1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen - Arithmetik von Prof. Dr. Dr. Heribert Popp, TH Deggendorf

1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen - Arithmetik

von Prof. Dr. Dr. Heribert Popp,TH Deggendorf

Gliederung

• Summenzeichen• Produktzeichen• Binomialkoeffizient und Fakultät• Logarithmus naturalis (ln)

1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik

Die Menge IR der reellen Zahlen ist so konstruiert, dass in ihr die Ausführungen der vier Grundrechenarten möglich ist. Für je zwei Zahlen a, b R ist also auchAddition a + b IRSubtraktion a – b IRMultiplikation a * b IRDivision (für b 0) a / b IR

1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen -Arithmetik

Regeln bezüglich der Vertauschbarkeit der Zahlen und derKlammermultiplikation (Assoziativität, Kommutativität, Distributivität) sind erfüllt. Gegeben sind die reellen Zahlen a, b, c .a + b = b + aa * b = b * a(a + b) + c = a + (b + c)(a * b) * c = a * (b * c)a + 0 = aa + (-a) = 0a * 1 = aa * 1/a = 1 für alle Werte von a außer der Null.a * 0 = 0a * (b + c) = a * b + a * c. (Distributivität)

Kap. 1.4 BeispielWurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)

bcaacb 733337

Kap. 1.4 Aufgabe 1Wurden bei folgenden Umformungen die Mathematikgesetze richtig angewendet? (Mehrfachnennungen möglich)

bcaacb 733337

[richtig]

baab 7337

bcaacb 733337

[richtig]

baab 7337

bcaacb 733337

[richtig]

baab 7337 falsch

bcaacb 733337

[richtig]

baab 7337 falsch

033 falsch

babab 2121773

bcaacb 733337

[richtig]

baab 7337 falsch

033 falsch

babab 2121773

Richtig

1.4 Rechenregeln mit reellen Zahlen1.4.1 Das Summenzeichen

(1.4.1) DefinitionDie Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form

(sprich: Summe der ai, für i = m bis n).

miinmm aaaa 1

1.4.1 Das Summenzeichen

(1.4.1) DefinitionDie Summe der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form

(sprich: Summe der ai, für i = m bis n).Dabei heißen i Laufindex (Summationsindex), m untere und n obere Summationsgrenze (i, m, n Z; m n).

Der Ausdruck stellt also eine Anweisung dar, die

Summe der Zahlen ai zu bilden, wobei i alle ganzen Zahlen von m bis n durchläuft. Häufig tritt der Spezialfall einer Summe oderauf.

miinmm aaaa 1

Beispiel

a1=4, a2=7, a3=12, a4=18

4118127443214

aaaaaii

Eine größere Bedeutung hat das Summenzeichen, wenn es möglich ist, die zu summierende Größe ai explizit als eine Funktion des Summationsindex i darzustellen.

Faustregel:1. unterscheiden sich die Folgeglieder um gleichen Betrag (habe er den Wert d), dann ist der Ausdruck etwas mit i*d (wobei i der Laufindex ist), z.B. 2+5+8+11; hier ist gleiche Differenz 3, also ist Formel 3*i, nun geht es mit Startwert los. Starte ich mit i=1, so wäre 1*3=3 und 1 zu hoch, also muss ich meinen Ausdruck, wenn ich mit i=1 starte um 1 reduzieren. Formel lautet Summe I=1 bis 4 von 3*i-1

2. Kann ich Regel 1) nicht anwenden, zerlege ich jeden Summanden um zu sehen, dass sich die zerlegten Teile je Summand um 1 in den Bestandteilen erhöhen, z.B. 4+9+16+25Ich zerlege 2*2+3*3+4*4+5*5also je Summand werden die zwei Faktoren des Produktes um 1 größer, genau das mach ja auch der Summationsindex i, starte ich mit i=2 wäre i*i der erste Summand 2*2 und dann steigt i auf 3 und der zweite Summand wäre 3*3, so dass ich habe: Summe I=2 bis 5 von i*i

3. Das Vorzeichenalternieren bei den Summanden lässt sich mit (-1)i realisieren ((-1)^1=-1;(-1)^2=1; i(-1)^3=-1; (-1)^4=1), wobei man die Potenz i so variieren muss (i, i+1), so dass er erste Summand das richtige Vorzeichen hat, z.B. 1,-2,3.-4 benötigt (-1)i-1, da erstes positiv sein muss und wenn i bei 1 beginnt muss zwei als Potenz beim ersten Summanden raus kommen.

