1 Carlos Mario Jaramillo López Departamento de Matemáticas Universidad de Antioquia Carlos Mario...

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Carlos Mario Jaramillo LópezDepartamento de Matemáticas

Universidad de Antioquia

Carlos Mario Jaramillo López

Departamento de matemáticas

Modelación y Estructuras Matemáticas

Aspectos específicos de las Aspectos específicos de las MatemáticasMatemáticas

Los objetos matemáticosLos materiales concretos utilizados

en el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática

Los nombres las palabras o símbolos de cualquier tipo, utilizados para referirnos a los objetos

MODELACIÓN MODELACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Muchas situaciones del mundo real pueden presentar problemas que requieran soluciones y decisiones. Algunos de estos problemas tienen un aspecto matemático relativamente simple, e involucran una matemática elemental, entre otros:◦ El interés que cobra una institución

financiera por un determinado préstamo.◦ La velocidad y la posición de un

automóvil que va a 40 km/h al ser observado durante 10 minutos.

MODELACIÓN MODELACIÓN MATEMÁTICAMATEMÁTICA

Ahora bien, otros fenómenos que están inmersos en otras ciencias o disciplinas pueden no ser tan sencillos de analizar y necesitan de un análisis de las variables que intervienen en él. Veamos:◦La manera más precisa de predecir el

comportamiento del dólar◦La cantidad permitida de ruido que

puede generar una fábrica sin que ello dañe el medio ambiente

ENTONCES, ¿QUÉ ES UN MODELO ENTONCES, ¿QUÉ ES UN MODELO MATEMÁTICO?MATEMÁTICO?

Bajo las anteriores acepciones de modelación, podríamos llamar modelo al conjunto de representaciones, símbolos y relaciones matemáticas que traducen, de alguna manera, un fenómeno a estudiar o un problema de alguna manifestación de la realidad.

¿CUÁLES SON LAS FASES ¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL PROCESO INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN?DE MODELACIÓN?

1. EXPERIMENTACIÓN◦Obtención y análisis de los datos del

fenómeno

¿CUÁLES SON LAS FASES ¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN?PROCESO DE MODELACIÓN?

2. Abstracción.

- Selección de variables- Establecimiento de conjeturas- Formulación de hipótesis

¿CUÁLES SON LAS FASES ¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN?PROCESO DE MODELACIÓN? 3. Resolución

- Se simbolizan las hipótesis y conjeturas por medio de un lenguaje matemático coherente.

- Se utilizan las herramientas matemáticas para resolver el problema

¿CUÁLES SON LAS FASES ¿CUÁLES SON LAS FASES INVOLUCRADAS EN EL INVOLUCRADAS EN EL PROCESO DE MODELACIÓN?PROCESO DE MODELACIÓN?

4. Validación- Es el momento donde se acepta o no el Modelo.

- Confrontación de los datos con los resultados del modelo

10(MEN, 2000, Lineamientos Curriculares, p. 70)

La matematización se puede concebir como el proceso desde el problema enunciado matemáticamente hasta las matemáticas y la modelación o la construcción de modelos como el proceso completo que conduce desde la situación problemática real original hasta un modelo matemático.

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Orientar a los alumnos a Orientar a los alumnos a hacer un trabajo de hacer un trabajo de modelaciónmodelación1. Elección del tema2. Familiarización con el tema que va

a ser modelado3. Delimitación del problema y

formulación4. Elaboración de un modelo

matemático, resolución y validación5. Organización del trabajo escrito y

exposición oral

Creencias, Actitudes y Creencias, Actitudes y EmocionesEmociones

La modelación pretende proveer a los estudiantes con una mejor aprehensión de los conceptos matemáticos, y de esta manera influir en las actitudes y creencias de los estudiantes hacia las matemáticas.

¿Pueden la modelación y las aplicaciones proveer un entorno que ayude a estudiantes y profesores en su desarrollo de creencias apropiadas acerca de, y actitudes hacia, las matemáticas?

