View
14
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 1/85
88
Capitolul 3
Curbe remarcabile
Capitolul include construcţii şi proprietăţi ale unor curbe remarcabile:
strofoida, cisoida, foliul, versiera, concoida, cardioida, cubele lui Cassini, lemniscata,
spirala, cicloida, tractricea, lănţişorul.
3.1. Strofoide
1.a. Strofoida drea ptă (cubica lui Descartes)
Definiţie şi construcţie
Metoda I. Considerăm două drepte perpendiculare notate cu d şi respectiv 'd .
Fie O punctul de intersecţie al celor două drepte şi fie A un punct arbitrar pe dreapta
d (Fig.1a)). Ducem prin A o dreaptă arbitrară AL care intersectează 'd în punctul
P .
Fig. 1a
A
M1 P
M2
O
N
d
d’
L
V
U
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 2/85
89
Cu ajutorul compasului construim pe dreapta AL , de o parte şi de alta a punctului P
două puncte 1 M şi respectiv 2 M astfel încât POPM PM == 21. Locul geometric al
punctelor1
M şi 2
M când P se deplasează pe dreapta 'd este o strofoidă dreaptă
F
.
Metoda II . Fie un punct fix şi d o dreaptă dată. Construim cercurile 1C şi
2C tangente exterior într-un punct O , unde O este un punct arbitrar pe dreapta d .
Ducem din F tangentele comune la cele două cercuri şi notăm cu M , N , P , Q
punctele de tangenţă. Locul geometric al punctelor de tangenţă ale tangentelor duse din
F la două cercuri tangente exterior este o strofoidă dreaptă
(Fig. 1a’).
Fig 1a’
Demonstraţie. Fie A punctul de intersecţie dintre tangenta comună interioară
d şi tangenta comună exterioare 'd . Atunci are loc relaţia AN APOA == . Cum
cercurile1C şi
2C sunt arbitrare, punctul A variază pe dreapta d deci locul geometric
al punctelor P şi N este o strofoidă dreaptă.
C1
C2 O
M
N
P
Q
F
A
d
d’
d”
O1 O2
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 3/85
90
Reciproc. Ducem prin F o dreaptă 'd care intersectează pe d într-un punct A .
Fie P şi N două puncte pe dreapta 'd şi O un punct pe d astfel încât are loc relaţia
AN APOA == . Fie1O punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O şi N pe
dreptele d şi respectiv 'd . Fie 2O punctul de intersecţie al perpendicularelor duse în O
şi P pe dreptele d şi respectiv 'd . Triunghiurile dreptunghice1 AOO şi 1 ANO sunt
congruente conform cazului IC ceea ce implică N OOO11
≡ şi deci1
OO şi N O1
sunt
raze în cercul 1C de centru1O . Analog se demonstrează că 2OO şi PO2 sunt raze în
cercul 2C de centru 2O . Deci punctele P şi N ale strofoidei drepte se află pe
tangenta comună exterioară a cercurilor 1
C şi2
C .
Ecuaţiile strofoidei drepte
a) Ecuaţia strofoidei drepte în coordonate carteziene este:
xa
xa x y
−
+±= (1)
Pentru a găsi ecuaţia strofoidei drepte în coordonate carteziene luăm ca axă Ox
dreapta d şi ca axă Oy dreapta 'd . Fie A un punct fix pe axa Ox astfel încât a AO =
şi fie 1 M şi 2 M două puncte pe dreapta arbitrară AL astfel încât21
PM PM OP == .
Dacă λ este lungimea segmentului OP atunci ecuaţia dreptei AL este
01 =−+−λ
y
a
x şi obţinem relaţia
xa
ay
+=λ . Ţinând seama de faptul că
1 M ,
2 M şi O
sunt puncte pe cercul ( )λ ,PC rezultă că pentru ( )λ ,PC avem ecuaţia
( ) 222 λ λ =−+ y x . Eliminând pe λ în ecuaţia cercului obţinem relaţia
xa xa x y −+= 22 . Ecuaţia
xa xa x y
−+±= , ne dă o reprezentare în coordonate carteziene
a strofoidei drepte în funcţie de parametrul a .
b) Ecuaţia strofoidei drepte în coordonate polare ( O pol, d axa polară) se scrie
ϕ
ϕ ρ
cos
2cosa−= (2)
Pentru a găsi ecuaţia strofoidei drepte în coordonate polare considerăm
sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate polare:
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 4/85
91
=
=
ϕ ρ
ϕ ρ
sin
cos
y
x(3)
de unde obţinem
22
cos
sin
=
ϕ
ϕ
x
y. (4)
Având în vedere relaţiile (1) şi (3) rezultăϕ ρ
ϕ ρ
cos
cos22
−
+=
−
+=
a
a
xa
xa
x
y. (5)
Din egalitatea relaţiilor (4) şi (5) obţinemϕ ρ ϕ
ϕ ϕ
cos
2
cos
cossin2
22
−=
+
a
adar
1cossin 22 =+ ϕ ϕ deci,
ϕ ρ ϕ cos
2
cos
12 −
=a
a.
Mai precis, are loc relaţia: ( )ϕ ϕ ρ 2cos21cos −= a .
De unde obţinem reprezentarea în coordonate polare a strofoidei drepte
ϕ
ϕ ρ
cos
2cosa−= .
c) Ecuaţiile parametrice ale strofoidei drepte sunt următoarele:
=
+
−=
+
−=
ϕ tgu
u
uau y
u
ua x
1
1
1
1
2
2
2
2
(6)
Având în vedere relaţia (3) rezultă ϕ ρ 222 sin= y şi ϕ ρ 222 cos= x (7). Dar din (1)
avem xa
xa x y
−
+= 22 (8). Inlocuind relaţiile (8) în (7) obţinem
ϕ ρ
ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ
cos
coscossin
2222
−
+=
a
a, de unde rezultă
ϕ ϕ
ϕ ρ
cos
1
1
12
2
⋅+
−⋅=tg
tga (9).
Inlocuind relaţia (9) în (3) obţinem ecuaţiile parametrice ale strofoidei drepte.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 5/85
92
Lungimi, arii şi volume
a) Lungimea curbei OOAM 1 este dată de formula:
aal OOAM 49,2cos
2sin12
4
0
2
2
1 ≈+
= ∫
π
ϕ ϕ .
b) Aria mărginită de curba OOAM 1 este dată de formula :
22 2
12 aaS π −= .
Demonstraţie. ( )∫∫ −=
+
−=
+
−=
−
1
0
2
2
2
2
2
2
22
22
42
1
1
1
2
1π adu
u
uadt
t a
t aS
a
a
, unde am
făcut schimbarea de variabilăa
t u = .
c) Analog se determină formula 22 2
12 aaS π += pentru aria cuprinsă între
ramurile 'OU , 'OV şi asimptota UV . Această arie tinde către infinit dar are o
magnitudine finită.
Demonstraţie. Pentru a determina formula căutată pornim de la formula ariei
unei figuri plane în care înlocuim ( ) x f cu expresia xa
xa x
−
+ şi considerăm limitele
integralei 01 = x şi a x =2, deci dx
xa
xa xS
a
∫ −
+=
0
2 . Făcând schimbarea de variabilă
xa
xa
t −
+
= calculul ariei revine la calculul integralei ( ) dt t
at
t t
t
aS 221
2
2
1
4
1
1
2 +⋅⋅+
−
= ∫
∞
,
mai precis
( ) ( )
+−
+= ∫ ∫
∞ ∞
1 1
32
2
32
42
1
4
1
42 dt
t
t dt
t
t aS .
Notăm( )∫
∞
+=
1
32
4
1
1
4dt
t
t I şi
( )∫∞
+=
1
32
2
2
1
4dt
t
t I de unde rezultă ( )21
22 I I aS −⋅= (1).
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 6/85
93
Integrând prin părţi în 1 I avem:
( )dt
t t I ∫
∞
+⋅−=
1
'
22
3
1
1
1=
( ) ( )∫∞
∞
++
+−
1
22
2
1
22
3
13
1dt
t
t
t
t = ∫
∞
+⋅−
1
2 1
1
2
3
4
1dt
t t =
∫∞∞
++
+⋅−
1
2
1
2 1
1
2
3
12
3
4
1dt
t t
t =
∞⋅+
12
31 t arctg . De unde rezultă 1 I =
8
31
π + (2).
Integrând prin părţi în2 I avem:
( )∫∞
+⋅−=
1
'
222
1
1dt
t t I =
( ) ( )∫∞
∞
++
+−
1
22
1
221
1
1dt
t t
t =
∞
++−
1
1
2
1
4
1
t arctgt =
−+− 142
141 π . De unde rezultă 2 I =
843 π +− (3).
Având în vedere relaţiile (1), (2) şi (3) obţinem formula căutată
+= 1
42
2 π aS .
d) Volumul corpului generat de curba OOAM 1 în urma rotirii în jurul axei Ox
este dat de formula:
23166.0
3
42ln2 aaV ≈
−= π .
Demonstraţie
∫
∫∫∫∫∫
−
−−−−−−
−
=−
+=
−
+−=
−
+==
+
+
0 3
030 30
2
0
2
0
2
0
2
2
3
22
a
aaaaaa
dx xa
x
xdx
xa
xdx xdx
xa
x xa xdx
xa
xa xdx yV
π
π π π π π π
∫∫−− −
+−
−+=
0
3
0 333
223
aaxa
dxadx
xa
a xaV π π
π =
= ( ) ( )0
3
0
22
3
ln223 a
a
xaadx xaxaa
−−
−−++− ∫ π π π
. Prin urmare,
−=
3
42ln23
aV π .
e) Analog se demonstrează că volumul corpului generat de curba VU OV U '' în
urma rotirii complete în jurul axei Ox este de magnitudine infinită .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 7/85
94
1.b. Strofoida oblică (generalizată)
Definiţie şi construcţie. Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar
în acest caz d şi `d nu sunt perpendiculare, formează un unghi α diferit de
90 (Fig.1b)).
Ecuaţiile strofoidei oblice (generalizate)
a) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate polare este următoarea:
( )( )θ α
θ α ρ
−
−−=
sin
2sina .
Demonstraţi e. Pentru a găsi ecuaţia strofoidei oblice considerăm O originea
sistemului de axe format din dreptele d şi 'd , α unghiul format de cele două drepte
d şi 'd şi β unghiul format de dreapta AL cu dreapta d . Aplicând teorema sinusului
în triunghiul OAP obţinem:
( ) AOOP AP
β α β α +==
sinsinsin(1)
Fig 1b
d’
A
M1
M2 P
S
d
O
L
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 8/85
95
Cum P M AM AP11 += şi cum POP M =1 rezultă PO AP AM −=1 . Din relaţia (1)
obţinem
( ) β α
α
+−=
sin
sin a AP şi
( ) β α
β
+−=
sin
sin aOP .
Având în vedere că triunghiurile '
11 M AM şi APO sunt asemenea obţinem
relaţia
AO
AM
AP
AM
OP
M M '
11
'
11 == (2)
unde y M M =
'
11 şi xa AM −−=
'
1 . Inlocuind aceste expresii în relaţia (2) obţinem
relaţiile:
( ) β α
β α
α
β
+
−⋅−=
sin
sinsin
sin
sina y (3)
α
β
sin
sina x −= . (4)
Având în vedere sistemul de trecere de la coordonate carteziene la coordonate
polare în cazul în care
90≠α avem:
( )
=
−=
α
θ ρ
α
θ α ρ
sin
sin
sin
sin
y
x
(5)
şi înlocuind (4) în (5) obţinem relaţia ( )α θ α ρ
α β
sinsin
sinsin
−=− a , de unde rezultă ecuaţia
( )θ α
β ρ
−−=
sin
sina . (6)
Determinăm β în funcţie de α şi θ . Având în vedere relaţiile (3), (4) şi (5) obţinem
( ) ( ) β α
β α
θ α
θ
+
−=
−=
sin
sinsin
sin
sin
x
y.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 9/85
96
De unde rezultă θ α β 2−= (7). Inlocuind relaţia (7) în (6) obţienem ecuaţia strofoidei
oblice în coordonate polare( )( )θ α
θ α ρ
−
−−=
sin
2sina .
b) Ecuaţia strofoidei oblice în coordonate carteziene este următoarea:
( ) ( ) 0cos2 222 =++−− xa x y xa x y α
Demonstraţie. Pentru a determina ecuaţia strofoidei oblice în coordonate
carteziene înlocuim relaţia (4) în (3):
( ) ( ) ( )( ) β α
α
β α
α α
β α
β α
+⋅
⋅+=+
+
=+
−= sin
sin
sin
sinsin
sin
sinsin
a
xa xa
x
x x y . Efectuând calculele şi ţinând
cont de faptul că α β sinsina
x−= obţinem ecuaţia căutată.
1.c. Strofoida unui cerc (nefroida lui Freeth)
Definiţie şi construcţie. Sunt analoage cu cele din cazul strofoidei drepte, dar
în acest caz polul curbei este centrul cercului şi punctul fix se află pe circumferinţă
(Fig. 1c)).
Fig 1c
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 10/85
97
Fie dat cercul ( )a AC , şi fie O un punct pe circumferinţa acestuia. Ducem prin
O o dreaptă arbitrară care întâlneşte cercul a doua oară într -un punct P . Determinăm
punctele M şi ' M astfel încât POPM PM == ' . Locul geometric al punctelor M şi
' M când P se deplasează pe circumferinţa cercului este nefroida lui Freeth.
Ecuaţiile strofoidei unui cerc
a) Ecuaţia strofoidei unui cerc în coordonate polare este de forma:
( )( )2sin21 ϕ ρ += a
b) Ecuaţiile parametrice ale strofoidei unui cerc sunt următoarele:
( )( )
( )( )
⋅+=
⋅+=
t t a y
t t a x
sin2sin21
cos2sin21
Ob servaţie. Dreapta prin P paralelă cu axa Oy intersectează curba în Q
(Fig.2) atunci,7
3π ϕ = şi în acest caz strofoida poate fi folosită la construirea
heptagonului regulat.
Fig. 2
PO
Q
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 11/85
98
Cazuri particulare ale nefroidei lui Freeth (a=1).
b=0 b=1/4 b=2/3
b=1 b=3/2
b=2 b=3
Caracteristici ale strofoidelor
• Punctele O (Fig 1a) şi 1b)) şi respectiv A sunt numite noduri.
• Tangentele în O la cele două ramuri sunt perpendiculare.
