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1°Circolo didattico Di Melfi giugno 2 011Primo incontro20 giugno 2011

Introduzione del corsoLo sviluppo del concetto di numero

(teorie-esperienze)

annarita.monaco@tin.it

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Obiettivi del corso • Affrontare alcuni temi della matematica in senso

longitudinale • Proporre attività che non siano semplicemente

“ricette” date ad un gruppo di “professionisti”, ma che siano giustificate da motivazioni teoriche

• L’intento è di sollecitare l’elaborazione individuale e la creatività di ciascun docente che adatti, contestualizzi, personalizzi.

(“Una buona pratica è il frutto di una vera teoria”José Ignacio Bartolache, Lecciones matèmaticas,1769),tratto da D’Amore B.,Elementi di didattica della matematica, pag.58,Pitagora,Bologna,1999)“Non c’è niente di più pratico di una buona teoria”, detto popolare

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Che tipo di corso?

• Interattivo e dinamico…attraverso uno scambio continuo tra relatore e corsisti (domande di chiarimento ; quesiti o problemi proposti per iscritto, scambio di e-mail)

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(Alcune premesse teoriche)La didattica A

L’insegnante di didattica A è sensibile all’allievo, lo pone al centro della sua attenzione, ma la sua azione didattica

non è centrata sull’allievo bensì sull’argomento. La didattica A può servire a migliorare l’immagine della matematica,

migliorare l’immagine di sé nel fare matematica, aumentare l’attenzione, la

motivazione

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L’insegnante di didattica B

• l’attenzione è all’apprendimento del bambino

e ai contesti significativi di apprendimento, strettamente

legati alla realtà e ad essa trasferibili.

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• Il triangolo didattico: insegnante, allievo, sapere

• In lavori di Chevallard, a partire dall’82, viene proposto alla riflessione questo schema a forma di triangolo

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I poli del triangolo• Il sapere è quello ufficiale,universitario,

quello che Chevallard chiama SAVOIR SAVANT

• il sapere matematico: quello storicizzato, quello accademico, quello degli esperti, a partire dal quale chi prende istituzionalmente le decisioni definisce qual è il sapere da insegnare

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L’allievo

• La conoscenza degli allieviLa conoscenza degli allievi avviene attraverso quattro tipi di approccio: approccio biologico, affettivo, epistemico (psicologia dell’apprendimento) o sociale

• La conoscenza dell’insegnante : soggetto istituzionale (statuto,funzioni), pedagogico ( i suoi modelli impliciti) e affettivo

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Interpretazione del triangolo

• Tre soggetti entrano in qualche modo in contatto tra loro al momento dell’azione didattica

• L’insegnante deve operare una trasposizione didattica del sapere (che sorge dalla ricerca) al sapere insegnato (la didattica in aula)

• L’insegnante deve tener conto della noosfera (sistema didattico e ambiente socio-culturale)in cui si trova ad agire

• Per noosfera possiamo intendere il luogo dei dibattiti di idee significative sull’insegnamento (le finalità della scuola, le attese della società per quanto riguarda scuola e cultura-programmi o attese di associazioni )

• E’ l’intermediario tra sistema scolastico e l’ambiente scolastico più esteso

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La trasposizione didattica: cosa è…

• Si tratta del lavoro di adattamento, di trasformazione del sapere in oggetto di insegnamento, in funzione del luogo, del pubblico e delle finalità didattiche che ci si pone

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L’ingegneria didattica: cosa è…• (Artigue 89)• È lo studio condotto in modo scientifico del

fenomeno didattico• La didattica concreta diventa attività di ricerca

per verificare le costruzioni teoriche• Figura dell’insegnante ricercatore e dei Nuclei di

ricerca in didattica della matematica (RSDDM, il gruppo a cui appartengo)

• vai su GOOGLE, clicca RSDDM e trovi notizie, informazioni, esperienze didattiche e molto altro

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La didattica dei numeri

• Teniamo conto della ricchezza di stimoli ai quali è sottoposto il bambino e delle sue esperienze della vita quotidianavita quotidiana.

• Fondamentale è non trascurare nulla di ciò che il bambino vede, tocca, sente, VIVE fuori dell’aula

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Predisponiamo contesti significativi nei quali i bambini riescano a vivere i numeri

in stretto collegamento alla realtà quotidiana. (la didattica del senso)

Esempio:Lavoro in continuitàcon gli alunni della scuola dell’infanzia e la

mia classe prima C

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Costruzione del concetto e del significato dei numeri naturali

• L’approccio al concetto di numero naturale percorre i significati stessi del concetto di numero.

• Il numero è etichetta, cardinalità, ordinalità, valore e misura o la combinazione di più di esse, a seconda della situazione e del contesto di riferimento

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• Etichetta: è il primo significato del numero da porre in atto nella scuola, perché permette il collegamento tra la matematica e la vita quotidiana (CAP, numeri civici, telefonici)

• Cardinalità: quanti sono gli oggetti all’interno di un aggregato? Come avviene il conteggio? C’è la consapevolezza che gli oggetti possono essere considerati senza un ordine prestabilito e che il totale degli oggetti non cambia se cambia la loro disposizione. Il numero è visto sotto forma di quantità.(scatole dei numeri con bustine contenenti le medesime quantità, ma diversi elementi)

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• Ordinalità:• Quale, tra due numeri, è maggiore?(prendiamo

un sacchetto dalla scatola dell’otto e poi un sacchetto dalla scatola del nove; quale sacchetto contiene più oggetti, quale di meno; quanti di più; quanti di meno?)

I presupposti operativi dell’ordinalità sono: confrontare, mettere in relazione, ordinare. In questo caso un numero è visto come sequenza ordinata. Fondamentali sono le relazioni spaziali e temporali (prima-dopo) che favoriscono la comprensione del predecessore e del successore.

