View
56
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
1 Logica propoziional clasic
Prof. univ. dr. Dumitru GHEORGHIU
Sintaxa LPCLimbajul LPC:n atomi propoziionali: p, q, r, s, p1, p2, , q1, q2, n operatori propoziionali: (negaie), & (conjuncie),
(disjuncie), (condiional), (bicondiional)n semne tehnice: (, ), [, ]
Atomii sunt variabile ale LPC: unui atom i se pot atribui valorile logice adevrat (1) sau fals (0).Operatorii sunt constante ale LPC, citite, respectiv, nu (nu este cazul c, nu este adevrat c, non-), i, sau, dac , atunci , dac i numai dac.
2
Sintaxa LPC
n Operatorii i & sunt primitivi.n Se numete formul a LPC orice ir de simboluri
construit conform urmtoarelor reguli:(R1) Orice atom propoziional este formul (atomic)(R2) Dac A este o formul, atunci (A) este o
formul (non-atomic)(R3) Dac A i B sunt formule, atunci (A & B) este
formul (non-atomic)
3
Sintaxa LPC
n ((((p & q)) & (r))) este o formul, ((p &) q (rnu este o formul.
n Dac A este o formul sau (A) este o formul, atunci A este aceeai formul cu (A). Astfel, formula de mai sus devine ((p & q) & r).
n n absena parantezelor, are prioritate asupra &. De exemplu, formula (p & q) nseamn nu deopotriv p i q, n timp ce formula p & qnseamn deopotriv non-p i q.
4
Sintaxa LPC
n Urmtoarele clauze definesc subformulele unei formule:n Orice formul este propria sa subformuln Orice subformul a lui A este subformul a An Orice subformul a lui A sau B este subformul a
lui A & Bn Fie A = (p & q). Subformulele lui A sunt p, q,
p, q, p & q i (p & q). Ordinea de prezentare a acestora corespunde ordinii n care A a fost construit conform (R1)-(R3).
5
Semantica LPCn n LPC exist doar dou valori logice: adevrat, notat cu 1, i
fals, notat cu 0.n Definiiile semantice ale & i sunt date de urmtoarele tabele
de adevr:Tabelul 2.1 Tabelul 2.2
p q p & q p p1 1 1 1 01 0 0 0 10 1 00 0 0
6
Semantica LPC
n Operatorii , , . Pentru oricare dou formule A i B,n A B prescurteaz (A & B)n A B prescurteaz (A B)n A B prescurteaz ((A B) & (B A))
n n absena parantezelor, are prioritate asupra &, , i .
n Pe lng indicarea ordinii operaiilor, parantezele elimin ambiguitile. E.g., nu vom scrie p & q r, ci p & (q r) sau (p & q) r.
7
Semantica LPCn Folosind tabelele 2.1 i 2.2, putem construi tabele de adevr
pentru orice formul.
Tabelul 2.3 Tabel de adevr pentru p q
p q p q p & q (p & q) p q1 1 0 0 0 1 11 0 0 1 0 1 10 1 1 0 0 1 10 0 1 1 1 0 0
8
Semantica LPC
Tabelul 2.4 Tabel de adevr pentru p q
p q p p q p q
1 1 0 1 11 0 0 0 00 1 1 1 10 0 1 1 1
9
Semantica LPC
Tabelul 2.5 Tabel de adevr pentru p q
p q p q q p (p q) & (q p) p q
1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 1 0 0 00 0 1 1 1 1
10
Semantica LPC
n Pentru oricare trei formule A, B, i C,n (A & B) & C este aceeai formul cu A & B & Cn (A B) C este aceeai formul cu A B C
n ntruct formulele (A & B) & C i A & B & C au acelai tabel de adevr, parantezele pot fi eliminate, acelai fiind cazul cu formulele (A B) C .
n Prin contrast, A & (B C) sau (A & B) C nu au acelai tabel de adevr, deci parantezele nu pot fi eliminate.
11
Semantica LPC
12
n O interpretare este o funcie v care atribuie fiecrui atom una i numai una dintre valorile 1 i 0. Dac v atribuie unui atom pvaloarea 1, scriem v(p) = 1, iar dac v atribuie unui atom pvaloarea 0, scriem v(p) = 0.
n Pentru o mulime de n atomi propoziionali exist 2n interpretri distincte.
n Dat fiind o interpretare v, aceasta se extinde la o funcie, numit funcie de adevr i notat tot cu v, care atribuie fiecrei formule propoziionale o valoare logic (unic determinat).
n Fie formula A = (p q) & r. n interpretarea n care v(p) = v(q) = 0 i v(r) = 1, v(A) = 1, iar n interpretarea n care v(p) = v(r) = 1 i v(q) = 0, v(A) = 0.
