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TEOREMAS BASICOS DE LA
RESOLUCION DE CIRCUITOS
UNIDAD N°°°° 6
Resolución de circuitos con una sola fuente de alimentación
Pasos a seguir :
• Identificar que elementos están en serie o en paralelo ( resistencias en
caso de C.C. o impedancias en caso de C.A. )
• Resolver los elementos que está en serie o en paralelo y reemplazarlos
por su equivalente
• Resolver aplicando este mismo método hasta llegar a un solo elemento
con la fuente
• Buscar la corriente que sale de la fuente aplicando ley de Ohm ( para CC.
o CA. )
• Retornar el camino contrario al realizado para obtener tensiones y
corrientes en cada elemento del circuito.
• Terminar cuando se logra encontrar el valor de la variable buscada (
tensión o corriente )
Ejemplo 1: Encuentre el valor de la corriente que circula por cada resistencia.
100 V
10 Ω
100 V
92 Ω
10 Ω 40 Ω
A
B
Asociando resistencias se tiene :
La tensión en A B esta dada por :
A
B
100 V
92 Ω
8 Ω
92 Ω
Ejercicio 1 : Encuentre el valor de la corriente que circula por cada resistencia.
y el valor de la potencia que disipa cada una y la potencia de la
fuente.
Ejercicio 2 : Encuentre el valor de la corriente que circula por cada resistencia.
y el valor de la potencia que disipa cada una y la potencia de la
fuente.
Una ayuda para verificar si lo que ha resuelto esta bien se observa en la
siguiente figura :
[Boylestad, 2011]
[Boylestad, 2011]
Resolución de un circuito aplicando método de Mallas
Malla : se define como malla a todo camino CERRADO en un circuito
eléctrico.
Una red eléctrica es una combinación de impedancias y fuentes de
tensión ( o corriente ) en serie o en paralelo. En el caso en que las
fuentes son constantes una vez que se ha alcanzado el estado
estacionario en la red (es decir sin considerar los transitorios) los
valores de corriente también son constantes.
Aplicando Kirchoff se puede decir que: La suma algebraica de las caídas
de potencial a lo largo de cualquier camino cerrado en una red, es nula .
Es lo mismo decir que todas las caídas de tensión en las resistencias
( impedancias ) de la malla es igual a la suma de todas las fuente que hay
en ella.
Se hará la salvedad de que en el primer miembro se colocara la tensión en
cada una de las resistencias ( impedancias ) de la malla y en el segundo
miembro se colocará todas las fuentes de tensión que aparece a lo largo
de la malla. Cuando una fuente se pasa de positivo a negativo su signo en
el segundo miembro es NEGATIVO y cuando se pasa de negativo a
positivo su signo es POSITIVO. Es decir :
I
- V
I
+ V
Ejemplo 2 : Resolver el siguiente circuito aplicando Mallas
ICIA
IB
4 Ω2 Ω
32 V 20 V8 ΩI II
Malla I : 32882 21 =Ω−Ω+Ω I)(I
Malla II : 20488 21 −=Ω+Ω+Ω− )(II
El planteo de estas mallas determina un sistema de ecuaciones el cual
puede resolverse a través de una calculadora que resuelva ecuaciones o
aplicando cualquiera de los métodos vistos para ello.
Aplicando determinantes se tiene :
−=+−
=−
20128
32810
21
21
II
II
56881210128
810=−−−=
−
−=∆ )(.)(.
Para ver si el sistema es compatible debemos encontrar primero "" ∆
568322010208
3210
22420812321220
832
=−−−=−−
=∆
=−−−=−
−=∆
)(.)(.
)(.)(.
y
x
Se concluye que :
El sistema de ecuaciones al que se debe llegar tendrá tantas ecuaciones
como incógnitas tiene el circuito tratando de plantear el mismo número de
mallas.
Luego encontramos los valores de y"x" ∆ "y" ∆∆∆∆
ampIIampIIyx
156
564
56
2242211 =⇒=
∆
∆==⇒=
∆
∆=
A simple vista se observan
DOS ventanas (también se
puede tener en cuenta la
externa pero no se toma)
A simple vista se observan
TRES ventanas (pueden
tenerse en cuenta varias
más pero no se toman)
Una regla para saber cuantas mallas deben plantearse es CONTAR el
número de VENTANAS que aparecen a simple vista en el circuito ( siempre
podrá plantearse mas mallas de las necesarias )
Para hallar el valor de corriente que circula por cada una de las resistencias
debe observarse como se relacionan en la misma los valores antes
encontrados.
En nuestro circuito se aprecia que en la resistencia de 2 ΩΩΩΩ solamente circula
la corriente encontrada I1 , en cambio por la resistencia de 8 ΩΩΩΩ circula hacia
ABAJO la corriente I1 y hacia ARRIBA la corriente I2 con lo cual deben
restarse el valor de cada una de ellas para hallar el valor de la corriente que
circula por la resistencia , el valor de la corriente que circula por la
resistencia de 4 ΩΩΩΩ es el valor de la corriente I2.
AmpIAmpIAmpI CBA 134 ===
ICIA
IB
4 Ω2 Ω
32 V 20 V8 Ω
100 Ω 150 Ω 20 Ω
100 Ω50 Ω 1
20 V10 V
Ejemplo 3 : Resuelva el siguiente circuito.
IIII II
Claramente se aprecian tres ventanas por lo que con tres mallas se resuelve
el circuito , quedando también a la vista que pueden plantearse mas mallas
como ser la malla externa a todo el circuito la cual sería redundante.
10050150 321 =+− III
001030050 321 =−+− III
200121000 321 −=+− III
Malla I :
Malla II :
Malla III :
160000100000001000000360000
12010002
1003000
05010
360000030000015000000005400000
1201000
10030050
050150
=−−−−++=
−−
−
−
=∆
=−−−++=
−
−−
−
=∆
)(x
800000
5000000050000900000
201000
003050
1050150
240000300000600000000
120200
100050
010150
−=
=−−−−++−=
−−
−
−
=∆
−=−+−++=
−
−−=∆
)(z
y
Amp.IAmp.IAmp.I 20060040 321 −=−==
Ejemplo 4 :
Este ejercicio es semejante en todo al anterior solo que se cambia la
fuente de tensión por una de corriente. Este simple cambio hace que el
planteo a través de Mallas sea mas sencillo ya que ahora son dos las
mallas y no tres como en el anteriormente se vio. Si bien la tercer malla
existe ya no es una incógnita el valor de corriente que por ella circula
debido a que esta impuesta por la fuente de corriente.
100 Ω 150 Ω 20 Ω
100 Ω50 Ω10 V1 AmpI II
0150150 21 =− II
0100130050 21 ====ΩΩΩΩ++++++++−−−− Amp.II
Malla I :
Malla II :
Surge de que al
circular corriente en
el mismo sentido que
lo hace la I2 se suma
ya que es una caída
mas en la malla II
−=+−
=−
00130050
0150150
21
21
II
II
14500)500(1500010050
10150
200050003000300100
5010
4250025004500030050
50150
−=−−−=−−
=∆
−=−=−
−=∆
=−=−
−=∆
y
x
Los valores correspondientes a las corrientes de malla son :
AmpIAmpI 341.0047.0 21 −=−=
Teniendo en cuenta que los dos resultados tienen signo negativo el sentido
adoptado en la malla es contrario al que realmente circula por ella.
Los valores de corriente reales que circulan por el circuito:
100 Ω 150 Ω 20 Ω
100 Ω50 Ω
1 Amp
I A I C
I B I D
I E
10 V
I D = 0.659 Amp
IA = 0.047 Amp
I B = 0.294 Amp
I C = 0.341 Amp
I E = 1 Amp
( ( (
III
Ejemplo 5 : Aplicando el método de mallas al siguiente circuito encuentre el
valor de la corriente .
( , , ( El valor de la corriente está dado por :
, ,
,
, , , .
Agrupando los reales y los imaginarios queda :
Teoremas para la resolución de circuitos.
