1 so tu nhien dang thuc va sap thu tu day so

university-logo

Hội Toán Học Hà Nội

Số tự nhiên, đẳng thứcvà sắp thứ tự dãy số

Bài giảng của GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Chương 1. Số tự nhiên, phép đếmChương 2. Đẳng thức và thứ tự sắp được của dãy số

Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội

Khoa Toán-Cơ-Tin học, Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

334 Nguyễn Trãi, Quận Thanh Xuân, Hà Nội

Hà Nội 06/10/2009

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 1 / 12

university-logo

Nội dung

1 Bài 1. Mở đầu

2 Bài 2. Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

3 Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

4 Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản và bất đẳng thức liên quan

5 Bài 5. Phương trình bậc ba

6 Bài 6. Phương trình bậc bốn

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12

university-logo

Nội dung

1 Bài 1. Mở đầu

2 Bài 2. Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

3 Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

4 Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản và bất đẳng thức liên quan

5 Bài 5. Phương trình bậc ba

6 Bài 6. Phương trình bậc bốn

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12

university-logo

Nội dung

1 Bài 1. Mở đầu

2 Bài 2. Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

3 Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

4 Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản và bất đẳng thức liên quan

5 Bài 5. Phương trình bậc ba

6 Bài 6. Phương trình bậc bốn

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12

university-logo

Nội dung

1 Bài 1. Mở đầu

2 Bài 2. Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

3 Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

4 Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản và bất đẳng thức liên quan

5 Bài 5. Phương trình bậc ba

6 Bài 6. Phương trình bậc bốn

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12

university-logo

Nội dung

1 Bài 1. Mở đầu

2 Bài 2. Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

3 Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

4 Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản và bất đẳng thức liên quan

5 Bài 5. Phương trình bậc ba

6 Bài 6. Phương trình bậc bốn

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12

university-logo

Nội dung

1 Bài 1. Mở đầu

2 Bài 2. Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

3 Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

4 Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản và bất đẳng thức liên quan

5 Bài 5. Phương trình bậc ba

6 Bài 6. Phương trình bậc bốn

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 2 / 12

university-logo

Bài 1: Mở đầu

Số tự nhiên

1 Phép đếm, tính chẵn lẻ- Số 0- Số nghiệm của phương trình- Tập hợp và hoán vị

2 Số học và Đại số

3 Đại số và Giải tích

4 Bài toán cơ bản

5 Bài toán ngược

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12

university-logo

Bài 1: Mở đầu

Số tự nhiên

1 Phép đếm, tính chẵn lẻ- Số 0- Số nghiệm của phương trình- Tập hợp và hoán vị

2 Số học và Đại số

3 Đại số và Giải tích

4 Bài toán cơ bản

5 Bài toán ngược

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12

university-logo

Bài 1: Mở đầu

Số tự nhiên

1 Phép đếm, tính chẵn lẻ- Số 0- Số nghiệm của phương trình- Tập hợp và hoán vị

2 Số học và Đại số

3 Đại số và Giải tích

4 Bài toán cơ bản

5 Bài toán ngược

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12

university-logo

Bài 1: Mở đầu

Số tự nhiên

1 Phép đếm, tính chẵn lẻ- Số 0- Số nghiệm của phương trình- Tập hợp và hoán vị

2 Số học và Đại số

3 Đại số và Giải tích

4 Bài toán cơ bản

5 Bài toán ngược

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12

university-logo

Bài 1: Mở đầu

Số tự nhiên

1 Phép đếm, tính chẵn lẻ- Số 0- Số nghiệm của phương trình- Tập hợp và hoán vị

2 Số học và Đại số

3 Đại số và Giải tích

4 Bài toán cơ bản

5 Bài toán ngược

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 3 / 12

university-logo

Bài 2: Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

Ví dụ

1 Tính số các số nguyên thuộc (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]

2 Xác định điều kiện đối với a, b để trong (a, b) có 2009 số nguyên.

3 Dãy x1.x2, . . . , xn có bao nhiêu số 1, biết rằng

xn = 1 khi[ n√

2

]6=[n + 1√

2

]xn = 0 khi

[ n√2

]=[n + 1√

2

]4 Bài toán tổng quát: Tính số phần tử từ các cấp số cộng, cấp số

nhân, cấp số tổng quát trong tập đã cho.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12