Semantica LPCn Fie A o formul i v o interpretare a formulei A. v este un model
al formulei A, dac v(A) = 1. v este un contra-model al formulei A, dac v(A) = 0.
n O formul A este valid, dac orice interpretare a formulei Aeste un model al formulei A. O formul este nevalid, dac exist cel puin un contra-model al formulei A.
n O formul A este nerealizabil, dac orice interpretare a formulei A este un contra-model al formulei A. O formul A este realizabil, dac cel puin o interpretare a formulei A este un model al formulei A.
13
Formule realizabile i
valide
Formule realizabile i nevalide
Formule nerealizabile
Semantica LPCn p (p & q) este realizabil, deoarece ia valoarea 1 n orice
interpretare n care v(p) = 0, dar este nevalid, deoarece ia valoarea 0 n interpretarea n care v(p) = 1 i v(q) = 0.
n p & p este nerealizabil. (p & p) i p p sunt valide.n Formulele valide se mai numesc tautologii sau legi logice.
Formulele nerealizabile se mai numesc formule inconsistente. Formulele realizabile i nevalide se mai numesc formule contingente.
n Pentru orice formul A, A este valid ddac A este nerealizabil i A este valid ddac A este nerealizabil.
14
Semantica LPCn O interpretare v a unei mulimi de formule
propoziionale G este un model al mulimii G, dac v(A) = 1 pentru orice formul A G.
n O mulime de formule este realizabil, dac are cel puin un model i este nerealizabil, dac nu are nici un model.
n {p, p q, p q} este realizabil, avnd modelul v(p) = 0, v (q) = 1.
n {p, q, p q} este nerealizabil, deoarece pentru v(p) = v(q) = 1, avem v(p q) = 0.
15
Semantica LPC
n O formul B este consecin logic a formulei A, n simboluri A B, dac orice model al formulei A este model al formulei B.
n Vom scrie A B, dac nu este cazul c A B.n Dac A B, atunci se mai spune c A implic logic B.n Fie A i B, dou formule oarecare:
A & B A, A & B B, A A B, B A B.
16
Semantica LPC
n A B ddac A & B este nerealizabil.n Dac o formul A & B este realizabil, atunci A B.
n acest caz spunem c orice model al formulei A &B este un contra-model al preteniei c A B.
n ntruct interpretarea v(p) = 1, v(q) = 0 este model al formulei (p q) & q, aceast interpretare este un contra-model al preteniei c p q q.
17
Semantica LPCn O formul B este consecin logic a unei mulimi de formule G,
n simboluri G B, dac orice model al mulimii G este model al formulei B.
n Fie A i B, dou formule oarecare:{A, B} A B, {A, A B} B, {A, A B } B.
n G B ddac mulimea G {B} este nerealizabil.n Dac G {B} este realizabil, atunci G B. n acest caz,
spunem c orice model al mulimii G {B} este contra-modelal preteniei c B este consecin logic din G.
n ntruct interpretarea v(p) = 1, v(q) = v(r) = 0 este model almulimii {p q, q, r p, r}, aceast interpretare estecontra-model al preteniei c {p q, q, r p} r.
18
Semantica LPCn Se spune c dou formule A, B sunt echivalente logic, n
simboluri A B, dac orice model al formulei A este model al formulei B i reciproc. Prin definiie, A B ddac A B i B A.
n Fie A i B, dou formule oarecare:A B B A, A B B A, A A.
n Fie CA o formul care conine una sau mai multe apariii aleformulei A i CB o formul obinut din CA prin nlocuirea a celpuin unei apariii a formulei A cu formula B. Dac A B,atunci CA CB (Teorema nlocuirii).
n Fie formula (p q) & q. ntruct p q q p, avem(p q) & q (q p) & q
19
Metoda tabelelor de adevrn Este (p & (p q)) q realizabil?
p q p q p & (p q) (p & (p q)) q1 1 1 1 1
1 0 0 0 1
0 1 1 0 1
0 0 1 0 1
20
Metoda tabelelor de adevrn Este ((p q) p) & p realizabil?
p q p q (p q) p p ((p q) p) & p1 1 1 1 0 01 0 0 1 0 00 1 1 0 1 00 0 1 0 1 0
21
Metoda tabelelor de adevrn Tabelele de adevr pot fi folosite i pentru a decide dac o
formul este consecin logic a unei mulimi de formule.n Este p este consecin logic din {p q, q}?n {p q, q} p ddac mulimea de formule {p q, q, p}
este nerealizabil.
