4. kinematika dan dinamika rotasi [Compatibility Mode]

Topik hari ini:Topik hari ini:

Fisika Umum (MA101)

• Kinematika Rotasi• Hukum Gravitasi• Hukum Gravitasi• Dinamika Rotasi

Kinematika Rotasi

Perpindahan Sudut

• Riview gerak linear: – Perpindahan, kecepatan, percepatan

t

va

t

rvrrr if ∆

∆=∆∆=−=∆ ,,

• Perlu konsep yang sama untuk benda bergerak melingkar

• Seperti sebelumnya:– Perlu sebuah sistem acuan tetap

(garis)– Gunakan sistem koordinat polar

ttif ∆∆,,

• Setiap titik pada benda yang bergerak melingkar terhadap titik O

• Secara umum sudut diukur

Perpindahan Sudut (lanjutan)

dalam radian

• Cat:

r

s=θ

°=°= 3.572

3601

πrad

[derajat]θ180π

[rad]θ°°°°

====

Panjang busurPanjang busur

JariJari--jarijari

• Perpindahan sudut didefinisikan sebagai sudut yang dibuat benda yang berotasi selama selang waktu tetentu

Perpindahan Sudut (lanjutan)

• Setiap titik dalam piringan mengalami perpindahan sudut yang sama dalam selang waktu tertentu

if θθθ −=∆

Kecepatan Sudut

• Kecepatan sudut rata-rata (laju), ω, dari benda tegar adalah perbandingan dari perpindahan sudut perpindahan sudut dengan selang waktu

ttt if

if

∆∆=

−−

= θθθω

• Kecepatan sudut sesaat (laju)didefinisikan sebagai limit dari laju rata-rata dengan selang waktu mendekati nol

tt ∆∆=

→∆

θω0

lim

Kecepatan Sudut

• Satuan dari laju sudut adalah radian/sec (rad/s)

• Laju sudut akan menjadi– positif jika θ bertambah (berlawanan

arah dengan jarum jam)– negatif jika θ berkurang (searah

jarum jam)

tt ∆→∆ 0

Percepatan Sudut

• Bagaimana jika benda awalnya diam dan kemudian mulai berotasi?

• Percepatan sudut rata-rata, α, dari sebuah benda didefinisikan sebagai perbandingan antara perubahan laju sudut dengan selang waktu yang diperlukan benda untuk mengalami diperlukan benda untuk mengalami perubahan laju sudut tersebut:

• Satuannya adalah rad/s²• Hal yang sama, percepatan sudut

sesaat:

ttt if

if

∆∆=

−−

= ωωωα

tt ∆∆=

→∆

ωα0

lim

Catatan tentang kinematika sudut

Ketika sebuah benda tegar berotasi terhadap sumbu tetap tertentu, tiap bagian dari benda memiliki laju sudut dan percepatan sudut yang sama

• Artinya θ, ω, dan α tidak bergantung pada r, jarak tiap bagian benda ke sumbu rotasi

Analogi Antara Gerak Linier dan Gerak Rotasi

Gerak Rotasi Terhadap Sumbu Tertentu dengan Percepatan Sudut Konstan

Gerak Linier dengan Percepatan Konstan

tαωω += atvv +=ti αωω +=

2

2

1tti αωθ +=∆

θαωω ∆+= 222i xavv i ∆+= 222

2

2

1attvx i +=∆

atvv i +=

Hubungan Antara Besaran Sudut dan Besaran Linier

• Perpindahan

• Laju

r

s∆=∆θ

t

s

rt

1

∆∆=

∆∆θ• Laju

• Percepatan

vr

trt

1

or

=

∆=

∆

ω

ra α=

Hubungan Antara Besaran Sudut dan Besaran Linier

(lanjutan)• Perpindahan

• Laju

• Setiap titik pada benda yang berotasi memiliki gerak sudut yang sama

rs θ=• Laju

• Percepatan

sama• Setiap titik pada benda

yang berotasi tidakmemiliki gerak linier yang sama

rv ω=

ra α=

Tes Konsep 1Seorang anak perempuan duduk di sisi paling luar pada sebuah komedi putar, dan seorang anak laki-laki duduk ditengah-tengah antara anak perempuan dengan sumbu rotasi komedi putar. Komedi putar membuat satu putaran penuh tiap detiknya. Laju sudut anak laki-laki adalah

a. Setengah dari laju sudut anak perempuan.a. Setengah dari laju sudut anak perempuan.b. Sama dengan laju sudut anak perempuan.c. Dua kali dari laju sudut anak perempuan.d. Tidak mungkin ditentukan.

