1 Coordenadas rectangulares en el plano Trazamos dos rectas perpendiculares en el plano que...

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Coordenadas rectangulares en el plano

Trazamos dos rectas perpendiculares en el plano que llamaremos eje x y eje y

El punto de intersección 0 se llama origen de coordenadas.

II I

III IV0El plano queda

dividido en cuatro regiones llamadas

cuadrantes

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Representación de los números sobre cada eje

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Coordenadas de un punto A un punto P del plano le asociamos dos números de la

siguiente manera

Decimos que P tiene coordenadas (Q,R) La primera se llama abscisa y la segunda ordenada de P. Recíprocamente, dado un par de números (Q,R) hay un

número P del plano del cual son las coordenadas.

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Ejemplo Representación de los puntos P=(1/2,1) y

P´=(-3,2)

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Ejemplo 2 Conjunto de puntos P=(x,y) cuyas coordenadas

verifican x>2 e y ≤ -1

A={(x,y) : x>2 ; y ≤ -1}

Representación

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Ejercicio 1

Representar en el plano los siguientes pares ordenados y decir a qué cuadrante pertenecen

(2, -1) ; (-1/2 ,3) ; (5/3, -2) ; (-1, -2)

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Ejercicio 2

A. ¿Qué signo tienen las coordenadas de un punto del segundo (respectivamente cuarto) cuadrante?

B. Sombrear la parte del plano que corresponde a los puntos de abscisa negativa.

C. Sombrear la parte del plano cuya abscisa es positiva y cuya ordenada es negativa.

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Ejercicio 3

A. Representar el triángulo de vértices A=(0,0), B=(3,0) y C=(2,3) y evaluar su área.

B. Hacer lo mismo para A=(1,0), B=1,3) y C=(0,1)

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Ejercicio 4: Representar gráficamente

A = { (x,y) : x > 1 }

B = { (x,y) : y ≤ 0 }

C = { (x,y) : x . y = 0 }

D = { (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2 , y > 0 }

E = { (x,y) : x = y }

F = { (x,y) : x . y < 0 }

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Ejercicio 5 Definir mediante condiciones los siguientes

subconjuntos del plano

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Ejercicio 5 (cont) Definir mediante condiciones los siguientes

subconjuntos del plano

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Rectas en el plano Ejemplo : El conjunto de ptos.de plano de

abscisa 3.

L = { (x,y) : x = 3 }

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Rectas en el plano Ejemplo : El conjunto de puntos cuya

abscisa coincide con la ordenada.

L = { (x,y) : x = y }

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Rectas en el plano Ejemplo : La recta horizontal (paralela al

eje x) que pasa por P0=(1,2)

L = { (x,y) : y = 2 }

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Rectas en el plano Sea L la recta que pasa por P1=(1,2) y P2=(3,5)

131

252

xy

Operando

2y – 3x = 1

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Ecuación de la recta

Si L es vertical, tiene ecuación x=c

L = { (x,y) : x = c }

Si L es horizontal, tiene ecuación y=c

L = { (x,y) : y = c }

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Ecuación de la recta

Si L no es ni horizontal ni vertical y pasa por los puntos P1=(a1,b1), P2=(a2,b2) tiene ecuación

que operando se escribe de la forma

Ax + By = C

12

1

12

1

bbby

aaax

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Ejercicio 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:

A. (2,3) ; (4,5)

B. (5,-1) ; (-5,-1)

C. (½, ½) ; (0,0)

D. (1,-1) ; (-1,1)

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Ejercicio 8

Sea L la recta que pasa por P1=(-1, 0), P2=(5, 1)

a) Hallar la ecuación de L y comprobarla.

b) Mostrar otros dos puntos de L.

c) ¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a L?

Q1 = (3, ½) ; Q2 = (10,2) ; Q3 = (-7, -1)

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Ejercicio 9

Hallar el valor de k para el cual los puntos

(-1,2) ; (3,1) ; (2, -k+1)

están alineados

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Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C {A0 o B0}

veremos que los puntos P=(x,y) que la verifican forman una recta.

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Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C

CASO 1 : A = 0, la ecuación se escribe

es una recta horizontal

BC

y

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Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma

Ax + By = C

CASO 2 : B = 0, la ecuación se escribe

es una recta vertical

AC

x

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Ecuación de la recta CASO 3 : A0 y B0

La ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 = (0, a) y P2 = ( 1, a+b) es

BC

bBA

adondebxay ;

baxyaby

xbbabyx

010

Los puntos que verifican esta ecuación forman la recta que pasa por P1 y P2.

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Ejemplo

Si queremos representar en el plano el conjunto de puntos

{(x,y) : 2x – y = -1}

Sabemos que se trata de una recta determinada por dos puntos.

Ej : P1 = (0,1) ; P2 = (1,3)

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Ejercicio 10

Representar gráficamente

A) 5x + y = 3

B) x – 2 = 0

C) 4x – 3y = 6

D) y = 0

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Posición Relativa de dos rectas

Transversales Paralelas Coincidentes

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Sistema de Ecuaciones

Dadas dos rectas, cada una de ellas está representada por una ecuación lineal.

Los puntos de intersección deben verificar ambas ecuaciones

A1x + B1y = C1

A2x + B2y = C2

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Sistema de Ecuaciones

Decir que las rectas son transversales es lo mismo que decir que el sistema de ecuaciones tiene una única solución.

Decir que son paralelas equivale a decir que el sistema no tiene solución.

Decir que son coincidentes es lo mismo que decir que las dos ecuaciones son equivalentes.

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Ejemplo 1 Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 2x – y = -1

L2 : x – y = 2

El sistema admite una única solución

Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en

35

;31 yx

35

,31

P

31

Ejemplo 1

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Ejemplo 2 Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 2x – y = – 3

L2 : – 6x + 3y = – 6

Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos un sistema equivalente

6x – 3y = – 9

6x – 3y = – 6

Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.

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Ejemplo 2

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Ejemplo 3 Sean las rectas de ecuaciones

L1 : 4x – 8y = -12

L2 : – x + 2y = 3

Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad son la misma ecuación. Las rectas coinciden.

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Distancia entre dos puntos del plano

Dados dos puntos del plano P1 y P2

Podemos calcular la distancia entre ellos por el teorema de Pitágoras

212

212 )()( yyxxd

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Ejemplo Calcular la distancia entre

P1=(3,2) y P2=(1,-4)

40364

)24()31( 22

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