Teorema de Thevenin : Todo circuito lineal y pasivo con dos terminales de
salida puede ser reemplazado por un circuito equivalente de Thevenin
formado por una fuente de tensión y una impedancia en serie.
El valor de la fuente de tensión es el que se mediría con un voltímetro en los
bornes de salida a circuito abierto , esto es sin impedancia de carga.
Ω
10Ω
1,875 Ω
La impedancia en serie es la que se mide en los terminales de salida cuando
todas las fuentes generadoras ( tensión y corriente ) son reemplazadas por
su impedancia interna.
Es de hacer notar que en la CARGA solamente se cumple que la
potencia puesta en juego es la misma en el circuito original y en el
equivalente. No se cumple para las demás partes del circuito.
El circuito equivalente al circuito original es :
RTH
A
B
A
B
VTH
CIRCUITO LINEAL
Y PASIVO EN C.C.
Cuando se tiene un circuito de corriente continua la equivalencia está dada
por :
Cuando se tiene un circuito de corriente alterna la equivalencia está dada
por :
ZTH
A
B
A
B
VTH
CIRCUITO LINEAL
Y PASIVO EN C.A.
Ejercicio de aplicación : Hallar el equivalente de Thevenin para el siguiente
circuito.
2 A
8 V
R L = 15 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
2 V
30 V
20 V
10 V
B
A
Este circuito puede ser resuelto por dos maneras diferentes, una
analizando la fuente de corriente en sí misma y la otra encontrando el
equivalente de tensión de la fuente de corriente y así trabajar solamente
con fuentes de tensión .
Aquí se resolverá usando la fuente de corriente dejando al alumno el
estudio del circuito haciendo el reemplazo de la fuente de corriente por la
de tensión.
Aplicando el teorema de superposición cuyo enunciado es :
TEOREMA DE SUPERPOSICION
En un circuito con varias excitaciones, el estado global del circuito
es la suma de los estados parciales que se obtienen considerando
por separado cada una de las excitaciones.
Los pasos que deben seguirse para aplicar a un circuito este teorema son:
1. Eliminar todos los generadores independientes menos uno y hallar la
respuesta debida solamente a dicho generador.
2. Repetir el primer paso para cada uno de los generadores independientes
que haya en el circuito.
3. Sumar las repuestas parciales obtenidas para cada generador.
Los generadores independientes de tensión se anulan cortocircuitándolos
(así se impone la condición de tensión generada nula), mientras que los de
corriente se anulan abriendo el circuito (corriente nula).
Para aplicar el teorema de Thevenin debe eliminarse la resistencia en donde
se desea encontrar el equivalente, en este caso la resistencia de carga RL. El
circuito entonces queda :
Se comienza con la fuente de corriente en estado activa y las de tensiones
desactivadas.
2 A
R L = 15 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
B
A
2 A5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
B
A
Haciendo algunas simplificaciones en el circuito se tiene :
Como se aprecia en el circuito la tensión en los puntos A y B se encontrará
obteniendo la tensión en los extremos de la resistencia de 50 ΩΩΩΩ por lo que
hace falta hallar la corriente que circula por dicha resistencia.
2 A5 ΩΩΩΩ
31 ΩΩΩΩ
Figura 3
I 1
M
N
2 A5 ΩΩΩΩ
15 ΩΩΩΩ
16 ΩΩΩΩ
Figura 2
I 1
N
M
P
2 A5 ΩΩΩΩ
15 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ 80 ΩΩΩΩ
Figura 1
I 1
I 2
M
N
P
En la figura puede verse que la tensión en los
extremos de la resistencia es :
Volts126,8306,4.Amp2VMN =Ω=2 A 4,3 ΩΩΩΩ
M
N
En la Figura 3 se ve que :
.Amp2778,0I31
VI 1
MN1 =⇒
Ω=
La tensión en P-N en la Figura 4
entonces es :
Volts444,416.IV 1PN =Ω=
2 A 5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
16 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ
I 1
N
M
P2 A 5 ΩΩΩΩ
31 ΩΩΩΩI 1
M
N
Ω=
80
VI PN
2
I2 = 0,055 Amp.I 2 = 0,0556 Amp.
Desactivando ahora la fuente de corriente y activando las fuentes de 8
Volts y de 30 Volts que están en la MISMA rama se tiene :
8 V
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ
30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
30 V
B
A
Entonces la corriente buscada según la Figura 1 será :
Reagrupando se llega a :
De la figura N° 5 se obtiene :
.Amp6111,0I36
Volts22I 1
'1' =⇒
Ω= Volts777,916IV 1
'
GH =Ω=
5 ΩΩΩΩ20 ΩΩΩΩ
16 ΩΩΩΩ
22 V
I 1´
figura N° 5
H
G
5 ΩΩΩΩ20 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ22 V I 2´
I 1´
figura N° 4
H
G
Luego de la figura N° 4 se calcula el valor de la corriente deseada :
⇒Ω
=80
VI GH
2'
.Amp1222,0I 2' =
Activando ahora la fuente de 20 Volts y desactivando las demás se tiene :
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
20 V
B
A
I 1´´
I 3´´
I 2´´
T
U
20 ΩΩΩΩ20 ΩΩΩΩ 80 ΩΩΩΩ
20 V
I 1´´ I 3´´
I 2´´
U
T
figura N° 6
16 ΩΩΩΩ20 ΩΩΩΩ
20 V
I 1´´
U
T
figura N° 7
.Amp555,0I36
V20I 1
''1'' =⇒
Ω=
16 ΩΩΩΩ20 ΩΩΩΩ
20 V
I 1´´
U
T
20 ΩΩΩΩ20 ΩΩΩΩ 80 ΩΩΩΩ
20 V
I 1´´ I 3´´
I 2´´
U
T
Volts888,816IV 1''
UT =Ω=
Ω=
80
VI UT
2''
.Amp111,0I 2'' =
Finalmente activando la fuente de 10 volts queda :
20 ΩΩΩΩ
30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ10 V
B
A
20 ΩΩΩΩ
I 1´´´I 3´´´
I 2´´´
10 ΩΩΩΩ
30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
10 V
I 2´´.Amp1111,0I 2
'' =
⇒Ω
=90
Volts10I 2
'''
Aplicando el teorema de superposición se obtiene la corriente total que
circula por la resistencia de 50 ΩΩΩΩ. Esto es :
2'''
2''
2'
2T2 IIIII −−+=
Se denota con el signo menos a aquellas corrientes que circulan de abajo
hacia arriba por la resistencia.
Amp0444,0Amp1111,0Amp1111,0Amp1222,0Amp0556,0I T2 −=−−+=
El signo menos indica que la corriente por la resistencia circula de abajo
hacia arriba y su valor es de 45 mA.
Amp0444,0I T2 =
Para halar el equivalente de Thevenin pedido se hace :
I 2T50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
2 VB
A
2,22 V
1 ΩΩΩΩ
2 VB
A
Volts2Volts22,2VTH −= Volts22,0VTH =
Encontremos ahora la resistencia de Thevenin. Para ello reemplazamos a
todas las fuentes por su resistencia interna. Con ello el circuito queda :
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
B
A
ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ 20 ΩΩΩΩ
30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
B
A
ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
B
A
ΩΩΩΩ 22.22 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
B
A
ΩΩΩΩ
Como puede observarse la resistencia de Thevenin es : Ω= 22,23R TH
Una vez encontrado el valor de la fuente de tensión y de la resistencia se
arma el circuito equivalente de Thevenin como se muestra a continuación.
0.22 V
B
A23.22 ΩΩΩΩ
R L = 15 ΩΩΩΩ
Para comprobar si realmente es un circuito equivalente debe calcularse la
corriente que por el circuito original circularía por la resistencia de carga
RL = 15 ΩΩΩΩ y por el equivalente de Thevenin encontrado para este circuito.