Jawab b

Percepatan Sentripetal

• Sebuah benda yang bergerak melingkar, meskipun bergerak dengan laju konstan, akan memiliki percepatan akan memiliki percepatan karena kecepatannya (arah) berubah

• Percepatan ini disebut percepatan sentripetal

• Percepatan ini berarah ke pusat gerak

Percepatan Sentripetal dan Kecepatan Sudut

• Hubungan antara kecepatan sudut dan kecepatan linierv = ωr

• Percepatan sentripetal dapat • Percepatan sentripetal dapat juga dihubungkan dengan kecepatan sudut

ts

rv

atv

a

dansrv

vrs

vv

∆∆∆∆∆∆∆∆====⇒⇒⇒⇒

∆∆∆∆∆∆∆∆====

∆∆∆∆====∆∆∆∆⇒⇒⇒⇒∆∆∆∆====

∆∆∆∆,

rar

va CC

22

or ω==Sehingga:

Segitiga yang sama!

Percepatan Total

• Apa yang terjadi apabila kecepatan linier berubah?

• Dua komponen percepatan:– komponen sentripetal dari

percepatan bergantung pada perubahan arahperubahan arah

– komponen tangensial dari percepatan bergantung pada perubahan kecepatan (laju)

• Percepatan total dapat dirumuskan dari komponen tsb:

22Ct aaa +=

slowing-down car

Sifat Vektor dari Besaran Sudut

• Seperti pada kasus linier, perpindahan, kecepatan dan percepatan adalah vektor:

• Menentukan arah positif atau negatif atau negatif

• Cara yang mudah dengan menggunakan aturan tangan kanan– Genggam sumbu rotasi

dengan tangan kanan anda– Kepalkan jari-jari anda

searah dengan arah rotasi– Ibu jari (jempol) anda

menunjukkan arah ω

Gaya yang Menyebabkan Percepatan Sentripetal

• Hukum II Newton mengatakan bahwa percepatan sentripetal diakibatkan oleh gaya

r

vmmaF C

2

==∑

– F menyatakan gaya-gaya yang bekerja pada benda yang membuat benda mengikuti lintasan melingkar

• Gaya gesek (belokan miring dan rata)• Tegangan pada tali• Gravitasi

r

Tes Konsep 2

Dalam gesekan statis atau kinetis kah apabila sebuah mobil tidak selip atau tergelincir?

a. Statisb. Kinetisb. Kinetis

Jawab a

Lingkaran Horizontal

• Komponen horizontal dari tegangan tali menyebabkan percepatan sentripetal

θtangaC =

Gaya dalam Kerangka Acuan yang Dipercepat

• Bedakan gaya riel dan gaya fiksi• Gaya Sentrifugal adalah gaya fiksi • Gaya Sentrifugal adalah gaya fiksi • Gaya yang riel selalu

merepresentasikan interaksi antara benda

Hukum Gravitasi

Hukum Newton tentang Gravitasi Umum

• Setiap partikel dalam alam semesta menarik partikel lain dengan gaya yang berbanding lurus dengan perkalian massa dan berbanding terbalik dengan kuadrat dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antar mereka

221

r

mmGF =

�� G adalah konstanta gravitasiG adalah konstanta gravitasi

�� G = 6.673 x 10G = 6.673 x 10--1111 N m² /kg²N m² /kg²

Konstanta Gravitasi

• Ditentukan secara eksperimen• Henry Cavendish

– 1798• Berkas cahaya dan cermin membuat

jelas gerak

Contoh:

Pertanyaan: Hitung gaya tarik gravitasi antara dua mahasiswa yang berjarak 1 meter

NkgkgmNmm

GF 72

1121 102.49070

1067.6 −− ×≈×==�

( ) Nm

kgkg

kg

mN

r

mmGF 7

2211

221 102.4

1

90701067.6 −− ×≈×==

Sangat kecilBandingkan:

NmgF 686==

Aplikasi dari Gravitsi Umum 1:Massa Bumi

• Sebagai contoh tinjau sebuah benda yang berada dekat dengan permukaan bumi

– r ~ RE

G

gRM E

E

2

=

Aplikasi dari Gravitsi Umum 2: Percepatan Gravitasi

• g akan bervariasi bergantung ketinggian

mgM

GmmM

GF EE ===

2r

MGg E=

mgr

MGm

r

mMGF EE =

==22

Energi Potensial Gravitasi• EP = mgy berlaku hanya

yang dekat dengan permukaan bumi

• Untuk benda yang letaknya jauh dari permukaan bumi, jauh dari permukaan bumi, dibutuhkan perumusan yang lain, yaitu:

– Energi potensial nol dipilih di jauh tak berhingga dari bumi

rmM

GEP E−−−−====

Laju Lepas

• Laju lepas adalah laju yang dibutuhkan sebuah benda untuk mencapai ruang angkasa dan tidak kembali

• Untuk bumi, vesc adalah sekitar 11.2 km/s• Cat, v tidak bergantung massa benda

E

Eesc R

GMv

2=

Hukum Kepler

• Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari sebagai pusatnya.