• In cazul strofoidei oblice dreapta UV este asimptotă numai pentru una dintre
ramuri în timp ce pentru cealaltă ramură este tangentă în punctul S , care este
echidistant faţă de A şi B (Fig. 1b)).
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 12/85
99
• In cazul strofoidei drepte, punctul de tangenţă S este la infinit astfel încât
dreapta UV este asimptotă pentru ambele ramuri (Fig. 1a)).
• Segmentul ON este de lungime 2a (Fig 1a)).
3.2. Cisoida lui Diocles
Definiţie şi construcţie. Considerăm cercul C de diametru aOA 2= (Fig 3).
Ducem tangenta în A la cercul C şi notăm cu UV dreapta suport a acestei tangente.
Ducem prin O o dreaptă arbitrară ce intersectează tangenta UV în F şi cercul C în E .
Fie M un punct pe dreapta OF , între O şi F , astfel încât OE MF = . Curba descrisă
de punctul M când drepta OF se roteşte în jurul punctului O este cunoscută sub
numele de cisoida lui Diocles.
Construcţia propusă de Diocles. Se consideră un sistem de axe ortogonale
XOY şi cercul ( )CAC C , (Fig.3). Se construiesc diametrul BD perpendicular pe
diametrul OA şi o coardă arbitrară prin O care intersectează a doua oară cercul în
punctul E . Notăm cu G simetricul punctului E pe ( )CAC C , faţă de B . Paralela 'GG
prin G la diametrul BD intersectează coarda OE într-un punct M . In acest caz
cisoida este compusă din arcele OB şi OD şi este înscrisă în cercul C .
Fig. 3
O
Y
C XQ A
F
E
T
U
VK
N
M
P
G B
DG’
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 13/85
100
Altă construcţie. Fie d şi 'd două drepte paralele şi fie O un punct fix pe
dreapta 'd (Fig.4). Fie P un punct variabil pe drepata d . Notăm cu Q proiecţia
punctului P pe dreapta 'd . Fie M proiecţia punctului Q pe segmentulOP . Punctul
M astfel construit este un punct al cisoidei.
Fig. 4
Construcţia tangentei . Fie M un punct arbitrar al cisoidei (Fig.3). Construim
dreapta ce trece prin punctele O şi M . Construim perpendiculara în M pe OM şi
notăm cu P şi Q punctele de intersecţie ale acesteia cu axele OY şi respectiv OX .
Fie K simetricul lui Q faţă de P . Construim prin O paralela la QK şi prin K
paralela la OM . Notăm cu N punctul lor de intersecţie. Dreapta NM este normală la
cisoidă. Tangenta căutată este perpendiculara pe NM în M .
Ecuaţiile cisoidei
a) Ecuaţia cisoidei în coordonate polare ( O pol, OX axă polară) este
următoarea:
ϕ
ϕ ρ
cos
sin22
a= (1)
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia cisoidei considerăm ca axă Ox diametrul
OA al cercului şi ca axă Oy tangenta în O la cerc (Fig.3). Fie ρ şi ϕ coordonatele
polare ale lui M faţă de polul O şi axa Ox . Deoarece triunghiul AEO este înscris
într-un semicerc rezultă AE este perpendiculară pe dreapta OE . Avem atunci
d’ d
O
Q
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 14/85
101
ϕ sin AF EF = . Cum ϕ OAtg AF = şi aOA 2= obţinem relaţiaϕ
ϕ ρ
cos
sin2
2
a= , care ne
dă reprezentarea în coordonate polare a cisoidei .
b) Ecuaţia cisoidei în coordonate carteziene este de forma:
xa
x y
−=
2
32 (2)
Demonstraţie. Având în vedere relaţia (1) şi sistemul de coordonate polare
=
=
ϕ ρ
ϕ ρ
sin
cos
y
x obţinem relaţia:
ϕ
ϕ
ϕ ϕ ρ
cos
sin2
sincos
2
a y x
=== . (3)
Din egalitateaϕ
ϕ
ϕ cos
sin2
cos
2
a x
= obţinema
x
2sin =ϕ şi
a
x
21cos −=ϕ (4).
Substituind (4) în prima egalitate din (3) şi ridicând la pătrat obţinem relaţia
xa
x y
−=
2
32 , care ne dă reprezentarea în coordonate carteziene a cisoidei.
c) Ecuaţiile parametrice ale cisoidei
=
=
+=
ϕ tgu
ux y
u
au x
2
2
1
2
Observaţie. Cisoida este o curbă raţională.
Demonstraţie. Având în vedere relaţia (3) obţinem ϕ 2sin2a x = sau altfel
scris ϕ ϕ
ϕ 2
2
2
coscos
sin2 ⋅= a x . Fie utg =ϕ , cum
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
2
22
2
2
cos
cossin
cos
sin
2+
= a x obţinem
expresia2
2
12
u
ua x
+= . Având în vedere notaţia făcută precum şi relaţia (3) rezultă
ux y = .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 15/85
102
Relaţia dintre cisoidă şi parabola de ecuaţie px y 22 =
Propoziţie. Locul geometric al piciorelor perpendicularelor duse din vârful
parabolei la tangente este cisoida de ecuaţie
x p x y
+−=
2
32
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia cisoidei considerăm parabola de ecuaţie
px y 22 = . Fie
α
β
α ,
2
M un punct al parabolei. Ecuaţia tangentei în M la parabola
dată are ecuaţia 02
2
=
+− p
x p y α α . De unde rezultă
+= p
x p y2
2
α α
. (1)
Perpendiculara dusă din vârful parabolei pe tangenta în M la parabolă are
ecuaţia x p
yα
−= sau x
y
p−=
α . (2)
Inlocuind relaţia (2) în (1) obţinem
+−= p
x
y p
x y
x y
2
2
22
. De unde rezultă x
py x y
2
222 −=+ . Prin aducere la acelaşi
numitor, în urma grupării termenilor, obţinem ecuaţia
x p
x y
+
−=
2
32 .
Caracteristici ale curbei:
• Originea O a sistemului de axe ortogonale este punct al curbei;
• AO este axă de simetrie.
• Cisoida are două ramuri care trec prin extremităţile B şi respectiv D ale
diametrului cercului C , perpendicular pe AO .
• Axa OX este tangentă înO la cele două ramuri ale cisoidei.
• Atunci când valorile lui x cresc de la 0 la a2 valorile pozitive ale lui y cresc
de la 0 la ∞ .
•
Dreapta UV de ecuaţie a x 2= este o asimptotă a cisoidei.• O este punct de întoarcere al cisoidei.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 16/85
103
• Dreapta care trece prin origine întâlneşte curba în trei puncte din care două
sunt totdeauna originea, mai precis O este punct dublu.
Observaţie. Cisoida are puncte reale numai între dreptele 0=
x , a x 2=
, adică între axa OY şi tangenta în A la cercul de definiţie.
Arii şi volume
a) Aria benzii dintre cisoidă şi asimptotă este finită şi este de trei ori aria
cercului C . Prin urmare are loc formula:
23 aS π =
Demonstraţie. Având în vedere formula de calcul a ariei unei figuri plane, aria
benzii dintre cisoidă şi asimptotă este dată de expresia
∫ −=
a
dx xa
x xS
2
02
2 (1)
Făcând schimbarea de variabilă xa
xt
−=
2 obţinem expresiile
1
22
2
+=
t
at x şi
( )dt
t
at dx22 1
4
+= (2). Inlocuind (2) în (1) obţinem relaţia
( )dt
t
at t t
at S ∫∞
+⋅⋅
+=
0
222
2
1
4
1
22 =
=( )∫
∞
+0
32
42
116 dt
t
t a (3). Integrănd prin părţi în relaţia (3) rezultă
( ) ( )
+−
+−= ∫
∞∞
dt t
t
t
t aS
0
22
2
0
22
32
13
14 =
( )∫∞
+0
22
2
2
112 dt
t
t a =
+−
+− ∫
∞∞
0
2
0
2
2
1
1
16 dt
t t
t a =
∫∞
+0
2
2
16
t
dt a . Deoarece ∫
∞
+0
21t
dt =
∞
0arctgt rezultă 2
3 aS π = .
b) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a benzii dintre cisoidă ş i
asimptota UV în jurul asimptotei este egal cu volumul corpului obţinut în urma rotirii
complete a cercului C în jurul aceleeaşi asimptote UV :
32
2 aV π =
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 17/85
104
In cazul în care banda definită mai sus este rotită în jurul axei de simetrie se
obţine un corp al cărui volum este infinit.
Observaţie. Centrul de gravitate H al benzii dintre cisoidă şi asimptota UV
împarte diametrul OA în raportul 1:5: = HAOH ( Huyghens).
3.3. Foliul
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Se numeşte foliu
( ) ( )( ) 2222 4axyb x x y y x =+++
curba care în coordonate carteziene are ecuaţia
.
Ecuaţia foliului în coordonate polare este de forma:
θ θ θ ρ 2sincos4cos ab +−= .
In funcţie de relaţia dintre cei doi parametri a şi b distingem trei tipuri de
curbe prezentate mai jos:
3.a) foliu simplu (ovoid) în cazul în care ab 4≥ (Fig.5a)
Fig 5a
Ecua ţiile foliului simplu
a) Ecuaţia foliului simplu în coordonate polare este următoarea:
θ ρ 3cosa= .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 18/85
105
b) Ecuaţia foliului simplu în coordonate carteziene este de forma:
( ) 3222ax y x =+ .
c) Ecuaţiile parametrice ale foliului simplu sunt următoarele:
( )
=
+=
tx y
t
a x
221
Arii. Aria mărginită de foliul simplu este dată de formula:
2
32
5aS π =
Demonstraţie. Având în vedere formula de calcul a ariei unei figuri
plane în coordonate polare obţinem:
∫=2
0
62 cos2
12
π
ϕ ϕ d aS = [ ]∫2
0
322 cos2
1
π
ϕ ϕ d a = ∫
+2
0
3
2
2
2cos1
2
1
π
ϕ ϕ
d a =
+∫ ∫2
0
2
0
22cos3
16
1
π π
ϕ ϕ ϕ d d a +
+ ∫∫ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
d d 2cos2cos3
2
0
3
2
0
2 =
++ ∫2
0
32 2cos4
3
216
1
π
ϕ ϕ π π
d a =
+
++ ∫2
0
2 2cos
2
4cos1
4
3
216
1
π
ϕ ϕ ϕ
π π
d a =
=
+ ∫2
0
2 4cos2cos4
5
16
1
π
ϕ ϕ ϕ π d a = 2
64
5aπ . De unde rezultă formula căutată.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 19/85
106
3.b) foliu dublu regulat în cazul în care 0=b (Fig.5b)
Fig 5b
Construcţie. Fie C un cerc dat şi fie O un punct pe circumferinţa acestuia.
Pentru fiecare punct Q de pe circumferinţa cercului determinăm punctele P şi
'P astfel încât QOQPQP == ' . Locul geometric al punctelor P şi 'P este foliul dublu
regulat.
Altă metodă. Fie xOy un reper ortogonal şi fie A un punct pe axa Ox astfel
încât aOA = (Fig.5c). Considerăm cercul ( )2,a H C şi ducem prin H o dreaptă ( )∆
paralelă cu axa Oy . Dreapta ( )∆ intersectează ( )2,a H C într-un punct P . Cercul
( )OPPC , intersectează dreapta ( )∆ în punctele M şi ' M . Locul geometric al
punctelor M şi ' M când punctul P descrie cercul ( )2,a H C este foliul dublu regulat.
Pentru a determina ecuaţiile curbei considerăm punctul M de coordonate ( ) y x,
şi ( ) ϕ = AOPm ˆ . Aplicând teorema catetei în triunghiul ' MOM dreptunghic în O
obţinem relaţia:
'2 MM MH OM ⋅= = OP y 2⋅ . (1)
O
Q
P
P’
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 20/85
107
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic OHM obţinem:
222 MH OH OM += (2)
Fig. 5c
Aplicând teorema înălţimii în triunghiul dreptunghic ' MOM obţinem relaţia de
mai jos:
'2
HM HM OH ⋅= (3)
Dar PH OP HM += şi PH OP HM −=' (4). Inlocuind relaţia (4) în (3) obţinem
222PH OPOH −= . (5)
Inlocuind relaţia (5) în (2) obţinem relaţia
( )2222PH OPPH OPOM ++−= = PH OPOP ⋅+ 22
2 . (6)
In triunghiul dreptunghiuric OHP avem relaţia ϕ sin⋅= OPPH (7). Inlocuind
relaţia (7) în (6) obţinem ( )ϕ sin12 22 += OPOM .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 21/85
108
Deoarece în triunghiul dreptunghic OPA avem ϕ cos⋅= aOP relaţia (8) devine
( )ϕ ϕ sin1cos2 222 +⋅= aOM . (9)
Din relaţiile (1) şi (9) rezultă
( )ϕ ϕ ϕ sin1cos2cos2 22 +⋅=⋅⋅ a ya deci
( )ϕ ϕ sin1cos +⋅= a y .
Cum u+= ϕ θ rezultă u−= θ ϕ ,2
2π
ϕ =+u .
Ecuaţiile foliului dublu regulat
a) Ecuaţia foliului dublu în coordonate polare este de forma:
θ θ ρ 2sincos4a= .
b) Ecuaţia foliului dublu în coordonate carteziene este următoarea:
( ) 2222 4axy y x =+ .
Generalizare. Ecuaţia în coordonate polare a foliul dublu generalizat (Fig. 5d)
este:
ϕ ϕ ρ cossin ba= .
Fig. 5d
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 22/85
109
3.c) foliu triplu în cazul în care ab 40 << (Fig.5e)
Fig. 5e
Foliul triplu este un caz particular de rodonee (Fig 5f).
Definiţie. Se numeşte rodonee
ϕ ρ nacos=
curba care în coordonate polare are ecuaţia:
sau ϕ ρ nasin= .
Observaţie. Numărul petelelor curbei este egal cu numitorul expresiei:n2
1
2
1− .
Pentru n iraţional curba nu se închide, numărul petalelor fiind egal cu ∞ . Pentru n
întreg numărul petalelor este:
par n pentrun
impar n pentrun
2
.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 23/85
110
Fig. 5f
Ecuaţiile trifoliul ui ( )ab =
a) Ecuaţia trifoliului în coordonate polare este următoarea:
1sin4cos 2 −= ϕ ϕ ρ a .
b) Ecuaţia trifoliului în coordonate carteziene este de forma:
( ) ( )( ) 2222 4axya x x y y x =+++ .
n=1 n=2 n=3 n=4 n=5
n=1/2n=3/2 n=5/2
n=7/2n=9/2
n=1/4 n=3/4 n=5/4 n=7/4 n=9/4
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 24/85
111
Lungimi şi arii
ad al 7,6sin9
816
2
0
2 ≈−= ∫
π
ϕ ϕ ,
2
4aS
π = .
