View
346
Download
6
Category
Preview:
Citation preview
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
1/20
I. TRANSFORMARI ELEMENTARE
B
n a) A = b) A c) A
1) Care din urmatoarele operatii efectuate asupra uneimatrice este transformare elementara:
a) adunarea unei linii la o coloana;
b) inmultirea unei linii cu scalarul α = 0
c ) schimbarea a doua linii intre ele;
d ) adunarea unei linii la o alta linie.
2) Numim matrice elementara o matrice:
a) cu rangul egal cu 1;
b) care se obtine din matricea unitate prin transformari
elementare;c) cu determinantul nenul;
d
) obtinuta din matricea unitate printro singura
transformare elementara.
!) " matrice elementara este obligatoriu:
a) patratica;
b) dreptunghiulara;
c
) in#ersabila;
d
) nesingulara.
$) %ransformarile elementare se pot aplica:
a) numai matricelor patratice;
b ) oricarei matrice;
c) numai matricelor in#ersabile;d) numai matricelor cu rang nenul.
&) 'ie B o matrice obtinuta prin transformari elementare
din matricea A. (tunci:a) rang A = rang B;
b) rang A rang B;
c) rang A * rang B;
d) rang A + rang B.
,) -atricele A si B se numesc echi#alente daca:
a) au acelasi rang;
b
) B se obtine din A prin transformari elementare;
c) sunt ambele patratice si de acelasi ordin;d) au determinanti nenuli.
) /aca A,B sunt matrice echi#alente A B) atunci:
a) A,B sunt matrice patratice;
b ) rang A = rang B;
c
) daca determinantul lui A = 0 reulta si det B = 0;d) daca det A = 1 reulta ca si det B = 1.
3) 'ie A 4 M nR ). /aca rang A = r atunci printransformari elementare se obtine:
a) cel putin r coloane ale matricei unitate;
b) cel mult r coloane ale matricei unitate;
c ) e5act r coloane ale matricei unitate;d) toate coloanele matricei unitate.
6) 'ie A 4 M nR ) cu det A 0. (tunci:
a) rang A = n;b
) A este echi#alenta cu matricea unitate In A - In);
c) prin transf. elementare putem determina in#ersa A1.
d
) forma 7aus8ordan a matricei A este In.10) 9entru a afla in#ersa unei matrice A 4 M nR ) prin
transformari elementare acestea se aplica:a) numai liniilor;
b) numai coloanelor;
c) atat liniilor cat si coloanelor;d) intai liniilor apoi coloanelor.
11) /aca A 4 M nR ) cu det A = 1 atunci forma 7auss
8ordan asociata #a a#ea:a) o singura linie a matricei unitate In;b
) toate liniile si coloanele matricei unitate In;c) o singura coloana a matricei unitate In;d) numai o linie si o coloana a maricei unitate In.
12) -etoda de aflare a in#ersei unei matrice A cu
transformari elementare se poate aplica:a) oricarei matrice A 4 M nR ) ;
b
) numai matricelor patratice;
c) maricelor patratice cu det A 0;d) tuturor matricelor cu rang A 0.
1!) 9entru aflarea in#ersei unei matrice A 4 M nR ) printransformari elementare acestea se aplica:
a) direct asupra lui A;
b) asupra matricei transpuse A%;
c
) matricei atasate B (Mn< ;
d) matricei atasate B M(% < .
1$) 'ie A 4 M nR ) si B matricea atasata acesteia inmetoda aflarii in#ersei lui A prin transf elementare.(tunci:
a) B 4 M n R ); b
)
4 M n,2n R ); c) B
4 M 2n,n R ); d) B 4 M 2n,2n R );
1&) 'ie A 4 M nR ) si B matricea atasata lui A pentrudeterminarea lui A
1 prin transformari elementare. /aca
0 1 2 !
B1 0
M$
atunci:1
1 $ 2 ! ! 2
1 2 ! 1 = 1 $ 1 = $ 1
d) A1 nu e5ista.
1,) 'ie A 4 M nR ) si B matricea atasata lui A pentrudeterminarea lui A
1 prin transformari elementare. /aca
1 0 0 1 2 !
B 0 0 1 M! 2 1 atunci:0 1 0 2 1 !
1 2 ! 1 ! 2 1 2 !
a) A1
= ! 2 1 b)A1 = 2 2 1 c ) A1 = 2 1 !
2 1 ! ! 1 ! ! 2 1
d) A1 nu e5ista.
1) (ducand matricea A la forma 7auss8ordan obtinem:
a) A1;
b
) rang A;
c) det A;
d) A%.
13) /aca matricea A 4 M 2!R ) este echi#alenta cu
1 2 0matricea A = atunci:
0 1 1
a) rang A = 2;
b) rang A = 1;
c) rang A = !;d
) rang A = rang A`.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
2/20
16) /aca matricea A 4 M !R ) este echi#alenta cu matricea
1 1 0
A` = 0 0 0 atunci rang A este:2 0 1
a) 2; b) !; c) 1; d) 0.
20)/aca A este echi#alenta cu matricea unitate I! A I!)atunci:
a) rang A = !;
b
) det A I!;
c) A = I!;
d) A1 = I!.
21) 9i#otul unei transformari elementare este intotdeauna:
a) nenul;
b) egal cu 0;
c) egal cu 1;
d) situat pe diagonala matricei.
1 0 0
22) /aca matricea A este echi#alenta cu A` = 0 1 0
0 0 1
atunci:
a) rang A = !;
b) rang A = 1;
c
) det A 0;
d ) Aeste in#ersabila.
2!) /aca matricea A este echi#alenta cu matricea A` =1 0 0
0 1 0 atunci:0 0
a) rang A = 0 *=+ α = 0
b) rang A = 1 *=+ α = 1
c
) rang A > 2 ) α 4 R ;
d
) rang A = ! *=+ α 0.
2$)/aca matricele A si A` sunt echi#alente AA`) atunci:
a) au acelasi rang;
b) sunt obligatoriu matrice in#ersabile;c) sunt obligatoriu matrice patratice;
d
) se obtin una din alta prin transformari elementare.
2&) 'ie A 4 M !R ) cu det A = α. (tunci forma 7auss8ordana lui A:
a) are acelasi rang cu matricea A ) α 4 R ;
b) are acelasi rang cu matricea A numai pt α = 0;
c
) coincide cu I! *=+ α 0;
d ) are cel mult doua coloane ale matricei unitate I! daca α = 0
2,) /oua sisteme liniare de ecuatii se numesc echi#alente
daca:
a) au acelasi numar de ecuatii;
b) au acelasi numar de necunoscute;
c) au aceleasi solutii;
d
) matricele lor e5tinse sunt echi#alente.
2) -atricea unui sistem liniar oarecare in forma e5plicita
are:
a) forma 7auss8ordan;
b
) coloanele #ariabilelor principale coloanele matricei
unitate;
c) toate elementele de pe liniile #ariabilelor secundare nule
d) elementele corespunatoare de pe coloanele #ariabilelor secundare negati#e.
23) -etoda 7auss8ordan de reol#are a sistemelor liniare
prin transformari elementare se aplica:
a) numai sistemelor patratice;
b ) oricarui sistem liniar;
c) numai daca rangul matricei sistemului este egal cu
numarul de ecuatii;d) doar sistemele compatibile nedeterminate.
26) 'ie A si ( matricea respecti# matricea largita a unui
sistem liniar. (plicand metoda 7auss8ordan de reol#arese aplica transformari elementare asupra:
a) liniilor lui A si coloanelor lui ( ;
b) liniilor si coloanelor lui ( ;
c
) liniilor lui ( ;
!0) 9entru a obtine matricea unui sistem liniar sub forma
e5plicita se aplica transformari elementare:
a) numai coloanelor corespunatoare #ariabilelor secundare;
b) numai coloanei termenilor liberi;
c) tuturor liniilor si coloanelor matricei e5tinse;
d
) pentru a face coloanele #ariabilelor principal alese
coloanele matricei unitate.
!1) (plicand metoda 7auss8ordan unui sistem liniar de
ecuatii matricea e5tinsa ( este echi#alenta cu matricea (2 1 1 0 !