university-logo

Bài 2: Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

Ví dụ

1 Tính số các số nguyên thuộc (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]

2 Xác định điều kiện đối với a, b để trong (a, b) có 2009 số nguyên.

3 Dãy x1.x2, . . . , xn có bao nhiêu số 1, biết rằng

xn = 1 khi[ n√

2

]6=[n + 1√

2

]xn = 0 khi

[ n√2

]=[n + 1√

2

]4 Bài toán tổng quát: Tính số phần tử từ các cấp số cộng, cấp số

nhân, cấp số tổng quát trong tập đã cho.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12

university-logo

Bài 2: Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

Ví dụ

1 Tính số các số nguyên thuộc (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]

2 Xác định điều kiện đối với a, b để trong (a, b) có 2009 số nguyên.

3 Dãy x1.x2, . . . , xn có bao nhiêu số 1, biết rằng

xn = 1 khi[ n√

2

]6=[n + 1√

2

]xn = 0 khi

[ n√2

]=[n + 1√

2

]4 Bài toán tổng quát: Tính số phần tử từ các cấp số cộng, cấp số

nhân, cấp số tổng quát trong tập đã cho.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12

university-logo

Bài 2: Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

Ví dụ

1 Tính số các số nguyên thuộc (a, b), [a, b), (a, b], [a, b]

2 Xác định điều kiện đối với a, b để trong (a, b) có 2009 số nguyên.

3 Dãy x1.x2, . . . , xn có bao nhiêu số 1, biết rằng

xn = 1 khi[ n√

2

]6=[n + 1√

2

]xn = 0 khi

[ n√2

]=[n + 1√

2

]4 Bài toán tổng quát: Tính số phần tử từ các cấp số cộng, cấp số

nhân, cấp số tổng quát trong tập đã cho.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 4 / 12

university-logo

Bài 2: Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

Ví dụ

1 Bài toán về gà siêu trứng:Cứ một con gà rưỡi, trong một ngày rưỡi cho một quả trứng rưỡi,Hỏi một con gà trong một tháng (30 ngày) cho bao nhieu quả trứng?Hỏi ba con gà trong một tuần rưỡi cho bao nhiêu quả trứng?

2 Tính chất của phân số.Bài toán. Cho a, b, c > 0, xét hàm số

f (t) =at

bt + ct+

bt

ct + at+

ct

at + bt. Chứng minh rằng f (t) là hàm

đồng biến trong [0,∞).

3 Bài toán. Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằnga5

b5 + c5+

b5

c5 + a5+

c5

a5 + b5≥ a4

b4 + c4+

b4

c4 + a4+

c4

a4 + b4.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 5 / 12

university-logo

Bài 2: Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

Ví dụ

1 Bài toán về gà siêu trứng:Cứ một con gà rưỡi, trong một ngày rưỡi cho một quả trứng rưỡi,Hỏi một con gà trong một tháng (30 ngày) cho bao nhieu quả trứng?Hỏi ba con gà trong một tuần rưỡi cho bao nhiêu quả trứng?

2 Tính chất của phân số.Bài toán. Cho a, b, c > 0, xét hàm số

f (t) =at

bt + ct+

bt

ct + at+

ct

at + bt. Chứng minh rằng f (t) là hàm

đồng biến trong [0,∞).