3.4. Foliul lui Descartes (Frunza lui Descartes)
Definiţie şi construcţie. Fie cercul ( ) AO AC , astfel încât [ ] l AO = . Construim
dreapta GH paralelă cu raza AO a cercului ( ) AO AC , (Fig. 6). Prin punctele A şi O
ducem două drepte paralele perpendiculare pe AO care intersectează dreapta GH în
punctele ' A şi E . Pe dreapta AO se ia un punct F , opus lui O faţă de A astfel încât
[ ] [ ]OAOF 3= şi ducem dreapta ce uneşte punctul E cu F . Ducem prin O o dreaptă
arbitrară ce intersectează a doua oară cercul într -un punct N şi construim paralela prin
N la dreapta ' AA . Fie Q punctul de intersecţie al acesteia cu OF şi K punctul de
intersecţie al dreptelor 'QA şi FE . Notăm cu 'Q punctul de intersecţie dintre AK şi
GH . Fie P un punct pe AO , între A şi O astfel încât QA AP = . Paralela prin P la
' AA intersectează NO într-un punct 1 M . Fie 2 M simetricul lui 1 M faţă de P . Când
N parcurge cercul în sens opus acelor de ceasornic1
M descrie curba LOCABOI
(Fig.7).
Caracteristici ale curbei (Fig.6). Punctul O se numeşte nodul curbei.
Tangentele prin A coincid cu axele. Dreapta AO este axă de simetrie. Punctul
2
3,
2
3 aa A situat la cea mai mare distanţă faţă de O se numeşte vârful curbei. Dreapta
UV de ecuaţie 0=++ a y x este asimptotă pentru cele două ramuri care se prelungesc
la infinit.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 25/85
112
Fig. 6
Ecuaţiile foliului lui Descartes
a) Ecuaţia în coordonate carteziene este de forma:
axy y x 333 =+ ,
unde a3 reprezintă diagonala unui pătrat de latură
2
3aOA = .
b) Ecuaţia în coordonate polare (O pol, OX axă polară) este următoarea:
ϕ ϕ
ϕ ϕ ρ
33 sincos
sincos3
+=
a.
M2
F Q A
N
G Q' A' E H
I
L
O
K
X
U
V
M1
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 26/85
113
Fig. 7
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt de forma:
=+
=
+=
ϕ tgu
u
au y
u
au x
3
2
3
1
3
1
3
.
Dacă axa de simetrie OA coincide cu axa Ox a sistemului de axe ortogonale şi
dacă considerăm O originea axei Ox pe care o orientăm în direcţia asimptotei UV
atunci, curba lui Descartes este descrisă de ecuaţiile de mai jos.
a) Ecuaţia în coordonate carteziene este următoarea:
xl
xl x y
3−
+±=
unde, OA
a
l == 2
3
.
U
V
O
L
I
AB
C
X
Y
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 27/85
114
b) Ecuaţia în coordonate polare este de forma:
( )ϕ ϕ
ϕ ϕ ρ
33
22
cossin3
cossin
+
−=
l.
Arii. Aria mărginită de curba OCABO este egală cu aria benzii dintre
ramurile curbei şi asimptotă :
2
2
32
3
==l
aS .
Demonstraţie. Având în vedere ecuaţiile parametrice ale foliului lui Decartes,
aria mărginită de curba OCABO se exprimă prin integrala
dt t
at
t
at dt
t
at
t
at S
'
3
0
3
2'
3
0
3
2
1
3
1
3
1
3
1
3
+⋅
+−=
+⋅
+= ∫∫
∞
∞
, de unde, derivând sub semnul integralei
obţinem ( ) ( )
+−
+−= ∫∫
∞∞
0
33
5
0
33
22
12
19 dt
t
t dt
t
t aS .
Notăm( )
dt t
t a I ∫
∞
+=
0
32
22
1
19 şi
( )∫∞
+=
0
33
5
2
2
118 dt
t
t a I deci, aria căutată este dată de
relaţia 12 I I S −= (1). Integrând prin părţi ambele integrale obţinem relaţiile:
( ) 2
3
1
1
2
32
'
0
23
2
1
adt
t
a I =
+−= ∫
∞
, (2)
( )dt
t t a I
'
0
23
32
2
1
13 ∫
∞
+⋅−= = dt
t a ∫
∞
+−
0
'
3
2
1
13 = 2
3a . (3)
Inlocuind în relaţia (1) expresiile integralelor1 I şi 2 I obţinute în relaţiile (2) şi (3)
rezultă2
32a
S = .
Observaţie. Diametrul ll
BC 448.03323
2≈−= al curbeiOCABO are
lungime maximă. Distanţa acestuia faţă de nod este ll
DO 577.033
≈= .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 28/85
115
3.5. Versiera
Definiţie şi construcţie. Fie cercul C de centru K şi diametru aOA = şi fie
CM prelungirea unei semicoarde BC astfel încâtOB
OA
BC
BM = (Fig. 8). Când punctul
C parcurge cercul
2,OA
K C punctul M descrie curba numită versieră sau bucla lui
Agnesi
A
.
Construcţie (Agnesi). Construim tangentele prin şi O la cercul C . Notăm
cu UV şi respectiv ' XX dreptele suport ale acestor tangente. Fie L punctul de
intersecţie al dreptelor OC şi UV . Construim paralele prin L la OA şi prin C la AL .
Fie M punctul de intersecţie al acestor drepte. M este un punct al versierei.
Fig. 8
Ecuaţiile versierei
a) Ecuaţia versierei în coordonate carteziene este următoarea:
22
3
xa
a y
+= ,
unde O este originea sistemului de axe iar OAa = este diametrul cercului C .
Demonstraţie. Cum triunghiurile dreptunghice BOC şi MLC sunt asemenea
rezultă CM
BC
LM
BO= , relaţie echivalenată cu următoarea:
CM BC
BC
LM BO
BO
+
=
+
⇔
CM BC
BC
AB BO
BO
+
=
+
⇔
BM
BC
AO
BO= .
U VLF
OXX’
Y
B C
M
AM2 M1
C1 C2 K
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 29/85
116
Pentru a găsi ecuaţia versierei considerăm ca axă OX tangenta în O la cercul
2,a
K C . Fie B un punct pe diametrul OA al cercului. Coarda prin B paralelă la axa
OX intersectează cercul de ecuaţie42
22
2 aa y x =
−+ în punctul C şi are
ecuaţia b y = . Rezultă C este de coordonate ( bbab ,2− şi deci 22bab BC −= . Cum
a
OB
BM
BC = obţinem
( )b
baa
OB
BC a BM
−==
2
2
22
2. De unde, obţinem ecuaţia
( ) y
yaa x
−=
22 . Prin urmare
22
3
a x
a y
+= .
Caracteristici ale curbei. Diametrul OA este dreapta de simetrie a versierei.
Dreapta ' XX este asimptota curbei. Versiera are două puncte de inflexiune 1 M şi2 M
care sunt atinse când C ajunge în poziţiile1
C şi respectiv2
C . In vecinătatea punctului
A versiera coincide cu cercul iar8
332,1
=α .
Construcţia tangentei . Punctul F este situat pe prelungirea diametrului OA
astfel încât8
a AF = . Dreptele FX şi 'FX pentru care 1α şi 2α au valorile
8
33sunt
tangentele căutate.
Arii şi volume
a) Aria benzii infinite dintre versieră şi asimptota corespunzătoare este de 4 ori
aria cercului C 2
4 aS π = .
b) Volumul V al corpului obţinut prin rotirea completă a versierei în jurul
asimptotei este de 2 ori volumul corpului obţinut prin rotirea completă a cercului de
definiţie în jurul aceleiaşi axe
422
32
1
aV V
π == ;
4
32
1
aV
π = .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 30/85
117
Demonstraţie. Având în vedere formula pentru determinarea volumului unui
corp obţinut în urma rotirii unei curbe în jurul axei Ox obţinem
dx xa
aV
2
22
3
∫∞
∞−
+= π =
( )∫∞
+0
222
62 xa
dxaπ . (1)
Pentru calculul integralei vom f olosi formula de recurenţă:
( ) ( )∫ ∫ ++
+=
+2222222
2
2
1
2 xa
dx
xa
x
xa
dxa . (2)
Din relaţiile (1) şi (2) obţinem
∞
⋅⋅=0
2
6 1
2
12
a
xarctg
aaaV π . Deci volumul corpului
obţinut prin rotirea completă a versierei în jurul asimptotei este2
32a
V π
= .
c) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a versierei în jurul axei de
simetrie este infinit.
3.6. Concoida lui Nicomede
Definiţie şi construcţie. Fie date o dreaptă UV , O un punct exterior ei şi un
segment de lungime l (Fig.9). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează
dreapta UV în N . Pe această dreaptă luăm de o parte şi de alta a lui N punctele 1 M
şi2 M astfel încât l NM NM == 21
. Locul geometric al punctelor 1 M şi 2 M când
dreapta ON se roteşte în jurul punctului O se numeşte concoida lui Nicomede. Curba
descrisă de punctul 1 M se numeşte ramura exterioară a concoidei. Curba descrisă de
punctul2
M se numeşte ramura interioară a concoidei.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 31/85
118
Fig. 9
Observaţie. Incepând cu Nicomede şi până în sec. al 17lea concoidă era numită
ramura exterioară a curbei. Ramura internă era privită ca o curbă specială şi era numită
concoida a doua, a treia sau a patra în funcţie de caracteristicile curbei.
Caracteristicile curbei. Punctele A şi C sunt numite vârfurile concoidei.
OB este dreaptă de simetrie şi intersectează concoida în O şi în cele două vârfuri. O
este punct dublu pentru curbă. UV este asimptotă atât pentru ramura interioară cât şi
pentru ramura exterioară a concoidei. Forma ramurei interioare a concoidei depinde de
relaţia dintre segmentele aOB = şi l BA = .
Cazul 1. 1: >al ramura interioară este curba ( )2OCM (Fig. 9). O este numit
nod.
Panta tangentelor în O la curbă este dată de formula:
a
altg
22 −±=α .
Y
X
U
V
D
E
P
Q
F
N
B
A
K
G
HM2
M1
O S
C
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 32/85
119
Construcţia tangentelor în O . Luăm în deschiderea compasului un segment de
lungime l . Fixăm piciorul compasului în O şi trasăm două arce de cerc care
intersectează dreapta UV în D şi respectiv E . Dreptele ' DD şi ' EE ce trec prin O
sunt tangentele căutate. Cazul 2. 1: =al curba care formează ramura interioară se reduce la polul O
care devine punct de întoarcere pentru curbă - are o formă analoagă cu cea a cisoidei
(Fig. 10a)).
Construcţia tangentei în O . Tangenta în acest punct coincide cu OX .
Cazul 3. 1: <al curba care formează ramura interioară nu trece prin polul O
(Fig. 10b)). O este în acest caz un punct dublu izolat al curbei.
a) b)
Fig. 10
Y
OX
P
Q
U
V
FB R A
Y
O
U
V
XC
P
Q
P’
Q’
Z B S A
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 33/85
120
Ecuaţiile concoidei lui Nicomede
a) Ecuaţia concoidei lui Nicomede în coordonate carteziene este de forma:
( ) ( ) 22222 xl y xa x =+− ,
unde OBa = este distanţa de la pol la dreapta de bază.
Ecuaţia reprezintă o figură formată din două ramuri ale concoidei şi polul O
care poate să nu aparţină locului geometric definit (Fig. 10b).
Demonstraţie. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AOM 1
obţinem ( ) 222
1 hqaOM ++= . Dar lON OM +=1 deci
( ) ( ) 222hqalON ++=+ . (1)
Din ecuaţia dreptei1
OM avem xqa
h y
+= . De unde rezultă relaţia:
( )2
22
2
x
qa yh
+= . (2)
Inlocuind (2) în (1) obţinem:
( ) ( ) ( )22222 y xqalON x ++=+ . (3)
Cuml
ON
q
a= rezultă:
q
alON = . (4)
Inlocuind (4) în (3) obţinem ecuaţia ( )( ) 22222l xa x y x =−+ .
b) Ecuaţia în coordonate polare este de forma:
la
+=ϕ
ρ cos
.
Având în vedere ecuaţia concoidei lui Nicomede în coordonate carteziene precum şi
sistemul de ecuaţii de trecere de la coordonatele carteziene la coordonatele polare
obţinem relaţia ( ) ϕ ρ ρ ϕ ρ 22222coscos la =− care ne conduce la ecuaţia căutată.
Observaţie. Punctul ( )ϕ ρ , M descrie ambele ramuri ale concoidei.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 34/85
121
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt următoarele:
+=
+=
ϕ ϕ
ϕ
sin
cos
latg y
la x.
Construcţia normalei . Fie M un punct al concoidei (Fig.11). OM intersectează
dreapta UV în N . Perpendiculara în O pe OM intersectează perpendiculara în N pe
UV într-un punct ' N . M N ' este dreapta căutată.
Fig. 11
Construcţia tangentei . Dreapta perpendiculară în M pe M N ' este dreapta
căutată.
Arii şi volume
a) Aria dintre asimptotă şi una din ramurile concoidei, internă sau externă,
este infinit.
Y
X
U
N
B AO
C
N’
M
T
V
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 35/85
122
b) Aria buclei este
l
al
a
allalalaS arccosln2 2
2222 +
−+−−= .
++
=
+== ∫ ∫∫∫∫
l
a
l
a
l
a
l
a
l
a
d ld al
d a
d la
d S
arccos
0
arccos
0
2
arccos
0
2arccos
0
2arccos
0
2
1cos
2
cos2
1
cos2
1
2
1ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ρ
(1).
Fie ∫∫ ==l
a
l
a
d ad
a I
arccos
0
2
2
arccos
0
2
2
1coscos ϕ
ϕ ϕ
ϕ = l
a
tgaarccos
0
2 ϕ =
l
atga arccos
2 =a
ala
22
2 −
Deci 22
1 ala I −= (2).
