3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

• 3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen

• 3.2 Die Grundaufgaben: Das 1+1 und 1x1

• 3.3 Lösungsstrategien für mündliches und halbschriftliches Rechnen

• 3.4 Die schriftlichen Rechenverfahren

3. Rechnen mit natürlichen Zahlen

• Die Behandlung des Rechnens erfolgt in der Grundschule in 3 Etappen:

• I. Inhaltliches Verständnis für die Operation sichern

• II.Lösungsverfahren bzw. Lösungsstrategien bewusst machen

• III. Lösungsverfahren bzw. Lösungsstrategien aneignen

Zeitlicher Überblick

•Klasse 1: Einführung Addition und Subtraktion

•Klasse 2: Einführung Multiplikation und Division• Addition und Subtraktion bis 100

•Klasse 3: Halbschriftliches Rechnen bis 1000– Einführung schriftliche Addition und Subtraktion

•Klasse 4: Halbschriftliches Rechnen bis 1000000– Einführung schriftliche Multiplikation und Division

3.1 Inhaltliches Verstehen von Rechenoperationen

• 3.1.1 Inhaltliches Verstehen von Addition und Subtraktion

• 3.1.2 Inhaltliches Verstehen von Multiplikation und Division

3.1.1 Inhaltliches Verstehen von Addition und Subtraktion

• Fachlicher Hintergrund

• Didaktische Modelle

• Methodische Behandlung

Fachlicher Hintergrund der Addition

• Addition im Kardinalzahlmodell• Die Summe m + n zweier natürlicher Zahlen m und n ist die

Kardinalzahl der Vereinigungsmenge A B von zwei disjunkten Mengen A und B mit den Kardinalzahlen m bzw. n.

• m + n = card (A B), falls (A B) = {}, card A = m, card B = n

• Diejenige Abbildung von N N in N, die jedem geordneten Paar natürlicher Zahlen seine Summe zuordnet, heißt Addition in N.

• Beispiel: Dem geordneten Paar (2; 5) wird wegen 2 + 5 = 7 die 7 zugeordnet.

Fachlicher Hintergrund der Addition

• “Abbildungsauffassung" der Addition

• 5 + 3 = 8 • Summand 5 wird als "Zustand", d. h. als Element einer

Eingabemenge, aufgefasst, der durch den Operator +3 in einen neuen Zustand, d.h. in ein Element der Ausgabemenge, übergeführt wird:

• Da bei dieser Auffassung die Addition als Vorgang erscheint, spricht man auch vom dynamischen Aspekt der Addition.

9876543210

+3

Fachlicher Hintergrund der Addition

• 2. “Verknüpfungsauffassung” der Addition• Beide Summanden werden durch Pfeile dargestellt, die zu

einem “Gesamtpfeil” aneinandergesetzt werden, der die Summe repräsentiert:

• Die “Verknüpfungsauffassung” bringt den statischen Charakter der Addition zum Ausdruck. Mitunter spricht man hier auch von einer “Verkettung von Operatoren”.

5 + 3

35

Fachlicher Hintergrund Eigenschaften der Addition

•Kommutativg. Vertauschungsgesetz ab Klasse 1

Für alle nat. Zahlen a, b gilt: a+b=b+a

•Assoziativg. Verknüpfungsgesetz ab Klasse 1

Für alle nat. Zahlen a, b und c gilt: (a+b)+c=a+(b+c)

Wegen dieser beiden Gesetze ist es möglich, die Summanden beim Addieren beliebig zusammen zu fassen.

Beispiel: 3 + 5 + 7 = 10 + 5 (Ich vertausche 5 und 7 und addiere dann zuerst 3 und 7.)

Fachlicher Hintergrund

Weitere Eigenschaften der Addition

•Null ist neutrales Element beim Addieren a+0=a

•Monotoniegesetz (Wenn zwischen zwei Zahlen a und b die Größer – oder Gleichheitsrelation besteht, dann gilt die Relation auch dann, wenn ich eine Zahl auf jeder Seite addiere.)

a=b a+c=b+c

a<b a+c <b+c

Klassifikation von Additionssituationen

• Der Schwierigkeitsgrad von Additionssituationen hängt nicht nur von den zugrundeliegenden 1 + 1 -Aufgaben, sondern auch von ihrer Struktur. Mit Hilfe von Additionsaufgaben können wir nämlich verschiedene alltäglicher Situationen beschreiben und lösen.

• (Padberg: Didaktik der Arithmetik 1996, S. 87)

Didaktische ModelleAdditions- und Subtraktionsaufgaben

• Drei Typen von Additionsaufgaben

a + b = a + = c

+ b = c

• Drei Typen von Subtraktionsaufgaben

a – b = a – = c

– b = c

Sechs Aufgaben: so schwer kann es dann doch wohl nicht sein, Addition und Subtraktion zu verstehen.

Klassifikation von Additionssituationen

• Typen von Additionssituationen:

• (1) Vereinigen (statisch)

• (2) Hinzufügen (Operator; dynamisch)

• (3) Ausgleichen (dynamisch)

• (4) Vergleichen (statisch)

Klassifikation von Additionssituationen

• (1) Vereinigen (statisch)• a) Anja hat 4 Bonbons, Babs 8 Bonbons. Wie viel

Bonbons haben sie zusammen? • Vereinigungsmenge unbekannt: a + b = x

• b) Anja und Babs haben zusammen 12 Bonbons. Anja hat 4 Bonbons. Wie viel Bonbons hat Babs?