= M . (tunci sistemul liniar:! 0 2 1 1
a) este incompatibil;
b) este compatibil nedeterminat;
c) are solutia de baa: 51=$ 52=2 5!=1 5$=0;
d) are o infinitate de solutii.
!2) -atricea e5tinsa corespunatoare unui sistem liniar in
1 2 0 1 $forma e5plicita este ( = 0 1 1 1 M2 . (tunci
0 0 0 0 1
sistemul liniar:
a) este incompatibil;
b) este compatibil determinat;
c) are solutia de baa 51=1 52=2 5!=1 5$=0;d) are o infinitate de solutii.
!!) -atricea e5tinsa corespunatoare unui sistem liniar in
1 0 1 0 1forma e5plicita este ( = 0 1 1 0 M2 . (tunci sistemul
0 0 2 1 !
liniar:
a) sistemul este compatibil nedeterminat;
b
) #ariabilele principale alese sunt 51 52 5$;
c) sistemul este incompatibil;d
)solutia de baa cores. este 51=1 52=2 5!=0 5$=!.!$) ?n sistem liniar de 2 ecuatii cu $ necunoscute cu rangulmatricei sistemului egal cu 2 are solutia de baa: X=2001)
%. (tunci este:
a) admisibila si nedegenerata; b) admisibila si degenerata;c
) neadmisibila si nedegenerata;
!&) un sistem liniar cu 2 ecuatii si ! necunoscute admitesolutia de baa X=010)
%. @tiind ca 52 5! sunt #ariabile
principale atunci solutia 5 este:
a) admisibila;b
) neadmisibila;c
) degenerata;
!,) @istemele liniare de ecuatii care admit solutii de baasunt numai cele:
a) compatibile nedeterminate;
b) compatibile determinate;c) incompatibile;d) patratice.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
3/20
a) X= 1 1 1 0) ;
d) neadbisibila si degenerata. d) nedegenerata.
!) 'ormei e5plicite a unui sistem liniar ii corespunde
1 0 1 1 2Mmatricea ( =
0 1 1 1 2. (tunci solutia
corespunatoare este:
a) 51= 2Aα 52=2Aα 5!=α 5$= ;
b) 51=2αA 52=2αA 5!=α 5$=
; c ) 51=2Aα 52=2αA 5!=α 5$=
!3) -atricea e5tinsa corespunatoare formei e5plicite a
1 1 1 0 1unui sistem liniar este ( =
1 0 2 1M . (tunci1
solutia de baa corespunatoare este:
%
b) X= 1 0 2 1)%;
c) X= 1 1 0 0)%;
d
) X= 0 1 0 1)%
.
!6) 9entru a se obtine solutia de baa din forma e5plicita aunui sistem liniar de ecuatii:
a) #ariabilele principale se egaleaa cu 0;
b
) #ariabilele secundare se egaleaa cu 0;
c) toate #ariabilele se egaleaa cu 0;
d) se atribuie #ariabilelor secundare #alori nenule distincte.
$0) @olutia de baa X=α0 0)% a unui sistem liniar dedoua ecuatii este neadmisibila daca:
a) α + 0 si +0;
b ) α *0 si *0;
c
) α +0 si *0;
d ) α *0 si +0.
$1) @olutia de baa X=00 α )% corespunatoare unuisistem liniar cu 2 ecuatii principale si $ necunoscute estedegenerata daca:
a) α=0 0;
b
) α0 =0;
c
) α=0 =0;
d) α0 0.
$2) 'ie nB si n numarul solutiilor de baa distincterespecti# al formelor e5plicite corespunatoare unui sistem
liniar compatibil nedeterminat. (tunci:
a) nB D n ;
b) nB > n ;
c
) intotdeauna nB = n ;
d) obligatoriu nB + n .
$!) 'ie solutia de baa X=1α 0 )% corespunatoare
#ariabilelor principale 51 si 5$. (tunci 5 este admisibiladegenerata daca:
a) α +0 =0;
b ) α=0 =0;
c) α=0 +0;
d) α+0 +0.
$$) 'orma e5plicita a unui sistem liniar are matricea de
1 0 0 2 1
forma ( = 0 0 1 !M2 . (tunci solutia de baa0 1 0 1 1
corespunatoare X este:
a) X=1 2 1 0)%
;
b
) X=1 1 2 0)%
;
c) X=1 2 0 1)%
;
d) X=1 2 1 0)%
$&) 'orma e5plicita a unui sistem liniar are matricea de
2 0 1 1 1
forma ( = 1 1 1 0 M . (tunci solutia de baa0
corespunatoare X este:
a) admisibila;
b
) degenerata;
c
) neadmisibila;
d) nedegenerata.
1 0 0 2 2
$,) 'ie ( = 0 1 0 1M 2 maricea
corespunatoare
0 0 0 0
formei e5plicite a unui sistem liniar. (tunci sistemul este
incompatibil daca:
a) α=0;
b ) α=1;
c
) α=1;
1 0 2 2
$) 'ie ( = 0 1 1M 1 matricea corespunatoare0 0 0
formei e5plicite a unui sistem liniar. (tunci sistemul este:
a) compatibil nedeterminat daca α = 0;
b
) compatibil determinat daca α=1;
c) incompatibil daca α 0;
d) incompatibil daca α = 0.
1 0 2 2
$3) 'ie ( = 0 1 1M 1 matricea corespunatoare
formei
0 0
e5plicite a unui sistem liniar. (tunci sistemul este
compatibil nedeterminat daca:
a) α = 0 0;
b) α 0 =0;
c
) α =o =0;
$6) 'ie X=11α00)%
solutia de baa a unui sistem liniar de
ecuatii corespunatoare #ariabilelor principale 51 52 5!.
(tunci:
a) X este admisibila daca α+0;
b ) X este degenerata daca α=0;
c
) X este neadmisibila daca α= 1;d ) X este nedegenerata daca α = 1.
&0) ?n sistem liniar de 2 ecuatii si $ necunosute are
matricea corespunatoare unei forme e5plicite de forma:
( = . (tunci solutia de baa corespunatoare X este:
a) admisibila daca α=1 =0;
b
) degenerata daca α *0 =0;
c) neadmisibila daca α + 0 si >0;
&1) ?n sistem de m ecuatii liniate cu n necunoscute m*n
are intodeauna:
a) mi mult de Cm
forme e5plicite;n
b
) cel mult Cm
forme e5plicite;n
c) e5act Cm
forme e5plicite;n
d) mAn forme e5plicite.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
4/20
n
n d ) nm componente nenule.
II.ELEMENTE DE ALGEBRA LINIARA
a) )αi= 0 i= ; a) αi = 0 ) i= ;
d) nedegenerata daca α*0 si D0.
&2) ?n sistem de m ecuatii liniare cu n necunoscute m*n
are intotdeauna:
a) e5act Cm
solutii de baa;
b ) cel mult Cm
solutii de baa;n
c) cel putin Cm
solutii de baa;
d) mAn solutii de baa.
&!) " solutie de baa pentru un sistem cu m ecuatii liniare
cu n encunoscute m*n este degenerata daca are:
a) e5act m componente nenule;
b) mai mult de m componente nenule; c
)
mai putin de m componente nenule; d
)
mai mult de nm componente nenule.
&$) " solutie de baa pentru un sistem cu m ecuatii liniare
cu n encunoscute m*n este nedegenerata daca are:
a) e5act m componente nenule;
b) mai mult de m componente nenule;
c) mai putin de m componente nenule;
&&) 9entru a transforma un sistem liniar de ecuatii intrunulechi#alent se folosesc transformari elementare asupra:a) liniilor matricei sistemului;
b) coloanelor matricei sistemului;
c) liniilor si coloanelor matricei sistemului;d) termenilor liberi ai sistemului.
&,) -etoda grafica se foloseste in reol#area sistemelor deinecuatii liniare cu:a) doua necunoscute;
b) mai mult de ! necunoscute;
c) oricate necunoscute;d) e5act ! necunoscute.