∫=l
a
d al I
arccos
0
2cos
2ϕ
ϕ =
l
a
tgal
arccos
042
ln2
+
π ϕ =
l
a
al
arccos
02sin
2cos
2cos
2sin
ln2ϕ ϕ
ϕ ϕ
−
+=
l
a
al
arccos
02
cos1
2
cos1
2
cos1
2
cos1
ln2ϕ ϕ
ϕ ϕ
−−
+
+
+
−
=
l
al
l
al
l
al
l
al
al
22
22ln2
−−
+
+
+
−
=alal
alalal
−−+++−ln2 =
a
allal
22
ln2−+
(3),l
al I arccos2
3 = (4)
Din relaţiile (1), (2), (3) şi (4) rezultă:
+−+
−−⋅== l
al
a
allalalaSS arccosln2
2
122 2
22
221 .
In cazul particular al 2= aria buclei este dată de formula:
( ) 22 65,03
432ln43 aaS ≈
++−= π .
Generalizare. Dacă în locul dreptei UV considerăm o curbă L şi păstrăm
condiţiile din definiţia concoidei lui Nicomede obţinem o nouă curbă numită concoida
curbei L în raport cu polul O .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 36/85
123
3.7. Melcul
Definiţie şi construcţie. Fie date cercul
=
22,
aOBK C şi un segment de
lungime l (Fig.12). Ducem prin O o dreaptă arbitrară care intersectează a doua oară
cercul în P . Cu ajutorul compasului construim pe deapta OP punctele1
M şi2
M de o
parte şi de alta a lui P astfel încât lPM PM == 21 . Locul geometric al punctelor 1 M
şi 2 M când dreapta OP variază este melcul lui Pascal.
Observaţie. Melcul lui Pascal este o concoidă generalizată.
Fig. 12
C4 C3 A4 A3 A2 A1 C1
R
Q
O
M1 M2 P
B
D
E
H
H'
N
N'
N''
L
L'
L''
G
X
Y
4
3
2
1
1
S
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 37/85
124
Cazul 1. 1: <al (curba 1: 31=al ) melcul se intersectează cu el însuşi în
nodul O formând două bucle - o buclă exterioară ( )GOOHA1
şi o buclă interioară
( )OGC OH '' 1 .
Construcţia tangentelor . Construim în cercul K corzile OD şi OE de
lungime l .
Cazul 2. 1=al (curba 2) curba interioară se restrânge la polul O care devine
punct de întoarcere. Curba se numeşte în acest caz cardioidă.
Cazul 3. 21 << al (curba 3: 34=al ) Melcul lui Pascal este o curbă închisă
care nu se autointersectează. Polul este situat în interiorul curbei la distanţă de aceasta.
Curba nu are puncte de întoarcere dar are două puncte de inflexiune: R şi Q . Atunci
când al : creşte de la 1 la 2 , creşte şi unghiul QO R ˆ de la 0 la3
22arccos2
( '4039≈ ). Peste această valoare, pentru al : tinzând la 2, măsura unghiului QO R ˆ
tinde la 0.
Cazul 4. 2=al punctele de inflexiune se anulează confundându-se cu vârful
C. Melcul ia o formă ovală şi păstrează această formă pentru orice valoare a raportului
2: >al (curba 4: l/a=7/3). Punctele " L şi " N care sunt situate cel mai departe de axă
sunt asociate valoriia
lal
4
8cos
22 −+=ϕ .
Caracteristici ale curbei. Puctul O se numeşte pol. Cercul se numeşte cerc de
bază. OB este axă de simetrie. Axa melcului intersectează melcul în punctul O dacă
acesta aparţine melcului şi în două puncte A şi C numite vârfuri. Forma curbei
depinde de relaţia dintre segmentele aOB = şi l BC AB == .
Ecuaţiile curbei
a) Ecuaţia melcului lui Pascal în coordonate carteziene este următoarea:
( ) ( )222222 y xlax y x +=−+ . (1)
Ecuaţia reprezintă figura formată din melcul lui Pascal şi polul O , ce poate să
nu aparţină locului geometric definit mai sus (cazul curbelor 3 şi 4).
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 38/85
125
Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia melcului lui Pascal considerăm ecuaţia
cercului
=
22,
aOBK C :
42
22
2 a y
a x =+
− (2)
Punctele1
M şi2
M verifică ecuaţia polară la += ϕ ρ cos astfel încât avem
formulele:
ϕ ϕ cos2cos22
laa
x ++= (3)
ϕ ϕ sin2sin2
la y += (4)
Din (3) rezultă ϕ ϕ cos2cos22
laa
x +=− (5). Inlocuind (4) şi (5) în (2) obţinem:
( ) ρ ϕ llalax y x =+=−+ cos22 . Ridicând la pătrat obţinem ecuaţia melcului lui
Pascal ( ) ( )222222 y xlax y x +=−+ .
b) Ecuaţia în coordonate polare este următoarea:
la += ϕ ρ cos .
Observaţie. Ecuaţia reprezintă figura ce conţine numai punctele ce satisfac
definiţia melcului lui Pascal.
Având în vedere sistemul de ecuaţii de schimbare a coordonatelor carteziene în
coordonate polare şi ecuaţia (1) obţinem:
( ) ( )ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ ϕ ρ 2222222222 sincoscossincos +=−+ la ⇔ ( ) 22cos la =− ϕ ρ ,
relaţie care ne conduce la ecuaţia curbei în coordonate polare.
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt:
+=
+=
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
sincossin
coscos2
a y
la x
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 39/85
126
sau echivalent:
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
=
−+++
=
−+++
−=
2
1
2
1
1
2
22
2
22
2
ϕ tgu
alualu
u y
alualu
u x
.
Observaţie. Melcul lui Pascal este o curbă raţională.
Construcţia tangentei ( Metoda I ). Pentru a construi tangenta la cardioidă
într-un punct M este suficient să unim acest punct cu punctul diametral opus
punctului de tangenţă al cercului fix cu cercul care se rostogoleşte. Normala va fi
dreapta1
MQ .
Fig. 13
Fie M un punct al cardioidei şi fie Q punctul de tangenţă al cercului fix cu
cercul care se rostogoleşte şi trece prin M . M Q1 este nrmala căutată.
Observaţie. Regula pentru construirea tangentei este valabilă pentru orice curbă
descrisă de punctele unui cerc care se rostogoleşte fără să alunece.
Y
X
M
Q
Q1
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 40/85
127
Construcţia tangentei ( Metoda II ). Construim perpendiculara TM în M pe
normala NM . TM este tangenta căutată (Fig.14).
Construcţia normalei . Fie M un punct al curbei. Dreapta MO intersecteazăcercul a doua oară într -un punct P (Fig.14). Fie N punctul diametral opus lui P.
Dreapta NM este normala căutată.
Fig. 14
Relaţia cu cercul . Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse
dintr-un punct O la tangentele unui cerc ( )r BC , este melcul lui Pascal. Dacă O este
situat în planul cercului atunci O este polul curbei, cercul de bază are ca diametru
segmentul aOB = iar segmentul de lungime l este egal cu raza r a cercului. Dacă
punctul O aparţine cercului, melcul lui Pascal devine cardioidă
∫−
+=π
π
ϕ ρ ρ d s22'
.
Lungimi şi arii
a) Lungimea cardioidei este de 8 ori mai mare ca lungimea diametrului
cercului de bază:
= ( )∫−
++π
π
ϕ ϕ ϕ d aa sin4cos142222 = ( )∫
−
+π
π
ϕ ϕ d a cos122
= ϕ ϕ
π
π d a 2cos4 ∫− = a16 .
Y
X
M
T
O
N
P
K A
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 41/85
128
b) Aria descrisă de raza melcul ui într-o mişcare de rotaţie completă este
următoarea: π
+= 22
2
1laS .
Având în vedere simetria curbei faţă de axa Ox este suficient să calculăm
jumătate din aria căutată. Astfel avem:
( )∫ ∫ +==π π
ϕ ϕ ϕ ρ 0 0
22
1 cos2
1
2
1d lad S = ( )∫ ++
π
ϕ ϕ ϕ 0
222cos2cos
2
1d lala =
∫π
ϕ ϕ 0
22cos
2
1d a ∫+
π
ϕ ϕ 0
cos2 d al +
∫π
ϕ 0
2d l . Deci aria descrisă de raza melcului într -o
mişcare de rotaţie completă este:
12S =π π
π π
ϕ ϕ ϕ
0
2
000
2 sin24
2sin
2lala ++
− =
2
2π a+ π 2
l .
In absenţa buclei ( )al ≥ , S reprezintă aria mărginită de melc. In cazul
existenţei buclei are loc ecuaţia 21 SSS += unde 1S şi 2S sunt date de expresiile:
22
1
22
12
3
2
1lallaS −+
+= ϕ ,
unde
−=a
larccos1
ϕ ;
22
2
22
22
3
2
1lallaS −−
+= ϕ .
undea
larccos
2
=ϕ .
( )∫
−
+=a
l
d laS
arccos
0
2'
1 cos2
1ϕ ϕ = ( )∫
−
++a
larr
d lala
cos
0
222 cos2cos2
1ϕ ϕ ϕ = ∫
−
a
larr
d a
cos
0
22 cos2
1ϕ ϕ +
∫
−
a
larr
d al
cos
0
cos22
1ϕ ϕ + ∫
−
a
larr
d l
cos
0
2
2
1ϕ .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 42/85
129
De unde obţinem :
'
12S =
−
−
−
−
++
− a
l
a
la
l
a
l
lalaarccos
0
2arccos
0
arccos
0
arccos
0
2 sin24
2sin
2ϕ
ϕ ϕ =
2
1
2ϕ a-
4
arccos2sin2
−
a
l
a +
−
a
lal arccossin2 + 1
2ϕ l =22
1 22
1
22 lalla
−+
+ ϕ + 222 lal −
Deci aria căutată este:
22
1
22'
112
3
2
12 lallaSS −+
+== ϕ .
Analog se determină2
S .
Analog se demonstrează faptul că aria cardioidei este 2
2
3aS π = şi este de 6 ori
mai mare decât aria cercului de bază.
3.8. Curbele lui Cassini (ovalele lui Cassini)
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Locul geometric al punctelor M pentru care produsul distanţelor de
la M la două puncte fixe1
F şi2
F , numite focare, este egal cu pătratul lungimii unui
segment dat, se numeşte curbă cassiniană 2
21 a MF MF =⋅: unde, cF F 221 = şi a este
lungimea unui segment dat. Dreapta21F F se numeşte axa curbei lui Cassini iar
mijlocul O al segmentului21F F se numeşte centrul curbei.
Construcţie. Considerăm cercul C de centru O şi diametru cF F 221 =
(Fig.15). Construim tangenta în1F la cerc şi luăm un punct K astfel încât aK F =1 .
Construim pe semidreptele opuse 1[OF şi2[OF două puncte
1 A şi respectiv 2 A astfel
încât 22
21 acOK OAOA +=== .1
A şi2
A aparţin curbei lui Cassini şi sunt
punctele cele mai îndepărtate de centrul O al curbei.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 43/85
130
Fig. 15
Cazul 1. Dacă ca < (Fig.15) atunci construim în plus un cerc cu centrul în O
şi de rază a . Construim tangenta din1 A la acest cerc şi notăm cu T punctul de
tangenţă. Tangenta T A1
intersectează cercul de bază în punctele 0P şi0Q . Construim
pe diametrul21
F F punctele1
B şi2
B astfel încât0111
P A BF = şi0121
Q A BF = .
Punctele1
B şi2
B astfel determinate aparţin curbei lui Cassini şi sunt punctele situate
la distanţa cea mai mică de O ; 22
21 acOBOB −== .
Cazul 2. Dacă ca ≥ (Fig.16) atunci punctele cele mai apropiate ale curbei sunt
situate pe mediatoarea segmentului21
F F şi au proprietatea aC F C F ==2211
. Deci
22
21 acOC OC −== .
Perechile de puncte1
A ,2
A ;1
B ,2
B (sau1
C ,2
C ) se numesc vârfurile curbei lui
Cassini. Prin1 A sau 2 A ducem o secantă arbitrară care intersectează cercul de bază în
X
Y
H
M4 M2
A1 F1 B1 OB2 F2 A2
M3 F
Q
Q0
N M1 P
P0
KT
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 44/85
131
punctele P şi Q (Fig.15). In cazul în care ca < ne limităm numai la secantele care
intersectează şi cercul suplimentar de rază a . Cu piciorul compasului în1F construim
cercul de rază P Ar 1
= şi cu piciorul compasului în2
F construim cercul de rază
Q Ar 1'= . Notăm cu 1 M şi respectiv 2 M punctele de intersecţie ale acestor cer curi.
1 M şi2 M aparţin curbei lui Cassini. Schimbând rolurile între 1F şi 2F obţinem
perechea de puncte3
M ,4
M . Locul geometric al punctelor 1 M ,2
M , 3 M , 4 M este
curba căutată.
Fig. 16
Caracteristicile curbei
• Ovalele lui Cassini sunt curbe analagmatice, adică sunt invariante la inversiune.
Observaţie. Fie cercul ( )k OC , . Două puncte P şi Q sunt inverse în raport cu
C dacă 2k OQOP =⋅ . Dacă P descrie o curbă
1C atunci Q descrie o curbă
2C numită inversa lui 1C în raport cu cercul C .
• Dreptele OX şi OY sunt axe de simetrie pentru curba lui Cassini; O este punct
de simetrie pentru curba cassiană.
In cazul ca < curba lui Cassini este formată dintr -o pereche de ovale.
In cazul ca > curba lui Cassini este o curbă închisă.
G1
G2
E1
E2
C1
C2
O
K1
K2 K4
K3
K0
F1 F2 B1 B2
D1
D2 D3
D4
N1
A1
A2
N2
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 45/85
132
In cazul ca = curba lui Cassini este curbă numită lemniscată.
Pentru a tinzând la c , vârfurile 1 A , 2 A tind către vârfurile lemniscatei (1 N ,
2 N ) iar vârfurile1
B , 2 B tind către nodul O . Ovalul drept al curbei lui Cassini devine
bucla dreaptă a lemniscatei în timp ce ovalul stâng al curbei lui Cassini devine bucla
stângă a lemniscatei.
In cazul 2cac << curba lui Cassini are patru puncte de inflexiune 1 D ,2
D ,
3 D , 4 D , iar curba nu mai este un oval.
In cazul în care 2ca ≥ curba lui Cassini este un oval.
