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Meccanica2018-2019
Cenni di Relatività Speciale
Moto traslatorio rispetto a O Velocità lungo asse x 0
costantev =Sistema O’
Relatività speciale
x
y
z
O
)(tr�
v�
P
0'x x v t= −
yy ='zz ='
Trasformazioni galileiane
2. Esperimento di Michelson & Morley (1887): Non esiste un sistema privilegiato («etere») nel quale cè costante
8299 792 458 m/s 3 10 m/s c = ≅ ×
1. Leggi di Maxwell: Elettromagnetismo (1862): Non invarianti per trasformazioni galileianeVelocità della luce nel vuoto c compare come una costante
James Clerk Maxwell (1831-1879)
Seconda metà del 1800 Due problemi:
0'
x xv v v= −
yy vv ='
zz vv =''x
'O
'y
'z)(' tr
�
0v�
Ciò vale purché cvO <<'
Leggi della dinamica ( ): invarianti rispetto a queste trasformazioniSistemi inerziali
F ma=� �
Principio di relatività
0
2 2
0
'1 /
x v tx
v c
−=−
yy ='
zz ='
Einstein (1905): Tutte le leggi della fisica devono essere invarianti in sistemi di riferimento inerziali
0
2
2 2
0
'1 /
vt x
ctv c
−=
−
Albert Einstein (1879-1955)
Anche la misura del tempo dipende dalla velocità relativa tra i sistemi di riferimento!
1→0
v c<<Per velocità piccole
rispetto a c si ritrova la trasformazione galileiana
02 2
0
1
1 /v cγ ≡
−
Trasf. galileiane: assumono implicitamente 't t=
Nessun esperimento di fisica può essere in grado di mostrare il moto di un sistema inerziale
Trasformazioni più generali per le quali le leggi di Maxwell sono invarianti ( )
Trasformazioni di Lorentz
0costantev =
0γ
0/v c
Fattore di Lorentz(Valore costante
una volta fissato vO)
Trasformazione della velocità
0 0' ( )x x v tγ= −
Velocità del punto P:
0
0 2'
vt t x
cγ = −
, ,dx dy dz
O vdt dt dt
→ =
� ' ' '' ' , ,
' ' '
dx dy dzO v
dt dt dt
→ =
�
0 0' ( )dx dx v dtγ= −
0 0' ( )
xdx dt v vγ= −
0
0 2'
vdt dt dx
cγ = −
00 2
' 1 x
vdt dt v
cγ = −
0
0
21
x
x
v v
v v
c
−=−
'dy dy='y y=
'z z= 'dz dz=
00 2
''
'1
y
y
x
vdyv
v vdt
cγ
= = −
00 2
''
'1
zz
x
vdzv
v vdt
cγ
= = −
Trasformazioni relativistiche per le componenti della velocità
Differenziamo le trasformazioni di Lorentz:
''
'x
dxv
dt=
Relatività
Trasformazione della velocità
x
y
O
0.9e
v c+ =0.9e
v c− = −
Elettrone e positrone in un acceleratore
Qual è la velocità relativa?
Relatività:0
0
2
'
1
xx
x
v vv
v v
c
−=−
2
1.8
(0.9 )( 0.9 )1
c
c c
c
= −−
1.8
1 0.81
c=+
0.994c=
Meccanica classica:
0'x x
v v v= −
ev −e
v +
0.9 0.9 1.8c c c= + =
LHC – Large Hadron ColliderCERN, Ginevra
Collisioni protone-antiprotone
3 m/s in meno dellavelocità della luce
0.999999991 p pv v c+ −= =� �
07500γ ≈Fattore di Lorentz:
0v =
xv =
Sistema O’ solidale con l’elettrone
Relatività
Trasformazione della velocità
x
yUn fotone si propaga lungo asse y del sistema O.
O
0
0
2
'
1
xx
x
v vv
v v
c
−=−
0v= −
00 2
'
1
y
y
x
vv
v v
cγ
= −
0x
v = yv c=
0
c
γ=
Per l’osservatore O’ il modulo della velocità del fotone è
2 2' ' 'x yc v v= +
22
0 2
0
cv
γ= +
2
2 2 0
0 21
vv c
c
= + −
c=
c
Direzione di propagazione vista da O’
'tan
'
y
x
v
vϕ =
0 0
c
v γ= −
Le trasformazioni di Lorentz mantengono ccostante in qualunque sistema inerziale
La direzione di propagazione osservata dipende dalla velocità del sistema di riferimento
O’
0v
'x
'y
O’ si muove lungo asse x con velocità v0
rispetto a O.