Esto se hace de la siguiente manera :
2 A
8 V
R L = 15 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
2 V
30 V
20 V
10 V
B
A
Haciendo el reemplazo de la fuente de corriente por la de tensión y dejando
en la malla de la izquierda solamente una fuente equivalente a las tres en
serie queda:
20 ΩΩΩΩ
20 V
R L = 15 ΩΩΩΩ
30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
2 V
10 V
B
A
32 V
20 ΩΩΩΩ
I I I I I I
Malla I :
Malla II :
Malla III :
V20V320I20I)2020(I 321 +=Ω+Ω−Ω+Ω
V10V2050I20I)503020(I 312 −−=Ω−Ω−Ω+Ω+Ω
V250I0I)15150(I 213 =Ω−Ω+Ω+Ω+Ω
2I66I50I0
30I50I100I20
52I0I20I40
321
321
321
=+−
−=−+−
=+−
−
−−
−
=
66500
5010020
02040
A
=
3
2
1
I
I
I
B
−=
2
30
52
C
3
2
1
*
F
F
F
266500
305010020
5202040
A
−
−−−
−
=
Aplicando el método matricial visto en álgebra se tiene :
Cuya matriz ampliada es :
El método de resolución matricial se describe a modo de ejemplo para que
el alumno vea las integración de los conceptos adquiridos durante la
carrera.
Actualmente con las calculadoras y computadoras personales el alumno
puede resolver el sistema por el método que considere más adecuado.
No es el objetivo de esta cátedra evaluar el método matemático usado.
3'3
21'2
1'
1
FF
F40F20F
FF
266500
160200036000
5202040
=
−−=
=
−
−
−
'2
'3
''3
'2
''2
1'
1''
1
F50F3600F
FF
FFF
80013760000
160200036000
5202040
−=
=
==
−
−
−
800I137600
160I2000I3600
52I0I20I40
3
32
321
−=
=+−
=+−
El sistema equivalente al sistema de partida es:
De las tres corrientes de mallas la que debemos encontrar es la de la malla 3
por lo que en el sistema equivalente la obtenemos directamente como :
mAAmpI 8,50058,0137600
8003 −=−=
−=
Para verificar el teorema de Thevenin debemos calcular la corriente que
circula por la resistencia de carga en dicho circuito.
.mA8,5Amp00575,022,38
Volts22,0IL ==
Ω=
R L = 15 ΩΩΩΩ0.22 V
B
A23.22 ΩΩΩΩ
Los cinco diezmilésimos de diferencia se
debe al redondeo hecho en los cálculos.
Teorema de Norton : Todo circuito lineal y pasivo con dos terminales de
salida puede ser reemplazado por un circuito equivalente de Norton formado
por una fuente de corriente y una resistencia en paralelo.
El valor de la fuente de corriente es el que se mediría con un amperímetro en
los bornes de salida a circuito abierto , esto es sin resistencia de carga.
La resistencia en paralelo es la que se mide en los terminales de salida
cuando todas las fuentes generadoras ( tensión y corriente ) son
reemplazadas por su resistencia interna.
Es de hacer notar que en la carga solamente se cumple que la potencia
puesta en juego es la misma en el circuito original y en el equivalente. No se
cumple para las demás partes del circuito.
RN
A
B
A
B
I NCIRCUITO LINEAL
Y PASIVO
2 A
8 V
R L = 15 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
20 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
2 V
30 V
20 V
10 V
B
A
Ejercicio de aplicación : Hallar el equivalente de Norton para el circuito ya
estudiado.
Reemplazando la fuente de corriente por una de tensión y cortocircuitando
la salida se tiene:
2I51I50I0
30I50I100I20
52I0I20I40
321
321
321
=+−
−=−+−
=+−
2 V B
20 ΩΩΩΩ30 V
8 V
5 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
5 ΩΩΩΩ 30 ΩΩΩΩ
50 ΩΩΩΩ
1 ΩΩΩΩ
20 V
10 VA
I
I I I I I
10 V
Se puede resolver este sistema también por el método de Cramer para
determinantes 3 X 3.
Como se desea solo hallar la corriente que pasa por el cortocircuito que es la
corriente de Norton debe encontrarse el valor de I3 lo que se hace de la
siguiente manera.
Amp,
)(
)(I
00960
83600
800
20400100000000204000
8006000000520008000
51500
5010020
02040
2500
3010020
522040
3
−−−−====
====−−−−
====++++++++−−−−++++++++++++++++−−−−++++++++
====
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
−−−−
−−−−−−−−
−−−−
====
El signo negativo significa que la corriente circula en sentido opuesto al dado
en un principio y su valor es de 9,6 mA.
Se sabe que la resistencia equivalente se saca de la misma manera que en
Thevenin por lo que su valor ya lo tenemos y es : RN = 23,22 ΩΩΩΩ.
El circuito equivalente en los terminales de salida entonces es :
De teoría se sabe que existe una equivalencia entre fuente de tensión y de
corriente que es aplicada entre estos teoremas, es decir que encontrando el
equivalente de Thevenin se encuentra el de Norton de la siguiente manera :
mAAmpV
R
VI
TH
THN 6,90095,0
22,23
22,0≅=
Ω==
De igual manera si se encuentra primero el equivalente de Norton se puede
hallar el equivalente de Thevenin de la siguiente manera :
Volts22,022,23.mA6,9R.IV NNTH =Ω==
9,6 mA RN = 23.22 Ω
Ejercicio de aplicación : Hallar el equivalente de Thevenin para el siguiente
circuito en la rama a – b .
, , , , Entonces la tensión de Thevenin es :
!"#$ !%& . , . , , !"#$ !%& , , , ,
La impedancia de Thevenin esta dada por el paralelo antes encontrado.
, , , ,
El método consiste en asignar a cada malla su corriente de malla como seanalizó en los circuitos anteriores.
Posteriormente reemplace la fuente de corriente por su resistencia interna( infinito ) es decir saque la fuente del circuito.
Aplique el método de mallas visto al circuito sin la fuente de corriente.
Método de súper malla
Relacione la corriente de súper malla con las corriente de las mallasindividuales
Hay veces en que una fuente de corriente esta en una rama sin su resistencia
en paralelo por lo cual no se la puede convertir en una fuente de tensión ni
se puede decir que la corriente que pasa por las mallas que comparten a esta
fuente circule la corriente de la misma. Un caso como este es el del siguiente
circuito.
Ejemplo : Determine las corriente en cada una de las ramas del circuito.
Se asignan las corrientes I1 e I2 en ambas mallas.
[Boylestad, 2011]
[Boylestad, 2011]
Reemplazando a la fuente de corriente por su resistencia interna y planteando
la malla correspondiente se encuentra la « corriente de súper malla"
Aplicando mallas a este último circuito se tiene :
Relacionando las corrientes de cada malla con la corriente de la fuente setiene :
Entonces queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.
[Boylestad, 2011]
Cuyo resultado es :
Llegando a la conclusión que el sentido que se adoptó para la corriente es en sentido opuesto al que circula realmente.
, '() , '()*
Ejercicio : Calcule el equivalente de Thevenin entre los puntos A-B. Verifíquelo
con una RL = 1 KΩ
A
500 mA2,2 KΩΩΩΩ
12 V
B
500 ΩΩΩΩ
750 ΩΩΩΩ
330 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ
82 ΩΩΩΩ
47 ΩΩΩΩ
5 V
• En la malla de la izquierda se ve que la corriente por dicha malla es fácil decalcular ya que la corriente se calcula por ley de Ohm
5 V
A
500 mA2,2 KΩΩΩΩ
12 V
B
500 ΩΩΩΩ
750 ΩΩΩΩ
330 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ
82 ΩΩΩΩ
47 ΩΩΩΩI
En este circuito se ven dos cosas fundamentales a saber :
• Para solucionar el problema de que dos mallas comparten la fuente decorriente debe plantearse el concepto de SUPER MALLA reemplazando lafuente de corriente por su resistencia equivalente.
Al haber encontrado ya la corriente de la malla de la izquierda puedeeliminarse de dicho circuito quedando :
12 V
47 ΩΩΩΩ
5 V
A
500 mA
B
500 ΩΩΩΩ
330 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ
82 ΩΩΩΩ
I I
I I I
IV
Al reemplazar la fuente por su resistencia el circuito queda :
12 V5 V
A B
500 ΩΩΩΩ
330 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ
129 ΩΩΩΩ
I I
I I I
IV
La súper malla se plantea por la parte externa del circuito como se observaen la próxima figura.