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• Nota bene:• Mentre nella conta i bambini sono in grado

di pronunciare la sequenza dei numeri e di determinare facilmente la cardinalità di un aggregato, con più difficoltà i bambini capiscono la relazione tra i numeri.

Capire ad esempio che 9 è maggiore di 8 è più difficile, anche se contando dice il 9 dopo l’8. La difficoltà è legata alla comprensione che la relazione tra due numeri successivi è sempre n+1, andando avanti, ed n-1, andando indietro.)

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• Possiamo confrontare quantità, misure, valori monetari, utilizzando i simboli >,<, = tra i numeri e utilizzare la linea dei numeri (ma attenzione: essi sono già presenti sui giochi elettronici…)

• Prezioso strumento da utilizzare da prestissimo con i bambini è il calendario, del quale parleremo di seguito (la prima linea dei numeri “reale” per i bambini)

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Significato valore del numero

• Valore: è l’attribuzione di un valore convenzionale ad un oggetto che vale un certo numero di volte un altro oggetto (esempio, nelle carte il cavaliere vale 9, il re vale dieci; UNA moneta euro vale 2, UNA banconota che vale 5).

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• Misura: Quante volte un’unità di misura è contenuta in una determinata grandezza?

• ( Partendo dalla scoperta dell’unità di misura il numero è il risultato della misurazione. I bambini già conoscono la misura attraverso la “premisura”(quanti passi da leone…; quanti passi da formica…?)

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I diversi significati del numero …• SONO DENTRO i contesti reali che, nella vita

quotidiana, sono fortemente collegati con la matematica.

• Grande attenzione dunque alla misura del tempo, alle misure di lunghezza, all’uso del denaro,a giochi con le carte, al gioco dell’oca

• (In esso si effettua ad ogni turno la somma dei numeri apparsi sui due dadi lanciati e di spostarsi in avanti e indietro su un prestabilito ordinamento numerico)

• come pure l’esercizio quotidiano di trovare da sé la pagina di diario per scrivere il compito, o del libro.

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ATTIVITA’:Cosa sono i numeri e dove si trovano

• I bambini sono subito collaborativi e dopo una prima esitazione realizzano che, ad esempio, i numeri si trovano sul telefono,sul portone di casa, sul tachimetro, sull’orologio, nei negozi “sul cartellino che dice quanto costa un gioco”, sull’autobus che prende la nonna.

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• Sul metro che usa papà al lavoro, sul termometro che la mamma usa quando ho la febbre, sulla bilancia quando pesiamo la pasta, sulle carte per fare le sfide, sulle targhe delle auto,sull’uovo, dove è scritta la data di scadenza.

• Possiamo fare emergere, così, tantissime riflessioni e conoscenze, che, inconsapevolmente, i bambini possiedono già.

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I lavori dei bambini

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L’uovo personaLuca ha realizzato un uovo di Pasqua a forma di persona: Annarita. Lei ha un jeans bluette. Sulla gamba sinistra ci sono: 5 fiori e una tasca, sulla gamba destra altri 5 fiori e un’atra tasca.

La cintura ha 4 passanti e una fibbia; la camicetta è rosa e ha 4 bottoni viola al centro.

Intorno al collo ha una collana con 17 perle e un ciondolo

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UN BEL QUADROAppeso nel mio salotto c’è un quadro che raffigura un bellissimo paesaggio. Sullo sfondo ci sono 2 montagne con le cime innevate. Al centro c’è una casa verde con il tetto rosso, 4 finestre illuminate, un portone marrone e un camino grigio.

Sul lato destro ci sono 3 pini e sul lato sinistro ci sono 3 cipressi. Nel cielo si vedono 2 nuvole, con 10 rondini che volano intorno a un bel sole giallo al centro.

In primo piano si vede un campo di 40 papaveri rossi e 2 farfalle gialle che giocano sui fiori.

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LO SPAVENTAPASSERI

Sul campo del contadino Mario c’è

uno spaventapasseri di nome Caramello. Lui è

vestito con stracci: ha 1 cappello di paglia, una

giacca rosa scuro con 4 toppe, 2 tasche con 3 bottoni colorati sulla destra. Ha, anche, 1 jeans arrotolato su 1

palo di legno, una cintura e i foulard con 5

stelline sopra.

Ha per occhi 2 bottoni blu e per naso una carota arancione

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Un chiarimento fondamentale• Per molto tempo nella scuola, sia dell’infanzia

che primaria, si è fatta derivare l’aritmetica dal concetto di insieme.

• Si conduceva il bambino alla formazione del concetto di numero alla formazione di insiemi e di confronto tra insiemi (raggruppamento, costruzione di raccolte, associazione di un attributo a una raccolta o la rilevazione dell’appartenenza o della non appartenenza ad un insieme; attività di corrispondenza uno a uno)

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Il caso insiemistica• Insiemistica è la denominazione che

venne riservata in ambito didattico al linguaggio degli insiemi, quando vi arrivò negli anni 60, dagli USA , dalla Francia, dal Belgio, la cosiddetta insiemistica che fu chiamata“Nuova matematica, Matematica moderna”.

• Il linguaggio degli insiemi si sparse a macchia d’olio, si versarono fiumi di inchiostro, ed ebbe una fortuna dapprima lenta, poi enorme e tuttora NON spenta

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• Piaget e Szeminska, 1941• (Piaget evidenziò alcune supposte

difficoltà che il bambino incontrava nella costruzione del concetto di numero)

• Sembrava non cogliere la equinumerosità di una data raccolta di oggetti, se disposti in modi percettivamente diversi

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• Alla base di tali difficoltà ci sarebbe l’incapacità dei bambini di cogliere il collegamento uno a uno tra gli oggetti di diversi insiemi; dunque questo divenne un elemento importante.

