y2 +1.5 > 30

y1 + 1.5y2 + 0.5y3 > 20

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Interpretación económica del problema dual

Así tenemos:

min 48y1+ 20y2 +8y3

s.a

8y1 + 4y2 + 2y3 > 60 <= restricc. de escritorio

6y1 + 2y2 +1.5y3 > 30<= restricc. de mesas

y1 + 1.5y2 + 0.5y3 > 20<= restricc. de sillas

y1,y2,y3>0

La variable dual se relaciona con el valor de los recursos, por esta razón se denomina precio sombra

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Precio dual

El precio dual o precio sombra es la variación de la F.O. cuando el lado derecho de una restricción cambia en una unidad

El precio dual es válido para el rango de variación permitido, y constante en este intervalo.

El precio dual de una restricción inactiva es cero

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Costo reducido

El costo reducido de una variable de decisión se define como la cantidad en que se debe de cambiar el coeficiente de esa variable en la F.O. Para obtener un valor óptimo positivo.

Otra definición: Es la tasa (por unidad de aumento) a la cual disminuye el valor objetivo cuando esa variable es forzada a entrar en la solución óptima.