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Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
1
Métodos y técnicas de integración (1º) Integración por sustitución o cambio de variable En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se conoce como integración por sustitución o cambio de variable.
Si ∫ dxxf )( ,la Integración por sustitución consta de los siguientes pasos :
1) Elegir o cambiar una nueva variable u : un cambio común es considerar u como la función interna ,en términos de una composición de funciones
2) Calcular dxdx
dudu =
3) Reemplace ( o cambie) todos los términos en el integrando original por las expresiones u y du
4) Evaluar los resultados de la integral en función de u. Si todavía no puede evaluar la integral, es posible que necesite probar o cambiar por una
opción diferente de u.
5) Reemplace cada expresión de u en la antiderivada por la correspondiente expresión de x
Justificación del método de sustitución o cambio de variable: El siguiente teorema puede ser usado para justificar el método de sustitución o cambio de variable.
Teorema 1. Supongamos que: ∫ += CuHduuh )()( Entonces, si g es una
función diferenciable.
[ ] [ ]∫ += CxgHdxxgxgh )()´()(
Demostración: Porque
∫ += CuHduuh )()(
Se deduce que: )()´( uhuH =
Necesitamos mostrar que la derivada de [ ])(xgH con respecto a x es el
integrando [ ] ).´()( xgxgh Por la regla de la cadena
[ ] [ ] [ ] )´(.)()´(.)(´)( xgxghxgxgHxgHDx ==
Y la demostración estará completada.
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
2
Ahora supongamos que queremos evaluar ∫ dxxf )( por el método de
sustitución. Según el paso 1º de nuestro procedimiento, cambiemos una porción del integrando f(x) y la denominamos )(xgu = ; en el paso 2 , procedes a
calcular el diferencial: dxxgdxdx
dudu ).´(==
En el paso 3º, usamos la ecuación anterior para reescribir f(x) y dx en términos de u y du
(3)
Donde h una función apropiada. Quedándonos la ecuación anterior (3) Es decir:
Luego el paso 4º producimos una ecuación de la forma ∫ += CuHduuh )()(
Y el 5º paso dará el resultado
∫ dxxf )( = [ ] [ ]∫ += CxgHdxxgxgh )()´()( en conformidad con el teorema 1
Teorema 2 Para cualquier función continua f entonces ∫ dxxf
xf
)(
)´( =
cxf +)(ln ,
Siempre que 0)( ≠xf Demostración: Sea u= f (x) . Entonces du = f´(x) dx y
∫ dxxf
xf
)(
)´( = ∫ �����
��� du
u
dxxfxf
)´(.)(
1 = ∫ u
du = cu +ln = cxf +)(ln
Veamos unos ejemplos usando los pasos antes descritos
duuhdxxf )()( =
dx
duuhxf )()( =
[ ] )´(.)()( xgxghxf =
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
3
Ejemplo Nº 1 7 2x dx+∫
Solución:
3/ 2
1/ 2
3 / 2
3 / 2
Paso 1 :Hacemos 7 2
Paso 2 : 7
Paso 3: Como 7 ; resulta que de aqui :7
17 2
2 27
.7 7
1 1 1Paso 4: 7 2 .
7 7 7 3 / 22
21Paso 5:Como 7 2, tenemos:
2 (7 2) 721 21
:
u x
du dx
dudu dx dx
dux dx u u du
ux
x dx
dx u du u du C
u
x
C
u x
C x+ =
= +
=
= =
+ = =
+ = = = +
= +
= +
+ + = +
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
( )3
2 C+
Ejemplo Nº 2 sin9xdx∫
Solución:
( )
Paso 1: Hacemos 9
Paso 2: 9
Paso 3: Como 9 ; resulta que: de aqui:9
1sin 9 sin . sin .