• Ci fu una ipervalutazione del concetto cardinale del numero rispetto a quello ordinale. Questo portò ad un grande ritardo nell’introduzione del concetto di numero nei suoi aspetti usuali, per poterlo costruire molto lentamente attraverso complessi procedimenti di astrazione, attraverso il concetto di equipotenza.

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• Sembra essere un pregiudizio il fatto che si debba ritenere il bambino inadatto ad usare simboli o a pensare logicamente

• e un pregiudizio il circoscrivere le abilità solo nell’ambito percettivo, empirico, motorio. La competenza linguistica si sviluppa più tardi di queste abilità e dunque non possiamo fidarci delle dichiarazioni verbali dei bambini circa ciò che pensano e ciò che sanno fare.

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• La grande fortuna dell’insiemistica fu legata anche ai diversi materiali predisposti che l’hanno accompagnata, i cosiddetti materiali strutturati che fecero il giro del mondo.

• Pensiamo agli ambienti artificiali di maria Montessori, ai regoli in colore di Gattegno, al geopiano, all’abaco e al multibase.

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• Ma l’utilizzazione di questi strumenti non è stata supportata dai risultati di una ricerca didattica seria sugli effetti cognitivi del loro utilizzo, sul legame con le effettive modifiche degli apprendimenti ottenute.

• La fiducia derivava dallo strumento in sé. Dal grado di convincimento di chi lo proponeva, dal consenso che ruotava intorno ad esso

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• Come si passa dunque da una conoscenza costruita in modo artificiale alla conoscenza generalizzata, alle abilità cognitive e procedurali?

• Un esempio concreto: senza una vera e propria ricerca empirica qual è la certezza che abbiamo sul fatto che l’uso di uno strumento qualsiasi renda davvero gli allievi più abili in uno specifico settore della matematica?Uno specifico strumento (ad esempio i regoli) rende gli allievi esperti ad usare quello strumento, ma siamo certi che siano diventati più abili nell’esecuzione di operazioni, o altro?

• Il lavoro dei didatti di tipo A fu sottoposto a critiche radicali da parte di alcuni didatti degli anni 80, in particolare da Guy Brousseau

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In seguito• Sono nati diversi progetti didattici in

tutto il mondo e, soprattutto, una nuova visione della ricerca in didattica dell’aritmetica e del numero;

• esse danno nuova vitalità all’idea ordinale del numero, al numero pensato come termine del linguaggio per denominare, al numero nelle sue accezioni temporali, all’uso del denaro.

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• Molte di queste istanze sono state raccolte dalle varie nazioni, al momento di riformulare i programmi nazionali di aritmetica, soprattutto per la scuola primaria.

• Nella scuola italiana, per esempio, i programmi ministeriali del 1985, alla voce Aritmetica dicono:

• “Lo sviluppo del concetto di numero va stimolato valorizzando le precedenti esperienze degli alunni nel contare e nel riconoscere simboli numerici, fatte in un contesto di gioco e di vita familiare e sociale. Va tenuto presente che l’idea di numero naturale è complesso e richiede pertanto un approccio che avvale di diversi punti di vista: ordinalità, cardinalità, misura. La sua acquisizione avviene a livelli sempre più elevati di interiorizzazione e di astrazione durante l’intero corso della scuola elementare, e dopo…”

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• Lo stesso si può dire per la storica svolta dei programmi

francesi che prima erano tutti votati all’insiemistica e che ora ne sono totalmente

privi!

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Quali strumenti possibili… OGGI

• Le carte• Il calendario• Gli istogrammi (a partire dal calendario)• La striscia dei numeri• L’euro• Racconti, favole e fiabe• Altri contesti da noi creati!!

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Infanzia d’oro…• Le esperienze che i bambini

fanno con i numeri fin dalla primissima infanzia costituiscono

il primo tassello sul quale essi progressivamente costruiscono in

modo consapevole, il proprio sapere numerico.

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• La costruzione dell’idea di numero avviene, per lo più in modo implicito, prima, molto prima di entrare nella scuola primaria: giocando, osservando, riflettendo (nella scuola dell’infanzia, ma anche nella vita quotidiana: matematica parlata)

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• Vygotskij afferma che la costruzione di un simbolismo di

secondo ordine dovrebbe essere preceduta dalla ricostruzione

della preistoria delle attività che i bambini hanno effettuato già

spontaneamente.

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• L’atteggiamento metodologico più adeguato è quello dunque di non offrire conoscenze preconfezionate, ma di far

scaturire domande, sollecitare risposte, fornire occasioni e stimoli

d’apprendimento a partire dalle loro idee, dalle loro strategie, per farle poi

evolvere verso una loro personale costruzione delle conoscenze.

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• Ciò permette di far parlare e discutere i bambini, di favorire la comunicazione e l’interazione tra

loro, di esercitare il ruolo di mediatori di saperi,

• valorizzando ed esaltando non valorizzando ed esaltando non solo gli aspetti solo gli aspetti cognitivi,cognitivi, ma ma anche quelli anche quelli metacognitivi metacognitivi e e

affettivi.affettivi.

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• Su questi presupposti Su questi presupposti teorici e metodologiciteorici e metodologici, costruiremo il nostro

itinerario sul numero e le operazioni, in senso

diacronico

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Il valore del gioco delle carte• L’esperienza extrascolastica previa,

contemporanea e futura che i bambini possono svolgere, in famiglia e tra loro

• Giocare per il piacere di giocare, ma giocando si impara!