12 V5 V
A B
500 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ
129 ΩΩΩΩ
I I
I I I
Súper malla
IV
Entonces la ecuación de la súper malla está dada por :
Queda ahora la ecuación de la malla IV que está dada por :
La ecuación que se plantea en la rama en la que se encuentra la fuente decorriente compartida por ambas mallas es :
('()Entonces el sistema de ecuaciones correspondiente es :
,
El sistema así planteado finalmente queda :
,
Cuyas soluciones son :
, '() , '() , '()
La tensión de Thevenin esta dada por :
2200 Ω
!%& , '. +!%& , !
El valor de la resistencia de Thevenin se calcula como :
A B
2,2 KΩΩΩΩ
500 ΩΩΩΩ
750 ΩΩΩΩ
330 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ
82 ΩΩΩΩ
47 ΩΩΩΩ
A B
500 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ 129 ΩΩΩΩ
A B
500 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ22,33 ΩΩΩΩ
A B
522,33 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
El equivalente de Thevenin entonces es :
83,93 Ω
40,64 V 1 KΩIL
Verificación
5 V
A
500 mA2,2 KΩΩΩΩ
12 V
B
500 ΩΩΩΩ
750 ΩΩΩΩ 330 ΩΩΩΩ
100 ΩΩΩΩ
27 ΩΩΩΩ
82 ΩΩΩΩ
47 ΩΩΩΩI
1 KΩΩΩΩ
a
b
100 ΩΩΩΩ
12 V5 V
A
500 mA
B
500 ΩΩΩΩ
330ΩΩΩΩ
27ΩΩΩΩ
129 ΩΩΩΩ
I I
I I I
Supermalla
I V
1 KΩΩΩΩ
V
Completado el sistema queda :
Cuyas soluciones son :
Ejercicio : Calcule la corriente de carga del circuito para una resistencia de
carga de 2 KΩΩΩΩ
4 KΩ4 KΩ 4 KΩ
3 KΩ 3 KΩ3 KΩ3 KΩ12 V RL = 2 KΩ
6 KΩ 4 KΩ
Este circuito se conoce como ESCALERA por su semejanza con la misma.
Para encontrar el valor de la corriente por la RL conviene usar el método
conocido como asociación de resistencias( serie - paralelo ) hasta llegar a la
fuente y una vez obtenida la corriente que entrega la fuente aplicando Ohm y
Kirchoff encontrar el valor de la corriente por la carga. El circuito se resuelve
de arriba hacia abajo y luego en forma contraria.
6 KΩ
4 KΩ4 KΩ 4 KΩ
3 KΩ 3 KΩ3 KΩ3 KΩ12 V
6 KΩ
B
A C D E
B B B
2 KΩ
BB BB
4 KΩ4 KΩ 4 KΩ
3 KΩ 3 KΩ3 KΩ12 V
6 KΩ A C D E
I3I2I1I
12 V
4 KΩ4 KΩ
3 KΩ 2 KΩ3 KΩ
6 KΩ A C D
B B B
I2I1I
4 KΩ
2 KΩ3 KΩ12 V
6 KΩ A C
B B
I1I
2 KΩ12 V
6 KΩA
B
I
mAK
VI 5.1
8
12=
Ω=
mAK
VI AB 5.0
61 =
Ω=
VoltsKmAVAB 32.5.1 =Ω=
VoltsKmAVCB 12.5.0 =Ω=
2 KΩ
BB BB
4 KΩ4 KΩ 4 KΩ
3 KΩ 3 KΩ3 KΩ12 V
6 KΩ A C D E
I3I2I1I
AK
VI
BD µ5,556
3 =Ω
=
VoltsKAVEB 1,02.5,55 =Ω= µ
12 V
4 KΩ4 KΩ
3 KΩ 2 KΩ3 KΩ
6 KΩ A C D
B B B
I2I1I
mAK
VI
BC16,0
62 =
Ω=
VoltsKmAVDB 33,02.16,0 =Ω=
Una vez obtenida la tensión en los puntos EB se aplica la ley de Ohm :
AIK
V
K
VI L
EB
L µ5.186
1,0
6=⇒
Ω=
Ω=
4 KΩ4 KΩ 4 KΩ
3 KΩ 3 KΩ3 KΩ3 KΩ12 V RL = 2 KΩ
6 KΩ 4 KΩ
B B B B B
A C D E
IL
Ejercicio : Dado el siguiente esquema circuital encuentre el valor de tensiónde la fuente para que al colocar una resistencia de carga de 2 Ω circule porella 0,5 Amp.
VoltsampVMN 5,135,0 =Ω=
Amp5,03
VI
MN
1 =Ω
=
1 Ω
2 Ω 4 Ω 2 Ω 1 Ω
3 Ω6 Ω5 Ω
4 Ω
2 Ω0,5 Amp
E C A M
NBD
V = ?
I 2I 4I 6
I 1I 3I 5
L12 III += Amp1I2 =
NBMNAMAB VVVV ++=
Ω+Ω+Ω= 1.Amp13.Amp5,02.Amp1VAB
Volts5,4VAB =
Amp75,06
V5,4
6
VI
AB
3 =Ω
=Ω
=
Amp75,1Amp1Amp75,0III 234 =+=+=
BDABCACD VVVV ++=
Ω++Ω= 4.75,15,44.75,1 AmpVAmpVCD
VoltsVCD 5,18=
Amp7,35
VI
CD
5 =Ω
=
Amp45,5Amp7,3Amp75,1III 546 =+=+=
VAmpVVV CDECEC 5,182.45,5 +Ω=+=
Volts4,29V =
Ahora veremos el estudio de un sistema trifásico en conexión estrella con
carga equilibrada. Trataremos de obtener el valor de la corriente que circula
por el neutro.
Al ser carga equilibrada debemos , según la teoría , encontrar que por este
conductor no debe circular corriente.
Aplicaremos el método visto de mallas:
,5 -0,,5 -0,,5 -0,22020
2200 22020
,5 -0, 0 0 10 0 0 10 0 220 100 -0 0 ,5 -0, 0 0 10 0 0 190,52 0 -0 0 0 10 0 ,5 -0, 0 0 190,52
El planteo de cada malla es:
Cuya solución es : 0 6,579 -,90 6,08 -9,75
0 8,9 -2,58Realizando la suma en complejos resulta que la corriente por el neutro es:
06 0 0 007 6,08 -9,75 6,579 -,9 8,9 -2,58
07 0 -0
0
0
0
0 0
0 0 0 0 14010 20 30 40 50 60 70 80 90 130 150100 110 120-60 -50 -40 -30 -20 -10-80
1020
30
40
50
60
70
80
90
-20
-40
-10
100
110
120
130
140
-30
-50
-60
-70
-80
-90
-120
-130
-110-100
-70
, , , 131,3
, 121,6
G
R
Á
F
I
C
A
M
E
N
T
E
E
S
5 -
2 --522020
2200
22020
Ahora SE verá el estudio de un sistema trifásico en conexión estrella con carga
DESIQUILIBRADA. El objetivo es obtener el valor de la corriente que circula
por el neutro.
Se deja a cargo del alumno buscar este valor
6 KΩ
36 V
3 KΩ
El valor de la corriente por el circuito es:
mAK
VI 4
9
36=
Ω=
La tensión de Thevenin
Volts12KΩ3.A4VTH == m
La resistencia de Thevenin es:
3 KΩ6 KΩ Ω2000RΩ3000
1
Ω6000
1
R
1TH
TH
====⇒⇒⇒⇒++++====
Un circuito muy utilizado en electrónica está compuesto por :
EJERCICIOS DE APLICACION
Ejercicio Nº 1 : Obtener el equivalente de Thevenin y del resultado obtenga
el equivalente de Norton. En el circuito obtenga el valor de la corriente por la
resistencia de carga de 100 ΩΩΩΩ y compárelo con que se obtiene en el circuito
equivalente encontrado.