Beispiel:

Hierbei lautet das allgemeine Bildungsgesetz:

10,,2;1

Beispiel:

997531

Beispiel:

1 121997531i

Beispiel:

1 121997531i

Ungerade Zahlen kann man darstellen durch die Formel (2i-1); einen Vorzeichenwechsel durch die Formel (-1)i+1

Beispiel:

2562741

Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen4= 2*227=3*9=3*3*3256=16*16=4*4*4*4Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also

Beispiel:

2562741

Da nicht gleicher Abstand zwischen den Summanden, teste ich Regel 2, d.h. zerlegen4= 2*227=3*9=3*3*3256=16*16=4*4*4*4Also je Summand wird Faktor um 1 größer, also ist das i; aber die Anzahl der multiplizierenden i-s werden auch je Summand um eins mehr, also

Beispiel:

2562741 ii

Für das Rechnen mit Summen gelten allgemein folgende Regeln:(1.4.2) Satz

a. (c = const);cncn

205*4555554

(a) (c = const);

Ein Handelsunternehm,en hat 2 Filialen a und b und erzielt dort in einem Jahr die monatlichen Umsätze von ai und bi (i=1,…,12).Der gesamte Jahresumsatz berechnet sich aus

miii baba

iii baba

(a) (c = const);

(c) (c IR);

(d) (m k n - 1);

Ein Unternehmen kann seinen jährlichen Gesamtumsatz bestimmen als Addition der Monatssummen oder Addition der beiden Halbjahre

miii baba

mii acca

mii aaa

ii aaa

(a) (c = const);

(c) (c IR);

(d) (m k n - 1);

miii baba

mii acca

mii aaa

mii aa

Ein Betrieb verbraucht 8 Rohstoffe. Der Verbrauch an Rohstoffen in Geldeinheiten (GE) pro Monat sei gegeben.

Jan Feb Mrz Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez

Rohstoff 1 a1 1 a1 2 .. a1 12Rohstoff 2 a2 1

Rohstoff 3 :

Rohstoff 4 :

Rohstoff 5

Rohstoff 6

Rohstoff 7Rohstoff 8 a8 1 a8 12

Rohstoff 3 :

Rohstoff 4 :

Rohstoff 5

Rohstoff 6

Rohstoff 3 :

Rohstoff 4 :

Rohstoff 5

Rohstoff 6

1i jija

Beispiel Doppelsumme

)36(i j

Berechnen Sie die Doppelsummen:

)36(i j

i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+ 6*1+3*1*1

)36(i j

i=1 (j=0,1): 6*1+3*1*0+ 6*1+3*1*1+i=2 (j=0,1): 6*2+3*2*0+ 6*2+3*2*1=6+0 +6 +3+12+0+12+6 =45

Für Doppelsummen sind die zu Satz (1.4.2) analogen Rechenregeln erfüllt. Dabei gilt insbesondere:

es ist also gleichgültig, ob zuerst über die Indices i oder j summiert wird.

jij aa

1 11 1

jij aaaaaaa

(1.4.3) DefinitionGegeben seien die Zahlen a11, ..., amn IR. Dann bezeichnet man die folgende Summe die Doppelsumme:

1.4.2 Das Produktzeichen

(1.4.4) DefinitionDas Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form

(sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).

miinmm aaaa 1

(1.4.4) DefinitionDas Produkt der reellen Zahlen am, ..., an kann man abkürzen in der Form

(sprich: Produkt der ai, für i = m bis n).

Einen wichtigen Spezialfall stellt das Produkt (für n N und a0 = 1) dar.