Ecuaţiile curbei lui Cassini
a) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate carteziene este următoarea:
( ) ( ) 44222222 2 ca y xc y x −=−−+
Demonstraţie. Pentru a obţine ecuaţia curbei în coordonate carteziene luăm ca
origine punctul O şi notăm cu ( ) y x, coordonatele punctului1
M . Notăm cu1' M
piciorul perpendicularei din 1 M pe axa OX . Aplicând teorema lui Pitagora în
triunghiurile dreptunghice 111 ' F M M şi211
' F M M obţinem
relaţiile ( )222
11xc yF M −+= şi ( )222
21xc yF M ++= . Ţinând seama de faptul că
2
21 a MF MF =⋅ rezultă ( ) ( ) 42222a xc y xc y =++⋅−+ , de unde obţinem ecuaţia
căutată.
b) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate polare pentru cazul în care O este
pol şi Ox este axa polară
02cos2 44224 =−+− acc ϕ ρ ρ
sau
ϕ ϕ ρ 2sin2cos 24422cac −±= .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 46/85
133
Demonstraţie. Aplicând în triunghiurile 11F OK şi21F OK teorema generalizată
a lui Pitagora obţinem:
ϕ ρ ρ cos2222
1 cc M F ++=
ϕ ρ ρ cos2222
2 cc M F −+= .
Inlocuind aceste relaţii în ecuaţia ovalelor 2
21 a MF MF =⋅ obţinem expresia:
422222
2
2
1 cos2cos2 acccc MF MF =−+⋅++=⋅ ϕ ρ ρ ϕ ρ ρ ,
de unde rezultă ecuaţia 02cos244224 =−+− acc ϕ ρ ρ .
Construcţia tangentei . Fie N un punct al curbei lui Cassini (Fig.15).
Prelungim segmentul N F 1 cu un segment NF congruent cu el. Construim
perpendicularele în F şi2
F pe F F 1
şi respectiv N F 2
. Notăm cu H punctul de
intersecţie al acestor perpendiculare. Dreapta NH este tangenta căutată.
In cazul în care H este inaccesibil, segmentele NF şi2
NF pot descreşte
proporţional pentru a permite construcţia.
3.9. Lemniscata lui Bernoulli
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Locul geometric al punctelor pentru care produsul distanţelor la
capetele unui segment dat cF F 221 = este 2c se numeşte lemniscată1F . Punctele şi
2F sunt focalele curbei iar dreapta21F F este axa lemniscatei.
Observaţie. Lemniscata este un caz particular al ovalelelor lui Cassini
( 22 ca = ).
Construcţie ( Metoda lui Maclaurin). Fie dat segmentul21F F de lungime c2 şi
fie O mijlocul acestuia (Fig.17). Construim cercul de centru 1F (sau 2F ) şi rază2
c.
Secanta din O la cerc intersectează cercul în P şi Q . Pe această secantă construim
punctele M şi 1 M de o parte şi de alta a lui O cu proprietatea PQOM OM == 1 . M
descrie o buclă a lemniscatei în timp ce1
M descrie cealaltă buclă.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 47/85
134
Caracteristici ale curbei. Lemniscata are două axe de simetrie: dreapta suport a
segmentului21F F şi mediatoarea segmentului
21F F (Fig.17). O este numit nodul
curbei şi este punct de inflexiune pentru ambele ramuri. Tangentele în O la curbă
formează unghiuri de
45 cu axa 21F F . ( ) ( ) 2,, 21 c AOd AOd == iar 1 A şi 2 A se
numesc vârfuri.
Fig. 17
Ecuaţiile lemniscatei lui Bernoulli a) Ecuaţia curbei în coordonate carteziene (O origine) este următoarea:
( ) ( )222222 2 y xc y x −=+ .
Demonstraţie. Pentru a găsi ecuaţia lemniscatei considerăm ca origine punctul
O şi fie ( ) y x, coordonatele punctului M . Construim ' MM perpendiculara prin M la
axa OX . Considerăm triunghiurile dreptunghice 1' F MM şi 2' F MM . Aplicând
teorema lui Pitagora în cele două triungiuri obţinem relaţiile ( )2
22
1 c x y MF −+= şi
( )222
2 c x y MF ++= . Ţinând seama de relaţia 2
21c MF MF =⋅ rezultă
( ) ( ) 42222 cc x yc x y =++⋅−+ , de unde obţinem ecuaţia ( ) ( )222222 2 y xc y x −=+
care ne dă reprezentarea în coordonate carteziene a lemniscatei.
b) Ecuaţia curbei exprimată în coordonate polare este de forma:
ϕ ρ 2cos222
c= ,
B
C
Y
X
O
P
M
N
Q
N'
A1 A2
M1
F2 F1
K
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 48/85
135
unde ρ ia valori reale în cazul în care unghiul ϕ ia valori în intervalele
4 ,0π
,
4
5,
4
3 π π ,
π
π 2,
4
7 şi se anulează în cazul în care ϕ ia valorile
4
π ,
4
3π ,
4
5π ,
4
7π .
Trecând de la coordonatele polare la cele ortogonale: ϕ ρ cos= x , ϕ ρ sin= y
şi ţinând cont de relaţia 222 y x += ρ obţinem după transformări elementare
( )ϕ ϕ ρ ρ 22224 sincos2 −= c , de unde obţinem ecuaţia lemniscatei în coordonate
polare ϕ ρ 2cos2 22c= .
c) Ecuaţiile parametrice ale curbei sunt următoarele:
−=
+
−=
+
+=
ϕ π
4
12
12
2
4
3
4
3
tgu
u
uuc y
u
uuc x
, unde +∞<<∞− u .
Observaţie. Lemniscata lui Bernoulli este o curbă raţională.
Construcţia normalei . Fie M un punct al lemniscatei (Fig.17). Construim în
M un unghi N M O ˆ astfel încât ( ) ( )1ˆ2ˆ F O M m N M Om = . Dreapta NM este normala
căutată. ( ) ( )11ˆ3ˆ F O M mF N M m = .
Construcţia tangentei . Perpendiculara în M la normala NM este tangenta
căutată (Fig. 17).
Observaţie. Diametrul cF F BC ==212
1
are lungimea cea mai mare şi este
latura triunghiului echilateral cu vârful în O .
Arii
a) Aria sectorului polar OM A1
este dată de formula:
( ) K F OK c
S 1
2
2sin2
⋅== ϕ ϕ ,
unde K este proiecţia punctului focal 1F pe raza OM .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 49/85
136
b) Aria fiecărei bucle a lemniscatei este 2c .
Demonstraţie. Având în vedere simetria curbei calculăm jumătate din aria unei
bucle a lemiscatei ∫=4
0
2 2cos22
1
2
1
π
ϕ ϕ d cS =22
2sin 24
0
2 cc =
π
ϕ . Prin urmare 2
cS = .
Legătura cu hiperbola. Locul geometric al picioarelor perpendicularelor duse
din centrul O al unei hiperbole echilaterale cu vârfurile 1 A şi 2 A la tangentele sale
este o lemniscată cu vârfurile1
A ,2
A .
3.10. Spirale
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Curba care în coordonate polare poate fi reprezentată prin ecuaţia
( )θ f r = , unde r este o funcţie crescătoare sau descrescătoare se numeşte
nar
1
θ =
spirală.
Tipuri de spirale
a) Spirale a căror ecuaţie este
- Pentru 1=n curba este cunoscută sub numele de spirala lui Arhimede
θ ar =
şi
are ecuaţia (Fig.18).
Fig. 18
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 50/85
137
- Pentru 1−=n curba este cunoscută sub numele de spirală hiperbolică
θ
ar =
şi
are ecuaţia (Fig.19).
Fig. 19
- Pentru 2=n curba este cunoscută sub numele de spirală parabolică
θ 22ar =
(spirala lui Fermat) şi are ecuaţia (Fig.20).
Fig. 20
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 51/85
138
- Pentru 2−=n curba este cunoscută sub numele lituus
θ / 22ar =
şi are ecuaţia
(Fig.21)
Fig. 21
b) Spirala logaritmică are ecuaţia ( ) ctgbar / ln θ = . Deoarece tangenta în orice
punct al curbei formează cu raza vectoare un unghi b spirala logaritmică se mai
numeşte şi spirală echiunghiulară.
10.a. Spirala lui Arhimede
Definiţie şi construcţie
Definiţi e. Fie dreapta ' XX şi O un punct fix pe ' XX . Fie UV o dreaptă
arbitrară prin O şi fie M un punct pe UV . Deplasăm punctul M pe dreapta UV în
timp ce rotim UV uniform în jurul punctului O . Curba descrisă de M în urma acestei
mişcări se numeşte spirala lui Arhimede (Fig.22 ).
Ob servaţie. Distanţa OM este proporţională cu unghiul de rotaţie al dreptei
UV . O mişcare de revoluţie completă este asociată cu aceeaşi deplasare a MM =1 .
Dreapta UV are două sensuri de rotaţie, fiecărui sens îi corespunde o spirală; rotaţiei
în sensul acelor de ceasornic îi corespunde spirala stângă, rotaţiei în sens opus acelor
de ceasornic îi corespunde spirala dreaptă. Pentru un a dat cele două spirale sunt în
oglindă.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 52/85
139
Construcţie. Fie O un punct arbitrar şi k un parametru dat (Fig.22).
Construim cercul de centru O şi rază ON k = . Impărţim cercul într -un număr n
arbitrar de arce egale. Notăm cu ,....., 10 bb punctele astfel obţinute. Fără a restrânge
generalitatea presupunem 12=n . Prelungim raza 0Ob în direcţia lui 0b cu un segment
k OA π 21
= . Impărţim1
OA în acelaşi număr de părţi egale. Pe razele
,.....,21
ObOb construim segmentele11
1OAn
OD = ,12
2OAn
OD = ,….. Obţinem punctele
....,, 321 D D D ale primei mişcări de revoluţie a spiralei. Pe1
OD , 2OD , 3OD , luăm
punctele ....,, 321 E E E astfel încât12211
..OA E D E D == . Procedeul continuă atât timp
cât este necesar.
Caracteristici ale curbei. Orice rază vectoare OQ a spiralei cu originea în
polul O întâlneşte curba într -un număr infinit de puncte ,.....,21
QQ ce aparţin spiralei
şi au proprietatea că distanţa dintre două puncte succesive de intersecţie 1, +ii QQ este
constantă şi egală cu π k a 2= . Acest lucru rezultă din faptul că la direcţia razei
vectoare care corespunde unei valori date a lui θ adunăm ,...4,2 π π iar lungimea r
definită de ecuaţia θ ar = va căpăta creşterile ,......4,2 π π aa . Tangenta în O la spirală
coincide cu axaOX .
Construcţia normalei . Fie M un punct al spiralei lui Arhimede cu distanţa
dintre spirale egală cu a (Fig. 22). Perpendiculara în O pe OM intersectează prima
dată spirala în N astfel încât k a
ON ==π 2
. NM este normala căutată.
Construcţia tangentei . Perpendiculara în M pe normala NM este tangenta
căutată (Fig.22).
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 53/85
140
Fig. 22
Lungimi şi arii
a) Lungimea arcului OM este ( )[ ]1ln12
22 ++++= ϕ ϕ ϕ ϕ k
l ,
Demonstraţie. ∫ +=ϕ
ρ ρ 0
22 ' dt s = ∫ +ϕ
0
222dt k t k = ∫ +
ϕ
0
21dt t k .
∫ +ϕ
0
2 1 dt t = ∫ +
ϕ
0
2 1' dt t t = ( )dt t t t t
'
0
2
0
211 ∫ +−+
ϕ ϕ
= ∫+
−+π π
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
2
02
22
0
2
11 d =
= ∫+
−+−+
π π
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
2
02
22
0
2
1
111 d = ∫∫
+++−+
π π π
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
2
02
2
0
22
0
2
111
d d ⇒
11ln211
211 2
2
0
2
2
0
2++++=+∫ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π π
d
O b0
b1
b3
D1
E1
F1 E2
F2
D2
D3
E3
F3
A1 A2 X
U
V
H
M’
Q
Q2
Q1
M
N
M1
T
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 54/85
141
b) Aria sectorului ' MOM pentru cazul în care unghiurile din M şi ' M diferă
cel mult cu π 2 este
( )22''
6
1 ρ ρρ ρ ω ++=S , (1)
unde OM = ρ , '' OM = ρ , ' ̂M O M =ω .
Din punct de vedere geometric, aria sectorului unei spirale arhimedice este
egală cu media aritmetică a ariilor a trei sectoare circulare pentru care unghiul este egal
cu cel din sectorul ' MOM şi lungimile celor trei raze sunt egale cu lungimile OM ,
'OM şi respectiv 'OM OM ⋅ .
c) Aria figurii O AQ DOD 1132 mărginită de primul circuit al spiralei şi de
segmentul 1OA este3
2
1
aS
π = .
Demonstraţie. Rezultatul poate fi obţinut dacă în formula (1) efectuăm
următoarele substituţii 0= ρ , a=' ρ , π ω 2= sau direct aplicând formula de calcul
ariei unei figuri plane.
Astfel, ∫=
π
ϕ ρ
2
0
21
21 d S = ∫
π
ϕ ϕ π
2
0
22
2
421 d a =
π
ϕ π
2
0
2
2
2
38a =
3
2
π a şi reprezintă o treime din
aria cercului de rază 1OA .
d) Aria figurii 1231 A HA E A mărginită de al doilea circuit al spiralei şi de
segmentul 12 A A este3
7 2
2
aS
π = .
Demonstraţie. Rezultatul poate fi obţinut dacă în formula (1) efectuăm
următoarele substituţii 0= ρ , a2'= ρ , π ω 2= sau direct aplicând formula de calcul
ariei unei figuri plane. Astfel , ∫=π
π
ϕ ρ
4
2
2
22
1d S = ∫
π
π
ϕ ϕ π
4
2
2
2
2
42
1d
a=
π
π
ϕ
π
4
2
2
2
2
38
a=
3
7 2π a.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 55/85
142
In general se poate demonstra prin inducţie faptul că arianS a figurii formate
de circuitul n al spiralei şi de segmentulnOA este dată de formula de recurenţă
( ) 2
33
3
1a
nnS
n
π −−
= .
10.b. Desfăşurătoarea unui cerc
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Fie L un punct. Pornind dintr-o poziţie iniţială 0 D , L descrie în
mod continuu un cerc de rază k . Pe tangenta în L la cerc, în direcţia opusă rotirii
construim segmentul
=∩
L Dl LM 0 . Curba descrisă de punctul M se numeşte
desfăşurătoarea cercului (Fig.23).
Fig. 23
Observaţie. Acelaşi cerc are un număr infinit de astfel de curbe. In funcţie de
sensul de rotaţie al pnctului L avem o desfăşurătoare la dreapta MP D0 şi o
desfăşurătoare la stânga Q D0 . De obicei, sunt privite ca două ramuri ale unei aceleiaşi
curbe.
