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4. GROSSENORDNUNGEN VON FUNKTIONEN
(Landau-Notation)
Die O-Notation (groß-”
O“ Notation):
Wir betrachten zwei Funktionen f(x), g(x) mit x > 0 und Werten
in den reellen Zahlen. Wir schreiben
f(x) = O(g(x)) fur x→∞
falls f(x) fur große Werte von x von der Großenordnung her g(x)
nicht ubersteigt.
”f wachst nicht schneller (bzw. fallt nicht langsamer) als g“.
Mathematisch ausgedruckt:
Es gibt fur die beiden Funktionen eine Konstante c > 0, so dass
|f(x)| ≤ c · |g(x)|
gilt, wenn x nur ausreichend groß ist.
Dahinter steckt die Uberlegung, dass durch Multiplikation mit
einer Konstanten c > 0 eine Funktion in ihrer Großenordnung
unverandert bleibt.
Beispiel: Es gilt 2x + 1 = O(x) fur x→∞,
da 2x + 1 ≤ 3x fur x ≥ 1.
Obige Bedingung ist mit c = 3
fur x ≥ 1 erfullt.
Beispiele: Großenordnungen fur x→∞.
1. 2x3 + 3x2 = O(x3) (betrachte c = 5 und x ≥ 1).
Regel: Bei Potenzen dominieren fur x→∞ die Terme mit den
hochsten Exponenten.
2. x3+xx4−2
= O(x−1) (betrachte c = 4 und x ≥ 2).
3. xm = O(exp(x)) fur jede naturliche Zahl m (betrachte c = m!
und x ≥ 0).
Denn: xm/m! ≤∑∞
n=0 xn/n! = exp(x).
4. ln x = O(x1/m) fur jede naturliche Zahl m.
Ersetze im letzten Beispiel x durch ln x und ziehe die m-te
Wurzel.
5. Ein wichtiger Spezialfall:
f(x) = O(1) bedeutet, dass f(x) fur große x beschrankt bleibt,
dass also |f(x)| ≤ c fur ein c > 0, falls x ausreichend groß ist.
(Hier steht 1 fur die Funktion g, die den festen Wert 1 hat.)
6. z.B.: x+1x = O(1), sin(x) = O(1)
Eine wichtige Rechenregel:
f1(x) = O(g(x)) , f2(x) = O(g(x))
⇒ f1(x) + f2(x) = O(g(x))
Denn aus |f1(x)| ≤ c1|g(x)| und |f2(x)| ≤ c2|g(x)| folgt
|f1(x) + f2(x)| ≤ (c1 + c2)|g(x)|.
Beispiele. x + 2 exp(x) = O(exp(x)), x + ln x = O(x) fur x→∞.
Wir haben gesehen: x = O(exp(x)) und ln x = O(x).
Das gibt aber noch ungenaue Vorstellungen:
exp(x) 2,78 2, 2 · 104 5 · 1011 5 · 1021 2, 7 · 1043 1, 4 · 10217
x 1 10 20 50 100 500ln x 0 2,3 3,0 3,9 4,6 6,2
Die Geschwindigkeit des Wachstums von exp(x), x und ln x ist
hochst unterschiedlich! Um Großenordnungen noch genauer zu
unterscheiden, eine weitere Definition:
Die o-Notation (klein-”
o“ Notation):
Fur zwei Funktionen f(x), g(x), x > 0, schreiben wir
f(x) = o(g(x)) fur x→∞
falls g(x) fur große Werte von x von kleinerer Großenordnung ist
als f(x).
”f entfernt sich weniger schnell von 0, oder geht schneller gegen
0 als g“, kurz
”f ist klein im Vergleich zu g“
Mathematisch ausgedruckt:Gleichgultig, wie man die Konstante c > 0 wahlt, die Ungleichung
|f(x)| ≤ c · |g(x)|ist erfullt, falls x nur ausreichend groß ist.
Beispiel:√
x = o(x) fur x→∞
Fur jedes c > 0 ist cx schließlich großer als√
x.
Wir schreiben auch
f(x)
g(x)→ 0 fur f(x) = o(g(x))
Also:
Wahrend bei f(x) = O(g(x)) die Ungleichung |f(x)| ≤ c · |g(x)|nur fur ein c > 0 erfullt zu sein braucht (das beliebig groß gewahlt
werden darf), muss man bei f(x) = o(g(x)) die Ungleichung fur
alle c > 0 (die dann beliebig klein sein konnen) in Betracht ziehen.
Und in der Sprache der Quantoren:
f(x) = O(g(x)) ⇔ ∃c > 0 ∃x0 ≥ 0 ∀x ≥ x0 : |f(x)| ≤ c · |g(x)|
f(x) = o(g(x)) ⇔ ∀c > 0 ∃x0 ≥ 0 ∀x ≥ x0 : |f(x)| ≤ c · |g(x)|
Beispiele: Großenordnungen fur x→∞
1. xp = o(xq) fur p < q,
denn dann gilt xp/xq = xp−q → 0.
2. xp = o(exp(x)) fur alle reellen Zahlen p,
wegen xp = o(xq) und xq = O(exp(x)) fur p < q.
3. ln x = o(xq) fur alle reellen Zahlen q,
wegen ln x = O(xp) und xp = o(xq) fur p < q.
4. Ein wichtiger Spezialfall:
f(x) = o(1) bedeutet f(x)→ 0, dass also |f(x)| mit wachsen-
dem x kleiner und kleiner wird.
5. z.B.: 1x = o(1), 1
ln x = o(1), ln xx = o(1).
Dieselben Schreibweisen werden benutzt nicht nur fur x → ∞,
sondern auch fur x → x0, also bei Annaherung an eine reelle
Zahl x0. Wir schreiben
f(x) = o(g(x)) fur x→ x0 , fallsf(x)
g(x)→ 0 fur x→ x0
Beispiele von Großenordnungen fur x→ 0:
1. xp = o(xq) fur p > q
denn dann gilt xp/xq = xp−q → 0.
Merke: Fur x → 0 dominieren Potenzen mit kleinerem Expo-
nenten (anders als fur s→∞, wo sich die großeren Exponen-
ten durchsetzen).
2. exp(x) = 1 + o(1),denn exp(x)− 1 = exp(x)− exp(0)→ 0 fur x→ 0.
3. exp(x) = 1 + x + o(x)Dies folgt ausexp(x) =
∑∞n=0 xn/n! = 1 + x + x2
2 + x3
6 + · · · = 1 + x + 0(x2).Graphisch:
o(x)
x
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