22
p q p q q p1 1 1 0 11 0 0 1 10 1 1 0 00 0 1 1 0
Unele reguli semantice ale LPCn Urmtoarele dou echivalene exprim idempotena & i :
(1) A & A A(2) A A A
n Urmtoarele dou echivalene exprim regulile distributivitiipentru & i :
(3) (A & (B C)) ((A & B) (A & C))(4) (A (B & C)) ((A B) & (A C))
n Urmtoarele dou echivalene exprim regulile lui De Morgan:(5) (A & B) (A B)(6) (A B) (A & B)
23
Metoda formelor normalen Un literal este un atom sau negaia unui atom. Atomii fr
negaie se numesc literali pozitivi, iar atomii cu negaie se numesc literali negativi .
n O clauz disjunctiv este o disjuncie de literali L1 Ln, n 1, iar o clauz conjunctiv este o conjuncie de literali L1 & &Ln, n 1.
n O formul n form normal conjunctiv (FNC) este o conjuncie de clauze disjunctive C1 & & Cm, m 1.
n O formul n form normal disjunctiv (FND) este o disjuncie de clauze conjunctive C1 Cm, m 1.
24
Metoda formelor normale
n FNC i FND se identific atunci cnd formula este un literal i atunci cnd formula este o conjuncie sau o disjuncie de literali.
n (p q) & (r s) & (p q r) este n FNC.
n (p & q) r (q & r) este n FND.
n p q este att n FNC, ct i n FND.n (p q) & ((p & r) (q & s)) nu este nici n FNC, nici
n FND.
25
Metoda formelor normaleAlgoritmul de normalizare
1. B C (B C) & (C B)2. B C B C3. B B regula dublei negaii4. (B & C) B C regula lui De Morgan pentru &5. (B C) B & C regula lui De Morgan pentru 6. B & (C D) (B & C) (B & D) distributivitatea & fa de 7. B (C & D) (B C) & (B D) distributivitatea fa de &8. B & B B idempotena &9. B B B idempotena 10. B & (C C ) B simplificare11. B (C & C ) B simplificare
26
Metoda formelor normaleAlgoritmul de normalizare
n nlocuiete orice sub-formul de forma B C cu (B C ) & (C B) i orice sub-formul de forma B C cu B C
n nlocuiete orice sub-formul de forma B cu B, orice sub-formul de forma (B & C) cu B C i orice sub-formul de forma (B C) cu B & C.
n Pentru a obine o formul n FNC, nlocuiete orice sub-formul de forma B (C & D) sau (C & D) B cu (B C) & (B D).
n Pentru a obine o formul n FND, nlocuiete orice sub-formul de forma B & (C D) sau (C D) & B cu (B & C) (B & D).
n Orice formul propoziional este echivalent logic cu o formul n FNC i cu o formul n FND.
27
Metoda formelor normalen S se normalizeze (p q) (q & p)1. Eliminm :
(p q) (q & p)2. De Morgan pentru :
(p & q) (q & p) FND3. Distributivitatea fa de &:
[(p & q) q] & [(p & q) p]4. Distributivitatea fa de &:
(p q) & (q q) & (p p) & (q p) FNC5. Idempotena i simplificarea:
(p q) & q & (q p) FNC
28
Metoda formelor normale
n O clauz disjunctiv C este valid ddac exist cel puin un atom x astfel nct x C i x C
n O formul n FNC este valid ddac toate clauzele sale sunt valide
n O clauz conjunctiv, C, este nerealizabil ddac exist cel puin un atom x astfel nct x C i x C
n O formul n FND este nerealizabil ddac toate clauzele sale sunt nerealizabile
29
Metoda formelor normaleAlgoritmul de decizie prin forme normale
1. Se aduce A la FNC:n Dac FNC este valid, atunci A este validn Dac nu acesta este cazul, se aduce A la FND; dac FND
este nerealizabil, atunci A este nerealizabiln Dac nici acesta nu este cazul, atunci A este contingent
2. Se aduce A la FND:n Dac FND este nerealizabil, atunci A este nerealizabiln Dac nu acesta este cazul, se aduce A la FND; dac FND
astfel obinut este nerealizabil, atunci A este validn Dac nici acesta nu este cazul, atunci A este contingent
30
Metoda formelor normalen S se decid dac [(p q) p] p este valid1. Eliminm :
[(p q) p] p[(p q) p] p[(p q) p] p
2. De Morgan pentru i eliminarea dublei negaii:[(p q) & p] p[(p q) & p] p
3. Distributivitatea fa de &:(p p q) & (p p) FNC
ntruct FNC este valid, formula iniial este valid.
31
Metoda formelor normale
n Fie G = {A1, , An}. G B ddac formula A1 & & An & B este nerealizabil
n Pentru a decide dac {A1, , An} B:n formm conjuncia A1 & & An & Bn aducem aceast conjuncie la FND in aplicm algoritmul de decizie prin forme
normale.