&) " solutie de baa pentru un sistem cu m ecuatii liniarecu n encunoscute m*n este admisibila daca are:a) maEoritatea componentelor poiti#e;
b) mai mult de m componente poiti#e:
c) mai putin de m componente negati#e;
d
) toate componentele negati#e.
&3) 'ie A o matrice nenula de tipul m,n). (tunci matricea A
admite in#ersa daca:
a) det A 0;
b ) m=n si det A 0;
c) det A=0 si m=n;
d ) det A = 1 si m=n.
&6) 9entru a transforma un sistem liniar de ecuatii in unulechi#alent se folosesc:a) transf. elem. aplicate liniilor matricei atasate sistemului;
b) trans elem aplicate liniilor si coloanelor matr. atasate
sistc) operatii de adunare a coloanelor matricei atasate sist;d) toate operatiile care se pot efectua asupra unei matrice.
,0) " solutie de baa a unui sistem liniar se obtine:
a) dand #ariabilelor principale #aloarea 0;
b
) dand #ariabilelor secundare #aloarea 0;
c) dand #ariabilelor principale #alori nenule;
d) dand #ariabilelor secundare #alori strict poiti#e.
1) ?n spatiu liniar X se numeste spatiu liniar real daca:
a) elementele sale sunt numere reale;
b) corpul peste care este definit coincide cu multimea
numerelor naturale;c) multimea X este ne#ida;d ) operatiile definite pe X sunt operatii cu numere reale.
2) 'ie 9nX)AF) spatiul liniar al polinoamelor de grad celmult n. (tunci operatiile GAH si GFH repreinta:
a) adunarea si inmultirea polinoamelor;
b
) adunarea polinoamelor si inmultirea polinoamelor cu
scalari reali;c) adunarea numerelor reale si inmultirea polinoamelor;d) adunarea polinoamelor si inmultirea nr reale.
!) 'ie 9nX)AF) spatiul liniar al polinoamelor de grad celmult n. (tunci dimensiunea sa este:
a) n;
b ) n=1;
c) n2;
d) 2n.
$) -ultimea solutiilor unui sistem liniar formeaa un spatiu
liniar daca sistemul este:
a) incomparabil;
b ) omogen;c) compatibil determinat;
d) patratic cu rangul matricei egal cu nr. Necunoscutelor.
&) 'ie #ectorii 51 52 ... 5I 4 R na.i. α151Aα252A...AαI5I
=0n .(tunci 5152...5I sunt liniar independenti numai daca:
1 k
b) )αi= 0;
c) αi 0 )i=1 k
;
+
,) 'ie #ectorii 51 52 ... 5I 4 R na.i. α151Aα252A...AαI5I
=0n .(tunci 5152...5I sunt liniar dependenti daca:
1 k
b
) ) αi 0;
c
) I+n;
d α 0 i=1 k
.
) 'ie X un spatiu liniar si #ectorii 51525! 4 X a.i.51A52Aα5!=05. (tunci #ectorii sunt:a) liniar dependenti daca α=0;
b) liniar independenti daca α0;
c
) liniar dependenti daca α0;d) liniar independenti daca α=0.
3) Jectorii 51 52 ... 5I 4 R nsunt liniar independenti.
(tunci:a) 5152...5I1 sunt liniar independenti;
b
) 5i0n )i=1 n ;
c
) I D n;d) 51A52A...A5I=0n
6) 'ie 51 5252 4 R !#ectori oarecare a.i. 5!=51252.
(tunci:a) coordonatele lui 5! sunt 1 si 2;
b ) 51525! nu formeaa o baa in R !
c
) 51525! sunt liniar dependenti;
d) deoarece 512525!=0 =+ 51525! sunt liniar indep.
10) 'ie B si B` doua bae din spatiul liniar R !
si S matricea
schimbarii de baa. (tunci S este:a) patratica;b ) in#ersabila;
11) 'ie #ectorii 51 52 ... 5I 4 R n
.(t. ei form o baa daca:
a) sunt liniar independenti si In; b) 5i0n si I=n;c
) sunt liniar independenti si I=n;
12) 'ie B = K51 52...5IL o baa in spatiul liniar X. (tunci:
a) dim X = I; b) dim X + I;
c) dim X * I;
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
5/20
d) I=n si αi0 )i= d ) 5i 05 ) i= .
1 2 !
1 2 1 2
1 2 1 2 n
d
) daca 1 0 2 0 ! 0 M este negati# definita.
c) dreptunghiulara;d ) nesingulara det S0).
1 k 1 k
1!) 'ie S matricea de trecere de la o baa B la baa B` si uBrespectib uB coordonatele #ectorului u in cele doua bae.
(tunci au loc relatiile:a) uB = S uB si uB =S
1 uB b) uB = S
% uB si uB =S1 uB
c
) uB = S%
uB si uB = S%)
1uB
d) uB =S1 uB si uB = S
% uB
1$) 'ie B = K5152...5IL o baa in R n
.(tunci:
a) 5152...5I sunt liniar independenti;
b) I*n;
c
) I = n;
d) I+n.
1&) n spatiul liniar R n
e5ista:
a) cel mult n bae;
b) e5act n bae;
c) o singura baa;
d ) o infinitate de bae.
1,) 'ie operatorul liniar : R 2
R !
si 020! #ectorii nuli ai
celor 2 spatii. (tunci:a) 02) = 02;
b) 0!) = 0!;
c
) 02) = 0!;
d) 0!) = 0!.
1) /aca : R m
R n
este un operator liniar atunci:
a) obligatoriu m+n;
b) obligatoriu m*n;
c
) m si n unt numere naturale oarecare nenule;
d) obligatoriu m=n.
13) 'ie : R m
R n
un operator liniar si ker nucleul sau.
/aca 5152 4 Ier atunci:a) 51A52 4 Ier ;
b ) α51 4 Ier ) α 4 B;
c
) α51A 52 4 Ier ) α 4 R ;d) 51) = 52.
16) 'ie : R n
R m
un operator liniar si Ier nucleul sau.
/aca 5 4 Ier atunci:
a) 5) = 0m;
b
) α5) = 0m ) α 4 B;
c) α5) = 0m doar pt α = 0;
d) 5) = 0n.
20) /aca : R m
R n
este un operator liniar si A matricea
sa fata de o pereche de bae B,B` atunci:
a) A 4 M mnR );
b) A 4 M nmR );
c) B,B sunt bae in R m
;
d
) B este baa in R m
si B` este baa in R n
21) 'ie : R n
R n
un operator liniar si 5 un #ector propriu
pt. . (tunci:
a) O) 4 R a.i. 5)= 5;
b) 5)=5 ) 4 R ;
c
) 5 0 ;
d ) 5) = 5 ) 4 R .
22) 'ie : R n R n un operator liniar si 5 un #ector propriu
corespunator #alorii proprii . (tunci:
a) 5) = 5;
b) daca 5) = 0n atunci 5=0n;
c
) 5)= 25;
d ) daca 5) = 0n atunci = 0.
2!) -atricea atasata unei forme liniare f : R n R este o
matrice:
a) patratica:
b) coloana;
c
) linie;d) in#ersabila.
2$) /aca f : R n R este o forma liniara atunci:
a) f51A52) = 51 A 52; ) 5152 4 R n
b ) f51A52) = f51) A f52); 5152 4 R n;
c) fα5) = α5 ) α 4 R si ) 5 4 R n;
d ) fα5) = αf5) ) α 4 R si ) 5 4 R n.
2&) 'ie : R n
R m
un operator liniar. (tunci de#ine
forma liniara daca:a) n = 1;
b ) m = 1;
c) n = 1 si m = 1;
d) n=m.
2,) 'ie M: R n
R o forma patratice si A matricea asociata
acesteia. (tunci:a) A = A
%
b) A 4 M n1R );
c
) A 4 M nR );
d) A este in#ersabila.
Q : R!
R2) 'ie forma patratica
Q x) x2
2 x2
x!
