Треугольник

Простейший из многоугольников – Простейший из многоугольников – треугольниктреугольник – играет в геометрии – играет в геометрии

особую роль.особую роль. Без преувеличения можно сказать, Без преувеличения можно сказать, что вся (или почти вся)что вся (или почти вся) геометрия геометрия

со времён «Начал» Евклида со времён «Начал» Евклида покоится на «трёх китах» - трёх покоится на «трёх китах» - трёх

признаках равенства признаках равенства треугольников.треугольников.

Лишь на рубеже Лишь на рубеже XIX – XXXIX – XX веков веков математики научились строить математики научились строить

геометрию на основе более геометрию на основе более фундаментального и общего, чем фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия равенство треугольников, понятия геометрического преобразования. геометрического преобразования.

За несколько тысячелетий геометры За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили столь подробно изучили

треугольник, что иногда говорят о треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» «геометрии треугольника»

как о самостоятельном разделе как о самостоятельном разделе элементарной геометрии.элементарной геометрии.

ТРЕУГОЛЬНИКТРЕУГОЛЬНИК — геометрическая — геометрическая фигура, которая состоит из фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на трёх точек, не лежащих на

одной прямой, и трёх отрезков, одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти попарно соединяющих эти

точки.точки. ТочкиТочки называютсяназываются вершинами вершинами

треугольника,треугольника, отрезки отрезки — его— его сторонамисторонами..

А С

а

в

с

ВВ треугольнике АВС В треугольнике АВС

выделяют шесть основных выделяют шесть основных элементов –элементов –

три внутренних угла А, В, Стри внутренних угла А, В, С

и и

три соответственно три соответственно

противолежащие импротиволежащие им

стороны а, в, сстороны а, в, с..

Классификация Классификация треугольниковтреугольников

Треугольники Треугольники разделяются разделяются

попо длине их сторондлине их сторон или поили по величине их угловвеличине их углов..

Относительно Относительно длины сторон:длины сторон:

Разносторонние Разносторонние – все стороны – все стороны различной длиныразличной длины

Равносторонние Равносторонние – все – все стороны одинаковой длиныстороны одинаковой длины

РавнобедренныеРавнобедренные – две – две стороны одинаковой длиныстороны одинаковой длины

Относительно Относительно величины углов:величины углов:

Остроугольные Остроугольные – все углы – все углы острыеострые

Прямоугольные Прямоугольные – среди – среди углов есть прямой уголуглов есть прямой угол

Тупоугольные Тупоугольные - среди - среди углов есть тупой уголуглов есть тупой угол

СОСЧИТАЙСОСЧИТАЙ ТРЕУГОЛЬНИКИТРЕУГОЛЬНИКИ

ж) формулу для вычисления периметра ∆АВС.

Начертить ∆АВС. Назвать:а) стороны, вершины, углы;

б) сторону, противолежащую ∠А, ∠В, ∠С;в) между какими сторонами заключены ∠А, ∠В, ∠С;

г) углы, прилежащие стороне АВ, АС, ВС;

д) угол, противолежащий стороне АВ, АС, ВС;

е) периметр ∆АВС, если АВ = 5 см, ВС = 7 см, АС = 8 см;

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

∠А = ∠К, ∠В = ∠М, ∠С = ∠N, АВ = КМ, ВС = МN, AC = KN

В равных треугольниках против соответственно

равных сторон (т.е. совмещающихся при

наложении) лежат равные углы.

И обратно:

В равных треугольниках против соответственно

равных углов лежат равные стороны.

А

В

С

М

К N

∆∆АВС = ∆КАВС = ∆КMNMN ⇒ ⇒

Задача (устно). Дано:Дано: ∆АВС = ∆MNP, ∠А = ∠М, ∠В = ∠N, ∠С = ∠Р, АВ = 7 см, NP = 5 см, АС = 3 см.

Найти:Найти: стороны ∆АВС и ∆MNPТак как ∆ АВС = ∆ MNP, то против соответственно равных углов

лежат равные стороны, ⇒ АВ = МN, АС = МР, ВС = NР. Поэтому, BC =

5см,

MN = 7 см, МР = 3 см.

А

В

С

М

N

Решение.Решение.Р

№ 91. Дано: Дано: ∆АВС, Р∆АВС, РАВСАВС = 48 см = 48 см

АС = 18 смАС = 18 см

ВС – АВ = 4,6 ВС – АВ = 4,6 смсм

Найти: АВ и ВСНайти: АВ и ВС

Решение.Решение.

Пусть АВ = х см, тогда ВС = (х + 4,6) см,

т.к. ВС – АВ = 4,6 см.

РАВС = АВ + ВС + АС = 48 см,

тогда х + (х + 4,6) + 18 = 48 ⇒ х = 12,7 см.

Итак, АВ = 12,7 см, ВС = 17,3 см.

Ответ:Ответ: АВ = 12,7 см, ВС = 17,3 см.

A

D

C

BДано: АВ = АС = ВС, AD = DC

РАВС = 36 см, PADC = 40 см

Найти: стороны ∆АВС и ∆ADC

Решение.

РАВС = 36 см ⇒ АВ = АС = ВС = 36 : 3 =12 см. PADC = AD + DC + АC = 40 см.AC = 12 см, AD = DC ⇒AD = DC = 14 см.Ответ: АВ = АС = ВС = 12 см, AD = DC = 14 см.

А

D

B

C

F

Дано: ∆ABD = ∆CBD ∠FAB = 160°Найти: ∠ВСD

Решение.

∠BAD = 180° - ∠FAB = 20° ∆ABD = ∆CDB, тогда ∠BAD =∠ВСD =

20°.

Ответ: ∠ВСD = 20°.

Д/з: п. 14, № 90, № 92, № 83.

Дополнительная задача: ∆АВС = ∆А1В1С1

РАВС = 39 см

В1С1 = 1,5 А1В1

А1С1 = А1В1 – 3 см

Найти большую сторону ∆АВС.