Construcţie. Impărţim cercul dat în n arce de lungimi egale
012110 ... Dbbbb D n−=== (Fig.24). Pe tangenta în 0 D la cerc construim segmentul
k E D π 200
= . Impărţim00
E D în acelaşi număr de părţi egale:
012110 .... E aaaa D n−=== .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 56/85
143
Pe tangentele în ,......,21
bb luăm punctele ,.....,21
D D astfel încât 1011 a D Db = ,
2022 a D Db = ,….. Punctele ,....., 21D D astfel determinate aparţin primului circuit
00 PE D al desfăşurătorii. Punctele ,.....,21
E E ale celui de-al doilea circuit le obţinem
prin prelungirea segmentelor ,....., 2211 Db Db cu segmentele ,....., 2211 E D E D de lungimi
egale cu lungimea segmentului 00 E D . Procedeul continuă atât cât este nevoie.
Fig. 24
Caracteristici ale curbei. Desfăşurătoarea unui cerc intersectează toate
tangentele la cerc sub un unghi drept. In particular desfăşurătoarea unui cerc formează
în punctul iniţial 0 D un unghi drept cu tangenta00
F D . Normala la desfăşurătoare este
tangentă la cerc. Prin construcţie desfăşurătoarea nu pătrunde în interiorul cercului iar
0 D este punct de întoarcere pentru desfăşurătoare.
F0
E0
E2
F2
E3 F3
D2 D3 b3
b2 O D0
M
L
Q
P
H
N
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 57/85
144
Ecuaţiile desfăşurătoarei cercului
a) Ecuaţia desfăşurătoarei cercului în coordonate polare pentru cazul în care
polul O este centrul unui cerc dat şi axa polară Ox este orientată în lungul razei iniţiale
0OD este:
ρ
ρ ϕ
k
k
k arccos
22
−−
=
unde, k este raza cercului.
b) Ecuaţiile parametrice ale desfăşurătoarei cercului sunt prezentate mai jos.
Luând drept parametru unghiulα format de direcţia pozitivă a axei Ox cu raza
dusă din punctul L şi ţinând seama de egalitatea α k LD LM == 0 obţinem ecuaţia
desfăşurătoarei cercului sub formă parametrică:
−=+==
+=+==
α α α
α α α
cossin
sincos
k k LM pr OL pr OM pr y
k k LM pr OL pr OM pr x
OyOyOy
OxOxOx.
Deci ecuaţiile parametrice ale curbei sunt date de sistemul:
( )
( )
=−=
+=
LO D
k y
k x
ˆ
cossin
sincos
0α
α α α
α α α
.
Având în vedere că derivata de ordinul întâi a lui y în raport cu x este dată de
formuladx
dy y =' putem determina coeficientul unghiular al tangentei:
α α α α α
α α α α tg
k k k
k k k y =
++−
+−=
cossinsin
sincoscos' .
Deoarece coeficientul unghiular al normalei la desfăşurătoarea cercului este dat
de expresia
−=−
2
π α α tgctg rezultă că dreapta LM este normala la
desfăşurătoarea cercului.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 58/85
145
Lungimi
Cum ∫=α
0
22dt t k s =
α
0
2
2
t k =
2
2α k rezultă faptul că lungimea arcului M D0
esteOL
MLk s22
2
1
2
1 == α .
Legătura cu spirala lui Arhimede. Piciorul perpendicularei duse din centrul O
la tangenta MT a desfăşurătoarei descrie spirala lui Arhimede.
10.c. Spirala logaritmică (spirala de creştere)
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Fie UV o dreaptă care se roteşte uniform în jurul unui punct O
numit pol şi fie M un punct pe dreapta UV care se îndepărtează de O proporţional cu
distanţa OM . Curba descrisă de M se numeşte spirală logaritmică (Fig.25).
Construcţie. Fie C un cerc de centru O . Impărţim cercul în k n 2= părţi egale
şi notăm punctele astfel obţinute cu ,.....,,, 3210 B B B B în sens invers acelor de ceasornic
(Fig.25). Fără a restrânge generalitatea presupunem 1624==n . Pe raza 0OB
considerăm un punct 0 A şi construim un segment01
qOAOA = . Construim cercul de
centru 'O şi diametru 1OA . Perpendiculara în 0 A pe diametrul 1OA intersectează
cercul de centru 'O într-un punct K . Cercul de rază OK intersectează raza 8OB într-un
punct 8 D ce aparţine spiralei. Acelaşi cerc intersectează raza 1OA într-un punct L .
Ducem în L perpendiculara pe 1OA care intersectează cercul de centru 'O într-un
punct 'K . Cercul de rază 'OK intersectează raza 12OB într-un punct 12 D ce aparţine
spiralei şi intersectează raza1
OA într-un punct ' L . Procedeul continuă. Alte puncte
situate pe dreptele ,....., 9180 B B B B pot fi construite în felul următor: In punctul 14 D
construim unghiul QOD14
egal cu unghiul 1415 DOD .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 59/85
146
Fig. 25
La intersecţia cu raza 13OB obţinem punctul 13 D care aparţine spiralei. In punctul1
A
construim unghiul '1QOA egal cu unghiul 115 AOD , la intersecţia cu raza
1OB obţinem
punctul1
E , etc.
B1
B2
B0
B3 B4
B5
B6
B7
B8
B9
B10
B11 B12 B13
B14
B15
D1
D8 D3 D4 D5
D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12 D13
D14
D15
A1
E1
Q’E2
U
K K’
K”
A0
M
A-1
M0 M1 N0
N1
F1
F2
Q
L L’
V
O’
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 60/85
147
Ecuaţia spiralei logaritmice în coordonate polare
In condiţiile în care axa polară trece printr -un punct arbitrar 0 M al spiralei iar
polul coincide cu polul spiralei ecuaţia curbei în coordonate polare este de forma:
π
ϕ
ρ ρ 20q= , (1)
unde 00 OM = ρ este raza vectoare a punctului0 M şi q este coeficientul de creştere.
Ecuaţia (1) este cunoscută şi sub forma:
ϕ ρ ρ k e
0= , (2)
unde k este un parametru care depinde de coeficientul de creştere q .
Din relaţiile (1) şi (2) obţinem egalitatea ϕ π
ϕ
k eq =2 (3) sau echivalent π k eq 2
= .
Logaritmând în (3) obţinem k q ϕ π
ϕ =ln
2 de unde rezultă
π 2
lnqk = .
Semnificaţia geometrică a parmatrului k . Fie M un punct al spiralei
logaritmice şi fie α unghiul dintre dreapta OM şi tangenta MT (Fig.26). Atunci are
loc relaţia α ctgk = .
Fig. 26
O
M
H
T
K
P
U
V
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 61/85
148
Caracteristici ale curbei
Unghiul α are aceeaşi măsură în toate punctele spiralei (Fig.26).
Pentru un număr foarte mare de rotaţii ale dreptei UV în jurul polului O ,
punctul M care descrie spirala fie se depărtează de pol tinzând către∞
, fie se apropiede pol dar niciodată nu coincide cu acesta. In ambele situaţii M descrie în jurul polului
un număr infinit de circuite iar dacă notăm cu 0 A poziţia iniţială, arcul descris
de M este de lungime finită .
Lungimea segmentului MT este egală cu lungimea arcului MO :
α
ρ
cos)( === MT MOls ,
unde ρ este raza vectoare OM .
Aproximări. Spirala lui Théodore din Cyrène
Definiţie. Spirala lui Théodore din Cyrène este o aproximare prin segmente a
spiralei logaritmice (Fig.27).
Fig. 27
d
d
d
O P
P
d
d
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 62/85
149
Construcţie. Fie iOd un şir de segmente convergente în O cu pantaπ
α
2
i, fie
1P un punct dat pe segmentul 1Od şi fie β un unghi dat (Fig.27). Construim pe
segmentul 2Od un punct 2P astfel încât măsura unghiului dintre 21PP şi 1OP să fieegală cu măsura unghiului β . Punctele iP aproximează o spirală logaritmică cu
β ctga = . In cazul particular în care2
π β = spirala astfel construită este cunoscută sub
numele de spirala lui Théodore din Cyrène.
Observaţie. Curba se regăseşte la organismele pentru care creşterea este
proporţională cu mărimea lor, motiv pentru care spirala logaritmică este cunoscută şi
sub numele de spirală de creştere.
http://www.2dcurves.com/spiral/spirallo.html
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 63/85
150
3.11. Cicloida
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Fie dat cercul ( )r C C ,0 care se rostogoleşte fără alunecare pe o
dreaptă fixă KL şi fie M un punct fixat în planul cercului (Fig.28). Locul geometric
descris în această mişcare de punctul M se numeşte cicloidă. Dreapta fixă KL se
numeşte baza cicloidei (dreaptă directoare).
Dacă punctul ( )r C C Int M ,0∈ adică, dacă ( ) r C M d <0, atunci curba se
numeşte cicloidă prescurtată (Fig 28a)).
Dacă punctul ( )r C C Ext M ,0
∈ adică, dacă ( ) r C M d >0, atunci curba se
numeşte cicloidă prelungită (Fig 28b)). Observaţie. Cele două curbe se numesc şi trohoide.
Dacă punctul ( )r C C M ,0∈ adică, dacă ( ) r C M d =0, atunci curba se numeşte
cicloidă (Fig 28c)).
Notăm cu A punctul de pornire al cicloidei. A aparţine dreptei OC 0
, ce uneşte
centrul cercului ( )r C C ,0 cu O punctul de tangenţă al cercului cu baza.
Punctele iniţiale ale cicloidei sunt situate pe dreapta directoare şi coincid cu
punctele de sprijin ale cercului de definiţie (Fig.28c)).
Vârful D al cicloidei se află situat pe prelungirea razei ''C O a cercului
generator.
Segmentul [ ] AB care uneşte două puncte de pornire adiacente se numeşte
dreapta de bază a cicloidei.
Perpendiculara DF dusă din vârful D al cicloidei pe dreapta de bază se
numeşte înălţimea cicloidei. Arcul descris de M între două puncte de pornire adiacente
se numeşte arc cicloidal.
Dreapta UV descrisă de centrul cercului în urma rostogolirii fără alunecare a
acestuia se numeşte linia centrelor cicloidei.
Caracteristici ale curbei. Cicloida se întinde în lungul dreptei KL către ±
infinit. Este situată în interiorul unei benzi mărginite de dreptele de ecuaţii d r y += şi
respectiv d r y −= . Prima dreaptă este tangentă la cicloidă în vârful acesteia în timp
ce a doua dreaptă trece prin toate punctele de pornire ale cicloidei. In cazul în care
cicloida este scurtată sau alungită dreapta d r y −= este tangentă la curbă. Dreapta
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 64/85
151
0 AC (Fig. 28a)) este axă de simetrie, dreapta DF dusă prin orice vârf al curbei
perpendicular pe dreapta directoare este axa de simetrie pentru cicloidă.
Fig. 28
A, O F, O' B, O1
H
U C'
D
E'
T
C0 V
EC
A
O E'
N
T
F
D
C'
O'
U VCM E
A1
A2, C0
B
O1
B2
B1
2d
2d
O O' O1
VU
BF
C'
D
C
E'
MEC0
N
T
A
a)
b)
c)
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 65/85
152
Construcţie. Se cunosc raza r a cercului generator şi distanţa ( )C M d ,
(Fig.29). Construim mai întâi linia centrelor UV şi fixăm pe aceasta un punct 0C . Cu
vârful compasului în 0C construim cercul ( )d C C ,0
. Construim diametrul
perpendicular pe UV şi notăm cu0
M unul din capete. 0 M este vârful curbei căutate.
Impărţim cercul într -un număr par de arce egale astfel încât 0 M să fie unul din
punctele diviziunii. Notăm punctele diviziunii astfel: n±±± ,...,2,1,0 . Punctele n− şi
n+ coincid. Considerăm pe linia centrelor de o parte şi de alta a punctului 0C ,
punctele ' A şi ' B astfel încât :
r BC AC '' 00 π == .
Impărţim segmentele astfel construite în n părţi egale şi notăm punctele diviziunii cu
nC C C ±±± ,...,, 21 unde nC şinC − coincid cu ' A şi respectiv ' B . Prin punctele
.......4,3,2,1 ducem paralele la linia centrelor care intersectează a doua oară cercul în
,.....3,2,1 −−− . Cu vârful compasului în punctele nC C C ±±± ,...,, 21 construim semicercuri
de rază d , concave faţă de0C ,cu diametrele perpendiculare pe linia centrelor UV .
Notăm cu ,.........21 , ±± M M punctele în care dreptelele paralele la linia centrelor
intersectează semicercurile construite; punctele n M , n M − coincid cu punctele de
pornire A , respectiv B . Astfel am construit un arc al cicloidei. Pentru a construi arce
adiacente trebuie să continuăm seria punctelor iC ± .
Fig. 29
M0 M-1
M-2
M-3
M-4
M-5
M-6
M-7
B, M-8
M1
M2
M-3
M4
M5
M6
M7
A, M8
C0
-1
-2
-3
-4
-5
-6-7
8±
12
3
4
5
76
0
U V
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 66/85
153
Proprietăţi ale normalei şi tangentei . Normala MN (Fig.28(a-c)) a oricărei
cicloide trece prin punctul suport ' E al cercului de bază. In cazul cicloidei normale
(Fig.28c)) tangenta MT trece prin punctul diametral opus punctului suport al cercului
de bază. Această proprietate stă la baza construcţiei tangentei. Pentru a construitangenta la cicloidă într -un punct M al ei unim acest punct cu punctul H diametral
opus punctului de tangenţă cu axa Ox a cercului care se rostogoleşte.
Dreapta MN care uneşte punctul M cu punctul de tangenţă al cercului cu axa
Ox este perpendiculară pe dreapta MH deoarece unghiul NMH este înscris într-un
semicerc. Putem deci să afirmăm că dreapta MN este normală la cicloidă şi că
lungimea ei este2
sin2ϕ
a .
Ecuaţia cicloidei
Fie P un punct pe cercul de rază r . In acest caz ecuaţiile parametrice ale
cicloidei normale ( r d = ) sunt date de relaţiile
( )
( )
−=
−=
θ
θ θ
cos1
sin
r y
r x,
unde cercul efectuează o mişcare de rotaţie în lungul axei Ox pornind din punctul P şi
θ este unghiul sub care se roteşte punctul P .
