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Numeri ComplessiNumeri ComplessiNuove Operazioni in R 2
ADDIZIONE
Def. (a,b) + (c,d) := (a+c , b+d)
Tale operazione è “analoga” alla somma di vettori, con essa R2 assume la struttura di gruppo abeliano.
PRODOTTO
Def. (a,b) * (c,d) := ( ac-bd ,ad+bc )
1
Def. (a,b) * (c,d) := ( ac-bd ,ad+bc )Tale operazione NON è “analoga” alle usuali operazioni di prodotto, tuttavia, con essa R2 assume la struttura di gruppo abeliano [tolto l’elemento (0,0)]
Note:1) Unità moltiplicativa (1,0)2) Simmetrico di (a,b) [ l’elemento (x,y) tale che (a,b)*(x,y)=(1,0) …. ]
2222
ba
by
ba
ax
+−=
+=
Numeri ComplessiNumeri ComplessiUna struttura algebrica siffatta è detta CAMPO e costituisce il CAMPO dei NUMERI COMPLESSI C.
I numeri complessa della forma (x,0) sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali e le operazioni appena introdotte si riducono alle usuali operazioni con i numeri reali.Identifichiamo allora il sottoinsiemi di C costituito dai numeri nella forma precedente con il campo dei numeri reali R (visto come sottoinsieme di C).In generale la prima componente di un numero complesso verrà chiamata “componente o parte reale ”.La seconda componente verrà chiamata “componente o parte immaginaria ”.I numeri complessi che hanno componente reale nulla sono chiamati “numeri immaginari (puri) ”.
2
immaginari (puri) ”.Il numero (0,1) è chiamata “unità immaginaria ”Ha la seguente proprietà:
)0,1()1,0(*)1,0( −=
Il “quadrato” di questo numero può essere identificato con il numero reale -1: potremmo allora risolvere equazioni sinora “proibite”!
12 −=x
Forma Algebrica dei numeri complessiForma Algebrica dei numeri complessiPartendo dalla ulteriore proprietà che: ),0()1,0(*)0,( xx =
Abbiamo che il prodotto di un numero reale per l’unità immaginaria da un numero immaginario puro.
Seguendo Eulero introduciamo allora il simbolo “i” per identificare l’unità immaginaria. Avremo:
1)1,0( −==i
Per la proprietà algebrica precedentemente enunciata: (**) 12 −=i
E’ possibile allora introdurre la “forma algebrica ” dei numeri complessi scrivendo:
3
E’ possibile allora introdurre la “forma algebrica ” dei numeri complessi scrivendo:
iyxyxyxyx +=+=+= )0,)(1,0()0,(),0()0,(),(
Tutte le operazioni algebriche note per i numeri reali possono quindi essere trasportate sui numeri complessi con l’unica avvertenza data dalla proprietà (**).
ES. Prodotto =+++=++= bdiiadibcacidcibadcba 2))((),(*),(
),()( adbcbdacadbcibdac +−=++−=iyxzibaz +=+= .... Def. Numero Complesso
Numeri Complessi: Proprietà AlgebricheNumeri Complessi: Proprietà Algebriche
ibaz −=
ibaz +=
Def. Complesso Coniugato
Def. Parte Reale di z: az =)Re(
Def. Parte Immaginaria di z: bz =)Im(
+=+ wzwz Def. Modulo di z: ( ) 222/1
* bazzz +==Es.
=−
=+
=
ibzz
azz
wzwz
2
2
**Es.
+≤+
≤
=
=
=⇔=≥
wzwz
zz
wzzw
zz
zzz
)Re(
00,0
4
Numeri Complessi: Proprietà AlgebricheNumeri Complessi: Proprietà AlgebricheEs. wzzw = ibaz += idcw +=
( ) ( ) =++−=++−= 2222)( bcadbdacbcadibdaczw
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222222222 wzdcbabcadbdac ⋅=+⋅+=+++=
Es. wzwz +≤+
≤++=+++=++=+ 222)Re(2))(( wzwzwwwzzwzzwzwzwz
5
≤++=+++=++=+ )Re(2))(( wzwzwwwzzwzzwzwzwz
22222)(22 wzwzwzwzwz +=++=++≤
L’insieme dei numeri complessi non è L’insieme dei numeri complessi non è ordinatoordinato
Moltiplichiamo entrambi i membri della (1) per i. Otteniamo: i2>0 cioè -1>0 ! Assurdo!.
Supponiamo allora che sia i<0 (2) (i ovviamente non può essere uguale a 0).