20 Ω
100 V
5 Ω
10 Ω
25 Ω
3 Ω
2 Ω
R L = 100 Ω
50 V
A
B
Ejercicio Nº 2 : Obtenga el circuito equivalente de Norton y con él obtenga
el equivalente de Thevenin. Elija usted el valor de una resistencia de carga y
verifique que el equivalente de Norton obtenido es igual en la carga que el
circuito original.
10 Ω
5 A35 Ω
4 Ω
15 Ω100 V
2 A
40 Ω
25 V
5 Ω
Ejercicio Nº 4 : Determine el equivalente de Norton del circuito aplicando
superposición.
7 V
8 A
B
4 ΩΩΩΩ
A
6 ΩΩΩΩ
Ejercicio Nº 3 : Encuentre la tensión que existe entre los puntos A - B
120 V36 A5 ΩΩΩΩ
B
20 ΩΩΩΩ
A
60 V
1.6 ΩΩΩΩ
8 ΩΩΩΩ
10 ΩΩΩΩ
+ 5 V
R L
- 10 V
A
B
4 KΩ
1.5 KΩ
1 KΩ8 KΩ
Ejercicio Nº 5 : Determine el equivalente de Thevenin y Norton del circuito.
1 KΩ
3 KΩ2 KΩ1 KΩ
2 KΩ
1 KΩ
4 A
5 V
Ejercicio Nº 6 : Empleando método de mallas, encuentre las tensiones ycorrientes en cada uno de los elementos del siguiente circuito. Indiquepolaridades y sentidos
14 KΩ
35 KΩ
6 KΩ
12 KΩ
9 mA
12 V
Ejercicio Nº 7 : Empleando Teorema de Superposición determine la corrienteen la resistencia de 6 KΩ. ( Indique el sentido).
1 A
5 Ω
4 Ω
3 Ω
6 Ω
A
B
Ejercicio Nº 8 : Encuentre los equivalentes de Thévenin y Norton entre lospuntos A y B.
Ejercicio Nº 9 : Para el circuito dela figura calcule el valor de :
• 89:"9;<=, :>, :?@:ABC;<("D;()9".
• 89=C"E"BF<9"FBEGHB@D;<<GBFF;F"9.• >"9GD9=G"I<"("=C"E;<E.
Problemas en C.A.
Respuestas
, '() , :> , ! , :A , ! ,
:? , !,
J ,
Ejercicio Nº 10 : Determine la impedancia total del siguiente circuito y la
corriente total que sale de la fuente.
Calcule la corriente en el capacitor y la tensión en la bobina.
Ejercicio Nº 12 : Aplique el método de mallas al siguiente circuito yencuentre el valor de la tensión :
Ejercicio Nº 13 : Encuentre el equivalente de Thevenin en la rama " "K
Rta : %& , , , , Rta : !%& , ,
Transformación de TRIANGULO a ESTRELLA
Existen redes en donde hay conexiones de resistencias ( o impedancias )que están conectadas tipo triángulo en que es difícil de encontrar el valor dela corriente que circula por cada una de las resistencias de la red. Este casose resuelve transformando la red en una conexión tipo estrella y de ahíobtener el valor de las corrientes y con ello el de las tensiones para asíencontrar lo pedido.
Para transformar una red triángulo a estrella se hace lo siguiente :
RA RB
RC
A
B C
R1
R3R2
A
B C
Entre A y B en la conexión triángulo se tiene :
CBA
CBA
RRR
)RR(R
++++++++++++
)RR(//R CBA ++++
Entre A y B en la conexión estrella se tiene :
21 RR ++++
RA RB
RC
A
B C
R1
R3R2
A
B C
Se concluye que para que haya equivalencia :
CBA
CBA21
RRR
)RR(RRR
++++++++++++
====++++ 1
Entre A y C en la conexión triángulo se tiene :
CAB
CAB
RRR
)RR(R
++++++++++++
)RR(//R CAB ++++
Entre A y C en la conexión estrella se tiene :
31 RR ++++
RA RB
RC
A
B C
R1
R3R2
A
B C
Se concluye que para que haya equivalencia :
CAB
CAB31
RRR
)RR(RRR
++++++++++++
====++++ 2
Entre B y C en la conexión triángulo se tiene :
BAC
BAC
RRR
)RR(R
++++++++++++
)RR(//R BAC ++++
Entre B y C en la conexión estrella se tiene :
32 RR ++++
RA RB
RC
A
B C
R1
R3R2
A
B C
Se concluye que para que haya equivalencia :
3
BAC
BAC32
RRR
)RR(RRR
++++++++++++
====++++
Restando y se tiene :1 2
CBA
CBA21
RRR
)RR(RRR
++++++++++++
====++++
CAB
CAB31
RRR
)RR(RRR
++++++++++++
====++++
CBA
CBABCABA32
RRR
RRRRRRRRRR
++++++++−−−−−−−−++++
====−−−−....
CBA
BAC32
RRR
)RRRRR
++++++++−−−−
====−−−−(.
4
Sumando y se tiene :3 4
CBA
BAC32
RRR
)RRRRR
++++++++−−−−
====−−−−(.
CBA
BAC32
RRR
)RRRRR
++++++++++++
====++++(.
CBA
BCACBCAC2
RRR
RRRRRRRRR2
++++++++−−−−++++++++
====....
CBA
AC
CBA
ACAC2
RRR
RR2
RRR
RRRRR2
++++++++====
++++++++++++
====....
CBA
AC2
RRR
RRR
++++++++====
.Se llega finalmente a :
Como se observa en este último recuadro la expresión que transforma detriángulo a estrella esta dada por: La resistencia de la conexión estrella que
llega al punto B es igual al producto de las resistencias que llegan a dicho
punto en la conexión triángulo dividida por la suma de las tres resistencias de
la conexión triángulo
Por ello las otras dos resistencias se encuentran de la siguiente manera:
RA RB
RC
A
B C
R1
R3R2
A
B C
CBA
BA1
RRR
RRR
++++++++====
.
CBA
CB3
RRR
RRR
++++++++====
.
20 V
8 Ω 4 Ω
8 Ω
3,4 Ω
6.8 Ω 8.4 Ω
Ejercicio 14 : Encuentre el valor de la corriente que circula por la resistencia
de 4 Ω
Haciendo la transformación de triángulo a estrella
8 Ω 4 Ω
8 Ω
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ==== 61R
848
48R 11 .
.
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ==== 23R
848
88R 22 .
.
ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ==== 61R
848
48R 33 .
.
R1
R2 R3
El circuito entonces queda :
20 V
3,4 Ω
6.8 Ω8.4 Ω
1.6 Ω
3.2 Ω 1.6 Ω
I1
A
B
C
I 2 I 3 D 20 V 10 Ω 10 Ω
5 ΩI 1
A
B
I 2 I 3
C
20 V
5 Ω
5 Ω
I1
Amp2Ω10
V20I 1 ========
A
B
V10Ω5.IV 1AB ========
Amp1Ω10
V10I 2 ========
Amp1Ω10
V10I 3 ========
Para encontrar el valor de la corriente quecircula por la resistencia de 4 Ω debeencontrarse la tensión entre los puntos CD
C
1.6 Ω
C
1.6 ΩA
D
I 1
I 3
ADCACD VVV ++++====
ΩΩΩΩ++++ΩΩΩΩ==== 61I61IV 31CD ,.,.
V4,8VCD ====
8 Ω 4 Ω
8 Ω
C
D
I
Ω4
VI CD====
Amp1,2I ====
Ejercicio 15 : Encuentre el equivalente de Thevenin en los terminales AB
10 A
8 Ω 34 Ω
10 Ω
10 Ω
10 Ω 30 Ω
B
A
10 A
8 Ω
10 Ω
10 Ω
10 Ω 30 Ω
A
B
10 A
6 Ω
2 Ω 6 Ω
8 Ω
A
B
10 Ω
Ω10.Amp10VAB ====
V100VTH ====
Para hallar la resistencia equivalentede Thevenin debe reemplazarse lafuente de corriente por su resistenciainterna ( en este caso infinita ).