2 x x1 2 ! 1 2
)5=51525!)% 4 R
!.(tunci matricea asociata lui M este:
1 1 0
c
) A = 1 2 00 0 1
23) 'orma patratica M: R 2
R are matricea asociata A=2 1
1 1. (tunci M are e5presia:
c
) M5) = 2 x2
x2
2 x x
26) 'orma patratica M: R !
R are forma canonica asociata
MP)= 2 y 2
y2
y!
. (tunci:
a) M este poiti# definita daca α +0;
c
) M este semipoiti# definita daca α = 0;
d
) M nu pastreaa semn constant daca α * 0 .
!0) 'orma patratica M: R 2
R are matricea asociata A=1 2
2 !. (tunci forma canonica asociata este:
Nici una: MP)= y 2
y 2
sau y2
! y2
sau 2 y 2
y 2
1 2 1 2 1 2
sau ! y2
y2
1 2
!1) 'orma patratica M: R 2
R are forma canonica asociata
MP) = ay2
by2
. (tunci M este negati# definita daca:
c
) a*0 b*0
1 2 ! 1 2 !
2 2!2) 'ie MP)= y1 y2 y! forma canonica1 2 !
asociata formei patratice M: R !
R .(tunci:
a) daca 1 0 2 0 ! 0 M este poiti# definita;
!!) 'ie A matricea asociata formei patratice M: R n
R si
... minorii principali ai lui A. 9entru a aplica
metoda lui 8acobi de aducere la forma canonica trebuieobligatoriu ca:
Nici una.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
6/20
1 2 !asociata formei patratice M: R R .(tunci M nu pastreaa
1 1 2 2 n n d ) α1+0 α2*0 α!4 R .
1 2
&0) 'ie operatorul L : ¡
2
¡2
T.(tunci : d
) e5ista grupuri abeliene care nu sunt spatii liniare.
a) Ier=K00)%L
L x)
x1
x2 x
1)
!$) 'ormei patratice oarecare M: R n
R i se poate asocia:
b ) msi multe forme canonice dar cu acelasi nr de
coeficienti poiti#i repecti# negati#i.c
) o matrice patratica si simetrica.
Q : ¡n
¡
!&) 'orma patratica n n spunem caQ x) a
ij x
i x
j
i 1 j 1
este poiti# definita daca:
Q : ¡n
¡
!,) 'orma patratica n n spunem caQ x) a
ij x
i x
j
i 1 j 1
este seminegati# definita daca:b ) M5)D0 ) 5 4 R
n, x ≠ 0.
!) 'orma patratica M: R !
R are forma canonica asociata:
MP)= y2
y2
y2
. (tunci:
c
) )5152 4 R !
a.i. M51)*0 si M52)+0
Q : ¡n
¡
!3) 'orma patratica n n are formaQ x) aij xi x
ji 1 j 1
canonica asociata MP)= y2
y2
... y2
.
(tunci
!6) 'ie MP)= y2
y2
y2
forma canonica1 1 2 2 ! !!
semn constant daca:
a) α1+0 α2*0 α!+0;
$2) -atricea operatorului : R 2
R 2
fata de baa canonica
1 1din R 2 are e5presia A= . (tunci operatorul are
2 0e5presia:
T b
) 5)= x1
2 x2
x1
.
$0) -etoda lui 8acobi de a obtine forma canonica se poate
aplica in caul formelor patratica:
a) poiti# definite;
c
) negati# definite.
L : ¡!
¡2
$1) 'ie operatorul liniar L x) x x 2 x x
)T
1 ! 1 2
)5=51525!)% 4 R
!.(tunci matricea operatorului in
baele canonice ale celor doua spatii are forma:
1 2
b
) A= 0 1 .
1 0
1 0$&) 'ie operatorul liniar : R
2R
2cu matricea A=
1 1
(tunci ecuatia caracteristica corecpunatoare:
c
)2
2 1 0
$!) 9entru a se determina #alorile proprii ale operatorului
: R n
R n
cu matricea corespunatoare A se reol#a
ecuatia:
T c
) det ( I n
0 $$) "peratorul liniar : R 2 R 2 are matricea A=1 2
! 1
(tunci ecuatia caracteristica pt obtinerea #alorilor propriiare forma:
1 !c) 0
2 1
$,) 'ie operatorul liniar : R 2 R 2 .(tunci:
c
) operatorului nu i se poate atasa ecuatia caracteristica.
1 1$3) 'ie A= matricea atasata operatorului : R 2 R 2
1 1
(tunci:
b
) #alorile proprii ale lui sunt 0 2 ;
1 ) x1
x2
0d
) sistemul caracteristic atasat este x
11 ) x
20
$6)"perat. : R 2 R 2 are #alorile proprii 1 1 2 2 .
(tunci:
c
) daca 5152 sunt #ectori proprii pentru 1 respecti# 2
=+ 5152 sunt liniar independenti.
d ) e5ista o baa fata de care matricea operatoului are forma
1 0A=
0 2
2 0$) "peratorul liniar : R
2R
2are matricea A=
1 2
(tunci #alorile proprii ale lui sunt:
c
) 1 2 2 2&1) Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arateQ
a) orice spatiu liniar este grup abelian;
b) orice grup abelian este spatiu liniar;
c) e5ista spatii liniare care nu sunt grupuri abeliene;
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
7/20
1) 'ie operatorul liniar : R R liniar oarecare. (tunci: 2) ?nui operator liniar : R R i se poate asocia:
&2) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R m
si A matricea
componentelor acestora. (tunci:
a) #ectorii sunt liniar independenti daca rang A = m;b ) #ectorii sunt liniar dependenti daca rang A * m.
&!) n spatiul R n
o multime de #ectori liniar independenti
poate a#ea:
a) cel mult n #ectori;c) e5act n #ectori.
&$) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R m
si A matricea
componentelor acestora. (tunci sunt liniar dependenti daca:
c) rang A * m;d ) det A =0.
&&) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R m
si A matriceacomponentelor acestora. (tunci sunt liniar independentidaca:
a) rang A = m;d ) det A 0.
&,) 'ie #ectorii 5152...5m 4 R n
liniar independenti.(tunci #ectorii :
c) formeaa o baa in R n
numai daca m=n;
d) nu contin #ector nul.
&) -ultimea 5152...5m este formata din #ectori liniar dependenti. (tunci:
b ) cel putin un #ector se poate e5prima ca o combinatie
liniara de ceilalti;d ) poate contine #ector nul.
&3) 'ie #ectorii 5152...5n 4 R n n+! liniar independenti.
(tunci:
a) #ectorii 5152...5n formeaa o baa in R n
;
b) #ectorii 5152...5I sunt liniar independenti )I=1 n .
&6) Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:
a) orice submultime a unei multimi de #ectori liniar
independenti este tot liniar independenta; b) o submultime a unei multimi de #ectori linair dependenti
este tot liniar dependenta;
c) coordonatele unui #ector in baa canonica din R n
coincid
cu componentele acestuia.d) daca o multime de #ectori nu contine #ectorul nul atuncieste liniar independenta.
,0) Coordonatele unui #ector din R n
:
a) sunt unice relati# la o baa fi5ata;
b ) se schimba la schimbarea baei;
c) sunt aceleasi in orice baa.
,1) ?n sistem de n #ectori din R n care contine #ectorul nul:
b ) este liniar dependent;c) nu formeaa o baa in R n .
,2) Coordonatele unui #ector in 2 bae care difera printrun
singur #ector sunt:
a) diferite.
,!) /imensiunea unui spatiu #ectorial este egala cu:
a) numarul #ectorilor dintro baa;b ) numarul ma5im de #ectori liniar independenti.
,$) -atricea schimbarii de baa este:
a) o matrice patratica;
b ) o matrice in#ersabila;
c) formata din coordonatele #ectorilor unei bae
descompusi in cealalta baa.
,&) 'ie aplicatia : R m
R n
.(tunci este un operator
liniar daca:
c) 51A52)=51)A52) si α5)=α5) )55152 4 R m
,,) (plicatia : R m
R n
este un operator liniar. Care din
afirmatiile de mai Eos sunt ade#arate:
a) 51A52)=51)A52) )5152 4 R m
;
b ) α5)=α5) ) 5 4 R m
) α 4 R ;
d ) α51A52)=α51)A52) )5152 4 R m si ) α 4 R ,) 'ie 51 si 52 #ectori proprii pt operatorul liniar : R
n
R n
corespunatori la 2 #alori proprii distincte. (tunci:
a) 51 si 52 sunt liniar independenti.