3 Bài toán. Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằnga5

b5 + c5+

b5

c5 + a5+

c5

a5 + b5≥ a4

b4 + c4+

b4

c4 + a4+

c4

a4 + b4.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 5 / 12

university-logo

Bài 2: Số tự nhiên, số nguyên và phép đếm

Ví dụ

1 Bài toán về gà siêu trứng:Cứ một con gà rưỡi, trong một ngày rưỡi cho một quả trứng rưỡi,Hỏi một con gà trong một tháng (30 ngày) cho bao nhieu quả trứng?Hỏi ba con gà trong một tuần rưỡi cho bao nhiêu quả trứng?

2 Tính chất của phân số.Bài toán. Cho a, b, c > 0, xét hàm số

f (t) =at

bt + ct+

bt

ct + at+

ct

at + bt. Chứng minh rằng f (t) là hàm

đồng biến trong [0,∞).

3 Bài toán. Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằnga5

b5 + c5+

b5

c5 + a5+

c5

a5 + b5≥ a4

b4 + c4+

b4

c4 + a4+

c4

a4 + b4.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 5 / 12

university-logo

Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

So sánh

1 Sắp xếp cặp số dương (biểu đồ hình thang)

min{a, b} ≤ 2ab

a + b≤√

ab ≤ a + b

2≤ max{a, b}

min{a, b} ≤(aq + bq

2

)1/q≤ max{a, b}

2 So sánh và sắp thứ tự: 2√

2, 21+ 1√

2 , 3

3 Xác định min,max,med, khái niệm thứ tự gần đều

4 Khái niệm sắp thứ tự dần đều, xa đều

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 6 / 12

university-logo

Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

So sánh

1 Sắp xếp cặp số dương (biểu đồ hình thang)

min{a, b} ≤ 2ab

a + b≤√

ab ≤ a + b

2≤ max{a, b}

min{a, b} ≤(aq + bq

2

)1/q≤ max{a, b}

2 So sánh và sắp thứ tự: 2√

2, 21+ 1√

2 , 3

3 Xác định min,max,med, khái niệm thứ tự gần đều

4 Khái niệm sắp thứ tự dần đều, xa đều

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 6 / 12

university-logo

Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

So sánh

1 Sắp xếp cặp số dương (biểu đồ hình thang)

min{a, b} ≤ 2ab

a + b≤√

ab ≤ a + b

2≤ max{a, b}

min{a, b} ≤(aq + bq

2

)1/q≤ max{a, b}

2 So sánh và sắp thứ tự: 2√

2, 21+ 1√

2 , 3

3 Xác định min,max,med, khái niệm thứ tự gần đều

4 Khái niệm sắp thứ tự dần đều, xa đều

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 6 / 12

university-logo

Bài 3. So sánh, sắp thứ tự bộ số

So sánh

1 Sắp xếp cặp số dương (biểu đồ hình thang)

min{a, b} ≤ 2ab

a + b≤√

ab ≤ a + b

2≤ max{a, b}

min{a, b} ≤(aq + bq

2

)1/q≤ max{a, b}

2 So sánh và sắp thứ tự: 2√

2, 21+ 1√

2 , 3

3 Xác định min,max,med, khái niệm thứ tự gần đều

4 Khái niệm sắp thứ tự dần đều, xa đều

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 6 / 12

university-logo

Sắp thứ tự dãy số

1 Cho a, b, c > 0, xét biểu thức(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + 3p1x

2 + 3p22x + p3

3 ,trong đó p1, p2, p3 > 0.Chứng minh các bất đẳng thức

p1 ≥ p2 ≥ p3.Tổng quát hóa.

2 Cho a, b > 0, xét hàm số g(q) =(aq + bq

2

)1/q.

Kiểm chứngg(−∞) ≤ g(−2) ≤ g(−1) ≤ g(0) ≤ g(1) ≤ g(2) ≤ g(∞).

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 7 / 12

university-logo

Sắp thứ tự dãy số

1 Cho a, b, c > 0, xét biểu thức(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + 3p1x

2 + 3p22x + p3

3 ,trong đó p1, p2, p3 > 0.Chứng minh các bất đẳng thức

p1 ≥ p2 ≥ p3.Tổng quát hóa.