Come è visto il fotone da O’ ?
Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempiMeccanica Newtoniana: Le misure di lunghezza e di tempo sono indipendenti dal sistema di riferimento
x
y
O O’
0v
'x
'y
1'x
2'x
2 1' ' 'x x x∆ = −
Lunghezza della sbarra solidale con O’ (in moto con velocità v0) misurata dall’osservatore O’:
1 0 1 0' ( )x x v tγ= − 2 0 2 0
' ( )x x v tγ= −
0 2 0 1 0' ( )x x v t x v tγ∆ = − − +
0 2 1( )x xγ= −
0xγ= ∆
2
0
2
0
'' 1
x vx x
cγ∆∆ = = ∆ −
Per l’osservatore O nello stesso istante t: 2 1x x x∆ = −
La lunghezza (nella direzione del moto) misurata da O è inferiore a quella misurata da O’
Contrazione delle lunghezze
“Lunghezza propria”
L’osservatore O’ misura in x’ un fenomeno di durata 2 1' ' 't t t∆ = −
0
2 0 2 2' '
vt t x
cγ = +
2 1t t t∆ = − ( )0 2 1
' 't tγ= −0
'tγ= ∆
Dilatazione dei tempi
Il tempo misurato da un sistema di riferimento in moto rispetto al fenomeno scorre più lentamente
«Simultaneità»: dipende dalla velocità relativa
“Tempo proprio”
Gli stessi tempi misurati da un osservatore solidale con O:
0
1 0 1 2' '
vt t x
cγ = +
(NB: trasformazione inversa: la posizione è fissa su x’)
Dilatazione relativistica dei tempi
Dilatazione relativistica dei tempiIl fenomeno è reciproco!
Contrazione delle lunghezze, dilatazione dei tempi
Decadimento mesoni mu (muoni)Particelle instabili generate nell’alta atmosfera da raggi cosmici.
8 6(0.9999)(3 10 m/s)(2.2 10 s)
−≈ × × 600m≈
'd v µτ=
Secondo la relatività:
Sistema di riferimento a terra
70 600m = 42 kmd ≈ ×
Non raggiungono la terra
Arrivano a terra?
Spessore atmosfera: 10 kmH ≈
10 km
70≈ 143 m=
Raggiungono la terraRaggiungono la terra
Risultato esperimento: I muoni sono osservati a terra!
Misure del flusso di muoni in accordo quantitativo con le previsioni della relatività
70γ ≈0.9999v c≈Velocità tipica:
Secondo la fisica classica:
d v µτ=
HHµ γ
=
Contrazione della lunghezza
Sistema di riferimento del muone
600md v µτ= =Dilatazione del tempo
v µγτ=
Tempo di decadimento:6
2.2μs 2.2 10 sµτ −≈ = × (misurato in laboratorio)
Invarianza dell’intervallo spazio-temporale
Gli intervalli di spazio Δx e di tempo Δt non si conservano (sono «relativi»)
0 0' ( )x x v tγ∆ = ∆ − ∆'y y∆ = ∆'z z∆ = ∆
00 2
' ( )v
t t xc
γ∆ = ∆ − ∆
Trasformazioni di Lorentz2 2 2 2 2 2' ' ( ' ' ' )s c t x y z∆ = ∆ − ∆ + ∆ + ∆
22 2 2 20 0
0 2 4( 2 )
v vc t x t x
c cγ= ∆ − ∆ ∆ + ∆
Ma l’intervallo spazio-temporale è invariante per trasformazioni di Lorentz:
2 2 2 2 2 2( )s c t x y z∆ = ∆ − ∆ + ∆ + ∆
2 2's s∆ = ∆
2 2 2 2
0 0 0( 2 )x v x t v tγ− ∆ − ∆ ∆ + ∆ 2 2
y z−∆ − ∆2
2 2 2 2 2 200 0 0 0 2
2v
c t v x t xc
γ γ γ= ∆ − ∆ ∆ + ∆2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 02x v x t v tγ γ γ− ∆ + ∆ ∆ − ∆ 2 2
y z−∆ − ∆2 2
2 2 2 2 2 2 20 00 02 2
1 1v v
c t x y zc c
γ γ = ∆ − − ∆ − − ∆ − ∆
2 2 2 2 2
c t x y z= ∆ − ∆ − ∆ − ∆ 2s= ∆
