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CHAPITRE 4
LE POTENTIELÉLECTRIQUE
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PLAN DE MATCH
1. Énergie et potentiel électrique
2. Les surfaces équipotentielles
3. Énergie et potentiel électrique de charges ponctuelles
4. Champ électrique calculé à partir du potentiel et potentiel créé par une distribution de charges
5. Potentiel électrique d’un conducteur
3
1. Énergie et potentiel électrique
• Utilité : l’énergie est un concept scalaire…
• La force électrique varie en 1/r2 comme la force gravitationnelle
• Énergie potentielle électrique loi de conservation d’énergie
• Énergie électrique : dépend de toute la distribution de charges
• Potentiel électrique : dépend des charges sources seulement, c’est une fonction scalaire de l’espace.
4
Analogie
mécanique électrique
/
g
gg
g
U mgy
UV gy
mV J kg
Vg ne dépend pas de la masse d’essai
/ 1
E
EE
E
U qEy
UV Ey
q
V J C V
VE ne dépend pas de la charge d’essai
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MÉCANIQUE ÉLECTRIQUE
• Ug augmente lorsque m se déplace en sens contraire au champ.
• Vg augmente si Ug augmente.
• Laisser à elle-même, m se déplace vers des potentiels décroissants, dans le même sens que le champ
• UE augmente lorsque q positive se déplace en sens contraire au champ.
• VE augmente lorsqu’on se déplace en sens contraire au champ.
• Laisser à elle-même, q positive se déplace vers les potentiels décroissants, dans le même sens que E.
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Relation entre le potentiel, l’énergie potentielle et le travail extérieur
0 0
c
ext B A
ext
ext B A
W U
W U U U
W U
U q V
W q V q V V
Seul la variation du potentiel importe choix arbitraire de V = 0
En posant VA = 0 : extB
WV V
q
7
Définition générale du potentiel électrique
cosc
c
c
c
dW Fds
dW F ds
dW qE ds
W U
dU qE ds
dUdV E ds
q
B
B AA
V V E ds
8
Potentiel dans un champ électrique uniforme
Posons VA = 0 (arbitraire)
cos 180
B
B A A
B
B A
B
B A
V V E ds
V Eds
V E ds Ey
y =
V E s
V Ei di BCj
V Ed
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En général, pour E uniforme :
V Ed • d =
• Unités de E : V/m ou N/C
• U = q V
Pour une charge q > 0
V < 0 lorsque
U < 0 lorsque
Pour une charge q < 0
V < 0 lorsque
U < 0 lorsque
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Conservation de l’énergie
Si pas de force conservative :
Ou bien
Avec
0K U
U q V
K U
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Exemple 1 < référence : exemple 4.1 du Benson, p.78 >
Une charge q se déplace du point A vers le point B dans le même sens qu’un champ électrique uniforme.
a) Va-t-elle dans le sens des potentiels croissants ou décroissants ?
b) Son énergie potentielle augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Considérez les deux possibilités : q > 0 et q < 0.
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Exemple 2 < référence : exemple 4.2 du Benson, p.78 >
Un proton pénètre entre deux plaques parallèles séparées d’une distance de 20 cm.
Le champ électrique entre les plaques est de 3 X 105 V/m.
Si le proton a une vitesse initiale de 5 X 106 m/s, quelle est sa vitesse finale ?
mp = 1,67 X 10-27 kg
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2. Les surfaces équipotentielles
• Courbes de niveau sur une carte topographique…
• Une équipotentielle est une surface sur laquelle le potentiel est constant.
• Les lignes de champ sont aux équipotentielles :
0
dV E ds
dV E ds
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Que vaut le travail nécessaire pour déplacer une charge q sur une équipotentielle ?
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3. Énergie et potentiel électrique de charges ponctuelles
• E créé par une charge ponctuelle Q :
La variation du potentiel électrique du point A vers le point B :
2r
kQE
r
cos
1 1
B
B A A
B
B A A
B
rB A A
B
B AA B A
V V E ds
V V Eds
V V E dr
kQV V kQ
r r r
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• V = 0 est choisi « arbitrairement » à l’infini
• En posant rA = et rB = r :
• Si présence de n charges ponctuelles :
• C’est une somme de scalaire mais attention aux signes!
kQV
r
1
ni
i i
kQV
r
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Énergie potentielle électrique de charges ponctuelles
• Soit une charge q situé à un endroit ou le potentiel est V
• L’énergie potentielle d’interaction :
• Si la source de potentiel V est une charge ponctuelle Q :
•Alors l’énergie potentielle du système des deux charges q et Q :
U qV
kQV
r
kqQU
r
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• U = 0 pour r =
• U représente le travail nécessaire pour amener la charge q de l’infini à une distance r de Q, le tout à vitesse constante.
