View
219
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 1/29
CONTINUIDAD
Y LÍMITESLATERALES DEFUNCIONES
Ing. Carlos José SandovalReyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 2/29
En la fgura se identifcan tres valores de x en los que la gráfca de f no es
continua. En los demás puntos del intervalo (a, b), la gráfca de f no sure
interrupciones y es continua.
CONTINUIDAD EN UN PUNTO Y EN UN INTERVALO ABIERTO
DISCONTINUIDAD
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 3/29
f no es continua en1. La función no está denida en .
2. No eiste e! !"#ite de f $ x % en .
3. E! !"#ite de f $ x % en eiste& 'e(o no es i)ua! a f $c%*
E+ERCICIO, !u" unciones se dice que son continuas en dic#o intervalo$
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 4/29
CONTINUIDAD%i no se da ninguna de las tres condiciones anteriores, se dice que la unci&n f es
continua en c. 'ecir que una unci&n es continua en , signifca que no #ay
interrupciones de la gráfca deen c (la gráfca no tiene #uecos o saltos).
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 5/29
onsiderar un intervalo aierto I que contiene un n*mero real c. %i una unci&n
f está defnida en I (e+cepto, posilemente, en c) y no es continua en c, se
dice que f tiene una discontinuidad en c.
as discontinuidades se clasifcan en dos categor-as e-ita.!es o
(e#o-i.!es& e ine-ita.!es o no (e#o-i.!es. %e dice que una discontinuidad
en c es evitale o removile si f se puede #acer continua defniendo (o
redefniendo) apropiadamente f (c).
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 6/29
E+EM/LO, Continuidad de una función
/nali0ar la continuidad de
a) El dominio de f lo constituyen todos los
n*meros reales distintos de cero. /
partir del teorema de límite de
funciones polinómicas y racionales, se
puede concluir que f es continua en
todos los valores de x de su dominio.
En , f tiene una discontinuidad
inevitable, como se muestra en la
fgura.
o #ay modo de defnir f () para #acer
que la nueva unci&n sea continua en .
f es discontinua en
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 7/29
b% El dominio de g lo constituyen todos los
n*meros reales e+cepto ./plicando el teorema de límites de
funciones polinómicas y racionales se puede
concluir que g es continua en todos los
valores de x de su dominio.
En , la unci&n presenta una
discontinuidad evitable.
Si se dene & la “nueva función” es
continua en todos los números reales.
E+EM/LO, Continuidad de una función
/nali0ar la continuidad de
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 8/29
c% El dominio de h está ormado por
todos los n*meros reales.
a unci&n h es continua en (4, ) y
en (, 4), y puesto que h es
continua en toda la recta real.
d % El dominio de y está conormado
por todos los n*meros reales.
!el teorema sobre límites de
funciones trigonométricas se puede
concluir que la unci&n y es
continua en todo su dominio $01&
1%*
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 9/29
LÍMITES LATERALES Y CONTINUIDAD EN UN INTERVALO CERRADO
5ara comprender la noci&n de continuidad
en un intervalo cerrado, es necesario
estudiar antes un tipo dierente de l-mite,llamado !"#ite !ate(a!.
El !"#ite 'o( !a de(ec2a signifca que x
se apro+ima a c por valores superiores a c.
Este l-mite se denota como
L"#ite 'o( !ade(ec2a*
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 10/29
E! !"#ite !ate(a! 'o( !a i34uie(da signifca que x se apro+ima a c por valores
ineriores a c. Este l-mite se denota como
os l-mites laterales son *tiles al
calcular l-mites de unciones que
contienen radicales.
5or e6emplo, si n es un entero dado
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 11/29
E+EM/LO, Un !"#ite !ate(a!
Encontrar el l-mite de cuando x se apro+ima a 0 2 por la derec#a.
So!ución omo se muestra en la fgura, el l-mite
cuando x se apro+ima a 0 2 por la derec#a es
7
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 12/29
uando el l-mite por la i0quierda no es igual al l-mite por la derec#a, e! !"#ite(ilateral) no existe*
El concepto de l-mite lateral permite e+tender la defnici&n de continuidad a los
intervalos cerrados.
%e dice que una función es continua en un intervalo cerrado si es continua en el
interior del intervalo y posee continuidad lateral en los extremos.
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 13/29
%e pueden estalecer defniciones análogas para incluir
la continuidad en intervalos con la orma (a, 8 y 9a, ),
que no son aiertos ni cerrados o en intervalos infnitos.