,3) 'ie : R m R n un operator liniar si A matricea sa.
(tunci:
a) A 4 M mnR )
,6) 'ie : R ! R 2 un operator liniar. (tunci:
c) nu se poate pune problema #alorilor proprii pentru ;
d ) matricea lui este dreptunghiulara.
0) "peratorul : R n R n are n #alori proprii distincte 1
2 ... n carora le corespund #ectorii proprii 5152...5n.
(tunci:a) 5152...5n formeaa o baa in R
n;
d ) 5152...5n sunt liniar independenti.
m n
a) Ier R m
;
d) Ier este subspatiu liniar.
m n
a) o matrice unica relati# la o pereche de bae fi5ate;
!) Nucleul unui operator liniar : R m R n este:
a) un subspatiu liniar;b ) o multime de #ectori din R m
$) ?n operator liniar : R n R n are:
a) cel mult n #alori proprii distincte;d) o infinitate de #ectori proprii pt fiecare #aloare proprie.
&) n spatiul R n o multime de #ectori liniar independenti poate fi formata din:
a) mai putin de n #ectori;
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
8/20
c ) e5cat n #ectori.
,) 'ie #ectorii 5152...5m 4R #ectorii liniar indep.(tunci
c) formeaa o baa in R n
daca m=n.
) Coordonatele unui #ector din R n
:
a) sunt unice relati# la o baa;b ) sunt in numar de n;
3) ?n sistem de m #ectori din R n
care contine #ectorul nul:
a) este intotdeauna liniar independent;d ) nu formeaa o baa in R n .
6) /imensiunea unui spatiu liniar este egala cu:
a) numarul #ectorilor dintro baa.
30) -atricea unei forme patratice oarecare este o matrice:
b) patratica;c) simetrica.
31) /aca a#em relatia 51=α52 atunci #ectorii:
c) 51 si 52 sunt liniar independenti ) α 4 R .
32) " forma patratica este poiti# definita daca forma
canonica atasata acesteia:
a) are coeficientii poiti#i;
3!) " solutie de baa a unui sistem se obtine:
b) dand #ariabilelor secundare #aloarea 0
3$) " forma liniara este poiti# definita daca:
d) poiti#a definire se refera numai la formele patratice.3&) /aca suma a n #ectori din R
neste egala cu #ectorul nul
atunci:b ) #ectorii sunt liniar independenti;
c) cel putin unul se srie ca o combinatie liniara de restul.d ) nu formeaa o baa in R n .
3,) /aca #ectorii 5152...5n formeaa o baa in spatiulliniar X atunci:b) 5152...5n sunt liniar independenti;
c) dim X = n;d) 5152...5n1 sunt liniar independenti.
3) -atricea asociata unui operator liniar oarecare : R m
R n
:
b) depinde de baele considerate in cele doua spatii;
33) Nucleul unui operator liniar : R m R n : b) contine totdeauna #ectorul nul al spatiului R m; c) este subspatiu liniar; d) nu contine #ectorul nul al spatiului R m .
III.ELEMENTE DE PROGRAMARE LINIARA
1) " problema de programare liniara are intotdeauna:
a) functia obiecti# liniara;
c ) restrictiile liniare.
2) n forma #ectoriala o problema de programare liniaraare #ectorii 9192...9n definiti de:b) coloanele matricei A corespunatoare sistemului derestrictii.
!) n forma standard o problema de prgramare liniara areintotdeauna:c) restrictiile de tip ecuatie.
$) ntro problema de programare liniara conditiile denegati#itate cer ca:d ) necunoscutele problemei sa fie negati#e.
&) 9t a aplica algoritmul @imple5 de reol#are a unei probl.de programare liniara aceasta trebuie sa fie in forma:c) standard.
,) 9t a aduce o problema de programare liniara de ma5im launa de minim se foloseste realtia:c) ma5f) = minf)
) " multime - R n
se numeste con#e5a daca:
c) ) x1 x2 M si ) 01< a#em
x1
1 ) x2
M .
3) Combinatia liniara G 1 x1 2 x2 ! x! H este
con#e5a daca:
b)i
01
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
9/20
1,) 'ie urmatorul tabel simple5 al unei probleme de
programare liniara:
1 ! 2 0 0B CB 909 9 9 9 9
9! 2 1 0 2 1 1 1
91 1 1 1 1 0 2 1
E R c E 1 0 α 0 0 !
d ) α=3
1) " problema de programare liniara are urmetorul tabel
@imple5:
B C 92 1 ! 0
B 09 9 9 9
9! ! 2 0 1 1 1
91 2 1 1 1 0 !
E R c E f α 2 0 !
c ) f=3 α=1
13) " probl. /e programare liniara cu cerinte de minim are
urm.tabel @imple5:
B C 92 0 1 0
B 09 9 9 91 2 ! $
92 0 1 1 1 0 !
9! 1 ! 1 0 1 1
E R c E ! 1 0 0 1
(tunci solutia optima a problemei este: c) 50 =01!0)%
16) " probl. /e programare liniara cu cerinte de minim are
urm.tabel @imple5:
2 2 1 0B CB 909 9 9 9
92 2 2 0 1 2 1
91 2 1 1 0 1 2
E R c E f 0 0 1 ,
(tunci:c ) f=, si solutia optima este 50 =1200)
% ;d ) problema admite solutie optima unica.
20) " probl. /e programare liniara cu cerinte de minim are
urm.tabel @imple5:
1 2 1 0 0B CB 90
91 92 9! 9$ 9&92 2 ! 1 1 0 1 1
9! 1 1 $ 0 1 2 1
E R c E & 0 0 0 !
b) #ectorul 9! #a iesi din baa;d) problema are o infinitate de solutii optime.
21) Care din elementele urm.tabel @imple5 nu sunt corecteQ
B C 92 1 ! 0 0
B 09 9 9 9 91 2 ! $ &
9! ! 1 2 0 1 1 1
92 1 2 1 1 0 1 1
E R c E ! ! 0 0 $ 2
b) diferentele 1c1 si &c&;c ) #aloarea functiei obiecti#.
22) n urm.tabel @imple5 pt o problema de transport cu
cerinte de minim:
2 1 2 0 0B CB 909 9 9 9 9
91 2 ! 1 1 2 0 1
9$ 0 1 0 ! 1 1 !
E R c E , 0 1 2 0 2
b) intra in baa 9! sau 9& ;
c) iese din baa 9$ daca intra 9& ;
2!) n tab.@imple5 de mai Eos cu cerinte de minim pentru
functia obiecti#
2 2 ! 0
B CB 90 91 92 9! 9$9! 0 ! 1 0 1 1
91 2 1 2 1 2 0
E R c E 2 , 0 α 0
c) α=1 si problema admite optim infinit.
2$) n tabelul simple5 de mai Eos
2 2 1 1 0 0B CB 90
9 9 9 9 9 91 2 ! $ & ,
92 $ 1 0 0 1 0 1
!1 1 0 1 1 0 0 1910 ! 0 1 0 2 S 1
E R c E f 0 α 1 0 1
constantele f α S au urmatoarele #alori:
c) f= α=1 =0 S =1
2&) n faa a metodei celor 2 fae #aloarea optima a
functiei artificiale g5a)=1 . (tunci:
b ) problema initiala nu are solutie.
2,) 'unctia artificiala din metoda celor doua fae:
a) depinde doar de #ariabilele artificiale introduse;c) are coeficientii #ariabilelor artificiale egali cu 1.
2) 9robl artificiala se ataseaa unei probl de programare:
b) in forma standard;d) pentru determinarea unei solutii de baa admisibile a
problemei initiale.
