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funciones
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Función
Definición: una función es una relación entre dos conjuntos A y B llamados dominio y
rango de la función respectivamente, en donde a cada elemento del dominio le
corresponde uno y solo un elemento del rango.
Clasificación de funciones:
-Función Inyectiva: a los elementos del conjunto de llegada les corresponde a lo sumo un elemento del dominio (unicidad del conjunto de llegada)
-Función Sobreyectiva: a todos los elementos del conjunto de llegada les corresponde por lo menos uno del dominio (existencia del conjunto de llegada)
-Función Biyectiva: si es inyectiva y biyectiva. Notación f , :f A B! , ( )a f a! . Valor numérico ( )f x Gráfica de una función.
Si f es una función con dominio A, entonces su gráfica es el conjunto de pares ordenados
( ){ }, ( )x f x x A! .
Prueba de la recta vertical.
Una curva en un plano corresponde a la gráfica de una función si y solo si ninguna recta
vertical (paralela al eje de las y) intersecta a la curva más de una vez.
x
Función f
Entrada Salida F(x)
Función
No es función
Dominio, rango y contradominio de una función
Definición.
Si f satisface la condición )()( xfxf !=! para todo número x de su dominio, entonces
se dice que f es una función impar.
Si f satisface la condición ( ) ( )f x f x= ! para todo número x de su dominio, entonces se
dice que f es una función par.
Ejercicio.
1. Para 1)( 2!= xxf encontrar:
)1(f , )(kf , )2(!f , !"#
$%&x
f1
, )3( tf , ( )3f , !"#
$%&
2
1
xf
2. Encontrar cada valor para !(t) =t
1+ t2
: )0(! , )4
1(! , )( 3
x! , )1(
4z
!
3. Encontrar el dominio de:
a) 32)( += zxF b) 4625)( yyh !!= c) 32)( += uu!
d) f (x) =4 ! x
2
x2! x ! 6
e) f (y) =1
y +1 f) f (x) =
3! x
x ! 2
4. Para las siguientes funciones, especificar si son par, impar o ninguna de las dos,
determinar su dominio y trazar su gráfica.
a) 4)( !=xf b) xxf 3)( = c) 12)( += xxF
d) 23)( != xxf e) g(x) =x
x2!1
f) !(z) =2z +1
z "1
g) 4)( 2+= xxh h) xxf 2)( = i) 3)( +!= ttF j)
g(x) =x
2 k) 12)( != xxG l) g(u) =
u3
8
m) !"
!#
$
%&
<<+
'
=
21
201
01
)(2
tsit
tsit
tsi
tg n) !"#
>
$+%=
13
14)(
2
xsix
xsixxh
Álgebra de funciones
Sean f y g funciones con dominio A y B respectivamente. Entonces las funciones
, , ,f
f g f g fgg
+ ! y f g! se definen como:
Suma de funciones
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x+ = + con dominio { }x x A B= ! "
Sustracción de funciones
( )( ) ( ) ( )f g x f x g x! = ! con dominio { }x x A B= ! "
Producto de funciones
( )( ) ( ) ( )fg x f x g x= con dominio { }x x A B= ! "
Cociente de funciones
( )( )( )
( )
f f xx
g g x= con dominio { }, ( ) 0x x A B g x= ! " #
Composición de funciones
[ ]( )( ) ( )f g x f g x=! con dominio { }Rango( ( )) Dominio( ( ))x x g x f x= ! "
Ejercicio.
1. Sea 4 1)( += xxF y 29)( xxG != encontrar: GF + , GF ! , F
G y 5F y
determine sus respectivos dominios.
2. Sean f (x) =6x
x2! 9
y xxg 3)( = encontrar ( )( )12gf ! y ( )( )xgf ! dando
su dominio.
3. Para f (x) =x
x !1 y 21)( xxg += encontrar cada valor (si es posible)
a) ( )( )2gf + b) ( )( )0gf ! c) ( )3!!"
#$$%
&g
f d)
( )( )0gf !
4. Si 2)( 3+= xxf y
1
2)(
!=x
xg establecer una fórmula para las siguientes
expresiones y determinar su dominio.
a) ( )( )xgf + b) ( )( )xgf ! c) ( )xg
f!!"
#$$%
& d)
( )( )xgf !
e) ( )( )xfg ! Tipos de funciones.
- Función constante. ( )f x c= , donde c es un valor real
( ) 5f x =
( ) 2f x = !
- Función potencia. ( ) nf x x=
2( )f x x=
3( )f x x=
- Función raíz. ( ) nf x x=
( )f x x=
5( )f x x=
- Función recíproca. 1
( )f xx
=
1( )f x
x=
2
1( )f x
x=
- Función polinomio. 1 2
1 2 1 0( ) ...n n n
n n nf x a x a x a x a x a! !
! != + + + + +
Función lineal. 1 0( )f x a x a= + Función cuadrática. 2
2 1 0( )f x a x a x a= + +
Función cúbica. 3 2
3 2 1 0( )f x a x a x a x a= + + +
1( ) 3
4f x x= ! +
2( ) 4 8f x x x= ! +
-1 -0.5 0.5 1
-2
-1
1
2
3
-2 2 4 6
5
10
15
20
25
3 21( ) 5 3
3f x x x x= ! + + !
-3 -2 -1 1 2 3 4
-15
-10
-5
5
10
6 2( ) 1f x x x x= + + +
-2 -1 1 2
10
20
30
40
- Función racional. ( )
( )( )
P xf x
Q x= , donde P y Q son polinomios Y ( ) 0Q x !
2 5( )
2 5
x xf x
x
+=
+
-6 -4 -2 2
-60
-40
-20
20
40
60
2
3( )
8 9
xf x
x x=
+ !
-1 1 2 3
-15
-10
-5
5
10
- Función trascendente
Función exponencial. ( ) xf x a= donde a es una constante positiva
Función logarítmica. ( ) logaf x x=
Función trigonométrica. Seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante
( ) 4xf x =
-1 1 2 3
10
20
30
40
50
60
( )f x Log x=
0.5 1 1.5 2 2.5 3
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
( )f x Sin x=
1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0.5
1
( )f x Cos x=
-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5
-1
-0.5
0.5
1
- Función mayor entero
Se denota por el símbolo
x!"#$%& sirve para denotar en entero más alto que sea mayor o
igual a x , esto es:
x!"#$%& = n si n x<n+1! donde n es un entero
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