Moltiplichiamo entrambi i membri della (2) per i (essendo stavolta i<0 la disequazione cambia di verso). Otteniamo ancora: i2>0 cioè -1>0 ! Assurdo!.
Si supponga , per assurdo, che lo sia: e supponiamo che sia allora i>0 (1).
6
Ciò dimostra che C non è un campo numerico ordinato.
Numeri Complessi: Espressioni AlgebricheNumeri Complessi: Espressioni Algebriche
Es. trovare 1/z con ibaz +=2222222
11
ba
bi
ba
a
ba
iba
z
z
z
z
zz +−
+=
+−==⋅=
Es. Trovare tutte le potenze di i
Es. Semplificare la seguente espressione:ii 221 −++
+− 31
i
7
Es. Semplificare la seguente espressione:i
i
i
i
5
2
3
21 −+−
+
+−1010
i
Es. Calcolare il modulo del seguente numero comples so:
( ) ii
i
−−
+−
1
1
1
32 [ ]5
Numeri Complessi e vettori in RNumeri Complessi e vettori in R 22: piano di : piano di ArgandArgand --GaussGauss : rappresentazione geometrica : rappresentazione geometrica
I numeri complessi possono essere posti in corrispondenza con i punti del piano identificando la parte reale di z con l’ascissa del punto corrispondente P e la parte immaginaria di z con l’ordinata di P. iyxz +=
P
y|z|=ρ
oimmaginari asseDef. Fase (o Argomento) di z:
==x
yzArg arctan)(ϕ
Modulo di z:
8
x
y
reale asse
φ
22 yxz +==ρ
Valgono le relazioni (coordinate polari):
Modulo di z:
==
)sin(
)cos(
ϕρϕρ
y
x
=
+=
quadranteconsid
x
y
yx
.
arctan
22
ϕ
ρ
+=
+=
+=
22
22
22
sin
cos
yx
y
yx
x
yx
ϕ
ϕ
ρ
Piano di Piano di ArgandArgand --GaussGauss
Es. La somma di numeri complessi nel piano di Argan d-Gauss equivale alla somma di vettori (regola del parallelogramma)
Es. Il prodotto per l’unità immaginaria di un nume ro complesso equivale ad una rotazione del vettore di 90 ° in senso antiorario.
Es Trovare il luogo dei punti del piano A-G tale che :
π
Es. Il coniugio corrisponde ad una simmetria rispet to all’asse delle x .
5π
9
[circ.] 2=z ][semiretta 4
)(π=zArg
[circ.] 4=zzy] [asse .... 11
1 =+−
z
z] [circ. .... 3
1
1 =+−
z
z
] [parabola .... iz-z2
11 +=+z
][semiretta 4
5)(
π=zArg
Forma Trigonometrica dei Numeri ComplessiForma Trigonometrica dei Numeri Complessi( ))sin()cos()sin()cos( ϕϕρϕρϕρ iiiyxz +=+=+=
Es. Mettere i seguenti numeri complessi in forma tr igonometrica
]2
isin2
cos [R. 1
1 ππ +=−+= z
i
iz
]4
3isin
4
3cos
2
2 [R.
)1(
)1(2
+=+−= ππ
zi
iiz
10
442)1( +i
Forma Trigonometrica dei Numeri ComplessiForma Trigonometrica dei Numeri Complessi( ))sin()cos()sin()cos( ϕϕρϕρϕρ iiiyxz +=+=+=
Es. Inverso in forma trigonometrica
Es. Moltiplicazione e Rapporto con la forma trigonom etrica
Es. Complesso Coniugato in forma trigonometrica
( ))sin()cos()sin()cos( ϕϕρϕρϕρ −+−=−=−= iiiyxz
( ))sin()cos(11
2ϕϕ
ρρ−+−== i
z
z
11
Es. Moltiplicazione e Rapporto con la forma trigonom etrica
( ))sin()cos( 1111 ϕϕρ iz += ( ))sin()cos( 2222 ϕϕρ iz +=( )( ) =++−=⋅ 212121212121 sincoscossinsinsincoscos ϕϕϕϕϕϕϕϕρρ izz
( )( ))sin()cos( 21212121 ϕϕϕϕρρ +++=⋅ izzRegola: “Si moltiplicano i moduli e si sommano gli argomenti”
( )( ))sin()cos( 21212
1
2
1 ϕϕϕϕρρ −+−= i
z
z Regola: “Si dividono i moduli e si sottraggono gli argomenti”
Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi:Forma Trigonometrica dei Numeri Complessi:Formula di De Formula di De MoivreMoivre
Es. Potenza di un numero complesso in forma trigonom etrica.