• Garis yang menghubungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dalam matahari menyapu luasan yang sama dalam waktu yang sama.

• Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding lurus dengan pangkat tiga dari jarak planet tersebut ke matahari.

Hukum Kepler (lanjutan)

• Berdasarkan observasi yang dilakukan oleh Brahe

• Newton kemudian mendemonstrasikan bahwa hukum ini adalah konsekuensi dari bahwa hukum ini adalah konsekuensi dari gaya gravitasi antara dua benda bersamaan dengan hukum gerak Newton

Hukum I Kepler

• Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari sebagai pusatnya.– Benda yang terikat

benda lain oleh gaya berbentuk “inverse square law”

akan bergerak dalam lintasan elips

221

r

mmGF =

Hukum II Kepler

• Garis yang menghubungkan tiap planet ke matahari menyapu luasan yang sama dalam waktu sama dalam waktu yang sama– Luas A-S-B dan C-S-D

adalah sama

Hukum III Kepler

• Kuadrat perioda dari setiap planet berbanding lurus dengan pangkat tiga dari jarak planet tersebut ke matahari

4 2ππππ

– Untuk orbit yang mengelilingi matahari, KM = 2.97x10-19 s2/m3

– K tidak bergantung massa planet

GM4

KdenganKrT2

32 ππππ========

Aplikasi Hukum III Kepler

• Menentukan massa matahari atau benda lain yang mempunyai satelit yang mengelilinginyamengelilinginya

• Asumsinya adalah orbit berupa lingkaran

Kesetimbangandandan

Dinamika Rotasi

Torsi • Tinjau gaya yang dibutuhkan

untuk membuka pintu. Apakah lebih mudah membuka pintu dengan mendorong/menarik jauh dari engsel atau dekat ke engsel?

Dekat ke Dekat ke engselengsel

Jauh dari Jauh dari engselengsel

Jauh dari Jauh dari engsel, efek engsel, efek rotasi lebih rotasi lebih besar!besar!

Konsep Fisika: torsiKonsep Fisika: torsi

Torsi• Torsi, , adalah kecenderungan dari

sebuah gaya untuk merotasikan sebuah benda terhadap sumbu tertentu

τ

Contoh pada pintu:

– adalah torsi– d adalah lengan gaya– F adalah gaya

Fd=ττ

Lengan Gaya

• Lengan gaya, d, adalah jarak terdekat (tegak lurus) dari sumbu rotasi ke garis sumbu rotasi ke garis searah perpanjangan gaya

– d = L sin Φ

Arah Torsi

• Torsi adalah besaran vektor– Arahnya adalah tegaklurus

terhadap bidang yang memuat lengan dan gaya

– Arah dan tanda:

Arah Torsi: keluar bidang kertas

– Arah dan tanda: �Jika gaya cenderung memutar

berlawanan jarum jam, torsi bertanda positif

�Jika gaya cenderung memutar searah jarum jam, torsi bertanda negatif Satuan

SI Newton meter (Nm)

USA & UK Foot pound (ft lb)

Tes Konsep 3

Anda mencoba untuk membuka pintu yang macet dengan menarik gagang pintu berarah tegak lurus pintu. Tetapi gagal. Kemudian anda mengaitkan sebuah tali pada gagang pintu dan menarik gagang pintu lewat tali berarah tegak lurus pintu dengan gaya yang sama, apakah torsi yang anda berikan dengan menggunakan tali lebih besar? Akan lebih mudahkah dengan menggunakan tali lebih besar? Akan lebih mudahkah untuk membuka pintu?

a. Tidak b. Ya

Jawab a

Bagaiman jika dua atau lebih gaya yang berbeda bekerja pada lengan-lengan gaya?

