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1. De um ângulo agudo x sabe-se que 5
2cos =x . Determina o valor exato de xtgxsen 2+ .
2. Sendo α um ângulo agudo, determina o valor de cada uma das seguintes expressões:
2.1. ( ) 3451222cos7 αα +× sen
2.2. ( ) ααα 22coscos +×tg
2.3. ααα 222cos3cos21 =+− sen
3. O André desenhou no seu caderno o retângulo ao lado. Sabendo que o comprimento do retângulo é o dobro da sua largura, determina o valor da amplitude do ângulo indicado, apresentando um valor arredondado às décimas.
4. Mostra que ( ) 1cos2cos2
+=+ ββββ snsen .
5. Considera o triângulo retângulo da figura. Determina o valor exato de θθ tgsen −2 .
6. O João pretende determinar a altura de uma árvore. Para tal efetuou algumas medições e registou-as no esquema seguinte.
6.1. Determina a altura da árvore. (Sempre que nos cálculos intermédios procederes a arredondamentos,
conserva três casas decimais.) Apresenta o resultado arredondado às décimas.
7. Sabendo que o 2
2cos =α , determina ( )2
2+αtg .
8. Observa a figura. 8.1. Determina o valor de x , em dm, arredondado às décimas. (Nos cálculos
intermédios, conserva quatro casas decimais.)
9. Simplifica a expressão ( )2cosαα −sen
Escola Secundária de Lousada Matemática do 9º ano – FT 8 Data: ___ / ___ / 2012
Assunto: Trigonometria II
2
10. Na figura estão representados, num referencial cartesiano: ♦♦♦♦ um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1;
♦♦♦♦ uma semirreta paralela ao eixo das ordenadas, com origem no ponto ( )0,1 ;
♦♦♦♦ um ponto A pertencente à semirreta; ♦♦♦♦ um ângulo α .
10.1. Qual das expressões seguintes representa a área da região
sombreada?
(A) 24
απ tg+ (B)
α
π
tg
2
4+ (C)
2
απ
tg+ (D)
απ
tg
2+
11. Mostra que ( ) xxsenx cos22cos122
−=+− .
12. A figura representa a planta de uma cozinha. Quando os arquitetos idealizam uma cozinha têm em conta as distâncias entre os três locais com maior número de
acessos: ♦♦♦♦ O frigorífico, indicado pela letra R ; ♦♦♦♦ A banca, indicada pela letra S ;
♦♦♦♦ O fogão, indicado pela letra C .
Quando estes três pontos são unidos, forma-se um triângulo conhecido como o “triângulo de trabalho”.
12.1. Calcula d e h , apresentando os resultados em
metros, arredondados às unidades. 12.2. Determina a área do “triângulo de trabalho”.
13. Prova que ( ) ( ) 1cossincoscossinsin =−−+ xxxxxx .
14. Na figura seguinte pode observar-se um candeeiro a iluminar uma rua. O foco produzido pelo candeeiro é cónico (cone reto) e a sua projeção na via pública tem a forma de um círculo.
14.1. Qual das seguintes opções representa a área do círculo de diâmetro
[ ]AB ?
(A) 21,5 dm (B) 2
0,5 m (C) 29,2 m (D) 2
0,3 m
14.2. Calcula o volume do cone, apresentando o resultados arredondado às
unidades.
15. Mostra que, sendo x a amplitude de um ângulo agudo, tem-se que ( )
tgxx
xsenx=
−+2
2
cos2
1cos.
16. A altura de um triângulo equilátero é cm3 . Qual é o perímetro desse triângulo?
(A) cm2 (B) cm4 (C) cm6 (D) cm8
3
17. O ângulo de elevação do topo de uma montanha foi medido no ponto A. Após se ter percorrido 2000 metros sobre uma região plana e em direção à montanha, o ângulo de elevação do topo da montanha
voltou a ser medido no ponto B, tal como mostra a figura seguinte.
17.1. Determina a altura da montanha, apresentando o resultado arredondado às unidades.
18. Um praticante de parapente lançou-se de uma colina. Efetuou o percurso entre A e D, representado na figura, passando pelos pontos B e C. Sabe-se que HDBC // ,
mAB 200___
= e que mCD 600___
= .
18.1. Determina o valor aproximado às centésimas de ___
HA .
19. Mostra que:
19.1. β
βββcos
1cos =×+ sentg
19.2. ( )( ) ααα 2cos11 =+− sensen
20. Considera a figura que representa um mosaico com a forma quadrangular de área igual a 2
144cm . Sabendo que 1
M e 2
M são os pontos médios de dois
dos lados do mosaico, determina um valor aproximado às unidades da amplitude do ângulo α .
21. Sabendo que xxsen cos3
2= , podemos concluir que a xtg é igual
a:
(A) 3
2 (B)
2
3 (C) 6,1 (D) 1,6
22. Na figura ao lado está representado o triângulo [ ]UVA , retângulo
em V . Sendo 2
5sin
−=
mα e
16
2cos
+=
mβ , determina o valor de
m .
23. Seja α a amplitude de um ângulo agudo. Sabe-se que 3=αtg .
23.1. Determina αα
α sentg 32
cos2 −− .
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24. Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy :
• o círculo trigonométrico • o raio [ ]OB deste círculo
• o arco de circunferência , AB de centro no ponto O .
Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a recta BC é perpendicular a este
eixo.
24.1. Seja θ a amplitude do ângulo AOB , qual é a abcissa do ponto A?
25. Relativamente à figura apresentada ao lado, sabe-se que:
o triângulo [ ]ABD é rectângulo;
o ponto C pertence ao cateto [ ]BD
x designa a amplitude, em graus do ângulo BAD ;
2___
=AB e 1____
=BC
25.1. Mostra que a área do triângulo é dada por 12 −tgx .
25.2. Determina o valor de x para o qual a área do triângulo é 1.
26. Observa a figura seguinte. Sabendo que º15=∧
Q
e que o raio da circunferência é de 1 cm, determina:
26.1. a altura do triângulo [ ]OPQ ;
26.2. a amplitude do ângulo x ;
26.3. a área pintada a vermelho.
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