• Eine Teilmenge unbekannt: a + x = b

Klassifikation von Additionssituationen

• (2) Hinzufügen (Operator; dynamisch)• a) Anja hat 4 Bonbons. Babs gibt ihr jetzt 8 Bonbons dazu. Wie

viel Bonbons hat Anja danach?

• Ergebnis (Ausgabe) unbekannt: a + b = x

• b) Anja hat 4 Bonbons. Babs gibt ihr jetzt einige Bonbons dazu. Danach hat Anja 12 Bonbons. Wie viel Bonbons gibt ihr Babs?

• Veränderung (Operator) unbekannt: a + x = b

• c) Anja hat einige Bonbons. Babs gibt ihr jetzt 8 Bonbons dazu. Danach hat Anja 12 Bonbons. Wie viel Bonbons hatte Anja ursprünglich?

• Start (Eingabe) unbekannt: x + a = b

Klassifikation von Additionssituationen

• (3) Ausgleichen (dynamisch)

• Anja hat 4 Bonbons. Babs hat 8 Bonbons. Wie viel Bonbons muss Anja bekommen, um genau so viele Bonbons zu haben wie Babs?

• a + x = b

Klassifikation von Additionssituationen

• (4) Vergleichen (statisch)• a) Babs hat 8 Bonbons. Anja hat 4 Bonbons. Wie viel

Bonbons hat Babs mehr als Anja?• Unterschied unbekannt: a + x = b

• b) Anja hat 4 Bonbons. Babs hat 4 Bonbons mehr als Anja. Wie viel hat Babs?

• Vergleichsgröße unbekannt: a + b = x

• c) Babs hat 8 Bonbons. Sie hat 4 Bonbons mehr als Anja. Wie viel Bonbons hat Anja?

• andere Vergleichsgröße unbekannt: a + x = b

Fachlicher Hintergrund der Subtraktion

• Differenz zweier natürlicher Zahlen

• Die Differenz m - n zweier natürlicher Zahlen m und n ist die Kardinalzahl der Differenzmenge A \ B von zwei Mengen A und B mit den Kardinalzahlen m und n, für die gilt, dass B Teilmenge von A ist.

• m - n = card (A \ B), falls B A und card A = m, card B = n.

• m heißt Minuend, n heißt Subtrahend.

Klassifikation von Subtraktionssituationen

• Abziehen oder Wegnehmen

• Vergleichen

• Ergänzen

• Vereinigen

Klassifikation von Subtraktionssituationen

• Abziehen oder Wegnehmen• Anja hat 8 Bonbons. Sie gibt ihrer Freundin Delia 5

Bonbons. Wie viel Bonbons bleiben ihr noch?

• Vergleichen• Anja hat 8 Bonbons. Ihre Freundin Delia hat 5 Bonbons.

Wie viel Bonbons hat Anja mehr?

Klassifikation von Subtraktionssituationen

• Ergänzen• Delia hat 5 Bonbons. Wie viel Bonbons muss Delia

bekommen, um insgesamt 8 Bonbons zu haben?

• Vereinigen• Anja hat 8 Bonbons. 5 sind Karamellbonbons, der Rest

saure Bonbons. Wie viel saure Bonbons hat sie?

Konsequenzen

• Gibt es leichte und schwierige Aufgaben?

• Situationen, die sich konkret handelnd modellieren lassen, werden eher gelöst als Situationen, bei denen dies nicht so leicht möglich ist.

• Grundaufgaben mit gesuchtem Ergebnis sind leichter als diejenigen mit gesuchter Veränderung oder gesuchtem Ausgangswert.

• Additionsaufgaben werden nicht besser gelöst als Subtraktionsaufgaben.

Vieldeutigkeit der Situationen

• Zusammenhang in statischen Situationen: Muss man hier addieren oder subtrahieren?

• Sicht auf die Situation: Unter welcher Fragestellung wird die Situation betrachtet?

• Relevante Aspekte: Muss man die Farbe, die Anordnung, die Größe, ... beachten oder nicht?

Addition und Subtraktion im Unterricht

Rahmenplan (1995, S. 152)

„Ausgehend von Situationen aus dem Leben der Kinder werden die additiven Operationen wie Hinzufügen, Wegnehmen, Ergänzen, Zerlegen sowie das Verdoppeln und Halbieren durch Handlungen mit geeignetem Material modellmäßig erarbeitet, schrittweise verinnerlicht und bis zur symbolischen Darstellung abstrahiert.“

Addition und Subtraktion im Unterricht

Ziel ist eine Verbindung zwischen Sachsituation und symbolischer Darstellung auf der Zahlenebene herzustellen. Dabei müssen die verschiedenen Ebenen und auch verschiedene Richtungen beachtet werden:

Additions(Subtraktions-)gleichung

Sachsituation; Bild Material

Addition als Aneinanderlegen von Cuisenairestäben

Subtraktion als Abdecken von Cuisenairestäben

Addition und Subtraktion im Unterricht

Dynamische Situation Statische Situation

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

Addition und Subtraktion im Unterricht

• Zeitnahe Behandlung von Addition und Subtraktion• Behandlung des gesamten Zahlenraums• Tägliche Rechengeschichten

– Simulation: Rollenspiel, Handlung mit Material, Protokollierung, Gleichung

– Bildgeschichten– Variation der gesuchten Größe: Handlungen beschreiben

und nachvollziehen– Operative Veränderungen und deren Auswirkungen

• Intra- und intermodaler Transfer: enaktiv, ikonisch, symbolisch