Hallar dos números cuya suma sea diez y su producto sea máximo

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¿De cuántas maneras puedo dividir el cuadrado para obtener dos figuras geométrica de igual área?

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Repartir tres pizzas entre Repartir tres pizzas entre cuatro personascuatro personas

Aplicación Aplicación de áreas para describir de áreas para describir funciones cuadráticas: funciones cuadráticas: un rectángulo de un rectángulo de área dada área dada FF

ax= F

Acortar (a-x)x=F

Exceso (a+x)x=F

F

a

X

X X2

a

F

X X2

a

F

Si F es un cuadrado de lado y, entonces las ecuaciones anteriores quedan:

ax= y2

(a-x)x= y2

(a+x)x= y2

respectivamente son las ecuaciones de la parábola, la elipse y la hipérbola.

Propiedades de una Propiedades de una estructuraestructura LAMAGIA de los números.ppt

Es posible extender una estructura. Una estructura puede ser vista como

parte de una estructura más fina. Una estructura puede ser vista como

una parte de una estructura más inclusive.

Una estructura puede ser isomorfa con otra estructura.

Teorema de Pitágoras Teorema de Pitágoras GeneralizadoGeneralizado

¿Seguirá siendo cierto, que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los catetos?”

X

Y

P(X,Y)

1

X2 + Y2 = 1 Cos2 + Sen2 =1

Sin s no hay paraíso

Ejemplo de IsomorfismoEjemplo de Isomorfismo

La adición en el conjunto de números reales se definen por cinco La adición en el conjunto de números reales se definen por cinco reglas:reglas:

1.1.            Propiedad clausurativa: a, b son números reales, a + b es un numero Propiedad clausurativa: a, b son números reales, a + b es un numero real.real.2.2.            Elemento neutro: a + 0 = aElemento neutro: a + 0 = a3.3.            Elemento inverso: a + (-a) = 0Elemento inverso: a + (-a) = 04.4.            Conmutativa: a + b = b + a Conmutativa: a + b = b + a 5.5.            Asociativa: a + (b + c) = (a + b) + cAsociativa: a + (b + c) = (a + b) + c

La multiplicación en el conjunto de los número reales está La multiplicación en el conjunto de los número reales está definida, con excepción del cero, por las siguiente cinco reglas: definida, con excepción del cero, por las siguiente cinco reglas:                 Propiedad clausurativa: a, b son números reales, a x b es un numero Propiedad clausurativa: a, b son números reales, a x b es un numero real.real.              Elemento neutro: a x 1 = aElemento neutro: a x 1 = a              Elemento inverso: a x aElemento inverso: a x a-1-1 = 1 = 1              Conmutativa: a x b = b x a Conmutativa: a x b = b x a               Asociativa: a x (b x c) = (a x b) x cAsociativa: a x (b x c) = (a x b) x c  Como puede constatarse las dos estructuras son las mismas.Como puede constatarse las dos estructuras son las mismas.

Una estructura más amplia sería la propiedad distributiva del Una estructura más amplia sería la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma: producto con respecto a la suma:

a x (b + c) = (a x b) + (a x c) a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

Aquí se ven las dos caras de una mujer...Según como las mires, o ves una chica guapa de espaldas, o una bruja fea de perfil... ;-)

Este, sí es un clásico... pero me encanta

Una cinta que no tiene la otra cara: CINTA DE MÖBIUS (Augustin Ferdinand Möbius, 1790-1868)

Escalera de Schroder: Si la miramos desde otro ángulo (por ejemplo girando la cabeza hacia el hombro derecho) se intercambian el fondo y el primer plano y la parte convexa de los escalones pasa a ser cóncava y viceversa. 

Grupo de Investigación Grupo de Investigación en Educación Matemática e en Educación Matemática e

Historia (UdeA-Eafit)Historia (UdeA-Eafit)

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¡¡¡¡GRACIAS!!!