32
Metoda formelor normalen S se decid dac p & q, (p & r) r1. p & q & (p & r) & r2. De Morgan pentru & i eliminarea dublei negaii:
p & q & (p r) & r3. Distributivitatea & fa de :
p & q & [(r & p) (r & r)]4. Distributivitatea & fa de :
(p & q & r & p) (p & q & r & r) FND
n ntruct FND este nerealizabil, p & q, (p & r) r
33
Metoda rezoluiein Pentru concizie, n loc de clauz disjunctiv
vom scrie clauzn Clauzele sunt considerate mulimi de literali;
formulele in FNC sunt considerate mulimi de clauze
n (p q r) & (r s) & p & (q s) devine
{{p, q, r}, {r, s}, {p}, {q, s}}
34
Metoda rezoluiein Dou clauze, C1 i C2, se numesc x-rezolubile dac exist cel
puin un atom x astfel nct x C1 i x C2.n {p, q, r} i {q, s} sunt q-rezolubile, {p, q, r} i {r, s} sunt
r-rezolubile.n Fie C1 i C2 clauze x-rezolubile. Se numete rezolventul clauzelor
C1 i C2 n raport cu x, rezx(C1, C2), clauza obinut prin reuniunea clauzei C1 din care am eliminat atomul x cu clauza C2din care am eliminat pe x:
rezx(C1, C2) = {C1 - {x} C2 - {x}}n Rez(C1, C2) denot mulimea tuturor rezolvenilor clauzelor C1 i
C2.
35
Metoda rezoluiein C1 = {p, q, r} i C2 = {q, r, s}.
n rezq(C1, C2) = {p, r, r, s}n rezr(C1, C2) = {p, q, q, s}n Rez(C1, C2) = {{p, r, r, s}, {p, q, q, s}}.
n Fie C1 i C2 clauze x-rezolubile. Rezolventul n raport cu x al clauzelor C1 i C2 este consecin logic a mulimii {C1, C2}:
{C1, C2} rezx(C1, C2).n Fie o mulime de clauze, S, i o clauz C. O derivare prin
rezoluie a clauzei C din S este un ir finit de clauze C1, , Cn, astfel nct Cn = C i pentru orice Ci, 1 i n, sau Ci S, sau Ci Rez(Cj, Ck), unde j, k < i.
n Dac exist o derivare prin rezoluie a clauzei C din S, atunci scriem S Rez C.
36
Metoda rezoluiein C1 = {p, q, s}, C2 = {p, q, r, s}, C3 = {q, r}, C4 = {p}, C =
{r}n Urmtorul ir de clauze arat c {C1, C2, C3, C4} Rez C:
1. {p, q, s} C12. {p, q, r, s} C23. {p, q, r} din 1, 2, rezs4. {q, r} C35. {p, r} din 3, 4, rezq6. {p} C47. {r} din 5, 6, rezp
n Dac S Rez C, atunci S C.
37
Metoda rezoluiein Se numete clauza vid, , mulimea vid de literali.
Pentru orice atom x, poate fi obinut numai ca rezolvent al clauzelor {x} i {x}.
n ntruct nu are membri care s ia valoarea 1, este nerealizabil.
n Dac S Rez C i clauza C este nerealizabil, atunci Seste nerealizabil.
n n particular, dac S Rez , atunci S este nerealizabil.n ncercarea de a deriva prin rezoluie clauza vid dintr-o
mulime de clauze este esena metodei rezoluiei.
38
Metoda rezoluiein (p q r) & p & (p q r) & (p q)n C1 = {p, q, r}, C2 = {p}, C3 = {p, q, r}, C4 = {p, q}
n C5 = rezr(C1, C3) = {p, q}n C6 = rezq(C4, C5) = {p}n C7 = rezp(C2, C6) =
n Putem continua obinerea de rezolveni:n C8 = rezp(C1, C2) = {q, r}n C9 = rezp(C2, C5) = {q}n ........................................
39
Metoda rezoluiein Pentru a decide prin rezoluie dac o formul A este sau nu
valid, lucrm cu formula A, pe care o aducem la FNC.n S se decid dac (p & (p q)) q este valid1. [(p & (p q)) q]2. p & (p q) & q FNC3. C1 = {p}, C2 = {p, q}, C3 = {q}
n C4 = rezp(C1, C2) = {q}n C5 = rezq(C3, C4) =
n [(p & (p q)) q] este nerealizabil, deci (p & (p q)) qeste valid.
40
Metoda rezoluiein Pentru a decide dac {A1, , An} B:
n formm conjuncia A1 & & An & Bn aducem aceast conjuncie la FNC in aplicm metoda rezoluiei
n S se decid dac {p, q} p & q1. p & q & (p & q)2. p & q & (p q) FNC3. {{p}, {q}, {p}, {q}}
n ntruct aceast mulime este nerealizabil, {p, q} p & q
41
Recommended