2 Cho a, b > 0, xét hàm số g(q) =(aq + bq

2

)1/q.

Kiểm chứngg(−∞) ≤ g(−2) ≤ g(−1) ≤ g(0) ≤ g(1) ≤ g(2) ≤ g(∞).

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 7 / 12

university-logo

Phân thức chính quy

1 Cho các số a, b, c , d > 0, xét các số α, β, γ, δ thỏa mãn hệ thứcaα+ bβ + cγ + dδ = 0.

Chứng minh bất đẳng thứcaxα + bxβ + cxγ + dxδ ≥ a + b + c + d , ∀x > 0.

Tổng quát hóa.

2 Cho các số a, b, c , d > 0, xét các số αk , βk , γk , δk thỏa mãn hệ thứcaαk + bβk + cγk + dδk = 0, k = 1, 2.

Chứng minh bất đẳng thứcaxα1yα2 + bxβ1yβ2 + cxγ1yγ2 + dxδ1y δ2 ≥ a + b + c + d , ∀x , y > 0.Tổng quát hóa.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 8 / 12

university-logo

Phân thức chính quy

1 Cho các số a, b, c , d > 0, xét các số α, β, γ, δ thỏa mãn hệ thứcaα+ bβ + cγ + dδ = 0.

Chứng minh bất đẳng thứcaxα + bxβ + cxγ + dxδ ≥ a + b + c + d , ∀x > 0.

Tổng quát hóa.

2 Cho các số a, b, c , d > 0, xét các số αk , βk , γk , δk thỏa mãn hệ thứcaαk + bβk + cγk + dδk = 0, k = 1, 2.

Chứng minh bất đẳng thứcaxα1yα2 + bxβ1yβ2 + cxγ1yγ2 + dxδ1y δ2 ≥ a + b + c + d , ∀x , y > 0.Tổng quát hóa.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 8 / 12

university-logo

Sắp thứ tự dãy số, Hoán vị

1 Bài toán về "Cô gái bán xăng": Sắp hàng mua xăng tối ưu thời gian.

2 Giả sử

B ={a1 + a2

2,a2 + a3

2, . . . ,

a2008 + a2009

2,a2009 + a1

2

}là một hoán vị của A = {a1, a2, . . . , a2009}. Chứng minh rằnga2009 = a1.

3 Cho a, b, c ∈ N∗ có a + b + c = 100. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa M = abc .

4 Cho a, b, c ∈ N∗. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củaT = a! + b! + c!.

5 Giả sử a, b ∈ {0, 1, 2, . . . , 2009}. Xác định điều kiện đối với a, b đểC a

2009 ≥ Cb2009.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 9 / 12

university-logo

Sắp thứ tự dãy số, Hoán vị

1 Bài toán về "Cô gái bán xăng": Sắp hàng mua xăng tối ưu thời gian.

2 Giả sử

B ={a1 + a2

2,a2 + a3

2, . . . ,

a2008 + a2009

2,a2009 + a1

2

}là một hoán vị của A = {a1, a2, . . . , a2009}. Chứng minh rằnga2009 = a1.

3 Cho a, b, c ∈ N∗ có a + b + c = 100. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa M = abc .

4 Cho a, b, c ∈ N∗. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củaT = a! + b! + c!.

5 Giả sử a, b ∈ {0, 1, 2, . . . , 2009}. Xác định điều kiện đối với a, b đểC a

2009 ≥ Cb2009.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 9 / 12

university-logo

Sắp thứ tự dãy số, Hoán vị

1 Bài toán về "Cô gái bán xăng": Sắp hàng mua xăng tối ưu thời gian.

2 Giả sử

B ={a1 + a2

2,a2 + a3

2, . . . ,

a2008 + a2009

2,a2009 + a1

2

}là một hoán vị của A = {a1, a2, . . . , a2009}. Chứng minh rằnga2009 = a1.