( )( ))sin()cos( 21212121 ϕϕϕϕρρ +++=⋅ izzPoiché:
Ponendo: ( )ϕϕρ sincos iz +=
12
( ) ( ) )( sin)( cos ϕϕρ ninz nn +=
Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi( ) ϕρϕϕρ ieiiyxz =+=+= )sin()cos(
)sin()cos(: ϕϕϕ iei +=
Es. 1)sin()cos( −=+= πππ iei
1−=πie Contiene i simboli più importanti di tutta la
13
1−=e importanti di tutta la matematica
Es. 11111
ϕρ ieiyxz =+= 22222
ϕρ ieiyxz =+=)(
2121212121 ϕϕϕϕ ρρρρ +==⋅ iii eeezz
Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi
Es. Potenza di numeri complessi in forma esponenziale
ϕρ ieiyxz =+= ( ) )( ϕρ ninn ez =
Es. Radici n-esime dell’unità: ( ) 1=nz0)( 1 inin ee =ϕρ
==
+ )20()(
1πϕ
ρkini
n
ee( ) 011 in ez ⋅==
14
= ee
==
πϕρ
kn 2
110
2,...,n-k
n
k == πϕ
Le radici n-esime dell’unità sono esattamente n ed hanno la forma:
10 2
,...,n-ke n
ki
=π
Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi
Es. Radici n-esime dell’unità:
Si dispongono, nel piano di Argand-Gauss, ai vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio 1, con il primo vertice nel punto (1,0)
15
Forma Esponenziale dei Numeri ComplessiForma Esponenziale dei Numeri Complessi
Es. Radici n-esime di un numero complesso (w):
( ) wz n =
ϕρ iez = 00
ϑρ iew = )2(0
0 πϑϕ ρρ kiinn ee +=
+==
πϑϕρρ n
0 2
0
+=
k
n
πϑρρ
16
+= πϑϕ kn 20
10
20
=+= ,..., n-k
n
kπϑϕ
Si dispongono, nel piano di Argand-Gauss, ai vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto in una circonferenza centrata nell’origine e di raggio: 0
n ρ 0
n
ϑϕ =Con il primo vertice nel punto della circonferenza individuato dall’angolo:
10 2
0
0
,..,n- keρw n
kπi
nk ==
+ϑ
Equazioni in CEquazioni in C
Es. Si risolva in C l’equazione: 0164 =+x
πiex 16164 =−= 3210 4
2exp2 ,,,k
kixk =
+= ππ
22 4
exp20 iix +=
= π
17
4
22 4
3exp21 iix +−=
= π
22 4
5exp22 iix −−=
= π
22 4
7exp23 iix −=
= π
Teorema Fondamentale dell’AlgebraTeorema Fondamentale dell’Algebra
Teorema: Ogni polinomio (non costante) a coefficienti in C
possiede almeno una radice in C.011
1 ....)( azazazazP nn
nn ++++= −
−
Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente n radici, contate con la loro
18
Dal teorema segue che il polinomio ammette precisamente n radici, contate con la loro molteplicità.I numeri complessi formano un campo algebricamente chiuso .
Altri EserciziAltri Esercizi
Es. Si trovi z tale che: ]3-b1[a 68)(32 =∧±=−=−+ izzzz
Es. Si risolva : 64]-[R. ...... )22( 4i+−
Es. Calcolare: ( )]
3
2i [R. ...... e
3i3-
3- 12iπ
+− i
Es. 4 calcoli si 344 ziz =+−= α += iz 73
19
Es. Calcolare v=z*u con:
−=+=
+=
++=+−=
iz
iz
iz
zz
zzzziu
2
3
73
con 1
3
2
1
32
321
Es. z=32i , calcolare: ( )leesponenzia forma 5 z=α
Es. z=1 , calcolare: ( )leesponenzia rica,trigonometalgebrica, forma 6 z=α
Funzioni ComplesseFunzioni ComplesseDalla forma esponenziale dei numeri complessi:
)sin()cos( ϕϕϕ iei +=)sin()cos( ϕϕϕ ie i −=− 2
)cos(ϕϕ
ϕii ee −+=
i
ee ii
2)sin(
ϕϕ
ϕ−−=
Definizione
20
Es.:
2)cos(
1 eei
+=−
i
eei
2)sin(
1 −=−
Definizione
2)cos(
iziz eez
−+=i
eez
iziz
2)sin(
−−=
1)(sin)(cos 22 =+ ii
Funzioni ComplesseFunzioni Complesse
Definizione: Funzioni Iperboliche
2)(
zz eezCh
−+=2
)(zz ee
zSh−−=
Es.