• U < 0 ?
• U > 0 ?
• Système de plusieurs charges :
Q
i jij
i j i j ij
kqqU U
r
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Exemple 3
Lors d’une fission nucléaire un noyau U235 capture un neutron ce qui sépare le noyau initial en deux produits de fission : Ba (Z=56) et Kr (Z=36 ). Immédiatement après la fission, les noyaux se retrouvent à une distance égale à la somme de leur rayon respectif soit r = 16,6 X 10-15 m. Calculez l’énergie potentielle de ce système de deux charges.
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Exemple 4
Deux charges ponctuelles q1 et q2 sont situées sur l’axe des x l’une à l’origine et l’autre à x = 8 cm.
a) Trouvez le potentiel aux points P1 et P2.Que vaut E au point P2 ?
b) On amène une charge q3 de l’infini en P2. Si q3 = - 8 nC, quelle est son énergie potentielle ?
c) Quelle est l’énergie potentielle du système formé par les 3 charges ?
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4. Champ électrique calculé à partir du potentiel et potentiel créé par une distribution de charges.
• Un des intérêts de la notion de potentiel : cette fonction scalaire permet de calculer E!
• Si par exemple le potentiel varie seulement selon l’axe des x :
s
s
s
dV E ds E ds
E
dVE
ds
x
x
ds dxi
dV E dx
dVE
dx
Calcul de E à partir de V
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• D’une manière générale, pour V quelconque :
• Dans le cas d’un champ radial :
gradient de V
V V VE i j k
x y z
E V
V
r
dVE
dr
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Potentiel créé par une distribution de charges
La technique est la même : divise la distribution en éléments de charge dq et on calcul la contribution de chaque dq au potentiel en un point donné :
kdqdV
rdq
V kr
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Exemple 5
Calculez le champ électrique produit par un anneau sur l’axe à une distance x. Le rayon de l’anneau est a et il porte une charge Q.
2 2
2 2 2 2
dq dqV k k
r x ak kQ
V dqx a x a
122 2
3 22 2
3 22 2
12
2
x
x
x
dV dE kQ x a
dx dx
E kQ x a x
kQxE
x a
Voir p.29 du chap.2 de vos notes de cours!
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5. Potentiel électrique d’un conducteur
• Soit une cavité vide à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique
• Dans le conducteur E = 0 :
• Tous les points appartenant au conducteur sont au même potentiel
• Si la trajectoire suivie passe dans la cavité, l’intégrale de ligne est encore nulle et donc E = 0 dans la cavité!
0B
AV E ds
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Exemple 6
Calculez le potentiel électrique, en fonction de r, créé par une sphère conductrice de rayon R portant une charge Q.
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Exemple 7
Une sphère conductrice creuse et non chargée a un rayon intérieur a et un rayon extérieur b. Une charge ponctuelle +q est placée au centre de la cavité à l’intérieur de la coquille. Calculez le potentiel électrique V(r).
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Effet de pointe
• Deux sphères chargées de rayon R1 et R2 avec R1 > R2.
• Les sphères sont éloignées l’une de l’autre et sont reliées par un fil conducteur.
• Les sphères forment un seul conducteur, donc V1 = V2.
• Sphères éloignées :
• Charge uniformément répartie :
1 2
1 2
Q Q
R R
12 1
2
R
R
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• 1/R
•E = /o
•Emax dans l’air = 3 X 106 V/m
• Équipements de haute tension = lisses et grand rayon de courbure.
• Paratonnerre : haute tige pointue pour capter les charges le plus tôt possible!
• Microscope à effet de champ : E très intense produit par une aiguille.
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RÉSUMÉ
• Le potentiel électrique :
• Calcul de la différence de potentiel :
• Pour un champ E uniforme :
• Potentiel créé par une charge ponctuelle (V=0 à r=) :
• Énergie électrique d’un système de charge :
• Effet de pointe pour un conducteur : et E sont élevés là où r est faible car V = cte sur tout le conducteur.
UV
q
B
AV E ds
V Ed
kQV
r
i j
i j ij
kqqU
r
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