Demonstra ţie. Pentru a găsi ecuaţia cicloidei considerăm ca axă Ox dreapta
fixă iar ca origine punctul de pe bază care coincide cu punctul M când acesta este
punct de contact al cercului cu baza (Fig.28c)). Cum distanţa ON este egală cu
lungimea arcului NM = θ r deoarece cercul se rostogoleşte fără să alunece şi cum
proiecţia razei CM pe axa Ox este θ sinr − iar proiecţia pe axa Oy este θ cosr −
obţinem pentru coordonatele punctului M următoarele relaţii:
( )( )
−=
−=
θ
θ θ
cos1
sin
r y
r x.
Aceste relaţii ne dau o reprezentare parametrică a cicloidei în funcţie de par ametrul θ .
Eliminând parametrul θ obţinem ecuaţia cicloidei sub forma:
22arccos yryr
yr r x −−
−= ,
care ne arată că cicloida este o curbă transcendentă.
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 67/85
154
In cazul general ecuaţiile parametrice sunt date de sistemul următor:
−=
−=
θ
θ θ
cos
sin
d r y
d r x.
Observaţie. Este suficient să studiem variaţia lui θ în intervalul ( )π 2,0 care
corespunde unei rotaţii complete a cercului, deoarece după această rotaţie completă
punctul M coincide din nou cu punctul de tangenţă al cercului cu axa OX care este
deplasat acum cu segmentul aOO π 21 = .
Lungimi, arii şi volume
a) Lungimea arcului unei cicloide între punctele 0=ϕ şi 1ϕ ϕ = este :
ϕ
ϕ
d y xs ∫ +=1
0
22 '' = ( ) ( )∫ +−1
0
22sincos
ϕ
ϕ ϕ ϕ d d d r = ∫ +−1
0
22 cos2
ϕ
ϕ ϕ d d rd r (1)
Lungimea arcului unei cicloide între punctele 0=ϕ şi 1ϕ ϕ = ( π ϕ 21 ≤ ) este
egală cu lungimea arcului unei elipse între aceleaşi puncte, a cărei sistem de ecuaţii
parametrice este următorul:
( )
( )
−=
+=
2sin2
2cos2
ϕ
ϕ
r d y
r d x
. (2)
In cazul general integrala (1) nu poate fi exprimată prin funcţii elementare dar , pentru
cazul în care r d = avem relaţia de mai jos:
ϕ ϕ
ϕ
d r s ∫ −=1
0
cos22 = ∫1
02
sin2
ϕ
ϕ ϕ
d r =1
0
2cos22
ϕ ϕ
−r =
−
2cos14 1ϕ
r =4
sin812 ϕ
r .
In cazul particular al lungimii unei arcade, π ϕ 21 = ceea ce implică r s 8= , adică
lungimea arcului unei arcade de cicloidă este egală cu de 4 ori diametrul cercului care
se rostogoleşte.
b) Aria S mărginită de arcada dintre punctele 0=ϕ şi1
ϕ ϕ = şi axa Ox este
S = 112 sin2 ϕ ϕ rd r − + 1
2
2ϕ d + 1
2
2sin4
ϕ d .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 68/85
155
Demonstraţie
S = ( )∫ −1
0
2cos
ϕ
ϕ ϕ d d r = ( ) ∫∫∫ +−111
0
22
00
2cos'sin2
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ d d d rd d r = 11
2sin2 ϕ ϕ rd r − +
1
2
2ϕ d + 1
2
2sin4
ϕ d .
In cazul particular π ϕ 21= avem π π 22
2 d r S += .
In cazul particular al cicloidei normale ( r d = ) aria este 2 3 r S π = , adică aria
mărginită de o arcadă de cicloidă şi de dreapta fixă pe care se rostogoleşte cercul este
egală cu de 3 ori aria cercului care se rostogoleşte.
Observaţie. In cazul cicloidelor normale şi prescurtate, S reprezintă aria figurii
1OADBO (Fig. 28a), 28c)). In cazul cicloidei prelungite S verifică relaţia:
S = aria figurii ( B DB AA 11) - aria dreptunghiului (
1OABO ).
c) Aria suprafeţei obţinută în urma rotirii complete a unei cicloide normale în
jurul dreptei fixe AB este2
3
64aπ sau
9
64din aria mărginită de o arcadă de cicloidă
şi de dreapta fixă pe care se rostogoleşte cercul.
Demonstraţie. ( ) ϕ ϕ
ϕ π
π
d r r S2
sin2cos12
2
0
∫ ⋅−= = ∫π
ϕ ϕ
π
2
0
32
2sin8 d r =
−−=
+− ∫∫
π π π π
ϕ ϕ ϕ ϕ
π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
π
2
0
'
3
2
0
22
2
0
2
2
0
22
2cos
3
4
2cos
2sin28
2cos
2sin2
2cos
2sin28 d r d r
=
π
ϕ π
2
0
32
2cos
332 r − = 2
364 r π .
d) Aria suprafeţei figurii obţinută în urma rotirii complete a unei arcade de
cicloidă normală în jurul axei de simetrie este
2
3
48 r S
−= π π .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 69/85
156
Demonstraţie. ( )∫ −=r
dydx
ds xr S
2
0
2 π π =
( ) ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ π π π
d d
dy
d
dxr r r
∫
+
+−
0
22
sin2 = ( ) ϕ ϕ
ϕ ϕ π π
π
d r r r r
∫+−
0 2
sin2sin2 =
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
π π
π
d r ∫
+−
0
2
2sinsin
2sin
2sin4 =
+−+−
π π π π ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
π π 0
3
000
2
2sin
3
4
2sin4
2cos2
2cos24 r = 2
3
48 r
−π π .
e) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a arcadei unei cicloide
normale în jurul dreptei fixe AB este32
5 r V π = şi este egal cu8
5din volumul
cilindrului circumscris .
Demonstraţie. ∫=r
dx yV
π
π
2
0
2= ( )∫ −
π
ϕ ϕ π
2
0
33cos1 d r =
=
++−
π π π π ϕ ϕ
π ϕ π ϕ π
2
0
2
0
32
0
32
0
3
4
2sin
2
3sin3 r r r - ---
-
−
π π ϕ ϕ π
2
0
32
0
3sin
3
1sinr = 325 r π = 32
88
5r π .
f) Volumul corpului obţinut în urma rotirii complete a arcadei unei cicloide
normale în jurul axei Oy este33
6 r V π = .
Demonstraţie.
∫=
r
xydxV
π
π
2
0
2 = ( )( )
∫−−
π
ϕ ϕ ϕ ϕ π
2
0
23cos1sin2 d r = 33
6 r π
g) Analog se demonstrază că volumul corpului obţinut în urma rotirii complete
a arcadei unei cicloide normale în jurul axei de simetrie este
−=
3
8
2
3 23 π π r V
adică [ ⋅
4
3(volumul cilindrului circumscris) - ⋅2 (volumul sferei înscrise)] .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 70/85
157
3.12. Epicicloida. Hipocicloida
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Dacă cercul de circumferinţa căruia este legat punctul M se rostogoleşte
nu pe o dreaptă ci pe un cerc fix se obţin două clase de curbe:
- Epicicloide – dacă cercul care se rostogoleşte se află în exteriorul cercului fix
(Fig. 30 (b))
- Hipocicloide – dacă cercul care se rostogoleşte se află în interiorul cercului fix
(Fig .30 (a), 31)
Fie O un cerc fix de rază R şi fie C un cerc de rază r care se rostogoleşte fără
alunecare pe cercul O . Notăm cu L curba descrisă de un punct M fixat în planul
cerculuiC în urma rostogolirii în jurul cercului O . Cercul C se numeşte cerc
generator iar cercul O se numeşte cerc director.
Curba L se numeşte epicicloidă normală (respectiv hipocicloidă normală )
dacă este descrisă de mişcarea unui punct M situat pe circumferinţa cercului generator,
adică r d CM == .
Curba L se numeşte epicicloidă prescurtată (respectiv hipocicloidă
prescurtată ) dacă punctul M este situat în interiorul cercului generator, adică dacă
r d CM <= .
Curba L se numeşte epicicloidă prelungită (respectiv hipocicloidă prelungită )
dacă punctul M este situat în exteriorul cercului generator, adică dacă r d CM >= .
Punctul de pornire A este situat pe dreapta 11 E C ce uneşte centrul 1C al
cercului generator cu punctul de suport1
E şi de aceeaşi parte cu 1 E faţă de 1C .
Punctele ' A , B , ' B sunt la rândul lor puncte de pornire.
In cazul epicicloidei normale (respectiv hipocicloidei normale) punctele de
pornire A , B , K sunt situate pe cercul director şi coincid cu punctele suport
corespunzătoare de pe cercul generator.
Vârful epicicloidei (respectiv hipocicloidei) este punctul situat pe dreapta
22 E C .
Cercul descris în urma mişcării centrului cercului generator se numeşte cercul
centrelor epicicloidei (respectiv hipocicloidei). Raza OC a cercului centrelor este dată
de:
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 71/85
158
r R EC OE OC +=+= în cazul epicicloidei
r R EC OE OC −=−= în cazul hipocicloidei
Fig. 30
Fig. 30
H
K
L
B
D
A
C
M
O
a)
B
K
L A
C
M
H
D
O
b)
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 72/85
159
Fig. 31
Construcţi e. Fie O cercul director de rază R , C cercul generator de rază r ,
M un punct fixat în planul cercului C şi fie CM d = (Fig. 23). Construim cercul
generator 0C de rază r , tangent exterior la cercul director O în cazul în care se
doreşte obţinerea unei epicicloide şi tangent interior la cercul director O în cazul în
care se doreşte obţinerea unei hipocicloide. Notăm cu V punctul de tangenţă.
Construim cercul de centru 0C şi rază d şi notăm cu0 M punctul în care dreapta OV
îl intersectează a doua oară. Punctul0 M astfel determinat este unul din vârfurile curbei
căutate.
Partiţionăm cercul 0C de rază d într-un număr par n2 de arce egale astfel
încât0 M să fie unul din punctele diviziunii. Fără a restrânge generalitatea presupunem
162 =n . Notăm cu n±±± ,.....,2,1,0 punctele diviziunii astfel încât 00 = M şi punctele
n− şi n+ coincid.
Construim cercul de centru O şi rază 0OC (cercul centrelor) şi din 0C
considerăm în sensul arcelor de ceasor nic în cazul epicicloidei (în sens contrar acelor
de ceasornic în cazul hipocicloidei) arculn
C C 0
astfel încât ( ) Rr C C mn
:180:0
= .
B
B'
AA' O
D'
L D
L'
C1 E1
E
E2
M
C
C2
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 73/85
160
Construim arcul simetric nC C −0 . Partiţionăm fiecare din cele două arce în n
părţi egale. Incepând din0
C notăm cunC C C ±±± ,....,, 21 punctele acestei partiţii.
Construim cercurile concentrice de centru O ce trec prin punctele
n±±± ,.....,2,1,0 . Pe primul din aceste cercuri se vor afla vârfurile curbei căutate iar pe
ultimul punctele de pornire.
Din punctele nC C C ,.....,, 21 ca centre construim semicercurile de rază d astfel
încât extremităţile lor să fie situate pe primul şi pe ultimul din cercurile concentrice.
Analog din punctele nC C C −−− ,.....,, 21 ca centre construim semicercurile de rază d
astfel încât extremităţile lor să fie situate pe primul şi pe ultimul din cercurile
concentrice şi rotite în jurul punctului O descriu cercurile notate cu n−−−− ,....,3,2,1 .
Fig. 32
O
AB
C0
M0
1
23
4
5
6
7
8±
-1-2
-3-4
-5
-6
-7
0
C2 C-2
M1 M-1
M5 M-5
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 74/85
161
Notăm cu 11 , − M M punctele în care semicercurile ( )d C 1 , ( )d C 1− intersectează cercul
concentric ce trece prin punctele 1± . Notăm cu22
, − M M punctele în care
semicercurile ( )d C 2 , ( )d C 2− intersectează cercul concentric ce trece prin punctele 2± .
Analog se obţin punctele n M M M ±±± ,....,, 43 . Toate aceste puncte sunt situate pe curba
căutată. Punctelen M ± coincid cu punctele de pornire B A, şi pot fi obţinute unind O cu
punctelenC ± .
In acest mod, prin construcţia prin puncte se obţine una din ramurile
epicicloidei sau hipocicloidei. Procedeul continuă până la completarea curbelor
căutate.
Ecuaţiile curbei
a) Ecuaţiile parametrice
In cazul epicicloidei acestea sunt:
( )
( )
+−+=
+−+=
ϕ ϕ
ϕ ϕ
r
r Rd r R y
r
r Rd r R x
sinsin
coscos
In cazul hipocicloidei acestea sunt:
( )
( )
−−−=
−+−=
ϕ ϕ
ϕ ϕ
r
r Rd r R y
r
r Rd r R x
sinsin
coscos
unde ϕ , în ambele cazuri, este unghiul de rotaţie al razei OC .
Demonstraţie. Pentru a determina ecuaţia epicicloidei considerăm:
( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=⋅−⋅=+== t r r RSMC CM KOC OC LQOLOQ x ϕ ϕ coscoscoscos
= ( ) ϕ ϕ r
r Rr r R
+−+ coscos .
( ) ( ) ( ) ( ) =+−+=⋅−⋅=−== t r r RSMC CM KOC OC RC LC QM y ϕ ϕ sinsinsinsin
= ( ) ϕ ϕ r
r Rr r R
+−+ sinsin .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 75/85
162
Observaţie. Ecuaţiile parametrice ale hipocicloidei se obţin din ecuaţiile
parametrice ale epicicloidei prin înlocuirea lui r cu r − şi d cu d − .
Caracteristici ale curbei. Orice epicicloidă este situată într -o coroană circularămărginită de două cercuri de raze d r R ++ şi respectiv d r R −+ . Pe primul din
aceste cercuri sunt situate vârfurile în timp ce pe cel de-al doilea sunt situate punctele
de pornire. Vârfurile epicicloidei sunt întotdeauna situate la o distanţă mai mare de
centrul O decât punctele de pornire.
Orice hipocicloidă este situată într -o coroană circulară mărginită de două
cercuri de raze d r R −− şi respectiv d r R +− . Pe primul din aceste cercuri sunt
situate vârfurile în timp ce pe cel de-al doilea sunt situate punctele de pornire. In cazul
în care r R > vârfurile hipocicloidei sunt siuate la o distanţă mai mică de centrul O
decât punctele de pornire. In cazul în care r R < vârfurile hipocicloidei sunt siuate la o
distanţă mai mare de centrul O decât punctele de pornire. In acest caz hipocicloidele
se numesc pericicloide.