5or e6emplo, la unci&n
es continua en el intervalo infnito 9, 4), y la unci&n
es continua en el intervalo infnito ( 4, 28.
g
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 14/29
PROPIEDADES DE LA CONTINUIDAD
ada una de las propiedades de los l-mites produce una propiedad correspondiente
relativa a la continuidad de una unci&n.
Continuidad de funciones
e!e#enta!es,
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 15/29
%e puede concluir que una gran variedad de unciones elementales son continuas en
sus dominios. E+EM/LO, A'!icación de !as '(o'iedades de !a continuidad
5or el teorema 1.11 cada una de las siguientes unciones es continua en todos los
puntos de su dominio.
Continuidad de funciones co#'uestas,
:na consecuencia del teorema 1.12 es que si f y g satisacen las condiciones se;aladas,
entonces
E6emplos
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 16/29
TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO
El teorema del valor
intermedio asegura que
e+iste al menos un n*mero
c, pero no proporciona un
m"todo para encontrarlo.
<ales teoremas se
denominan teoremas de
existencia.
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 17/29
E+EM/LO: A'!icación de! teo(e#a de! -a!o(inte(#edio:tili0ar el teorema del valor intermedio parademostrar que la unci&n polinomial
tiene un cero en el intervalo 9, 18.
Solución:
a unci&n es continua en el intervalo cerrado 9, 18.
'e
y
resulta que () y (l) . 5or tanto, se puede aplicar el teorema del valor
intermedio y concluir que dee e+istir alg*n c en 9, 18 tal que f"c# $% f
tiene un cero en el intervalo cerrado 9, 18.
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 18/29
%ea f la unci&n dada por
LÍMITES INFINITOS
/ partir de la fgura y de la tala, se puede
oservar que (+) decrece sin cota o sin l-mite
cuando + se apro+ima a 2 por la i0quierda y que
(+) crece sin cota (tope) o sin l-mite cuando + se
apro+ima a 2 por la derec#a. Este
comportamiento se denota
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 19/29
:n l-mite en el que (+) crece o decrece sin cota
o sin l-mite cuando + tiende a c se llama límite
in&nito.=ay que tener en cuenta que el signo de igualdad en !ae'(esión !"# f$% 5 1 no si)nica 4ue e! !"#ite
eista. 5or el contrario, indica la ra0&n de su no e+istencia
al denotar el comportamiento no acotado o no limitado de
(+) cuando + se apro+ima a c.
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 20/29
EJEMP!: Dete(#inación de !"#ites innitos a 'a(ti( de una)(áca'eterminar el l-mite de cada unci&n que se muestra en la fgura cuando x
tiende a 1 por la i0quierda y por la derec#a.
y
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 21/29
ASÍNTOTAS VERTICALES
%i la gráfca de una unci&n f tiene una as-ntota vertical en x $ c, entonces fno es continua en c.
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 22/29
EJEMP!: Cá!cu!o de !as as"ntotas -e(tica!es'eterminar todas las as-ntotas verticales de la gráfca de cada una de las
siguientes unciones.
So!ucióna% uando +7 1, el denominador de
es igual a y el numerador no es .5or tanto, mediante el teorema 1.1>, se puede
concluir que es una asíntota vertical '
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 23/29
b% /l actori0ar el denominador como
puede verse que el denominador se anula en
y en .
'ado que el numerador no es en ninguno
de estos puntos, se puede aplicar el teorema
y concluir que la gr(&ca de f tiene dos
asíntotas verticales'
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
So!ución,
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 24/29
c% Escriiendo la unci&n cotangente de laorma
se puede aplicar el teorema 1.1> para
concluir que las as-ntotas verticales tienen
lugar
en todos los valores de x tales que sen x $
y cos x $, como muestra la fgura. 5or
consiguiente, la gráfca de esta unci&n
tiene infnitas as-ntotas verticales. Estas
as-ntotas aparecen cuando x $n, donde n
es un n*mero entero.
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 25/29
EJEMP!: Una función (aciona! con facto(es co#unes
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 26/29
EJEMP!: Cá!cu!o de !"#ites innitos
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 27/29
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 28/29
EJEMP!: Cá!cu!o de !"#ites
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
8/17/2019 3 Continuidad de Una Función Ok
http://slidepdf.com/reader/full/3-continuidad-de-una-funcion-ok 29/29
"#racias$
Ing. Carlos JoséSandoval Reyes
Recommended