1 2 ! $ &
1 2 ! $
1 2 ! $1 2 ! $ &
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
10/20
1 2 ! $ &
& 1& /2 1
23) /in tabelul @imple5 de mai Eos pt o problema de
programare liniara cu cerinte de minim:
1 2 ! 0 0B CB 909 9 9 9 9
9! ! , ! 0 1 1 2
91 2 $ $ 1 0 1 $
E R c E 2, 0 0 0 & 2
d ) 50 =0$,00)%
solutie optima dar nu este unica.
26) /in tabelul @imple5 de mai Eos pt o problema de
programare liniara cu cerinte de minim:
2 1 ! 0 0B CB 909 9 9 9 9
9!! $ 0 1 1 0 12 1 1 1 0 0 2
910 ! 0 2 0 1 1
E R c E 1$ 0 0 0 0 1
a) 50 =10$!0)%
este solutie optima.
c) problema are o infinitate de solutii optime.
!0) n tabelul @imple5 de mai Eos pt o problema de
programare liniara cu cerinte de minim:
B C 92 0 1 0 091 92 9! 9$ 9&
9! 1 ! 2 0 1 2 2
91 0 1 ! 1 0 1 !
E R c E ! $ 0 0 2 2
a) poate intra in baa 9$ sau 9& ;
b) #a iesi din baa numai 92 ;
d solutia de baa admisibila asita este 50 = 0 1 ! 0 0% .
!!) n reol#area unei probleme de transport metoda
costului minim se aplica pt determinarea:
c) unei solutii de baa admisibile initiale.
!$) Cantitatile Tij din criteriul de optim al problemelor de
transport se calculeaa pentru:
c) celulele nebaice.
!&) ntro problema de transport ciclul celulei care intra in
baa este:
a) 511 .
!,) @olutia unei probleme de transport este optima daca:
c) ) Tij D 0.
!6) " solutie de baa admisibila a unei probleme detransport este degenerata daca:
b) ) 5iE = 0 cu iE) celula baica.
$1) " solutie de baa admisibila a unei probleme detransport cu 2 depoite si & centre de desfacere estedegenerata daca are:
b) componente egale cu 0;
c ) cel mult & componente nenule.!1) 9roblema de transport de forma:
C1 C2 C!
1 ! 2 2/10
$ 2 1 2/20
1 2 2/! α
!0 20 1&
c) echilibrata daca α=2&.
!2) @olutia de baa admisibila a unei probleme de transport
este data de tabelul:
C1 C2 C! C$
/12 1 ! 2
!01& α
/21 $ 1 !
20
& 2 2 1/!
!0!0
1& 20 1& !0
(tunci: c ) α = 1& = 0.
!) " solutie de baa admisibila a unei probleme de
transport este data de tabelul.
C1 C2 C!
2 1 !/1
10 10
1 $2
2& &
! 2 &/!
1&
a) cantitatea totala
de marfa care trebuie transp este ,& u.m.
d) T1! =$.
1 2 ! $ &
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
11/20
!3) 'ie problema de transport data de urmatorul tabel:
C1 C2 C!
2 ! ! 2/1
0
$ ! 2 2/2
0
1 & 2 !/!
0
1& !& 20
(plicand metoda cosPului minim se determina mai intai
#aloarea lui : c ) x!1 .
$0) 'ie problema de transport:
C1 C2
/12 1 2
0
1 ! 2/20
10 10
(tunci problema:d ) este neechilibrata.
$2. @olutia optima a unei probleme de transp es te unica daca
cantitatile Tij corespunatoare acesteia sunt toate:
b) strict negati#e.
$!) @olutia unei probleme de transport este optima daca:
c ) ) Tij D 0.
$&) ntro problema de transport #a intra in baa #ariabila
xij corespunatoare cantitatii Tij data de relatia:
b) Tij ma5K kl 0L
$$) 'ie solutia de baa admisibila a unei probleme detransport data de tabelul:
C1 C2 C!
2 1 !/1
1& &
/21 $ 2
10 20
(tunci T21 se calculeaa dupa relatia:
c) T21 =1A2=1A$
$,) @olutia de baa initiala a unei probleme de transport este
data de tabelul:C1 C2
1 2/1
20
(tunci #aloarea/2
1 !
functiei obiecti# f 10 &corespunatoare 2 2acestei solutii este: /!b ) f=,&
$3) ntro problema de transport #ariabila 511 intra in baa
si are urmatorul ciclu:
(tunci: c) 10
d) 5 21 iese din baa.
$) ntro problema de transport cu m depoite si m centrede desfacere #ariabilele nebaice ale unei solutii de baaadmisibile sunt:
b ) toate egale cu 0;
d ) in numar de m2
2m 1 .
$6) ntro problema de transport notiunea de ciclu seataseaa:b ) celulelor nebaice.
&0) Coeficientii functiei obiecti# a unei probleme detransport oarecare sunt:c ) numere negati#e.
&1) 9t o prolema de programare liniara care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:
a) o solutie de baa admisibila este punct e5trem al multimii solutiilor admisibile;
b ) un punct e5trem al multimii solutiilor admisibile este o solutie de baa admisibila.
&2) ntro problema de programare liniara se folosesc #ariabilele de compensare cand:
a) restrictiile sunt de forma HDH;
b ) restrictiile sunt de forma G>H.
&!) " solutie de baa admisibila are componente:
a) negati#e.&$) " problema de programare liniara cu cerinte de minim
are mai multe solutii optime daca:
a) z j c j 0 si e5ista #ectori P j care nu fac parte din
baa cu z j c j 0 care au si coordonatele strict
&&) " problema de programare liniara cu cerinta de minim
pentru functia obiecti# admite optim infinit daca:
a) e5ista #ectori P j cu toate coordonatele negati#e care nu
fac parte din baa si pentru care z j c j 0 .
&,)n forma standard o problema de programare liniara
are:a) numarul restrictiilor cel mult egal cu al necunoscutelor
&) /aca matricea unei probleme de programare liniara in
forma standard are rangul egal cu nr. restrictiilor atunci:b ) restrictiile sunt independente.
&3) 9entru a aduce o problema de programare liniara la
forma standard se folosesc #ariaile:b) de compensare.
&6) @olutiile admisibile ale unei probleme de programare ,0) @olutiile de baa admisibila ale unei probleme de ,1) " solutie de baa admisibila are numai componente:
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
12/20
liniara formeaa totdeauna o multime.c ) con#e5a.
programare liniara formeaa o multime:a) finita.
a) nenegati#e.
,2) 9entru aplicarea algoritmului @imple5 solutia de baa
initiala a unei probleme de programare liniara trebuie sa fie:
a) admisibila.
,!) " solutie de baa admisibila a unei probleme de
transport cu m depoite si n centre m*n) are:
a) cel mult mAn1 componente nenule.
,$) 9entru o problema de transport care din urmatoarele
afirmatii sunt ade#arateQ
a) admite totdeauna o solutie de baa admisibila;c) are totdeauna optim finit.
,&) ntro problema de transport metoda perturbarii se
aplica atunci cand:
a) solutia initiala este degenerata;b ) pe parcursul reol#arii se obtine o solutie degenerata.
,,) " problema de transport pt care e5ista ij 0 pt o
#ariabila nebaica a solutiei optime are:b ) mai multe solutii optime.
,) -etoda grafica de reol#are a problemelor de
programare liniara se aplica pt probleme:
c) cu doua necunoscute.
,3) 9entru o problema de programare liniara multimea @( asolutiilor admisibile si multimea @(B a solutiilor admisibile
de baa satisfac relatiile:
c) S A S AB
d ) S A S AB S A
,6) " problema de programare liniara poate a#ea:
a) optim finit sau nu) sau nici o solutie admisibila.
0) 9entru a aplica algoritmul de reol#are a unei problemede transport trebuie ca:
b) problema sa fie echilibrata si sa a#em o solutie de baa
initiala nedegenerata.
1) 9t a reol#a o problema de transport neechilibrata:
a) se introduce un nou depoit daca cererea este mai mare
decat oferta;b ) se introduce un nou centru daca cererea este mai micadecat oferta.
2) 9entru o problema de programare liniara care dinurmatoarele afirmatii sunt ade#arate:d ) multimea solutiilor admisibile este con#e5a.