• Il coinvolgimento, la comunicazione, l’entusiasmo dei bambini, e degli adulti, insieme a loro

• Dinamismo, prontezza di riflessi, elaborazione veloce del pensiero

• Rilevare conoscenze e competenze dei bambini sul numero

• Stimolarli al riconoscimento e all’uso del numero nei suoi diversi aspetti: cardinale e ordinale

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• Favorire l’associazione numero-simboli sulle carte

• Permettere l’uso di strategie nella conta

• Favorire un primo approccio alle operazioni, in particolare all’addizione e alla sottrazione

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Fasi del lavoro(dall’infanzia alla prima)

• Giochi liberi• Classificazione per seme• -Formiamo i quattro mazzi (associamo simbolo

numerico e disegnato sulla carta)• -Il fante vale 8, il cavallo vale 9 e il re vale 10• Individuiamo la carta più alta…e la carta più

bassa…la carta che ci farà vincere (ma quella la stabiliamo noi, prima di giocare…)

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• Il primo giocatore prende la prima carta dal suo mazzetto, la gira velocemente in mezzo al tavolo dicendo: 1

• Il secondo procede nello stesso modo e dice : 2• Il terzo dice 3!• E così fino ad arrivare a 10…• Quando viene girata la carta il cui valore

corrisponde al numero detto, tutti i giocatori devono cercare di mettere una mano sulla carta girata sul tavolo

• Il bambino, che per ultimo mette la mano sopra quella dei compagni ,deve prendere tutte le carte girate sul tavolo

• Vince il giocatore che avrà giocato prima tutte le sue carte

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• Manata è un gioco molto veloce e divertente e richiede prontezza di riflessi

• Stimola il confronto di quantità (tanto, poco, di più, di meno) e l’uso del numero, soprattutto sotto l’aspetto ordinale e ricorsivo

• Implica la corrispondenza tra oggetto (valore della carta) e nome del numero

• L’aspetto cardinale entra in gioco quando i bambini contano le carte

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• Realizziamo un mazzo di carte composto da quattro mazzetti di dieci carte ciascuno

• Ogni mazzo di dieci carte racconta, attraverso i simboli disegnati, una favola…

• C’è Biancaneve, Pinocchio, Cenerentola, Cappuccetto Rosso…

• Le carte rappresentate hanno una grandezza maggiore rispetto alle comuni carte da gioco…

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E ancora altre magnifiche carte…

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Qualche esempio…

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Giochi con le carte, giochi ricchi di opportunità• IL DOMINO:• Si mettono in scala, in ordine crescente e

decrescente, a partire dal 7, le carte dello stesso seme

• Il primo giocatore, se ha un 7 lo posa, altrimenti passa

• Così fa il secondo e si procede finchè un giocatore posa un 7

• Poi si attaccano le carte in scala; si può posare il 7 di un altro seme anche se non è completa la scala del seme posato in precedenza. Vince chi per primo rimane senza carte

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Obiettivi del “Domino”• Richiede il confronto continuo di quantità e

propone continuamente situazioni di problem solving

• I bambini all’inizio hanno 6-8 carte in mano e devono loro attribuire un valore; alle tre figure di ogni seme si attribuiscono i valori di 11, 12, 13; alle altre carte si attribuisce il valore che corrisponde al numero di semi riportato su ogni carta ( se la carta ha 3 cuori, vale 3 e via dicendo)

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• Il gioco del domino richiede l’uso del numero sotto l’aspetto cardinale, ordinale e ricorsivo

• Le carte, quelle sul tavolo, e quelle che ogni giocatore ha in mano, devono essere confrontate le une con le altre e disposte in ordine, tenendo conto del valore e del seme di ciascuna

• I bambini sperimentano che ogni numero ha un successivo, che si ottiene aggiungendo 1

• Sperimentano che i numeri si possono mettere in ordine, sia in senso crescente che in senso decrescente ed esiste tra i numeri una relazione di ordine: il numero 6, ad esempio, viene prima del numero 7, ma dopo il numero 5

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• Distribuiamo ai bambini mazzi di carte da gioco, facciamole manipolare, osservare; chiediamo loro di proporci giochi e/o proponiamo giochi che permettano sia di identificare il numero dei semi, sia di confrontarli, sia di addizionare i simboli di più carte. Poi possiamo contare il numero di carte possedute alla fine di un gioco o contare il numero delle carte rimaste, dopo averne date un certo numero ai compagni e ancora stabilire qual è la differenza tra il numero di carte possedute da Giorgio e il numero di carte possedute da Antonio. Chi ne ha di più? Chi ne ha di meno? Quante di più? Quante di meno?

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Giochiamo con tutto il corpo

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Addizioni con le carte• Le regole del gioco

• Si gioca a carte francesi• Si mettono sul tavolo tutte le carte

scoperte, dall’asso fino al K; il J vale 11, il Q 12, il K vale 13

• Ogni bambino deve riuscire a formare un numero stabilito prendendo due carte dal mazzo. Un bambino può formare il 13, per esempio, con Q e 1, 8 e 5; 7 e 6…e altre coppie ancora (vedi lavoro numeri amici o muretti con i regoli)

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• Predisponiamo tanti cartoncini rettangolari tutti della stessa grandezza, 10 per ciascun bambino

• Chiediamo ai bambini di scegliere un proprio disegno-simbolo come seme da utilizzare per costruire le carte da 0 a 9.

• In una bustina ogni bambino conserva le sue carte, disegnate e colorate in modo personale

• Con esse facciamo giochi tradizionali, ma anche giochi inventati

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Le nostre carte delle quantità

• Le carte di Fabio, a cuori…

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Giochi possibili• Mostriamo una carta: Cinque!I bambini sollevano la

carta da loro posseduta che abbia cinque semi o la carta di un compagno

• Mostriamo una carta, per esempio il 7, e chiediamo ai bambini di mostrarci tutte le possibili carte che diano come risultato 7 (numeri amici: 0 e 7; 1 e 6; 2 e 5; 3 e 4)

• Chiediamo di mostrarci il 7 anche con più carte, unendo le carte di due o più bambini

• Alla fine di ogni attività invitiamo a rappresentare con il disegno l’esperienza vissuta e a raccontarla a noi o ad altri bambini, come consolidamento e verifica dell’acquisizione simbolo-quantità e come prima ricognizione delle preconoscenze dell’addizione.