Torsi Neto

• Torsi neto adalah jumlah semua torsi yang dihasilkan oleh semua gaya

– Ingat untuk menghitung arah kecenderungan – Ingat untuk menghitung arah kecenderungan rotasi

• Berlawanan arah dengan arah jarum jam torsi positif• Searah dengan jarum jam torsi negatif

Torsi dan Kesetimbangan• Kondisi pertama dari kesetimbangan

• Gaya netto eksternal harus nol

– Ini adalah perlu, tetapi tidak cukup, untuk

0Fdan0F

0F

yx ====∑∑∑∑====∑∑∑∑

====∑∑∑∑rr

r

– Ini adalah perlu, tetapi tidak cukup, untuk menjamin bahwa benda dalam kesetimbangan mekanik lengkap

– Pernyataan tsb adalah kesetimbangan translasi

• Kondisi kedua dari kesetimbangan • Torka netto eksternal harus nol

• Pernyataan tsb adalah kesetimbangan rotasi

0=Στ

Kesetimbangan (lanjutan)

• Torsi neto sama dengan nol tidak berarti tidak ada gerak rotasi– Sebuah benda yang berotasi dengan

kecepatan sudut uniform (tetap) dapat sedang kecepatan sudut uniform (tetap) dapat sedang berada dalam pengaruh torsi neto nol

• Ini analogi dengan keadaan translasi dimana gaya neto nol tidak berarti benda tidak bergerak

Sejauh ini: torsi neto sama dengan nol.dengan nol.

Bagaimana jika tidak?

Torsi dan Percepatan Sudut

• Ketika benda tegar mengalami torsi neto tidak nol (≠0), maka akan mengalami percepatan sudutsudut

• Percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi neto– Hubungannya analogi

dengan ∑F = ma• Hukum II Newton

Torsi dan Percepatan sudut (lanjutan)

(((( ))))

sora

tangensialpercepatan

rmarF

rdengankalikanmaF

tt

tt

,

:

,

αααα====

====

====

sora t ,αααα====

α2mrrFt =

torsiτ Bergantung pada benda dan sumbu rotasi. Dinamakan momen inersia I. Satuan: kg mkg m22

2iirmI Σ≡

ατ I=Percepatan sudut berbanding terbalik dengan Percepatan sudut berbanding terbalik dengan analogi massa dalam sistem yang berotasianalogi massa dalam sistem yang berotasi

Momen Inersia yang Lain

Hukum II Newton untuk Benda Berotasi

• Percepatan sudut berbanding lurus dengan torsi neto• Percepatan sudut berbanding terbalik dengan momen

inersia benda

ατ I=Σ• Terdapat perbedaan yang penting antara momen

inersia dan massa: momen inersia bergantung pada kuantitas materi dan distribusinya

• Momen inersia juga bergantung pada posisi sumbu rotasi

ατ I=Σ

Momentum Sudut• Serupa dengan hubungan antara gaya dan

momentum dalam sistem linier, kita dapat tunjukan hubungan antara torsi dan momentum sudut

• Momentum sudut didefinisikan sebagai L = I ω

t

L

∆∆=τ

t

pF

∆∆=(bandingkan dengan )

• Jika torsi neto nol, momentum sudut konstan• Pernyataan Kekekalan momentum sudut :

Momentum sudut dari sebuah sistem adalah kekalketika torsi neto eksternal yang bekerja pada sisitem adalah nol– Ini terjadi ketika:

t∆

ffiifi IIatauLL0 ωωωω====ωωωω========ττττΣΣΣΣ ,

tF

∆=

Energi Total Sistem yang Berotasi

• Sebuah benda yang berotasi terhadap sumbu tertentu dengan laju sudut, ω, mempunyai energi kinetik rotasi ½Iω2

• Konsep energi dapat digunakan untuk penyederhanaan analisis gerak rotasi

• Kekekalan energi mekanik

– Ingat, ini untuk gaya konservatif, tidak ada gaya disipasi seperti gaya gesek

fgrtigrt EPEKEKEPEKEK )()( ++++++++====++++++++

Seorang penari ski es berputar dengan kedua lengannya terlentang (anggap tidak ada gaya gesekan). Ketika dia menarik kedua lengannya dan merapatkan pada tubuhnya momen inersia tubuhnya terhadap sumbu vertikal menjadi berkurang dan laju sudutnya menjadi bertambah (kekekalan momentum sudut). Dibandingkan

Tes Konsep 4

menjadi bertambah (kekekalan momentum sudut). Dibandingkan dengan energi kinetik rotasi awal, energi kinetik rotasi setelah penari tersebut menarik lengannya haruslah bernilai …

a. samab. lebih besar karena laju sudutnya bertambahc. lebih kecil karena momen inersianya berkurang

JawabJawab

Diketahui:

Momen inersia:

I dan I

Lω21

Iω21

EK 2rot ========

Energi kinetik rotasi adalah

Kita tahu bahwa (a) momentum sudut L kekal dan (b) kecepatan sudut bertambahI1 dan I2

Dicari:

K2 =?

dan (b) kecepatan sudut bertambah

Jadi, energi kinetik rotasi harus bertambah!