)(2
)cos( yChee
iyyy
=+=−
)cos(2
)( yee
iyChiyiy
=+=−
21
)(2
)sin( yiShi
eeiy
yy
=−=−
)sin(2
)( yiee
iyShiyiy
=−=−
Frattali ed Insiemi di Frattali ed Insiemi di MandelbrotMandelbrot
Definizione:
L’insieme di Mandelbrot è l'insieme dei c ∈∈∈∈ C tali che, posto z 0 = 0, la successione
czz nn +=+2
1
È “convergente” (**)
22
+
−⇒
q
p
xy
yx
y
x
2
22
Se supponiamo lo schermo formato da a x b pixels con K+1 colori a disposizione, allora il seguente algoritmo permetterà di ottenere l’insieme di Mandelbrot in nero e le altre regioni colorate periodicamente a seconda del grado di “divergenza”. Il nero è identificato con 0 (Normalmente K=255)
Frattali ed Insiemi di Frattali ed Insiemi di MandelbrotMandelbrot
Esempio:
Si consideri nel piano complesso la successione (c= 0)
21 nn zz =+
−⇒
xy
yx
y
x
2
22
23
Allora:•Se |z|<1 la successione converge verso lo 0 (lo zero è un attrattore� corrisponde all’insieme di Mandelbrot)•Se |z|>1 la successione diverge verso l’infinito (l’infinito è un attrattore� corrisponde all’insieme divergente colorato a seconda della “velocità” con cui la successione diverge)•Se |z|=1 la successione rimane ferma sulla circonferenza unitaria che è la frontiera che separa i due domini di attrazione (corrisponde alla frontiera dell’insieme di Mandelbrot)
1
L’algoritmo dell’insieme di L’algoritmo dell’insieme di MandelbrotMandelbrot
+
−⇒
q
p
xy
yx
y
x
2
22
Passo 0 :Si fissa p_min(=-2.25), p_max(=0.75), q_min(=-1.5), q_max(1. 5), M=100Se lo schermo ha una risoluzione di a pixels in orizzontale e b pixels in verticale ogni pixel è identificato dalle coordinate (n_p, n_q) , con n_p=0,..,a-1 n_q=0,..,b-1 .Sia delta_p =(p_max-p_min)/(a-1) delta_q =(q_ma x-q_min)/(a-1)
Passo 1 :Si pone p_0=p_min+n_p*delta_p q_0=q_min+n_q*delta_qk=0 , x_0=y_0=0
(1)
24
k=0 , x_0=y_0=0
Passo 2 :Si calcola x_k+1 , y_k+1 secondo la (1). Scrivere k�k+1 (aumento di 1 il contatore)
Passo 3 :Si calcola r=(x_k) 2+(y_k) 2
a) Se r>M scegliere il colore k e passare al passo 4 b) Se k=K scegliere colore 0(nero) e passare al pas so 4c) Se r<=M e k<K ripetere il passo 2 (iterazione)
Passo 4 :Assegnare il colore k al pixel (n_p,n_q) e passare al pixel successivo
NB:Si sfrutti la simmetria della relazione (1) rispetto alla trasformazione (x,y) �(-x,-y)
FrattaliFrattali
FRATTALIDimensione non interaAutosomiglianza (similitudine)
25
Frattali ed Insiemi di JuliaFrattali ed Insiemi di Julia
Definizione:
L’insieme di Julia è l'insieme degli z ∈∈∈∈ C tali che, fissato c, la successione
czz nn +=+2
1È “convergente” (**)
C=0.285+i 0.013 C=0.25
26
C=0.45+i 0.1428C=i 0.25
Frattali ed Insiemi di JuliaFrattali ed Insiemi di JuliaL’algoritmo è del tutto analogo al precedente
Gli insieme di Julia più interessanti si ottengono per valori di c appartenenti alla frontiera dell’insieme di Mandelbrot.Il comportamento della funzione z� z2+c per l’insieme di Julia è definito CAOTICO(Teoria del caos) nel senso che può cambiare drasticamente in seguito ad una piccola perturbazione iniziale.
C=0.3+i 0.6 C=0.2+i 0.6 C=0.3+i 0.7
27
Il complementare dell’insieme di Julia si chiama insieme di Fatou. Esso è dotato di notevole stabilità rispetto all’insieme di Julia.
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