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Il calendario è uno strumento prezioso per il matematico…Perché?

1. La sequenza numerica è rappresentata graficamente sul calendario

2. È possibile annotare sul calendario, ordinare e visualizzare la distanza nel tempo

3. Sul calendario c’è il riferimento al prima e al dopo

4. È possibile risolvere problemi in situazione, senza ancora trasferirsi al livello astratto delle operazioni con i numeri puri.

5. Cosa fondamentale, si creano le basi per la comprensione dei significati delle operazioni aritmetiche

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Come costruirlo…come utilizzarlo• Curiamo che la striscia verticale dei giorni del mese non si riduca ad

una semplice successione di numeri astratti ma si mantenga carica di significati. Ciò può avvenire annotando gli avvenimenti più significativi delle vita della classe: un compleanno, un’uscita, uno spettacolo…

• In questo modo il numero sul calendario corrisponde ad un avvenimento significativo; chiediamo ad esempio a un bambino se ricorda quando ci siamo recati in classe seconda a fare il lavoro in continuità. Era il…9 di aprile. Quanti giorni sono già passati? Il bambino è più motivato a cercare sul calendario.

• Nello stesso tempo è fondamentale che i bambini si allenino continuamente negli esercizi di riconoscimento dei numeri indicati da noi sul calendario, nel riconoscimento del numero detto

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• Cosa fondamentale, si creano le basi per la comprensione dei significati delle operazioni aritmetiche

• Da sottolineare che sul calendario, per confrontare 26 e 18 , non si ricorre alla riflessione che i numeri sono formati da 2 decine e 6 unità, …

• Sul calendario lo 0 non appare come numero ma solo come cifra.

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Un esempio di calendario: aprile 2011

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Il lavoro sul calendario

• Costruzione guidata dell’istogramma riassuntivo del mese di ottobre (significato cardinale del numero, significato misura, approccio all’addizione e alla sottrazione)

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Le nostre assenze a ottobre• Consegniamo una fotocopia di carta quadrettata

messa in orizzontale con i nomi dei bambini, facciamo registrare il numero dei giorni di assenza

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Sviluppo dell’indagine

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Significato degli istogrammi• Questa attività, nonostante la sua

ovvietà,comporta un uso implicito di modelli matematici piuttosto complessi; si mettono in gioco abilità logiche, quantitative e numeriche; non si riproducono gruppi di oggetti ma si usano colonne di quadretti e ciò consente di operare in modo concreto non su oggetti ma su quantità. I simboli posti sotto le colonne stanno ad indicare il valore cardinale del numero.

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• Il momento della classificazione e quello del confronto quantitativo sono integrati

• Il momento della classificazione non si presenta come un giochetto che sfrutta le conoscenze e le esperienze che i bambini già hanno per adattarle a linguaggi e concettualizzazioni insiemistiche,

• ma come momento in cui si discerne la realtà, la si organizza per trarne delle informazioni nuove che permettono di conoscerla meglio

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Indaghiamo ancora:• Continuiamo le nostre attività di conoscenza

della vita della classe:• -Con quale mezzo di trasporto vieni a

scuola?• -I tuoi giochi preferiti• -Le attività sportive• Realizziamo gli istogrammi su supporto

quadrettato (lavagna, carta da muro, quaderno); usiamo le crocette o la coloritura dei quadretti

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Chiediamo ai bambini:• Quali sono di meno? Quali sono di più?• Questi sono tanti quanti…• Questi sono molti di più di…• Se questi sono 6 e quelli sono 12, quali sono di

più. Quanti di più?• (da un punto di vista matematico questo

lavoro può essere interpretato già un’attività con i numeri naturali: le colonnine costituiscono la struttura dei numeri naturali in base uno, cioè usando una sola cifra)

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Le domande sul calendario

• Oggi è il 1° ottobre; quanti giorni ci vogliono per arrivare al 12 ottobre? Quanti giorni fa c’è stato il compleanno di Barbara? (12 ottobre); oggi è 28 ottobre.

• Oggi è 16 novembre; una settimana fa sono andata a fare shopping, era il…

• Tra sei giorni inizieremo il lavoro con i bambini dell’infanzia, e sarà il…

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• Oggi è 16 febbraio; una settimana fa sono andata a fare shopping, era il… tra sei giorni inizieremo il lavoro con i bambini della scuola dell’infanzia, e sarà il…

• Nel mese di marzo a partire dal 12 ogni tre giorni inventeremo un problema (quali sono i giorni?)

• Conteggia i giorni di sole che ci sono stati in totale in questi 4 mesi; sono….(che operazione hai usato per arrivare al risultato?). In quale mese si sono verificati i fatti più importanti nella vita della classe? Rispondi e spiega il perché?

• Confronta i tuoi giorni di presenza a scuola nel mese di…..con quelli del tuo compagno del cuore nello stesso mese. Chi è stato più presente?....Chi meno? Quanti giorni di differenza?

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Altre attività sul calendario• La crescita di una piantina, un qualsiasi

avvenimento che abbia un suo sviluppo quotidiano, dà corpo al passare del tempo (se coloriamo sul calendario tutte le caselle dei giorni in cui esso si svolge la rappresentazione grafica vede un continuum in lunghezza, come la crescita di una piantina)

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• Contiamo sul calendario. Fra tre giorni inizieremo a preparare la recita di Carnevale. Sai dire che giorno sarà?

• (Fammi capire come sei arrivato al risultato)• (Potrà dire: “Lunedì o altro giorno me lo tengo in

mente, vado avanti di tre giorni e arrivo a giovedì”oppure: “Oggi è lunedì 22 gennaio, aggiungo 1, arrivo al 23 gennaio che è martedì, aggiungo 1 arrivo al 24 che è mercoledì, aggiungo 1 arrivo al 25 gennaio, che è giovedì”

• Accettiamo le strategie che utilizzano i bambini per contare, man mano vediamo esse come si modificano; dall’uso delle mani possiamo pian piano passare ad una regola mentale.