3 Cho a, b, c ∈ N∗ có a + b + c = 100. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa M = abc .

4 Cho a, b, c ∈ N∗. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củaT = a! + b! + c!.

5 Giả sử a, b ∈ {0, 1, 2, . . . , 2009}. Xác định điều kiện đối với a, b đểC a

2009 ≥ Cb2009.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 9 / 12

university-logo

Sắp thứ tự dãy số, Hoán vị

1 Bài toán về "Cô gái bán xăng": Sắp hàng mua xăng tối ưu thời gian.

2 Giả sử

B ={a1 + a2

2,a2 + a3

2, . . . ,

a2008 + a2009

2,a2009 + a1

2

}là một hoán vị của A = {a1, a2, . . . , a2009}. Chứng minh rằnga2009 = a1.

3 Cho a, b, c ∈ N∗ có a + b + c = 100. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa M = abc .

4 Cho a, b, c ∈ N∗. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củaT = a! + b! + c!.

5 Giả sử a, b ∈ {0, 1, 2, . . . , 2009}. Xác định điều kiện đối với a, b đểC a

2009 ≥ Cb2009.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 9 / 12

university-logo

Sắp thứ tự dãy số, Hoán vị

1 Bài toán về "Cô gái bán xăng": Sắp hàng mua xăng tối ưu thời gian.

2 Giả sử

B ={a1 + a2

2,a2 + a3

2, . . . ,

a2008 + a2009

2,a2009 + a1

2

}là một hoán vị của A = {a1, a2, . . . , a2009}. Chứng minh rằnga2009 = a1.

3 Cho a, b, c ∈ N∗ có a + b + c = 100. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhấtcủa M = abc .

4 Cho a, b, c ∈ N∗. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củaT = a! + b! + c!.

5 Giả sử a, b ∈ {0, 1, 2, . . . , 2009}. Xác định điều kiện đối với a, b đểC a

2009 ≥ Cb2009.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 9 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc hai

1 Với f (x) = x2, thì a2 = [b + (a− b)]2

= b2 + 2(a− b)b + (a− b)2 ≥ b2 + 2b(a− b), ∀a, b ∈ R.2 Bài toán A. Giả thiết

x ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ 35(= 52 + 32 + 12).

3 Bài toán B. Phát biểu và chứng minh bài toán ngược của Bt A.

4 Bài toán tổng quát. Giả thiết a ≥ b ≥ c ≥ 0 vàx ≥ a

x + y ≥ a + b

x + y + z = a + b + c

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 10 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc hai

1 Với f (x) = x2, thì a2 = [b + (a− b)]2

= b2 + 2(a− b)b + (a− b)2 ≥ b2 + 2b(a− b), ∀a, b ∈ R.2 Bài toán A. Giả thiết

x ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ 35(= 52 + 32 + 12).

3 Bài toán B. Phát biểu và chứng minh bài toán ngược của Bt A.

4 Bài toán tổng quát. Giả thiết a ≥ b ≥ c ≥ 0 vàx ≥ a

x + y ≥ a + b

x + y + z = a + b + c

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 10 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc hai

1 Với f (x) = x2, thì a2 = [b + (a− b)]2

= b2 + 2(a− b)b + (a− b)2 ≥ b2 + 2b(a− b), ∀a, b ∈ R.2 Bài toán A. Giả thiết

x ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ 35(= 52 + 32 + 12).

3 Bài toán B. Phát biểu và chứng minh bài toán ngược của Bt A.

4 Bài toán tổng quát. Giả thiết a ≥ b ≥ c ≥ 0 vàx ≥ a

x + y ≥ a + b

x + y + z = a + b + c

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 10 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc hai

1 Với f (x) = x2, thì a2 = [b + (a− b)]2

= b2 + 2(a− b)b + (a− b)2 ≥ b2 + 2b(a− b), ∀a, b ∈ R.2 Bài toán A. Giả thiết

x ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ 35(= 52 + 32 + 12).