9 91 1 1
Paso 4: sin 9 sin . sin . cos9 9 9
1cos
9Paso 5: 9 , tene
1sin 9 (cos 9
m :
)
o
9
s
xdx x
u x
du dx
dudu dx dx
duxdx u u du
xdx u du u du u C
u C
Como u x
=
=
= =
=
= =
= = = − +
+
+
−
= −
=
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
C
Ejemplo Nº 3 2
3 5( 4)
x dx
x +∫
Solución:
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
4
( )
( )
3
2
2 2
25 5
5 53
25 5
53
Paso 1 : Hacemos 4
Paso 2 : 3
Paso 3: Como 3 ; resulta que3
de esta manera será igual a la expresión del numerador,
de aqui:
11 133 34
1 1 1Paso 4:
3 34
:
u x
du x dx
dudu x dx x dx
dux dx
u du u duux
x dxu du u
x
− −
− −
= +
=
= =
= = =+
= = =+
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫4
4
3
23 4
3 5 3 4
3 ( 4)
1
12
Paso 5:Como 4, tenemo
1 1( 4)
( 4) 12 12
s:
( 4)
xdx
uC
u C
x
u
Cx
x
Cx
−
−
−
+
= −
=−
= − +
= +
+ + = − ++ +∫
Ejemplo 4: 2 3 2x xdx−∫
Solución:
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
5
2
2
Paso 1 : Hacemos 3 2
Paso 2 : 2
Paso 3: Como el integrando contiene tres factores , 3 2
La sustitución de 3 2 quedando 3 2 como , 2 ;
resulta que , solamente queda reescribir en terminos de ,2
como 3 2
:
u x
du dx
x x y dx
u x x u du dx
dudx x u
u x
= −
= −
−
= − − = −
=
= −
−
( )
( ) ( )22 2 2
2 2
2
1 / 2 3 / 2 5 / 2
2 1 / 2 3 / 2
1despejando , nos queda 3 luego
21 1 9 3 1
3 9 64 4 4 2 4
de aqui:
9 3 13 2 .
4 2 4 2
9 3 1
8 4 8
9 3 1
8 4 8
9 3 1Paso 4 : 3 2
8 4
:x x u
u u u u u
dux x dx u u u
u u u u u du
u u u du
x x dx u u
x
= −
= − = − + = − +
− = − + −
= − + −
= − + −
− = − + −
∫ ∫
∫
∫
∫5 / 2
1 / 2 3 / 2 5 / 2
3 / 2 5 / 2 7 / 2
3 / 2 5 / 2 7 /
2 3 / 2 5 / 7 /
2
2 2
8
9 3 1
8 4 8
9 3 1
8 3 / 2 4 5 / 2 8 7 / 23 3 1
4 10 28Paso 5 : Como u 3 2 , ten
3 3 13 2 (3 2 ) (3 2 ) (3 2 )
4 1
o
0 28
em s:
x x d
u d
x x
u
u du u du u du
u u uC
u u u C
x x
x
C− − − +
= − + −
= − + − +
= − + − +
= −
= − − − +
∫
∫ ∫
∫
∫
Ejemplo Nº 5 4
sin 7
(1 cos7 )
xdx
x+∫
Solución :
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
6
( )
( )
4 4 4
4
Paso 1 :Hacemos 1 cos 7
Paso 2 : 7 sin 7
Paso 3: Como 7 sin 7 ; resulta que sin 77
de esta manera será igual a la expresión del numerador, de aqui:
1sin 7 17
71 cos 7
sin 7Paso 4 :
1 cos 7
:
u x
du x dx
dudu xdx xdx
duxdx du
u ux
xdx
x
= +
= −
= − =
−
= = −+
+
−
∫ ∫ ∫
( )
34
34
4
3
1 1 1
7 7 7 3
1
21Paso 5:
sin 7 1(1 cos 7 )
21
Como 1 cos
1 cos
7 , tene o :
7
m s
du uu du C
u
u C
u
xdxx C
x
x
−
−
−
−
= − = − = − +−
= +
+
+
+ +
=
=
∫ ∫ ∫
∫
Ejemplo Nº 6 .cosx xe e dx∫
Solución:
�
��
Por sustitución ocambio de variable
.cos sin
.cos
cos . cos . sin sin( )
x x x
x x x
x
x x x
u du
e e dx u e
du e dx
e e dx u du u C e
e e dx e C
C
⇒ =
=
= = +
∴ =
=
+
+
∫
∫
∫ ∫
Ejemplo Nº 7 3(ln )xdx
x∫
Solución:
POR SUSTITUCIÓN ÓCAMBIO DE VARIABLE
3
4
3 4
3
3 4ln(
(ln )
ln ) (ln ) (ln )1
(ln
4
4
)
4
u xx x u xdx d
x x
x u du C Cx xdu dx
x
dx Cx
= ⇒ ⇒ = = + = + =
∴ = +
∫
∫
∫ ∫
����
Ejemplo Nº 8 cos(ln )x
dxx∫
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
7
Solución:
Por Sustitución oCambio de Variable
lncos(ln )
1
cos(ln )cos sin sin(l
cos(ln
n
)i ( n )
)
s n lx
u xxdx
x du dxx
xdx u du
d
u C x C
x x Cx
x
= ⇒
=
= = + = +
∴ = +
∫
∫
∫ ∫
����
Ejemplo Nº 9 3sin 2 .cos 2x xdx∫
Solución
Por sustitución oCambio de Variable
3
43 3 4
3
4
41sin 2 .co
cos 2
sin 2 .cos 2 2sin 2 .
