View
13
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Articulo
Citation preview
1
Conceptos de ConvexidadConceptos de Convexidad
(*) Basado en Boyd y Vandenberghe. Convex Optimizationhttp://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/
2
Lneas y segmentosLneas y segmentos Sean x1x2 dos puntos en n. La todo punto y sobre la lnea x1-x2 cumple
x1
x2
4
Conjuntos afinesConjuntos afines Un conjunto Cn es afn si la lnea entre
cualquier par de puntos en C pertenece a C. En otras palabras, C contiene toda
combinacin lineal de cualquier par de puntos en C.
Ejemplo: Un plano en n.
6
SubespaciosSubespacios El subespacio V no depende de la escogencia
de x0. La dimensin del conjunto afin C es la
dimensin del subespacio V. La dimensin del subespacio es el mximo
nmero de vectores linealmente independientes en V.
7
Conjuntos ConvexosConjuntos Convexos Un conjunto C es convexo si el segmento de
recta entre cualquier par de puntos de C est en C.
Si x1, x2 C, y para todo con 01:
Ejemplos de conjuntos convexos y no convexos
8
Convex Hull (Envoltura convexa)Convex Hull (Envoltura convexa) El convex hull de un conjunto C es el conjunto
de todas las combinaciones convexas de puntos en C.
Formalmente:
El convex hull es el conjunto convexo ms pequeo que contiene a C.
9
ConosConos(Conjuntos homogeneos no negativos)(Conjuntos homogeneos no negativos)
C es un cono si para todo xC y todo 0, ocurre que xC.
Un conjunto C es un cono convexo si es convexo y es un cono. En otras palabras, para todo x1,x2C y 1,20 se cumple
1x1+2x2 C Ejemplos: Ilustracin
10
HiperplanosHiperplanos Un hiperplano es un conjunto de la forma
donde an, a0 y b. Dos interpretaciones geomtricas:
el conjunto de puntos con un producto interior constante respecto a 'a', o
el conjunto de puntos en el plano normal a 'a' y con un desplazamiento respecto al origen determinado por 'b'.
11
Hiperplanos: Interpretacin geomtricaHiperplanos: Interpretacin geomtrica
Si escogemos un punto x0 en el hiperplano (por ende aTx0=b), se puede escribir
de manera que el hiperplano es
que es equivalente a decir que los puntos x son el resultado de sumar x0 y un vector normal a a:
13
open/closed halfspacesopen/closed halfspaces Un medio espacio es cerrado si incluye el
hyperplano limitrofe
Es abierto si no lo incluye
14
Esferas euclideanasEsferas euclideanas Una esfera en n es un conjunto de la forma
Las sferas son conjuntos convexos
15
Parntesis: Qu es una norma?Parntesis: Qu es una norma? Una norma en n es una funcin que asigna un
valor escalar x a cada xn y que cumple las siguientes propiedades1. x0 para todo xn.2. x = || x para todo escalar y todo xn.3. x=0 si y solo si x=0.4. x y+ x y + para todo x,yn (Desigualdad
triangular).
16
EllipsoidesEllipsoides Generalizacin de los conjuntos esfricos. Definicin
donde P=PT0 es una matrix nxn, simtrica y positiva definida.
Nota: Una matrix es positiva definida si para todo z0, zTPz>0.
17
PoliedrosPoliedrosUn poliedro es definido como la solucin a un conjunto de igualdades y desigualdades lineales:
Halfspaces, conjuntos afines, subespacios son poliedros.Todo poliedro es un conjunto convexo.
18
Poliedros: Notacin compactaPoliedros: Notacin compactaLa definicin anterior usando notacin matricial
donde
y el smbolo se usa para indicar la desigualdad de vectores (componente por componente).
19
SimplexesSimplexes Es un tipo importante de poliedro. Sean k+1 puntos v0,...,vk en n afinamente
independientes (affinely independent), es decir v1-v0, ... ,vk-v0 son linealmente independientes.
Estos puntos determinan el simplex:
La dimensin afin de este simplex es k.
22
El cono positivo semidefinidoEl cono positivo semidefinido El conjunto Sn
+ es un cono convexo
Prueba Ilustracin
23
Operaciones que preservan la Operaciones que preservan la convexidadconvexidad
Es comn encontrarse problemas en los que la convexidad (por ejemplo del conjunto de soluciones candidatas) no est claramente establecida.Hay 2 alternativas: Probarla siguiendo la definicin. Derivarla por medio del clculo de conjuntos
convexos.
24
InterseccinInterseccin La interseccin de conjuntos convexos es
convexa. Est propiedad aplica incluso a la interseccin de un conjunto infinito de conjuntos convexos.
Justificacin Ejemplos
25
Funciones afinesFunciones afines Una funcin f:nm es afn si es la suma de
funciones lineales y una constante, i.e. tiene la forma f(x) = Ax+b.
Sea S un conjunto convexo, y f una funcin afn. La imagen de S bajo f es convexa
Asi mismo, si g:kn es afn, la imagen inversa del conjunto S es convexa
26
Algunos ejemplosAlgunos ejemplos Escalado: Si S es convexo y un escalar,
entonces S es convexo. Translacin: Si S es convexo y an, entonces
S+a es convexo. Proyeccin sobre algunos de los ejes
coordenados: Si Snxm es convexo, entonces el conjunto
{x1|(x1,x2)S, para algn x2m } es convexo.
27
Otros casosOtros casosLa suma de conjuntos convexos es convexa:
S1+S2Justificacin: El producto cartesiano de conjuntos convexos
es convexo (?) La imagen de S1xS2 bajo la funcin f(x,y)=x+y
(una funcin afn) es S1+S2.
28
Otros casosOtros casos La suma parcial: Sean S1,S2nxm la suma, parcial es el conjunto
y es convexo .
Recommended