ΩΩΩΩ==== 16R TH
10 A
6 Ω
6 Ω
A
B
10 Ω
10 Ω
6 Ω 6 Ω
A
B
10 Ω
10 Ω
Entonces el equivalente de Thevenin esta dado por:
100 V
16 Ω
R L = 34 ΩI L
Amp2IΩ50
V100I LL ========
Se deja a cargo del alumno encontrar la corriente de carga en el circuito
original y verificar si se cumple el teorema de Thevenin.
10 V
8 Ω 24 Ω
10 Ω
10 Ω
10 Ω 30 Ω
BA
Ejercicio N º 16 : Encuentre el equivalente de Thevenin en los terminales AB
Ejercicio Nº 17 : Se desea saber cual es la tensión de salida en el siguientecircuito.
1C
2CentV salVi
2Csal X.iV =
21 CC
ent
XX
Vi
+=
2
1
C
2CC
ent
sal X.XX
VV
+=
=+
=2
21
ent
salCw
1.
Cw
1
Cw
1
VV =
+=
2
21
12
ent
Cw
1.
C.C
CC.
w
1
V
entent
12
1
sal VKVCC
CV =
+=
entV
salVt
V
CUADRIPOLOS
Como ya se vio anteriormente, una red arbitraria de dos terminales compuesta por
fuentes y elementos pasivos puede representarse por un equivalente de Thevenin o
de Norton.
Un cuadripolo es un circuito eléctrico que tiene la particularidad de tener dos
pares de terminales, es decir cuatro terminales de ahí su nombre.
En esta sección se va a generalizar el concepto de circuito equivalente para incluir una
clase importante de redes de cuatro terminales denominadas cuadripolo.
Los circuitos equivalentes aquí usados tienen diversas aplicaciones, por ejemplo, en
electrónica como modelo lineales de dispositivos físicos, en comunicaciones y
sistemas de transmisión de potencia para simplificar el análisis de circuitos usados,
etc.
Es importante destacar que se dispone de una teoría completa respecto a las redes de
dos terminales de entrada y dos de salida. En esa teoría se consideran también no solo
componentes pasivos, sino que también dispositivos activos.
Estas redes se construyen de acuerdo a arreglos comunes tales como: circuitos tipo T
o tipo π (Triángulo o Pi ) ,tipo H, etc.
Circuito tipo T Circuito tipo π Circuito tipo H
Ello tiene una importancia trascendente en los transistores bipolares y en los de efecto de
campo, ya que las características impresas en los manuales se especifican de acuerdo a la
teoría de cuadripolos.
En la siguiente figura se pueden observar algunos cuadripolos comunes que se utilizan con
componentes pasivos.
Circuito Atenuador o LCircuito puente
( pasivo no lineal )
Transformador
Clasificación de los cuadripolos
De acuerdo a lo visto en las figuras los cuadripolos se pueden clasificar según los siguientes
criterios:
a) Según el tipo de elementos que incluyan en:
• Activos : Son aquellos que incluyen
componentes tales como transistores y
fuentes. La potencia de salida por ello es
mayor que la de entrada.
• Pasivos : Son aquellos que incluyen resistencias, inductores, capacitores, diodos ,
etc. La potencia de salida es menor que la de entrada.
b) Según las características de los elementos incluidos en:
• Lineales : Son aquellos que incluyen elementos lineales tales como resistencias ,
inductancias y capacitores.
• No lineales : Son aquellos que poseen componentes tales como termistores, diodos,
amplificadores, etc.
c) Según el sentido de transferencia de la energía:
• Bilaterales : Estos cuadripolos conducen energía en cualquiera de los dos sentidos ,
como por ejemplo una red pasiva T , Pi o un cable coaxial.
• Unilaterales : Poseen componentes tales como amplificadores o diodos que
solamente permite que la energía circule en un solo sentido.
d) Según el tipo de configuración:
• Balanceados : Son aquellos que poseen un eje de simetría longitudinal, por
ejemplo H, o línea de conductores paralelo.
• Desbalanceados : Son aquellos que no poseen un eje de simetría longitudinal.
• Simétricos : Poseen un eje de simetría transversal, por ej. la configuración T.
En este caso se pueden permutar ambos pares de terminales y el
circuito externo no lo nota. Otro ejemplo es el conductor coaxial.
• Asimétricos : Que no poseen ningún eje de simetría transversal , por ej. Transistores.
Dejan pasar la energía en un solo sentido.
Estas configuraciones, se pueden estudiar midiendo las tensiones y corrientes en
ambos terminales del cuadripolo, de acuerdo a que poseen dos de " entrada (1) " y dos
de " salida (2) ". A cada par de terminales de cada lado se lo llama “ puerto ”, por lo
que el cuadripolo tiene dos puertos. Se debe cumplir que la corriente que entra en un
terminal de un puerto es igual a la corriente que sale del otro terminal de ese
mismo puerto.
Por ello se genera una función implícita de cuatro variables, identificada así:
L M, M, 0, 0 0En la cual: V 1 e I 1 es la tensión y corriente de la entrada y V 2 e I 2 , las de salida.
0M
0M
+ +
- -00
Problemas a tratar con cuadripolos
Planteada esta función, es lógico suponer que esta nueva herramienta permitirá
atacar circuitos o mallas desconocidos o cajas negras con dos pares de terminales
de entrada y dos de salida. Mediante mediciones de tensión y corriente en ciertas
condiciones se podrá resolver los siguientes problemas que en general se presentan:
a) Problemas de transferencia:
Para estos casos, se trata de la determinación de la tensión o corriente en un par de
terminales en función de la tensión o corriente en el otro par. Es particularmente útil
realizar este estudio, ya que en base a algunos parámetros que se pueden determinar
en el cuadripolo, se pueden analizar con los pares de terminales abiertos o en
cortocircuito.
c) El problema de la inserción:
Surge del efecto que produce la inserción (colocación) de un cuadripolo en una red. El
ejemplo típico son los filtros, ya sean pasivos o activos. En este caso se trata de
determinar la respuesta en frecuencia. Con este procedimiento se pueden calcular
pérdidas de frecuencia por inserción, como así también, en algunos casos, la potencia.
b) El problema de la transmisión:
En este caso, se trata de la determinación de la potencia en un par de terminales
en función de la potencia en el otro par. El ejemplo típico es aquella configuración
que trasmite energía. Por ejemplo un cable coaxial.
A partir de los problemas planteados, y tomando en cuenta ,
se pueden plantear una serie de ecuaciones, parámetros y matrices características
que permiten simplificar el estudio de los diferentes problemas planteados
precedentemente.
L M, M, 0, 0 0
Así entonces, dado el cuadripolo de la
Figura con la nomenclatura allí expuesta y
con la medición de tensiones y corrientes,
se tiene una función implícita de cuatro
variables , que permite obtener seis
combinaciones o ecuaciones lineales a
saber:
0M
0M
+ +
- -
NM O(0, 0M O(0, 0 N0 O(M, M0 O(M, M NM O(0, M0 O(0, M
NM O(M, 00 O(M, 0 N0 O(M, 0M O(M, 0 NM O(M, 00 O(M, 0Con ellas, se pueden escribir las siguientes, igualdades que relacionan las entradas y
salidas mediante parámetros específicos a saber:
NM Q0 Q0M Q0 Q0 N0 RM RM0 RM RMNM ℎ0 ℎM0 ℎ0 ℎM N 0 TM T0M TM T0N M UM V00 WM X0
Z ; Y ; A ; B ; C ; D ; h y g se denominan parámetros de las ecuaciones y son quienes
relacionan las entradas con las salidas de acuerdo a las combinaciones vistas. Los
nombres de los parámetros son : impedancia Z ; Admitancia Y ; Generales de
Transmisión A, B, C, D ; Híbridos h y Trasconductancia g.
Caracterización con los parámetros
Los parámetros de los cuadripolos expresan diferentes características del circuito de
donde proviene. Analizando sus valores se pueden sacar conclusiones del cuadripolo .