!) ntro problema de programare liniara nu se folosesc#ariabile de compensare cand:c) restrictiile sunt de forma G=H
d) sistemul initial de restrictii este in forma standard.
$) " problema de programare liniara de minim are mai
multe sol. optime daca a#em satisfacut criteriul de optim si:b ) e5ista #ectori 9E care nu fac parte din baa cu
z j
c j
0 care au coordonate poiti#e.
&) " problema de programare liniara de minim admite
optim infinit daca:a) criteriul de optim nu este satisfacut si #ectorii din afara
baei au toate coordonatele negati#e.
,) " problema de programare liniara de minim admite
solutie optima unica daca:a) criteriul de optim este satisfacut si toti #ectorii din afara
baei au diferentele z j c j 0 ;
c) criteriul de optim este satisfacut si #ectorii din afara baei
cu diferentele z j c j 0 au coordonatele negati#e.
) n forma standard o probl. de programare liniara are:
a) numarul restrictiilor cel mult egal cu al necunoscutelor;b ) restrictiile de tip ecuatie.
3) /aca matricea unei problema de programare liniara in
forma standard are rangul egal cu nr. restrictiilor atunci:b ) restrictiile sunt idependente.
6) 9entru a aduce o problema de programare liniara la
forma standard se folosesc:b) #ariabile de compensare.
30) @olutiile optime ale unei probleme de programareliniara formeaa totdeauna o multime:
c) con#e5a.
31) " solutie de baa admisibila nedegenerata areintotdeauna componentele principale:
b ) stricti poiti#e.
32) " probl. /e transport cu ! centre si $ depoite aresolutia de baa initiala nedegenerata daca aceasta are:
b) , componente poiti#e.3!) " problema de programare liniara poate fi reol#ata cu
algoritmul @imple5 numai daca:
a) este in forma standard.
3$) 9entru a reol#a o problema de transport trebuie ca:
b ) problema sa fie echilibrata.
3&) -etoda celor 2 fae se aplica:
b) 9entru determinarea unei solutii de baa admisibile a
problemei initiale;d) cu o functie obiecti# diferita de functia initiala.
3,) " problema de transport: a) are intotdeauna solutie optima finita; c) poate a#ea mai multe solutii optime.
3) 9entru a determina solutia initiala a unei probleme de
transport:
a) se aplica metoda diagonalei;d ) problema trebuie sa fie echilibrata.
33) 9entru aplicarea algoritmului @imple5 este necesar ca:
b ) sistemul in forma standard sa aiba cel putin o solutie de
baa admisibila.
36) @olutia unei probleme de transport este optima daca:
b) toate cantitatile ij 0
60) Criteriul de optim al unei probleme de programare de
minim este satisfacut daca:
a) toate diferentele z j c j 0 ;
d ) toti #ectorii 9E din afara baei au diferentele z j c j 0 .
61) " problema de transport are optim infinit:
b ) niciodata.
62) " problema de transport are intotdeauna:
a) optim finit;b ) cel putin o solutie de baa admisibila.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
13/20
6!) 'unctia obiecti# a problemei artificiale are:
a) totdeuna optim finit;d ) coeficienti negati#i.
6$) /aca functia artificiala are optim strict poiti# atunci;
a) problema initiala nu are solutii;b) in baa au ramas #ariabilele artificiale.
6&) ntro problema de transport coeficientii functiei
obiecti# repreinta:c ) cheltuieli de transport.
6,) ntro problema de transport #om a#ea costuri detransport egale cu 0 daca:b ) problema initiala este neechilibrata.
6) ntro problema de transport #a intra in baa #ariabilacorespunatoare lui:
a) ij 0 ma5im.
63) Ciclul unei celule nebaice este format:
a) din cel putin $ celule;
c ) dintrun numar par de celule.
66) 9roblemele de transport: a) sunt cauri particulare de probleme de programare liniara; c) au numai optim finit.
100) ntro problema de transport criteriul de iesire se aplica: b) celulelor cu numar par din ciclul celulei care intra in baa.I. SERII N!MERI"E. SERII DE P!ITERI
n n 1 n 1
1) 'ie seria an con#ergenta. (tunci asociind termeniin 1
in grupe finite:
b ) seria ramane con#ergenta;d ) suma seriei nu se modifica.
2) Care din urmatoarele operatii poate modifica natura uneiserii di#ergente:
a) asocierea termenilor seriei in grupe finite.
!) @uma unei serii con#ergente se modifica at. cand:
b) adaugam un nr.finit de termeni;
c) suprimam un nr. finit de termeni ai seriei;
d) inmultim termenii seriei cu un scalar ennul.
$) 'ie seria numerica an an ¡ .Care din afirmatiilen 1
de mai Eos sunt ade#arate:
a) daca an con#erge atuncilim an 0 ;n
n 1
d) daca lim an 0 atunci seria a di#erge.n n
n 1
&) 'ie S n )n ¥ sirul sumelor partiale atasat seriei ann 1
/aca lim S n 2 atunci:n
a) seria con#erge;d) seria are suma @=2
,) 'ie S n )n ¥ sirul sumelor pariale atasat seriei an sin 1
lim S n
S . (tunci seria:n
a) con#erge daca S ;
d) con#erge daca @=1.
) 'ie seria geometrica an
cu a0. (tunci seria:
n 0
a) con#erge pentru U 4 11);
3) @eria armonica generaliata1
este o serie:a
n 1 nb) di#ergenta daca α*0;c) con#ergenta daca α+1;
d) di#ergenta daca α=1.
6) 'ie S n )n ¥ sirul sumeolor partiale atasat unei serii de
termeni poiti#i an an 0 ). (tunci sirul S n )n ¥n 1
este intotdeauna: ) monoton crescator.
V10) 'ie seriile cu termeni poiti#i an si bn astfel incat an bn )n ¥
n 1 n 1
.(tunci:
a) an con#erge daca bn ; d ) bn di#erge daca an di#erge.n 1 n 1 n 1 n 1
111) 'ie seria cu termeni poiti#i an an 0 si seria armonica . (tunci:
n 1 n 1 n1
b) an di#erge daca an .n 1 n
12) 'ie seriile cu termeni poiti#i an si bn . /acan 1 n 1
lima
n 1 atunci:n b
a) daca an ! ) bn ! ) ;n 1 n 1
1!) Criteriile de comparatie se aplica seriilor:
b) cu termeni poiti#i. 1&) 'ie seria a a 0 . /aca lima
n 11
atunci:n n n a 2n 1 n
a) lim n a1
nn
2
b) an
con#erge.n 1
1$) 'ie seriile de termeni poiti#i an si bn care
an
satisfac relatia lim k .(tunci:n bn
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
14/20
n n n n n n
un
an
an
.
!1) @eria de puteri a xn
a ¡ are lim a n 1
1 .b ) daca an ") reulta an ") ; c) =0 reulta an di#erge;
(tunci:
b) lim nn
n nn
n 1 n
an 1; c) seria con#erge pentru 5 4 11)
n 1
c ) an =n 1
n 1
an .
n 1
n 1
d) =! reulta ann 1
con#erge.
!2) @eria de puteri a xn a ¡ are limita
!!) @eria de puteria x x )
n cu a ¡ are
!$) @eria de puteri an x1 are raa de con#ergenta
lim n an
n n
n 1
0 . (tunci:a
n 1
n 0 n
n 1
r=1. (tunci seria:n
b ) seria con#erge pentru ) x ¡ ;
limn a
n
. (tunci seria:
c ) con#erge pentru 5 20); d ) di#erge daca 5 ! )
b) daca bn ") an ") .n 1 n 1
a) daca I 4 01) seriile au aceeasi natura.
b) I=2 si an ! ) bn ! )
.n 1 n 1
c) I=1 si bn ") an ") .n 1 n 1
1) 9entru seria a a 0 a#em lima
n 1.n n n an 1 n
(tunci :
c) daca 2 an di#erge.n 1
1d) daca 0
2a
n con#erge.n 1
1,) 'ie seria cu termeni poiti#i an si notam cun 1
a
n 11
lim si 2 limn a
n . (tunci:n ann
c) 1 2 ; d) daca 2 2 1 2 .