Für eine beliebige reelle Zahl bezeichnen wir an als die n-te Potenz von a. Dabei heißt a Basis und die Hochzahl n Exponent.

miinmm aaaa 1

Beispiel Produktzeichen

Schreiben sie mit Hilfe des Produktzeichens

Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen8=2*2*227= 3*3*364=4*4*4Formel lautet i^3

1*641*

Faktoren (Nenner) unterscheiden sich nicht um gleichen Betrag, also Regel 2 anwenden: zerlegen8=2*2*227= 3*3*364=4*4*4Formel lautet i^3

Rechenregeln für alle beliebigen Werte von außer der Null. Wir nennen den Kehrwert von.

Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner so behandelt, wie wenn sie in Klammern stünden.

Zwei Brüche und werden multipliziert, indem man die Zähler miteinander und die Nenner miteinander multipliziert:

Der Kehrwert eines Bruchs ist der Bruch .

Rechenregeln

Beispiel 1:

Rechenregeln

Beispiel 1:

Rechenregeln

Beispiel 2:

Rechenregeln

Beispiel 2:

Rechenregeln• Zwei Brüche und werden dividiert, indem man den Zählerbruch mit dem Kehrwert des

Nennerbruchs multipliziert:

• Kann man einen Bruch mit Hilfe eines Wertes so umformen, dass man erhält, kann man den Bruch mit kürzen und erhält . Der Wert des neuen Bruches hat sich nicht verändert. . Es gilt dann also

• Brüche werden so addiert:1. Die Brüche werden gleichnamig gemacht. Es werden also alle Brüche durch Erweitern so

umgeformt, dass sie den gleichen Nenner haben. 2. Die Zähler, die durch das Gleichnamig-Machen resultierten, werden addiert zur Summe .3. Im Ergebnis steht im Zähler die Summe und im Nenner der gleichnamige Ausdruck : .

• Eine Potenz ist ein Term, der in der Form dargestellt werden kann, wobei x im Allgemeinen größer als 0 und a beliebig sind.

• Bei ungeradzahligem kann auch aus negativen Zahlen die n-te Wurzel gezogen werden

Rechenregeln

Beispiel 3:

Rechenregeln

Beispiel 3:

Rechenregeln

Beispiel 4:

Rechenregeln

Beispiel 4:

Rechenregeln

Beispiel 5:

Rechenregeln

Beispiel 5:

Rechenregeln

Beispiel 6:

Rechenregeln

Beispiel 6:

Rechenregeln

Beispiel 7:

Rechenregeln

Beispiel 7:

(1.4.5) SatzEs seien a,b IR und n, m Z. Dann gilt:

(a) an * am = an+m; 23*24= 8*16=128

23+4= 27=128

(a) an * am = an+m;

(b) (an)m = an*m;

(a) an * am = an+m;

(b) (an)m = an*m; (23)4=212=

(a) an * am = an+m;

(b) (an)m = an*m; (23)4=84=4096

212=4096

(a) an * am = an+m;

(b) (an)m = an*m;

(c) für a 0; mm aa

(a) an * am = an+m;

(b) (an)m = an*m;

(c) für a 0;

(d) für a 0;

aaa 23/24=8/16=1/2

23-4=1/2

(a) an * am = an+m;

(b) (an)m = an*m;

(c) für a 0;

(d) für a 0;

(e) anbn = (ab)n.

23/24=8/16=1/2 23-4=1/2

22*32= (2*3)2=

(a) an * am = an+m;

(b) (an)m = an*m;

(c) für a 0;

(d) für a 0;

(e) anbn = (ab)n

(f) a m/n =

23/24=8/16=1/2 23-4=1/2

22*32=4*9= 36 (2*3)2=62=36

n ma 521

Quadratische Gleichung• ax² + bx + c = 0

mit a, b, c IR und a 0 • Es gibt hierbei zwei Lösungen x1 und x2 falls • b² - 4ac 0

aacbbx

Im Falle von b² - 4ac < 0 existiert keine reellwertige Lösung.

Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:

x² - 4x + 3 = 0 1,32

12164212,1

aacbbx

1.4.3 Binomkialkoeffizient und Fakultät

(1.4.6) DefinitionSeien n, k N {0} mit k n. Dann setzen wir

(a) und 0! = 1

(sprich: n- Fakultät); n! ist die Anzahl der möglichen Anordnungen

(1.4.6) DefinitionSeien n, k N {0} mit k n. Dann setzen wir

(a) und 0! = 1

(sprich: n- Fakultät);

(sprich: n über k).