3 Bài toán B. Phát biểu và chứng minh bài toán ngược của Bt A.

4 Bài toán tổng quát. Giả thiết a ≥ b ≥ c ≥ 0 vàx ≥ a

x + y ≥ a + b

x + y + z = a + b + c

Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ≥ a2 + b2 + c2.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 10 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc α

1 Với f (x) = xα, x > 0, α > 1, thìaα ≥ bα + 2bα−1(a− b), ∀a, b ∈ R+. (*)

2 Bài toán C. Giả thiết x , y , z > 0 vàx ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng xα + yα + zα ≥= 5α + 3α + 1α.

3 Bài toán D. Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức (*) để dấuđẳng thức xảy ra khi a = 1.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 11 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc α

41 Với f (x) = xα, x > 0, α > 1, thìaα ≥ bα + 2bα−1(a− b), ∀a, b ∈ R+. (*)

2 Bài toán C. Giả thiết x , y , z > 0 vàx ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng xα + yα + zα ≥= 5α + 3α + 1α.

3 Bài toán D. Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức (*) để dấuđẳng thức xảy ra khi a = 1.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 11 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc α

41 Với f (x) = xα, x > 0, α > 1, thìaα ≥ bα + 2bα−1(a− b), ∀a, b ∈ R+. (*)

2 Bài toán C. Giả thiết x , y , z > 0 vàx ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng xα + yα + zα ≥= 5α + 3α + 1α.

3 Bài toán D. Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức (*) để dấuđẳng thức xảy ra khi a = 1.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 11 / 12

university-logo

Bài 4. Một số đồng nhất thức cơ bản

Hàm số lũy thừa bậc α

41 Với f (x) = xα, x > 0, α > 1, thìaα ≥ bα + 2bα−1(a− b), ∀a, b ∈ R+. (*)

2 Bài toán C. Giả thiết x , y , z > 0 vàx ≥ 5

x + y ≥ 8

x + y + z = 9

Chứng minh rằng xα + yα + zα ≥= 5α + 3α + 1α.

3 Bài toán D. Phát biểu và chứng minh bất đẳng thức (*) để dấuđẳng thức xảy ra khi a = 1.

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 11 / 12

university-logo

Bài 5. Methods of solving problems

41 Understand the problemThe first step is to read the problem and make sure that youunderstand it clearly.Ask yourself the following questions:What is the unknown, What are the given quantities, What are thegiven conditionsFor many problems it is useful to draw a diagram and identify thegiven and required quantities on the diagram

2 Think of a plan

3 Carry out the plan

4 Look back

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 12 / 12

university-logo

Bài 5. Methods of solving problems

1 Understand the problemThe first step is to read the problem and make sure that youunderstand it clearly.Ask yourself the following questions:What is the unknown, What are the given quantities, What are thegiven conditionsFor many problems it is useful to draw a diagram and identify thegiven and required quantities on the diagram

2 Think of a plan

3 Carry out the plan

4 Look back

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 12 / 12

university-logo

Bài 5. Methods of solving problems

1 Understand the problemThe first step is to read the problem and make sure that youunderstand it clearly.Ask yourself the following questions:What is the unknown, What are the given quantities, What are thegiven conditionsFor many problems it is useful to draw a diagram and identify thegiven and required quantities on the diagram

2 Think of a plan

3 Carry out the plan

4 Look back

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 12 / 12

university-logo

Bài 5. Methods of solving problems

1 Understand the problemThe first step is to read the problem and make sure that youunderstand it clearly.Ask yourself the following questions:What is the unknown, What are the given quantities, What are thegiven conditionsFor many problems it is useful to draw a diagram and identify thegiven and required quantities on the diagram

2 Think of a plan

3 Carry out the plan

4 Look back

() Ngày 23 tháng 10 năm 2009 12 / 12