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Altro testo problema

• Oggi è giovedì 8 marzo, fra poco è primavera: Anna ricorda che la primavera inizia il 21 marzo. Fra quanti giorni inizia la primavera?(tra 13 giorni). Il bambino può rispondere: Ho contato: oggi è l’8; l’8 me lo tengo in mente, sono andato avanti e sono arrivato a… 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16…

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La temperatura

• Significato: A gennaio-febbraio inizia la registrazione sistematica della temperatura sul tabellone del calendario, letta sul termometro e disegnata sulle colonnine delle tabelle settimanali dei termometri

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• Con le temperature possiamo fare ipotesi e previsioni, oltre a quantificare la differenza

Esempio:Roma, 10 gennaioOggi abbiamo previsto la temperatura. Io

pensavo che il termometro segnasse 15°. Sono andata a controllare la colonnina e invece segna 12°. La mia previsione è diversa di…

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Il compleanno di Anna• Oggi è 4 dicembre. Marina ha portato ai

compagni gli inviti per la festa di compleanno che sarà tra 6 giorni. Scrivi la data della festa di compleanno in basso (aiutati con il calendario)

• SEI INVITATO ALLA FESTA DEL MIO COMPLEANNO CHE SARA’

• IL GIORNO……………………………… CIAO!! MARINA

Spiega come hai fatto…

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Una striscia dei numeri per giocare• Per avviare i bambini alle operazioni di addizione e

sottrazione, in modo naturale, vissuto, ludico

• Realizziamo una o più strisce dei numeri, usando la stoffa o la carta da pacchi o cartoncino avvolta da carta trasparente.

• Sopra la striscia incolliamo i numeri distanti l’uno dall’altro almeno 30-40 cm. Lasciamo uno spazio prima dello zero e dopo il numero più alto, per insinuare nel bambino il senso dell’infinito

• La successione non inizia con 0 e non finisce con…l’ultimo numero scritto fino a quel momento…

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Come possiamo utilizzare la striscia dei numeri

• I bambini leggono ad alta voce la successione dei numeri

• Costruiamo un dado piuttosto grande, con le facce da 1 a 6 e chiediamo ai bambini di lanciarlo e, a partire da 0, di camminare sulla striscia dei numeri. Vince chi arriva prima al traguardo

• Un bambino si dispone davanti alla striscia ed esegue il comando dato dall’insegnante e , poi, da un compagno

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Quali comandi?

• Mettiti sul numero 4 e fai tre passi avanti; a quale numero arrivi?

• Mettiti sul numero 5 e fai cinque passi da gambero. A quale numero arrivi?

• Parti da 0 e fai 3 passi in avanti e poi ancora quattro passi. Come si chiama il numero sul quale sei arrivato/a?

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Non sempre il solito gioco…• Abbiamo a disposizione due dadi; tirando un

dado si fanno passi in avanti; tirando l’altro si fanno passi all’indietro

• Stabiliamo chi vince: può essere chi arriva al numero più grande o anche chi arriva al numero più piccolo

• In ciascuna coppia i due bambini scelgono chi tira il dado e chi si sposta. Si hanno a disposizione tre tiri. Il primo tiro stabilisce il numero da quale si parte, gli altri due tiri stabiliscono i movimenti da fare sulla striscia; chi esce va fuori del gioco (la regola è che non si può uscire fuori della striscia)

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Giochiamo di nuovo a coppie• Uno dei bambini effettua salti (massimo di

numero 10 o oltre il numero che stabiliamo rispetto alla lunghezza della striscia…alla corda, a gambe unite, a gambe divaricate); l’altro bambino segna i punti spostandosi sulla striscia di tanti posti in avanti quanti sono i salti che ha fatto il compagno. Si hanno a disposizione tre salti; vince la coppia che, dopo tre serie di salti, arriva al traguardo. Chiediamo al bambino di proporre un gioco muovo o anche più giochi nuovi

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Una striscia dei numeri tascabile

• Per passare dal piano motorio al piano rappresentativo gradualmente realizziamo delle strisce dei numeri tascabili, utilizzando rotoli di carta, suddivisi in caselle con i numeri che i bambini stessi colorano. I bambini possono giocare a coppie; ognuno avrà la sua striscia tascabile e il suo segnalino

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La striscia dei numeri sul quadernone

• Significato: Attraverso la sequenza dei numeri, chiediamo di operare la transcodifica del nome del numero al segno convenzionale (codice arabo). Sollecitiamo dunque l’integrazione dei processi fonologici e di quelli visivi nella scrittura dei numeri):

• Facciamo disegnare la striscia dei numeri sul quadernone a quadretti da 1 cm, proponiamo noi esercizi e solo allora schede tratte da libri di testo

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Addizioni con la striscia

• Diamo ai bambini il seguente esercizio:• Luana e Franco hanno giocato con le

strisce dei numeri formato tascabile. Hanno fatto 4 tiri con il dado partendo da 0 e si sono fermati sulle caselle che vedi colorate. Scrivi le addizioni che corrispondono agli spostamenti dei due bambini

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Sottrazioni con la striscia

• Forniamo in fotocopia il seguente testo:• “Paolo e Giorgia invece hanno deciso di

camminare come i gamberi sulla striscia dei numeri, cioè all’indietro: hanno fatto 4 tiri con il dado partendo da 20 e si sono fermati sulle caselle che vedi colorate. Scrivi le sottrazioni che corrispondono agli spostamenti dei due bambini

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Sulla striscia dei numeri…

• Consolidiamo i calcoli di addizione e sottrazione.