Man bezeichnet als Binomialkoeffizienten.Binomialkoeffizient n über k ist Anzahl der k-elementigen

Teilmengen aus einer n-elementigen Menge.

nkknnn

Beispiele

0! = 1

Beispiele

0! = 1

1! = 1

Beispiele

0! = 1

1! = 1

2! = 2

Beispiele

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

Beispiele

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

Beispiele

0! = 1

1! = 1

2! = 2

3! = 6

4! = 24

71!= am Taschenrechner nicht rechenbar (69! ist die letzte rechenbare Zahl).

Beispiele

Beispiele:

15432121654321

!4!2!6

(1.4.7) SatzFür die Zahlen n, k N mit k n gilt:

1. (n + 1)! = (n + 1) * n! 4! = 4*3!

Beispiel:Vereinfachen sie folgenden Ausdruck:

)1()!1(

)1(!)1(

)1()!1(

)1(!)1(

)1()!1(

)1()!1()1(

)1(!)1(

)1()!1(

)1(!)1(

)1()!1(

)1()!1()1(

)1(!)1(

)1()!1(

)!1()1(

)!1()1()1(!)1(

)1()!1(

nnnnnn

(1.4.8) SatzSeien a, b IR und n N. Dann gilt:

nnnnnn

Beispiel

30211203

babababa

Beispiel

30211203

babababa

3223 33 babbaa

1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Logarithmen sind in der Wissenschaft ein unverzichtbares

Werkzeug, denn damit können beispielsweise sehr komplizierte Formeln in einfachere Ausdrücke überführt werden.

• Einführungsbeispiel:• Betrachten wir die Gleichung . Wir suchen den Wert x der die

Gleichung löst. Salopp könnte man das schreiben als • Die kleine Kopfrechnung verrät uns, dass ist. Wir können die

Lösung so hinschreibenund so sprechen: „Der Logarithmus zur Basis 5 von 125 ist 3“.

• Es sind die beiden Aussagen und äquivalent, was „gleichwertig“ heißt.

• „Der Logarithmus zur Basis a von x ist y.“• Der Logarithmus gibt an, welche Potenz x die Gleichung ergibt: .

1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Beispiele:• also

• Spezieller Logarithmus zur Basis e, wobei diese die eulersche Zahl ist.

• =ln y• Wir nennen ihn den natürlichen Logarithmus. Seine

Kurzschreibweise ist lny.• Die Bezeichnung natürlich hat sich eingebürgert, weil dieser

Logarithmus - wie die Basis e - sehr einfach in der Anwendung ist. So findet er ähnliche Anwendungen wie e, beispielsweise bei Wachstumsprozessen. Allerdings kann man hier nicht ohne Taschenrechner auf das zugrunde liegende y schließen.

1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Rechenregeln für LogarithmenDie Rechenregeln gelten für alle Basen e.

• Der Logarithmus von y ist nur für Werte y>0 definiert. • ln 1=0• ln (y*z)=ln y + ln zWir interessieren uns für . Es ist oder aber mit und :

• ln(y/x) = ln(y)- ln(x)

1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Beispiel:

Wir interessieren uns für ln(528/22). Es ist ln(528/22)=ln(24)=3,178. ln(528/22)=ln 528-ln 22=6,27-3,09=3,178

ln (1/y)= -ln yln zb= b ln z

• Beispiel:ln 153=ln 3375 = 3,52833 ln 15=3*1,1761=3,5283

Eine Rechenregel, die einem das Auflösen von Gleichungen sehr erleichtern kann, ist

ln ex =x

1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)• Beispiele:

1. Wir wollen vereinfachen und gehen in mehreren Schritten vor:

1.4.4 Logarithmus naturalis (ln)Wir beachten: Der Ausdruck bedeutet nichtln*e, sondern er bedeutet ln(e), also der Logarithmus von e.