In urma unei rotaţii în jurul punctului O sub un unghi multiplu de R
r π 2, o
epicicloidă (sau o hipocicloidă) ajunge să coincidă cu ea însăsi.Punctele de pornire ale unei epicicloide normale (sau hipocicloide normale)
sunt puncte de întoarcere.
In cazul în care raportul r R : este un întreg m , epicicloida este o curbă
algebrică închisă de ordin ( )12 +m iar hipocicloida este o curbă algebrică închisă de
ordin ( )12 −m .
In cazul în care raportul r R : este un număr fracţionar adică este de forma
q
p,
1≠q , epicicloida este o curbă algebrică de ordin q p +2 şi conţine p ramuri
congruente. In acest caz hipocicloida este o curbă algebrică de ordin q p −2 şi conţine
p ramuri congruente.
In cazul în care raportul r R : este un număr iraţional epicicloida (sau
hipocicloida) nu este închisă şi are un număr infinit de ramuri care se intersectează.
In cazul particular 2:3: =r R curba este de ordinul 10 şi conţine trei ramuri
congruente (Fig.33).
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 76/85
163
Fig. 33
Cazuri particulare.
Cazul 1. Pentru 1:2: =r R atât hipocicloida alungită cât şi cea scurtată sunt
elipse cu centrul în O . Semiaxele elipsei sunt date de d r a += şi d r b −= .
Extemităţile axei principale sunt punctele de pornire, extremităţile axei secundare sunt
vârfurile.
Dacă pentru 1:2: =r R diferenţa d r − tinde la 0 atunci axa secundară a
elipsei descreşte nedefinit şi axa principală tinde să coincidă cu diametrul cercului
director.
Hipocicloida normală obţinută în cazul ( )r d = este un segment de dreaptă - şi anume
diametrul cercului director ce uneşte punctele de pornire. Intr -o mişcare completă de
rotaţie a cercului generator acest diametru este trasat într-o direcţie pentru ca la
următoarea mişcare de rotaţie să fie trasat în direcţia opusă. In acest caz punctele de
pornire ale hipocicloidei normale sunt puncte de întoarcere.
Cazul 2. Pentru r R = epicicloida coicide cu un melc, iar în cazul particular în
care epicicloida este normală aceasta coincide cu cardioida.
Cazul 3. Pentru 1:4: =r R hipocicloida normală coicide cu astroida
(hipocicloida cu patru puncte de întoarcere) (Fig.34). Caracteristic acestei curbe este
XO
Y
MC
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 77/85
164
segmentul EF al tangentei, situat între două drepte perpendiculare ce trec prin două
perechi de puncte de pornire, a cărui lungime este R .
Ecuaţiile astroidei
a) Ecuaţia astroidei exprimată în coordonate carteziene este de forma:
32
32
32
R y x =+ .
b) Ecuaţiile parametrice ale astroidei sunt următoarele:
=
=
u R y
u R x
3
3
sin
cos.
Fig. 34
Cazuri limită.
Cazul 1. In cazul în care cercul director este de rază infinit şi cercul generator
are raza dată, epicicloida (sau hipocicloida) revine la o cicloidă cu raza egală cu cea a
cercului generator.
Cazul 2. Dacă raza cercului generator este infinită acesta se reduce la o dreaptăKL ce se rostogoleşte fără alunecare în jurul cercului director O (Fig.35). In acest caz
X
Y
B
D
C AO
F
E
F1
E1
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 78/85
165
epicicloida (sau hipocicloida) revine la o curbă descrisă de punctul M fix faţă de
dreapta KL . In cazul particular în care P M = este situat pe dreapta KL atunci curba
descrisă de M este desfăşurătoarea cercului director.
Fig. 35
Proprietăţi ale normalei şi tangentei. Normala dusă în punctul M al oricărei
epicicloide (sau hipocicloide) trece prin punctul de tangenţă E dintre cercurile
generator şi director. Tangenta la epicicloida (sau hipocicloida) normală trece prin
punctul ' E al cercului generator, diametral opus punctului E .
Lungimi şi arii
Lungimea unui arc al epicicloidei între două puncte 0=ϕ şi1
ϕ ϕ = este :
ϕ ϕ
ϕ
d r
Rrd d r
r
r Rs ∫ −+
+=
1
0
22
2cos2 .
Lungimea acestui arc este egală cu lungimea arcului corepunzător al unei elipse
definite de sistemul de ecuaţii parametrice:
BD
K
LO A
MM0
T
L0
K0
P
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 79/85
166
( )
( )
+−=
++=
r
R
R
r Rr d y
r
R
R
r Rr d x
2sin2
2cos2
ϕ
ϕ
.
Aria sectorului descris de raza OM care îşi începe mişcarea de rotaţie din
punctul de pornire al epicicloidei este dată de formula:
( )
+
−
++
+=
r
R
R
r Rd
r
d r R
r RS
ϕ ϕ sin
2
2
2
.
In cazul epicicloidei normale formula devine:
( )( )
−
++
= r
R
R
r r Rr R
S
ϕ
ϕ sin2
2
(Newton).
In cazul hipocicloidei se înlocuieşte în formulele de mai sus r cu r − .
In formulele de mai sus s-a presupus că şirurile valorilor parametrului ϕ pentru
care raza se roteşte în sens negativ mătură o arie negativă.
Aria sectorului descris de raza OM a unei epicicloide (sau hipocicloide)
normale când punctul M parcurge una din ramuri este dată de formula
( )( ) R
r Rr Rr S 21
±±= π ,
unde semnul "+" este considerat pentru epicicloidă iar "-" pentru hipocicloidă.
Aria corespunzătoare sectorului cercului director este dată de formula
Rr S π =2
.
Aria figurii mărginite de una din ramurile epicicloidei (sau hipocicloidei) şi
arcul corespunzător din cercul director este dată de formula:
R
r r SSS 23
2
21 ±=−= π .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 80/85
167
3.13. Tractrice
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Se numeşte tractrice locul geometric al punctelor care au proprietatea
că lungimea segmentului MP , ce uneşte punctul de tangenţă M cu punctul P de
intersecţie al acestei tangente cu o dreaptă dată X X ' , este o constantă dată a . X X '
se numeşte dreaptă directoare, punctul A al tractricei situat la distanţa cea mai mare de
dreapta directoare se numeşte vârf, perpendiculara OA dusă din vârf la dreapta
directoare se numeşte înălţimea tractricei (Fig.36).
Fig. 36
Construcţi e. Fie un segment de lungime dată a . Construim tractricea de
înălţime a . Fie X X ' o dreaptă dată. Aceasta va fi dreapta directoare. Fie O un punct
arbitrar pe dreapta X X ' . Construim cercul ( )aOC , . Construim dreapta X X OY '⊥ . Fie
A un punct pe OY astfel încât aOA = . Punctul A astfel determinat este vârfultractricei. Notăm cu B unul din punctele în care dreapta X X ' intresectează cercul
Y
N
L
C
P
A
U V
O
M
XI
D
-I
0’
4’
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 81/85
168
( )aOC , . Ducem prin A şi B tangentele la cercul ( )aOC , care se intersectează într -un
punct D . Pe segmentul a BD = construim o partiţie a cărei puncte le notăm cu
,....'3,'2,'1 astfel încât segmentele '......3,'2,'1, B B B BD să constituie o progresie
geometrică arbitrară. Altfel scris, q B B B B B BD ==== ...'3:'2'2:'1'1: .
Impărţim segmentul BD în două părţi egale. Notăm cu '4 punctul obţinut în urma
acestei partiţii. Impărţim segmentul '4 B în două părţi egale şi notăm cu '8 punctul
obţinut în urma acestei partiţii. Continuând procedeul obţinem un şir de segmente
,.....'16,'8,'4,'0 B B B B ce formează o progresie geometrică de raţie 21 . Construim
acum între '0 şi '4 punctele intermediare '3,'2,'1 . Determinăm mai întâi punctul '2
astfel încât '2 B este medie proporţională între '0 B şi '4 B . Impărţim '2 B astfel
construit în două părţi egale şi notăm cu '6 punctul obţinut în urma acestei partiţii.
Impărţim '6 B în două părţi egale şi notăm cu '10 punctul obţinut în urma acestei
partiţii. Am obţinut astfel un şir de segmente ,....'10,'8,'6,'4,'2,'0 B B B B B B ce
formează o progresie geometrică de raţie 21
2:1 . Construim acum punctul '1 astfel
încât segmentul '1 B este medie proporţională între '0 B şi '2 B . Notăm cu '5 mijlocul
segmentului '1 B şi cu '9 mijlocul segmentului '5 B . Construim punctul '3 astfel încât
segmentul '3 B este medie proporţională între '2 B şi '4 B . Notăm cu '7 mijlocul
segmentului '3 B şi cu '11 mijlocul segmetului '7 B . Procedeul continuă şi obţinem
astfel un şir de segmente:
'....11,'10,'9,'8,'7,'6,'5,'4,'3,'2,'1,'0 B B B B B B B B B B B B , ce formează o progresie
geometrică de raţie 41
2:1 .
Procedând analog putem obţine o serie geometrică de raţie 81
2:1 , 161
2:1 , etc.
Construim pe dreapta X X ' de o parte şi de alta a punctului O un şir de segmente de
lungimi egale d III II II I OI ==== ....))(()( , unde d se obţine din relaţia:
( )'1:ln: Baad = . In cazul în care valoarea raportului '1: Ba este aproape de 1 putem
considera din motive practice '1'0=d .
Unim punctele ,....'3,'2,'1 cu centrul O şi notăm punctele de intersecţie ale
dreptelor ,.....'3,'2,'1,'0 OOOO cu cercul ( )aOC , cu ,...3,2,1,0
Pe arcul BA construim punctele ,....3,2,1 astfel încât arcul 121 B B = , arcul
222 B B =
, etc. Prin punctele ,....3,2,1
astfel construite ducem paralele la dreapta
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 82/85
169
directoare X X ' . Construim semicercurile de centre ,....,, III II I +++ şi rază a orientate
în sens crescător şi semicercurile de centre ,....,, III II I −−− şi rază a orientate în sens
descrescător. Acestea sunt simertrice faţă de OA .
Perechile de puncte obţinute în urma intersecţiei acestor semicercuri cu
dreptele ce trec prin punctele ,....3,2,1 sunt puncte pe curba căutată.
Construcţia tangentei . Fie M un punct oarecate pe tractrice, A vârful acesteia
şi X X ' dreapta directoare. Cu piciorul compasului în M construim arcul de rază
aOA = . Acesta intersectează X X ' într-un punct P . PM este tangenta căutată.
Ecuaţiile tractricei
Ecuaţiile parametrice ale tractricei sunt următoarele:
ϕ
ϕ ϕ
sin
2lncos
a y
tgaa x
=
+=
unde, M P X ˆ=ϕ este unghiul pe care raza PM îl formează cu axa pozitivă a
coordonatelor ( )π ϕ <<0 .
Caracteristici ale curbei. Inălţimea OA (a cărei lungime este egală cu un
segment dat de lungime a ) este axă de simetrie. Dreapta OA este tangentă la tractrice
în punctul A care este punct de întoarcere. Tractricea este situată de o singură parte a
dreptei directoare iar ramurile sale tind către infinit. Dreapta directoare este asimptotă
pentru tractice.
Arii şi volume
Aria benzii infinite cuprinsă între tractrice şi asimptota sa X X ' este egală cu
jumătate din aria cercului de rază egală cu înălţimea tractricei:2
2
1aS π = .
Corpul obţinut în urma unei rotiri complete a tractricei în jurul asimptotei are
o suprafaţă finită de arie 2
1 4 aS π = a cărui volum este 3
3
2aV π = .
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 83/85
170
3.14. Lănţişorul
Definiţie şi construcţie
Definiţie. Se numeşte lanţ o coardă omogenă inextensibilă care atârnă între
două puncte de suspensie fixate. Punctul A se numeşte vârful lanţului (Fig.37).
Fig. 37
Construcţ ie. Considerăm pe tractricea de înălţime a un număr de puncte. Fie
' M unul dintre aceste puncte. Unim ' M cu P , centrul semicercului corespunzător
(Fig.37). Dreapta P M ' este tangenta în ' M la tractrice. Construim normala în ' M la
tractrice. Construim perpendiculara în P pe X X ' . Notăm cu M punctul de intersecţie
dintre cele două drepte astfel construite. Punctul M aparţine curbei căutate.
Observaţie. Normala ' MM a tractricei este tangenta la lanţul LAN . Lanţul
LAN de parametru a este desfăşurătoarea tractricei UAV de înălţime a . Lungimea
segmentului ' MM este egală cu lungimea arcului MA al lanţului. Proiecţia
segmentului PM pe normala la lanţ în M este a MH = . Din faptul că PH MM ' este
dreptunghi rezultă relaţia aP M MH == ' şi cum din construcţia tractricei aP M ='
rezultă a MH = .
X'XD P O
VU
H
M'
A
M
T
L
B
KK'
N
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 84/85
171
Ecuaţia lănţişorului
Considerăm X X ' axa coordonatelor situată la distanţa a sub vârful A şi fie
O originea sistemului de axe astfel încât X X OA '⊥ şi aOA = , unde a este un
parametru dat. In acest caz ecuaţia curbei este dată de ecuaţia:
+= −a
x
a
x
eea y2
.
Axa X X ' este paralelă cu tangenta în A la curbă şi este dreapta directoare a
lanţului.
Exemplu
The Golden Gate Bridge, San Francisco
5/12/2018 24777218 Mate Capitolul III - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/24777218-mate-capitolul-iii 85/85
172
Bibliografie
Daintith J., Nelson R. D. - Dictionary of Mathematics, The Penguin, 1989
Iline V., Pozniak E. - Géométrie Analytique, Mir, Moscou, 1985
Rouché E., de Comberousse Ch. - Traité de Géométrie, Gauthier-Villars, Paris, 1900
Tresse A., Thybaut A. - Cours de Géométrie Analytique, Librairie Armand
Colin, Paris, 1904
Vygodsky M. - Mathemathical Handbook , Mir Publishers, Moscow,
1987
*** - Les courbes de Chronomath :
serge.mehl.free.fr/base/index_cbe.html
*** - Visual Dictionary of Special Plane Curves:
xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/specialPlaneCur
ves.html
Recommended