• I bambini piano piano interiorizzano le operazioni prima effettuate con il supporto concreto e se ne distaccano

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L’addizione e i suoi significati• Significato: Esplorare e comprendere i significati

dell’addizione• Esplorare ed affrontare problemi sull’addizione

• Partiamo dalle preconoscenze che i bambini hanno su questa operazione, per essere certi che quanto andiamo ad affrontare si agganci a elementi già presenti nelle loro menti e sia una risposta alle loro effettive domande

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Chiediamo

• Cosa vuol dire aggiungere, addizionare, sommare?

• In quali casi della tua vita quotidiana senti parlare o vedi fare addizioni?

• Cosa cambia dopo aver fatto un’addizione?

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Facciamo emergere…

• Tutte le idee e schematizziamole su un cartellone murale.

• Presentiamo ai bambini testi scritti, alla fine dell’anno passato,dai bambini delle classi quinte uscenti o redatte dai bambini più grandi delle classi attuali, in un lavoro in continuità oppure scritti da noi ma sempre vicini all’esperienza dei bambini

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Alcuni esempi• La piccola ballerina• Tu, piccola ballerina, per il tuo saggio prendi una

bella collana blu che costa 5 euro e una graziosa collana al prezzo di 7 euro. Quanto spendi?

• La volpe furbetta• Oh, volpe furbetta, cosa c’è nella tua giacchetta?

Una macchinetta (3 euro) e una bambola della sirenetta (9 euro). Vediamo se sei davvero furbetta… Quanti euro hai dato per la tua spesetta?

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• Dal diario di Giorgia• A me piace molto collezionare pastelli di forme

speciali. Nel mio maxi astuccio avevo già 12 colori. Poi la mamma, proprio ieri, me ne ha regalati altri sei. Sono bellissimi! Adesso ne ho… (completa tu)

• Chiediamo ai bambini di leggere con attenzione, rappresentare e risolvere i problemi individualmente, curando di spiegarci i procedimenti utilizzati.

• Prevediamo poi una fase di socializzazione e di discussione, nel corso della quale i bambini possano mettere a confronto i loro lavori.

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• Mettiamo a fuoco, nel corso della discussione, anche i diversi significati dell’addizione:

• -nel primo e nel secondo problema si tratta di unire gruppi disgiunti (ma non usiamo questa parola con i bambini)

• -nel terzo problema si tratta di modificare uno stato iniziale ( i 12 pastelli) aggiungendo altri elementi (i 6 regalati dalla mamma)

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Con i fumetti

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I numeri amici

• Significato: Scoprire relazioni tra numeri

• Utilizzare rappresentazioni per esprimere relazioni

• Scoprire tutte le possibili coppie additive di un numero

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Problemi sulla linea dei numeri…

• Il gatto Pippo si trova nella tana 3 e la gatta Tina nella tana 9; quanti passi deve fare Pippo per raggiungere Tina?

• Tina si trova nella tana 10. Da dove può partire Pippo per raggiungere Tina facendo una sosta? Rispondi dillo con i numeri (attività legata ai numeri amici)

• Il ranocchio Lino dal 9 deve saltare fino al 16. Quanti passi deve fare Lino?

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• Lino deve arrivare fino al 12; lì c’è ad attenderlo il suo amico Lollo. Si ferma una sola volta; quanti passi deve fare ogni volta?

• Il leprotto Tino parte datta tana 1 e arriva alla tana 15 facendo due soste. Quanti passi fa ciascuna volta? Scrivi i percorsi che trovi con addizioni.

• Un esempio: 1+8+6

Chiediamo ai bambini di inventare altre situazioni problema simili alla precedente

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Problemi legati al calendario

-Guarda sul calendario che giorno è oggi: quanti giorni mancano alla Pasqua? Rispondi e dillo con i numeri e l’operazione

-Tra 17 giorni sarà la festa di Amedeo. Che giorno sarà?

Chiediamo ai bambini di inventare problemi simili

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Un altro modo per addizionare• L’addizione è un’operazione binaria: a due

entrate e un’uscita. Possiamo costruire fisicamente le macchine dell’addizione oppure disegnarle e svolgere problemi relativi

• -Nella macchina entrano i numeri 5 e 9. Che numero uscirà?

• Giacomo e Carlo stanno giocando con la macchina dell’addizione. Giacomo fa entrare il numero 6; Giovanni, invece, piega il biglietto e non fa vedere il suo numero. La macchina però lo legge e fa uscire il numero 18. Quale numero era scritto sul biglietto di Giovanni

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Il problema precedente…• Si traduce nella frase aperta:

• 6+…=18• Oppure• 6+x=18

• Si tratta di un’equazione di primo grado che si risolve con il conteggio o per tentativi ed errori

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• Pietro e Paolo scrivono in segreto il loro numero sul foglietto. La macchina li legge e fa uscire il numero 13. Quali numeri potevano essere scritti sui foglietti dei due amici?

• Il problema si traduce nella frase aperta:• …+…=13• x+y=13, dove le incognite sono gli addendiLe possibili soluzioni sono 14, tante quante

sono le coppie di numeri amici del 13

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Il campo di esperienza denaro e prezzi

• Abbiamo ribadito l’importanza del collegamento tra scuola ed esperienze scolastiche

• Molti progetti di insegnamento di questi ultimi decenni, sviluppatisi in diversi paesi del mondo, sono basati sull’ipotesi che il riferimento a problemi reali e ad esperienza extrascolastiche favorisca i processi di apprendimento

• Durante la costruzione del sapere matematico, infatti, si realizza il passaggio dal sapere matematico implicito in determinate pratiche sociali al sapere matematico scolastico.