Zusammenfassend können wir feststellen, dass die Rechenregeln für Logarithmen dem Umgang mit Potenzen entsprechen. Logarithmen können nur die oben beschriebenen Regeln. Ausdrücke wie ln(x+y) dürfen daher nicht weiter zerlegt werden - auch, wenn uns das manchmal unbefriedigend erscheint.

ln(x+y)<>ln(x)+ln(y)

1.4.5 Permutation und Kombination

(1.4.9) DefinitionGegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser nElemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.

(1.4.9) DefinitionGegeben seien n Elemente. Dann nennt man jede Zusammenstellung dieser nElemente in irgendeiner Anordnung eine Permutation.Beispiel: drei Elemente a,b,cabc,bac,cab,acb,bca,cba

(1.4.10) Satz(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n!

Beispiel: Elemente a,b,a; zwei Gruppen a (n1=2), b (n1=1)

aab,aba,baa

(1.4.10) Satz(a) Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Permutationen n!(b) Für n Elemente, die aus r Gruppen zu je n1, ..., nr (n = n1+ ...+ nr) gleichen Elementen bestehen, beträgt die Anzahl der Permutationen

21 rnnnn

Auf einer Maschine sollen 8 verschiedene Einzelteile angefertigt werden. Dabei muss vor der Herstellung jedes Einzelteils die Maschine neu eingestellt werden.

8! = 40.320

Es ergeben sich somit 40.320 unterschiedliche Reihenfolgen für die Durchführung der Produktion.

Aus 3 Wagen 1. Klasse, 5 Wagen 2. Klasse und 2 Schlafwagen soll ein Zug von 10 Wagen zusammengestellt werden.

Es gibt hierbei also Gruppen von je 3, 5 und 2 gleichen Wagen, so dass sich insgesamt

2520!2!5!3

verschiedene Arten der Zusammenstellung ergeben.

(1.4.11) DefinitionJede Zusammenstellung von k Elementen aus ngegebenen Elementen bezeichnet man als eineKombination der k- ten Ordnung.Die Anzahl der Kombinationen hängt natürlich davon ab,ob es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt oder oballe Elemente verschieden sein müssen.

(1.4.12) Definition (Mit Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung)

Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgtdie Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mitBerücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung:

n*(n -1)*(n - 2)* ... * (n - k + 1) = !!

Ein 20-köpfiger Aufsichtsrat bestimmt aus seiner Mitte einen Vorsitzenden und seinen Stellvertreter.

Da es hierbei auf die Reihenfolge ankommt und kein Mitglied beide Funktionen gleichzeitig ausüben kann, gibt es

3802019!18!20

!220!20

verschiedene Besetzungsmöglichkeiten.

(1.4.13) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung)

Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl derKombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der

Anordnung und ohne Wiederholung .

Beim Zahlenlotto sind aus 49 verschiedenen Zahlen 6 anzukreuzen, wobei die Reihenfolge dieser Zahlen gleichgültig ist.

Es gibt deshalb dafür

=13.983.816 Möglichkeiten.

Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl der Möglichkeiten nur

=13.983.816 Möglichkeiten.

49=18.424.

Will man dagegen 3 Zahlen ankreuzen, so beträgt die Anzahl der Möglichkeiten nur

(1.4.13) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung)

Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl derKombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der Anordnung und ohne Wiederholung .

(1.4.14) Satz (Mit Berücksichtigung der Anordnung und Wiederholung)

Gegeben seien n verschiedene Elemente. Dann beträgt dieAnzahl der Kombinationen k- ter Ordnung mitBerücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholungen nk.

(1.4.15) Satz (ohne Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholung)

Für n verschiedene Elemente beträgt die Anzahl der Kombinationen k- ter Ordnung ohne Berücksichtigung der Anordnung und mit Wiederholung .

Bei der Beurteilung der Klangqualität von 10 Lautsprecher-Boxen verschiedener Hersteller wird so verfahren, dass die Tester jeweils einen Hörvergleich zwischen 2 Boxen-Paaren vornehmen. Um die Objektivität der Tester zu überprüfen, soll auch jeweils ein Hörvergleich zwischen zwei Boxen-Paaren des gleichen Fabrikats stattfinden.

Da es hierbei nicht auf die Reihenfolge ankommt und Wiederholungen zugelassen sind, muss jeder Tester insgesamt

Hörvergleiche durchführen.

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