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Estimación por intervalos
Mg. Stella FigueroaClase Nº 11
1er C.2019
Distribución de probabilidades de algunos estimadores o estadísticos muestrales
Estadístico según la información
dadaMedia muestral
• Con varianza
poblacional conocida
• Con varianza
poblacional desconocida
y n <30
• Con varianza poblacional desconocida y n ≥30
Proporción muestral
Distribución
del estadístico
Distribución
del estadístico estandarizado
~ ~
𝑝 ≈ 𝑁 𝑝;𝑝. (1 − 𝑝)
𝑛𝑧 =
𝑝 − 𝑃
𝑝. (1 − 𝑝)𝑛
~𝑁(0,1)
Verificar cada
esperanza y
varianza y
justificar cada
distribución
Intervalo para la estimación de la media poblacional con 𝝈 𝟐 conocida
Coeficiente de confianza
/2 /2( ) 1P z Z z
22~ , ~ ,X N X N
n
Partimos de una población X con distribución normal.
El estadístico o estimador de la media poblacional es la media muestral.
Su distribución de probabilidades, si se conoce 𝝈 𝟐, es normal.
Al hacer inferencia, existe el riesgo de equivocarnos.
Elegimos un nivel de confianza 1– α.
Buscamos un intervalo simétrico respecto de la media de la muestra en el
que tenemos (1 - α) % de confianza de encontrar el parámetro poblacional 𝜇
.
Intervalo de confianza para la media poblacional con varianza conocida
/2 /2( ) 1x
P z z
n
/2 /2( ) 1P x z x zn n
~ 0,1
xz N
n
/2 /2( ) 1P z Z z
Ejemplo
Se sabe que la duración en hs de una lámpara de 75
watts es aproximadamente normal, con dispersión
de 25 hs. Una muestra aleatoria de 20 lámparas
tiene una vida media de 1014 hs. Construir un
intervalo de confianza del 95% para la duración
media de las lámparas.
No escribir
1003,043 1024,95 0,95P
Observación
Nunca sabremos si la media poblacional se encuentra en el
intervalo hallado.
Interpretación
El método para la obtención de dicho intervalo es confiable el
95 %, es decir, se puede esperar que contenga a dicho
parámetro en el 95 % de los intervalos construidos con
cada una de las muestras del mismo tamaño seleccionadas
de la población.
Nivel de confianza y precisión de la estimación
2
.znSe despeja n de la
inecuación
Error de muestreo(de la media poblacional)
Precisión de la estimación
Es el radio del intervalo
Cuanto más alto es el nivel de
confianza, menor es la precisión
de la estimación.
2
.x zn
<
Intervalo para la media poblacional si no se conoce la varianza poblacional para distintos tamaños de
muestras
Es habitual que todos los parámetros sean desconocidos
Si n <30 Si n ≥30
La media muestral se distribuye
normalmente, porque S es
una mejor estimación de σ
1~
/n
xT t
S n
xz
S
n
Si la muestra proviene de una población normal
S no es una buena estimación deσ
Cuando se desconoce , se observa el tamaño de la muestra n
2
Problema
En un estudio hecho para determinar el tiempo medio
necesario para el montaje de cierta pieza de una máquina, 25
trabajadores hicieron un promedio de 42,5 minutos con una
varianza de 4,1 min2. Si los tiempos de los trabajadores se
distribuyen normalmente, estimar el tiempo promedio necesario
para el montaje de la máquina al nivel del 99%
Intervalo de confianza para la media con varianza poblacional desconocida y n < 30
Si la población X es normal, la varianza es desconocida y el tamaño n de la
muestra menor que 30, la media muestral tiene distribución T con n-1
grados de libertad
/2, 1 /2, 1( ) 1
n nP t T t
/2, 1 /2, 1( ) 1
n n
S SP x t x t
n n
/2, 1 /2, 1( ) 1
n n
xP t t
S
n
0,005;242,797t 41,367 43,63 En el
problema
Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional
Si se toma una muestra aleatoria de tamaño n de una gran población donde
X observaciones en esta muestra pertenecen a la clase de interés.
ˆX
pn
X es binomial, de parámetros n y p
es el estimador puntual de la proporción poblacionalp̂
𝑝 ≈ 𝑁 𝑝 ;𝑝. (1 − 𝑝)
𝑛
Problema
El encargado del departamento de producción de una fábrica recibe un
lote de 2000 piezas necesarias para el montaje de un artículo.
El fabricante de las piezas asegura que en este lote no hay más de 100
piezas defectuosas.
a) ¿Cuántas piezas hay que examinar para que, con un nivel de
confianza del 95%, el error que se cometa en la estimación de la
proporción de piezas defectuosas no sea mayor que 0.05?
b) Si se toma una muestra de 100 piezas elegidas al azar y se
encuentran 4 defectuosas, determinar un intervalo de confianza para la
proporción de defectuosas al nivel del 95%.
Intervalo de confianza para p (para muestras grandes)
ˆ
ˆ ˆ1
p pz
p p
n
/2 /2 1P z Z z
/2 /2
ˆ1
ˆ ˆ1
p pP z z
p p
n
/2 /2
ˆ ˆ ˆ ˆ1 1ˆ ˆ 1
p p p pP p z p p z
n n
La distribución de z es aproximadamente normal estandar
Intervalo de confianza para estimar la varianza de una población con distribución normal
La distribución del estimador 𝑆2 es Chi- cuadrado con n-1 grados de libertad. ¿Por qué?
𝑆2 ~ 𝜒𝑛−12 𝜒𝑛−1
2 =𝑛−1 𝑆2
𝜎2
2
2 1
1
n
i
i
x x
Sn
Un estimador de la varianza poblacional es la
varianza muestral y es un estimador insesgado.
𝐸(𝑆2)=𝜎2
S NO ES un estimador insesgado de la dispersión
poblacional
Para muestras grandes, el sesgo es pequeño y es
muy común hacer esa estimación.
2 2 2
1 /2; 1 /2; 1n nP
Problema
Estimar por intervalo con una confianza del 90 % la
varianza poblacional, si la varianza muestral es de 4,1 en
una muestra de tamaño 7
Extremos del intervalo para estimar la varianza poblacional
2
2 2
1 /2; 1 /2; 12
1n n
n SP
2
2
1 /2; 1 2
1n
n S
2
2
/2; 12
1n
n S
2
2
2
1 /2; 1
1
n
n S
2
2
2
/2; 1
1
n
n S
2 2
2
2 2
/2; 1 1 /2; 1
1 11
n n
n S n SP
Tabla de Ji-Cuadrado
𝜒 0,95;7−12 =1,64
𝜒 0,05;7−12 =12,59
Estimación de la varianza de una población normal
21,952 15
2 2
2
2 2
/2; 1 1 /2; 1
1 11
n n
n S n SP
2
2
/2; 1
1 6.4,11,952
12,6n
n S
2
2
1 /2; 1
1 6.4,115
1,64n
n S
Estimación de la dispersión poblacional
De 70 cables producidos por una compañía, se obtuvo
una resistencia media a la tracción de 1,5 toneladas
con una dispersión de 45 kg. Estimar la dispersión de
todos los cables producidos por la compañía
utilizando un nivel de confianza de 0,95.
38,34 53,53
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