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• Il campo di esperienza denaro e prezzi permette di superare il ricorso a realtà strutturate studiate appositamente per uso scolastico (multibase, regoli…)

• Il contesto reale diventa un contesto evocato sempre, nel corso degli stessi problemi da risolvere

• Un aspetto del numero con cui i bambini entrano in contatto nell’usare questo materiale è il significato valore che fa riferimento ad una convenzionalità che trova il suo fondamento nella realtà esterna e nel fatto che questa convenzionalità è socialmente condivisa

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• Il significato valore implica l’idea della contrazione della cardinalità, ossia che, per esempio, una moneta da 2 euro assume il valore di DUE monete da 1 euro

• La convenzionalità del valore confligge con l’aspetto percettivo delle monete (è il simbolo numerico ad essere il marcatore del valore, inteso come espressione del valore di acquisto della moneta)

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• Il rapporto che il bambino instaura con il denaro è un rapporto complesso:

• C’è un doppio binario di conta:quello relativo al valore e quello relativo alla quantità delle monete

• Inizialmente il bambino può basare sul numero delle monete la misura del valore, ma poi questo confligge con la convenzionalità sociale: io con una sola moneta da 1 euro posso comprare un gelato, tu con 6 monete da 1 cent non lo puoi fare

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• Il significato valore ha anche forti relazioni con aspetti di misura, se pensiamo alla comparazione di valori: fra denaro a disposizione e prezzo dell’oggetto.

• Il numero che esprime il valore si inteccia con la funzione di designazione che essa assume: il 2 differenzia una particolare moneta

• IL VALORE è CONNESSO ALLA PADRONANZA DELLA CARDINALITA’ E MISURA DI UNA COMPONENTE SOCIALE: IL SIGNIFICATO DI VALORE SI PONE COME SIGNIFICATO SOCIALE PORTATO NEL MONDO DEI NUMERI

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La nostra mediazione come insegnanti

• In quali tempi e in quali modi possiamo introdurre rappresentazioni in questo campo di esperienza?

• Fondamentale è la manipolazione dell’oggetto denaro, in quanto il bambino compie associazioni gesto-parole importanti ai fini del significato della costruzione dei significati

• Il disegno delle monete assume importanza fondamentale, in quanto sostituisce l’uso delle monete reali

• Fin dalle prime esperienze il bambino si accorge che il fatto indispensabile è scrivere il numero che esprime il valore, piuttosto che altri connotati esterni, come la figura e il colore.

• Dopo il disegno c’è l’interiorizzazione delle monete.

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Attività pratica di composizione dei prezzi

• Significato: l’attività di composizione-scomposizione si caratterizza come attività operativa, accompagnata spesso dalla spiegazione verbale delle scelte effettuate.

• Si chiede di formare, con le monete a disposizione, un determinato prezzo valore (proponiamo per ora i prezzi in euro, senza i cent, ma non impediamo ai bambini di formare il prezzo come vogliono)

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Esempio

• Il gelato costa 2 euro; le caramelle 4 euro; il vestito 18 euro…

• Il bambino agisce: prende dalla banca delle monete e delle banconote quelle che servono, poi disegna la situazione

• Facciamoci raccontare come ha ragionato, cosa ha pensato durante l’attività.

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Costruiamo il mercatino• L’esperienza didattica del mercatino è in

classico, ma è un’esperienza interessante in quanto lavoriamo in un contesto significativo, gli scambi economici

• Sollecitiamo le capacità potenziali dei bambini, oltre quelle attuali, lavorando nella zona di sviluppo prossimale

• Creiamo uno spazio in cui gli allievi mettono in gioco strategie risolutive e producono rappresentazioni ingenue spontanee, dalle quali partiamo per costruire un apprendimento significativo

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Prefatto: Origini del mercatino

• Si sta organizzando la mostra di fine anno• I bambini preparano con i loro insegnanti

lavoretti• Traiamo spunto per iniziare a diventare

esperti in situazioni di acquisto, nella definizione dei prezzi, nella vendita e nel controllo dell’incasso

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Come giochiamo

• Procuriamoci uno o più set presenti in commercio che contengano, tra le altre, monete da 1 euro e bancanore da 10 e da 100 euro

• Inventiamo un mercatino: un tavolo cassa, tanti giocattoli e articoli di diverso tipo

• Mettiamo tutto in bella mostra su una bancarella

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• Discutiamo per stabilire i prezzi: quanto può costare la bambola portata da Anna? Due euro? 5 euro?

• Quanto la lista è pronta possiamo cominciare a giocare.E’ un po’ rovinata, bisogna tenerne conto…

• Accanto ad ogni oggetto attacchiamo un cartellino, dopo averlo condiviso

• Se si sbagli, nessun problema! Riflettiamo e correggiamo insieme!

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• I bambini a turno drammatizzano il ruolo di venditore e compratore

• Nel tavolo cassa c’è un cassetto o una scatola: lì va l’incasso e lì sono anche i soldi con cui il cassiere può effettuare i cambi e prendere i soldi per il resto

• La situazione di grande coinvolgimento ci aiuta ad affrontare il concetto di resto, che non è affatto semplice a questa età

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Esempio di scenetta problema• Laura e Luca stanno giocando al

mercatino. Laura che è l’acquirente, mette nel cestino una bambola, una spazzoletta, una titina per la bambola. La prima costa 10 euro, la seconda 1 euro, la terza 5 euro. Va alla cassa per pagare e consegna al venditore una banconota da 10 euro, una da 5 e una moneta da 1. Ma se Laura desse a Lica una moneta da 2 euro, come si dovrebbe comportare Luca

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• E se Laura comprasse 2 bamboline e e tutine, oltre alla spazzoletta? Quali banconote e monete dovrebbe consegnare a Luca?

• Le situazioni possibili sono tante e ogni volta invitiamo i bambini a utilizzare le strategie che ritengono giuste, per controllare il denaro ricevuto o per decidere o verificare la correttezza del resto

• Invitiamoli, dopo l’esperienza, ad illustrare la situazione vissuta, decidendo liberamente il tipo di rappresentazione che ritengono più idonea

• Continua…

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H.M. Enzensberger