<<Quanto al nome “teoria della relatività”, confesso che è infelice e ha dato spunto a parecchi malintesi filosofici.>>
A. Einstein, 1921 – Lettera a Eberhard Zschimmer
<<Teoria dell’invarianza >>
Relatività
Quantità di moto, energia
2
21
vm
v
c
=−
�Quantità di moto
Tendono alle relazioni classiche per piccole velocità
Generalizzazione relativistica:
dpF
dt=�
�
p m vγ= dp m dv mvdγ γ= +dp dv d
p v
γγ
= + /1
/
dv d
v dv v
γ γ = +
II Legge di Newton
Differenziamo il fattore di Lorentz:
1/22
21
vd d
cγ
−
= −
3/22
2 2
11 2
2
v vdv
c c
− = − − −
3
2
vd dv
cγ γ=
23
2
v dv
c vγ=
22
2
d v dv
c v
γ γγ
=
2 22
2 21
dv v v
v c cγ
= − +
2
1dv dp
v pγ=
p m vγ=� �
La forza aumenta la quantità di moto, ma per l’aumento è dominato dal fattore di Lorentz, non dall’aumento della velocità al numeratore
v c→
22
21
dp dv v
p v cγ
= + =
2 dv
vγ=
L’incremento della velocità è l’incremento di quantità di moto
21 / γ
Relatività
Quantità di moto, energia
Energia cinetica dalla definizione di lavoro:
dpds
dt= ⋅�
�
dp v= ⋅� �
2
1dv dp
v pγ=� �
2 dvdp p
vγ=
�
�
dW dp v= ⋅� � 2 dvp v
vγ= ⋅
�
� 3 dvm v v
vγ= ⋅
�
� 3m dv vγ= ⋅� �
3
2
vd dv
cγ γ= 2
3
dvdv c
γγ
=
3 2
3
ddW m c
γγγ
=
2mc dγ=
Energia cinetica: Lavoro per portare la particella da v = 0 alla velocità v:
2
1W mc d
γγ=
2( 1)mc γ= − ?
KE=
Espressione che appare molto diversa dalla forma classica E = ½ mv2 …
dW F ds= ⋅� �
3m vdvγ=
Velocità iniziale nulla
Energia cinetica relativistica:2( 1)
KE mc γ= −
Che cosa succede per v << c ?
2 2
1
1 /v cγ =
−2 1/2
(1 )xγ −= −vx
c≡
22
2
11 1
2K
vE mc
c
+ −
≃
21
2mv=
Nel limite di velocità piccole rispetto a c ritroviamo l’espressione classica dell’energia cinetica
2 2mc mcγ= −
Energia totale
Energia di riposo
tot 0 KE E E= +Energia cinetica
2
totE mc γ=
2
0E mc=
tot
0
E
Eγ=
Enormi quantità di energia sono contenute nella massa delle particelle
2( 1)
KE mc γ= −
L’energia cinetica relativistica si presenta come differenza di due termini:
2 2
Kmc mc Eγ = +
Per si ha 0v = 1γ = 0KE = Come nel caso classico
1x <<21
12
xγ +≃
Relatività
Quantità di moto, energia
Hiroshima, 6 Agosto 1945Nagasaki, 9 Agosto 1945
Dimensioni: 30 x 24 mTemperatura di plasma: 1.5 × 108 KPotenza in uscita: 500-700 MWVolume di plasma: 840 m3
Campo magnetico: 5.3 TeslaRendimento: > 10%
ITERInternational Thermonuclear
Experimental Reactor
Fusione nucleare nel Sole
2E mc=
«La preoccupazionedell'uomo e del suodestino devono semprecostituire l'interesseprincipale di tutti glisforzi tecnici. Non dimenticatelo mai in mezzo a tutti i vostridiagrammi e alle vostreequazioni.»
Albert Einstein
«La preoccupazionedell'uomo e del suodestino devono semprecostituire l'interesseprincipale di tutti glisforzi tecnici. Non dimenticatelo mai in mezzo a tutti i vostridiagrammi e alle vostreequazioni.»
Albert Einstein
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