Los parámetros con subíndices iguales se denominan de entrada y salida:
Q , Q , R , R , ℎ , ℎ , T , T , A y D
Los parámetros con subíndice distintos son denominados de transferencia porque
relacionan la entrada con la salida o viceversa.
Q , Q , R , R , ℎ , ℎ , T , T , B y C
A continuación se realizará un análisis de los parámetros, ya que ellos entregan
información importante:
a) Si los parámetros de transferencia son nulos: Ello indica que las variaciones
de la entrada (o salida) no modifican a la salida (o a la entrada) lo que indica que los
circuitos de entrada y salida son independientes.
Q = Q = R = R = ℎ = ℎ = T = T = 0
b) Si los parámetros de transferencia son nulos en un solo sentido: Significa que
variando la tensión o corriente en un par de terminales, no varía en el otro y si a la
inversa. Se dice que el cuadripolo es unilateral.
Q ≠ 0; Q 0[Q ≠ 0; Q 0R ≠ 0; R 0[R ≠ 0; R 0ℎ ≠ 0; ℎ 0[ℎ ≠ 0; ℎ 0T ≠ 0; T 0[T ≠ 0; T 0
c) Si los parámetros de transferencia son iguales entre sí y distintos de cero : Se
transfiere energía con facilidad en ambos sentidos. Se denomina al cuadripolo bilateral y
pasivo.
Q = Q ≠ 0 ; R = R ≠ 0 ; ℎ = ℎ ≠ 0 ; T = T ≠ 0d) Si los parámetros de transferencia son distintos entre sí y distintos de
cero : Esta condición indica que se transfiere energía con distinto valor en los dos sentidos.
Q ≠ Q ≠ 0 ; R≠ R ≠ 0 ; ℎ ≠ ℎ ≠ 0 ; T ≠ T ≠ 0e) Si los parámetros de entrada y salida, admitancia e impedancia, son iguales
entre si y distintos de cero : Significa que las impedancias y admitancias de entrada y
salida son iguales; el cuadripolo es eléctricamente simétrico.
Q = Q ≠ 0 ; R = R ≠ 0
f) Si las admitancias e impedancias de entrada y salida son distintas entre sí :
Significa que los cuadripolos son eléctricamente asimétricos.
Q ≠ Q ; R ≠ RObtención de los parámetros de un cuadripolo
Los distintos parámetros de un cuadripolo se pueden obtener de dos formas:
a) POR ENSAYO : Midiendo las tensiones y corrientes de los puertos se calculan los
parámetros Z, Y ,...
b) POR CÁLCULO : Conociendo los componentes interno del cuadripolo se calculan los
parámetros Z, Y, ...
En ambos casos se parte de las ecuaciones correspondientes a los parámetros que se
desea obtener.
A continuación se obtienen los parámetros por experimentación y en secciones
posteriores se obtendrán los diferentes parámetros por cálculo en algunos cuadripolos
particulares.
• Obtención de los parámetros de Impedancia Z por ensayo
Si el CIRCUITO ES LINEAL, las ecuaciones se pueden obtener como superposición de
respuestas de fuentes de corriente (o tensión) conectadas en los dos lados.
Si se coloca una fuente de tensión (o corriente) en la entrada y la salida se deja a circuito
abierto, resultará I 2 = 0 y de la ecuación de Z se obtiene
NM Q0 Q0M Q0 Q00
M0 = 0
M ≠ 0
En este caso se realiza la medición de las tensiones y corrientes de los puertos y se
calculan los parámetros Z.
A partir de la ecuación de los parámetros de impedancia
NM Q0 Q0M Q0 Q0 M Q0 Q M0 0 0
NM Q0 Q0M Q0 Q0 M Q0 Q M0 0 0Si se coloca una fuente de tensión (o corriente)
en la salida y la entrada se deja a circuito
abierto, resulta I2 = 0 y de la ecuación de Z se
obtiene :
NM Q0 Q0M Q0 Q0 M Q0 Q M0 0 0
NM Q0 Q0M Q0 Q0 M Q0 Q M0 0 0
0= 0
M ≠ 0
0M
De esta manera se observa que para encontrar en forma experimental los parámetros
de impedancia hay que colocar alimentación y la salida o la entrada en circuito abierto y
medir los valores de tensión y corriente adecuados.
• Obtención de los parámetros de Admitancia Y por ensayo
En este caso se realiza la medición de las tensiones y corrientes de los puertos y se
calculan los parámetros Y.
A partir de la ecuación de los parámetros de impedancia.
N0 RM RM0 RM RM0
M0
M 0Cortocircuitando la salida se tiene :
N0 RM R00 RM R0 0 RM R 0M M 0
N0 RM R00 RM R0 0 RM R 0M M 0Si se coloca una fuente de tensión (o corriente)
en la salida y la entrada se deja en cortocircuito
resulta V 1 = 0 y de la ecuación de Z se obtiene :
N0 R0 RM0 R0 RM 0 RM R 0M M 0
0 RM R 0M M 0
0M 0
0M
N0 R0 RM0 R0 RM
Ejemplo de como encontrar los parámetros Z en un cuadripolo cualquiera.QQ
NM Q0 Q0M Q0 Q0
Colocando una fuente de tensión en la entrada
circulará por ella una cierta corriente
Para hallar los parámetros Q y Qse aplica :
En el circuito se aprecia que:
M 0 Q Q
M0 Q QQ Q Q
Q
QM 0 0 0
Q
QM 0 0 0NM Q0 Q0M Q0 Q0Se aprecia en el circuito que la tensión de salida está dada por : M 0. Q
M0 QQ QColocando ahora una fuente en la salida se tiene :
QQ M00 0
NM Q0 Q0M Q0 Q0Aplicando lo visto se tiene :
M 0. Q M0 Q Q Q
M 0. Q M0 Q Q QDe igual manera :
Trataremos ahora encontrar los parámetros Y en este cuadripolo .
N0 RM RM0 RM RM
0M
0M 0Cortocircuitando la salida se tiene :
N0 RM R00 RM R0
Cortocircuitando la salida se tiene
0 0Q
M QI 0
M 0. Q 0M Q R Q
M 0. Q 0M Q R Q
Cortocircuitando la entrada se tiene
0Q
MQ0
N0 RM RM0 RM RM
M 0. Q]^_`a
0M Q R QM 0. Q
R Q Q
M 0. Q Q
0M Q Q
Paso de los parámetros de impedancia y admitancia a parámetros de transmisión
Dado que tienen importancia los cuadripolos transmitiendo energía, convendrá ahora
determinar los parámetros generales de transmisión ( A, B, C y D ), a partir de
considerar las impedancias ( Z ) y admitancias ( Y ). En otras palabras ello se
obtendrá realizando mediciones en condiciones de circuito abierto ( parámetros Z )
o en cortocircuito ( parámetros Y ). Ello permitirá identificar a estas cajas negras. A
partir de aquí se obtendrán los parámetros generales que accederán a identificar al
circuito, de acuerdo a lo expresado en párrafos anteriores. El esquema a considerar es el
siguiente, en el cual a I 2 se le ha invertido el sentido, ya que el cuadripolo se
comporta transmitiendo energía desde 1 a 2.0M
0M
+ +
- -N M UM V00 WM X0Parámetros Transmisión
La inversión de la corriente se aplicará a las ecuaciones lineales de impedancia y
admitancia
NM Q0 Q0M Q0 Q0
N0 RM RM0 RM RM
NM Q0 Q0M Q0 Q0N0 RM RM0 RM RM
Esto se hace para adecuarlos a los parámetros generales que se plantearon.
1
1De la segunda ecuación de se llega a : M Q0 Q0Q0 M Q00 Q M QQ 0
Comparando con 0 WM X0W QX QQ
Reemplazando el valor de I 1 en la primer ecuación de la queda :1
M Q M 0 Q0Q QQResultando :
M M 0QQ QQQ QComparándola con :
M UM V0U QQ
V QQQ Q
Realizando ahora el mismo procedimiento, pero para los parámetros Y se obtiene:
V RU RR X RRW R RRRAnálisis de los parámetros de transmisión
Volviendo ahora a los parámetros de la impedancia, y teniendo en cuenta las
ecuaciones, se puede construir el determinante de los mismos así:
U VW X U. X V. WReemplazando los valores encontrados se tiene que :
QQ QQQ QQ QQ
QQ QQ QQQQ Q
QQ QQ QQQQ QQ QQ QQ QQQQ QQ
Por ello: U. X V. W QQEn esta ecuación se observa que si los cuatro parámetros de impedancia son
distintos, resulta una red en la cual los parámetros son independientes.