sin 22
1 1 1 1sin 2 .co
s 2 (cos
s 2 (cos 2 )2 2 4
2 )8
8 8
u x
x xdx du x dx
duxdx
ux xd
x xdx x
x u du C C
C
u C x
= ⇒ = − − =
= − = − + = − + = − +
∴ = − +∫
∫
∫ ∫
������
Ejemplo Nº 10 21 ln
dx
x x+∫
Solución:
Por Sustitución
2
2 2
2
ln
1 ln
sin sin(ln )1 ln
sin(ln )
1
1 ln
u xdx
dxdux x
x
dx duArc u C Ar
dxArc x C
c xx
x
x
x
Cu
= ⇒ =+
= = + = ++
∴ ++
+
=∫
∫
∫ ∫
����
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
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1Ejercicios propuestos (problem set 4.3)
En los problemas 1 al 50, use el método de sustitución o cambio de variable para evaluar cada antiderivada (integral indefinida). (En algunos casos se sugiere una posible sustitución)
1. 34,)34( 4+=+∫ xudxx 2. 74,)74.( 22
+=+∫ tudttt
3. 154,.154. 22+=+∫ xudxxx 4. dx
x
x∫
−82 )38(
3 , 238 xu −=
5. dss
s∫
+3 2 165
165 2+= su 6. dt
tt
t∫
++
+172 )624(
28
7. 2/33/52/3 1,.)1( xudxxx −=−∫ 8. 3,.)96( 3/112−=+−∫ xudxxx
9. 14,)14(
3
73
2
+=+
∫ xudxx
x 10. dx
xx
x∫
+
+
3
13
2
11. ∫ −++ dtttt .235).15( 4 32 12. dtt
t∫
+2
3 )2/(11
13. ∫+−
−dx
xx
x2/33
2
)196(
12 14. xudx
x
x+=
+∫ 1,.
1
15 )/5(,55
2
221
xxudxx
x
xx +=
−
+∫ 16. ∫ +− dxxx 7/62 )94249(
17. ∫ − dxxx .5. 18. ∫ + dxxx .1.2
*19. 1,1
.+=
+∫ tzt
dtt 20 dy
y
y∫
−
+
3 2
2
21. ∫−3 2)2(
2
x
xdx 22. ∫ ++ dxxx .1.)2( 2
1 Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA. Pag 263-264
Lcdo. Eliezer Montoya Integración por sustititución o cambio de variable
9
23. ∫ + dxxx 33/12 .)53( 24. ∫ + dxxx 54 3 .1
25. ∫+ 4
.2
t
dtt 26. ∫
− y
dyy
3
.
27. ∫ xdx35sin.2 28. ∫ + dxxx )7cos35sin7(
29. ∫ − dxx )116cos(.8 30. ∫ − dxx)38cos(5
31. ∫ xdx11sec2 32. ∫− xdx5csc2
33. ∫ t
dt
3sin 2 34. ∫ y
dy
5cos2
35. ∫ ++ dyyy )12tan()12sec( 36. ∫ + dtt )73(tan 2
37. ∫− dttt
5tan.
5sec 38. ∫ dzzz .10cot.10csc
39. xudxxx sin,)cos(sin.cos =∫ 40. ∫ dxxxx 443 10tan.10sec
41. 4423 7,7csc xudxxx =∫ 42. ∫+
+dx
x
x
1
1sin
43. ∫+
2)cos2(
.sin
x
dxx 44. ∫
+dx
x
x3
2
)tan3(
sec
45. ∫ + dyyy 2sin52cos 46. ∫ + dtttt 3sec43sec3tan
47. ∫ dxx
xx csccot 48. ∫
− xdxx 2cos.)2(sin 3/1
49. ∫− θ
θθθ
3sec51
.3tan.3sec d 50. ∫
x
dxxx )2/csc()2/cot(
2 Munem M.A. Foulis D.J. (1984) Calculus with Analytic Geometry . II edicion.Edit. Worth Publishers, Inc. USA. Pag 263-264
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