Pero si dos de ellos son iguales, caso de Q Q RESULTA BILATERAL (se
encuentra también paraR R ), por lo que solamente hay tres parámetros
independientes, y en ese caso el determinante es igual a 1.
Con el análisis realizado, se pueden estudiar dos configuraciones muy comunes y que
son: la red estrella o T y la triángulo o Pi. Por razones de simpleza y mejor
aprovechamiento matemático, se estudiará la red T mediante los parámetros Z y la Pi
con los parámetros Y.
Redes T Caracterización con parámetros de impedancia
Para ello entonces, primero se comienza con los parámetros Z en la red T (ecuaciones de
nodo), los elementos que están en serie son impedancias, y las que están en paralelo,
admitancias.
Por otro lado, este tipo de cuadripolo se estudiará en primer lugar haciendo el
análisis desde la entrada con la salida sin carga (abierta), por lo que I 2 será cero;
posteriormente se realiza el análisis, de igual forma pero desde la salida.
0M
0 0M
+ +
- -
Q QR
Escribiendo nuevamente las ecuaciones de los parámetros Z :
NM Q0 Q0M Q0 Q0Despejando en cada caso los parámetros Z se obtiene :
Q M0 0 0Q M0 0 0
Q M0 0 Q R0
Q M0 0 R0
Q Q R Q R
0 0M
0M
+ +
- -
Q QR
Para I 1 = 0 , esto es que la entrada está abierta y por lo tanto
Q M0 0 0
Q M0 0 0 Q M0 0 Q R0
Q M0 0 R0
Q Q RQ R
Ahora, para afianzar los conocimientos que se están adquiriendo, se propone un
ejemplo con componentes pasivos tales como resistencias.
Se deberán encontrar los valores de A, B, C y D y catalogar el tipo de cuadripolo.
Si Q≠ Q el cuadripolo es BILATERAL y ASIMETRICO
Si Q Q el cuadripolo es BILATERAL y SIMETRICO
0M
0 0M
+ +
- -
Q 8 Q 0R 0,#
Q M0 0 0Q M0 0 0
Q Q R 8 0,# 8
Q R 0,# 0
Desde V 1 con I 2 = 0 (salida abierta)
Veamos un ejemplo :
0 0 0M
+ +
-
Q 8 Q 0R 0,#M
-
Q M0 0 0Q M0 0 0
Q Q R 0 0,# 20
Q R 0,# 0
Desde V 2 con I 1 = 0 ( entrada abierta )
Recordando los parámetros de trasmisión en función de las impedancias
W Q X QQU QQ
V QQQ Q Q R Q RR R Q. Q. R Q Q
Reemplazando se llega a :
U QQ Q RR Q. R
V QQQ Q
W R R
X QQ Q RR Q. R
Se puede observar que el cuadripolo no es simétrico pero si es bilateral , en cuanto a
los parámetros A, B, C y D se tiene :
U Q. R 8. 0,# ,8V Q. Q. R Q Q 8. 0. 0,# 8 0 26W R 0,#X Q. R 0. 0,# 2Aplicando el determinante de los parámetros, se obtiene:
U VW X U. X V. W ,8. 2 26. 0, Caracterización con Parámetros de admitancia
Ahora se analizará el caso de la red Pi, tal como se observa en la siguiente figura :
Se aplican las ecuaciones de admitancia N0 RM RM0 RM RM
0 0 0M
+ +
-
R RQ
M-
R R QR Q
R R RR Q
U R. Q V QW R. Q R. Q QX R. Q
La obtención de las admitancias se realiza con la salida y entrada en cortocircuito, o
sea en un caso V 2 = 0 y en el otro V 1 = 0 . Haciendo un análisis similar se llega a :
Debe tenerse en cuenta que la información que se obtiene de parámetros Z e Y y de
transmisión, es a partir exclusivamente de mediciones a circuito abierto y en
cortocircuito, lo que permite caracterizar al cuadripolo y encuadrarlo en los tipos
conocidos.
Cuando se vean los parámetros híbridos y trasconductancia, en asignaturas del próximo
semestre estos permitirán definir características típicas de dispositivos activos tales
como transistores bipolares y de efecto de campo. Estas características son las que
los fabricantes especifican en los manuales de estos dispositivos.
Parámetros Híbridos
Estos parámetros identifican generalmente a las características de los transistores
bipolares. Los mismos se identifican con una fuente de tensión y otra de corriente;
de allí el nombre de híbridos. Resulta la expresión general
NM ℎ0 ℎM0 ℎ0 ℎM
En la Figura se observa el circuito equivalente cuando se utilizan parámetros Híbridos.
Se puede observar que en la entrada el circuito equivalente está formado por una
fuente de tensión. En cambio, en el circuito de salida el circuito equivalente está formado
por una fuente de corriente.
M M
00 ℎ
ℎ. M ℎ. 0ℎ
+
-
+
-
En los TRANSISTORES BIPOLARES cada uno de los parámetros recibe nombres
particulares
ℎ Impedancia de Entrada del Transistor (con la salida en Cortocircuito)
Ganancia de Tensión Inversa (con Entrada en Circuito Abierto)ℎ
ℎ Ganancia de Corriente Directa (con la salida en Cortocircuito)
Admitancia de Salida con la entrada en Circuito Abiertoℎ El problema de transmisión : Impedancia Característica.
Estas redes poseen una impedancia que se denomina impedancia característica Zo.
Esta impedancia es la que se observa desde un extremo del conductor con la salida
cargada con la misma impedancia (recordar el teorema de máxima transferencia de
potencia).
Esto es característico en forma general para conductores especiales tales como los
cables coaxiales o conductores paralelos utilizados para transmitir potencia en alta
frecuencia.
Se puede decir que diez metros lineales de cable coaxil, por ejemplo está
representado por un cuadripolo característico cuyas impedancias están perfectamente
distribuidas.
Las redes de transmisión tanto de datos como de energía son simétricas y bilaterales.
Cabe ahora una pregunta: ¿ habrá algún valor de la impedancia de salida para el que
la impedancia de entrada sea igual a la de salida ? ; ¿ Se podrán realizar ajustes en Z2 hasta
que Z2 = Z1 ?
Si es posible realizar este ajuste y a esta impedancia se le ha dado el nombre de
impedancia imagen ¨¨El valor de ¨¨ puede encontrarse en función de los parámetros , B y C que caracterizan
a la red. Realizando los cálculos correspondientes ( no de interés en esta cátedra) se llega a
:
Qc VWSe puede llegar a encontrar de una manera mucho más simple y común
utilizando las impedancias de entrada en circuito abierto y en corto circuito
Qc Q defged`fd_`ge . Q(hi`]fge
Veamos un ejemplo : Q 0 Q 0R 0,
V Q. Q. R Q Q 0. 0. 0,# 0 0 0W R 0,#Qc VW 00,# 7,2
También puede calcularse como :
Q 0 Q 0R 0, Q(defge Q R . QR Q 5
Q(hi`]fge Q R 20Q 0 Q 0
R 0,
Qc 520 7,2
Q 0 Q 0R 0,# Qj 7,2
Esto significa que colocando una carga de 17,32 Ω en la salida puede calcularse la
impedancia de entrada al cuadripolo y ver que valor tiene.
Q]kgfhlh 0 0, 27,2 0, 27,2 7,2Con ello, y tal como se esperaba la impedancia de entrada es igual a la
impedancia de salida cuando la impedancia es la característica.
MUCHAS GRACIAS
" Introducción al análisis de circuitos "
Autor : Robert L. Boylestad - decimo segunda edición
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