13) 9entru seria cu termeni poiti#i an a#emn 1
lim n an
2 . (tunci:n
an 1
c) an
di#erge; d) lim 2n 1
n an
an16) 'ie an an 0 astfel incat lim 1 2 .
n 1 an 1n
(tunci :
a) an con#erge.n 1
an20) 'ie an an 0 astfel incat lim 1 .
n 1n an 1
(tunci:
d ) daca 1 2) an ! )n 1
21) @eria cu termeni poiti#i an are sirul sumelor n 1
partiale S n )n ¥ marginit. (tunci:
a) an con#erge;n 1
b ) sirul S n )n ¥ con#erge.
22) n aplicarea criteriului lui Waabe/uhamel seriei ann 1
an 0 se cere calculul limitei:
ac) lim
n 1 .n an 1
2!) 'ie seria alternata 1)na cu a 0 . Criteriul luin n
n 1
eibni afirma ca seria:
a) con#erge daca an + 0 monoton descrescator.
2$) 'ie seria 1)n 1
a a 0 astfel incat lim an =0.n 1
(tunci seria con#erge daca:
b ) an n ¥ este monoton descrescator.
2&) @eria u este o serie alternata daca :n 1
b) un gu 1 0 )n ¥ ;
d) 1)n 1
0
2,) 'ie seria de termeni oarecare a a ¡ . Care dinn 1
urmatoarele afirmatii sunt ade#arateQ
b) daca an ! ) an ! )
;n 1 n 1
c) daca an ") an ! ) .n 1 n 1
an 1 12) 'ie seria an an ¡ astfel incat lim
a 2. (tunci:
nn 1 n
1a) seria an con#erge; b) seria an con#erge; c) lim
n an
n 1 n 1n 2
23) " serie cu termeni oarecare an an ¡ sen 1
numeste semicon#ergenta daca:
b ) an ! ) si an ")
n 1 n 1
26) 'ie seria cu termeni poiti#i an an 0 . (tunci:n 1
a) daca an ! ) reulta an ! ) ;n 1 n 1
!0) @eria cu termeni poiti#i an are limitan 1
alim n n 1 . (tunci daca:n a
n 1
a
n
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
15/20
an 1
d ) lim 0 .c ) are raa de con#ergenta r=0;
d) con#erge numai inXpentru 5=50.n a
n
n n
an 1 1
!&) @eria de puteri an x x
0)
n 1
are lim n an 0n !,) @eria de puteria
n x x
0)
n 1
are raa de !) 'ie seria de puteri a xn
n 1
cu limn a
n
. (tunci2
(tunci seria:
d) con#erge ) 5 R .
n x
con#ergenta r +0. (tunci teorema lui (bel afirma ca seria
con#erge pe inter#alul:
b) 50r50Ar)
n
b) raa de con#ergenta este r=2;
d) seria di#erge )5 2) 2A )
n x!3) 'ie seria de puteri 1
n 1
. (tunci coeficientiin
!6) 'ie r raa de con#ergenta a seriei de puteri an x .n 1
$0) @eria de puteri 1n 1
are raa de con#ergentan
seriei sunt dati de relatia:
n 1(tunci seria:
a) con#erge ) 5 R daca r = A ;
r=1. (tunci domeniul ma5im de con#ergenta a seriei este:
b ) 5 11<c) a
n1
nc) con#erge intotdeauna in 5 = 0.
$2) @eria %aPlor atasata unei functii f5) in punctul 50:$$) 'ie f : I ¡ ¡ o functie oarecare. Care din
$1) 'ie seria de puteri a xn
a carei raa den 1
b) este o serie de puteri; n )
conditiile de mai Eos sunt necesare pt ai atasa acesteia o
con#ergenta este r + 0 finita. (tunci:
a) seria con#erge ) 5 rr)1
d) are coeficientii de forma an
f x0)
.
nO
serie %aPlor in punctul 50:
a) obligatoriu 50 ;
b) f5) admite deri#ate de orice ordin in 50.
c) lim n an
;n r $!) @eria -acaurin atasata unei functii f5): $&) Coeficientii numerici ai unei serii -acaurin atasate
unei functii f5) au forma:
d) limn
an 1
an
lim n an .n
c ) este o serie de puteri centrata in 0;
d ) este un ca particular de serie %aPlor.b) a
n f n )
0)
n O
$,) @eria de puteri a xn
n 1
satisface proprietatea lim ann
1 . (tunci seria: c) con#erge ) 5 11)
$3) 9entru a studia con#ergenta unei serii alternate se
$) @eria de puterin 1
1 n xn : aplica:c) criteriul lui eibni.
$6) @eria de puteri a xn este con#ergenta pe R numain 1
c ) are raa de con#ergenta r =1;
d) con#erge ) 5 11)
daca:
b) raa de con#ergenta r = A ;
n
n n
n
n
n
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
16/20
n n nn 1 n
n n
nn
n n 1
n
n 1 n
a
c) lim n an 0.n
n&0) @eria de puteri an x x0 ) con#erge numai in 50
n 1
daca si numai daca:
a) raa de con#ergenta r=0;
c) lim n an A .n
&1) 'ie seria numerica an
pentru care lim an = 0.n
n 1
(tunci seria:
d) nu se poate precia natura seriei.
&2) /aca pentru sirul numerelor partiale lim S n 1 atuncin
seria an
:n 1
a) este con#ergenta si are suma @=1.
&!) /aca pentru seria an an 0 sirul sumelor partialen 1
este marginit atunci seria:
a) este con#ergenta.
an 1 a&&) 'ie seria a a 0 si lim n 1 1 .n a
(tunci seria:
a) este di#ergenta daca =0;
d) este con#ergenta daca = A .
&$) 'ie seria an an 0 si lim . (tunci serian 1 n
b) con#erge daca *1;
c) con#erge daca =0
n&,) 'ie seria 1 an an 0 si
lim an =0. (tunci
n 1
seria:
c) este con#ergenta daca an an 1 pentru price n ¥ V .
&) 'ie seria an
si lim an =1. (tunci seria:n 1
d) nu se poate precia natura seriei; se aplica criteriul lui
Waabe/uhamel.
&3) @eria an este di#ergenta daca:n 1
b) lim an =1n
c) lim an = A .n
&6) 'ie seria an
an
0 si lim a . (tunciseria:
n
nn 1
b ) este di#ergenta pentru +1.
1c) este con#ergenta pentru .
2d ) este di#ergenta daca = A .
a,0) 'ie seria a cu lim 1 =0. (tunci seria:
n 1n a
n 1
b) este di#ergenta pentru an 0 .
a,1) 'ie seria a x
nsi lim 0 . (tunci seria:
n an 1 na) este con#ergenta ) 5 R .
n n,2) 9entru seria an x a#em lim an = . (tunci
nn 1
raa de con#ergenta r este:
1a) r= ; c) r=0 daca = A ; d) r=1 daca =1.
n,!) @eria a
n x are raa de con#ergenta r=0. (tunci
n 1
seria:
a) este con#ergenta numai in 5=0.
,$) /aca seria a x x )n
are raa de con#ergenta r=on 0n 1
atunci seria:
b) este di#ergenta ) 5 R YK50L;
c) este con#ergenta numai in 5=50.
na
n 1,&) @eria an x x0 ) are lim 0 . (tunci seria:n a
a) este con#ergenta ) 5 R
,,) 'ie seria numerica an
. (tunci seria:n 1
c) di#erge daca lim an 0.n
,) " serie cu termeni poiti#i:
b) este di#ergenta daca termenul general nu tinde la 0;
c) are totdeauna sirul numerelor partiale crescator.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
17/20
,3)'ie seria an
ann 1
0 si . (tunci serian
0) " serie cu termeni poiti#in
n :
n 1
&) @eria de puteri an x are lim an . (tunci
n
n n n
. F!N"TII REALE DE N ARIABILE
1 2 1 2 1 2
n n ¥ n n ¥ n n ¥
nn n
. (tunci1
d) di#erge numai daca toate sirurile de coordonte di#erg.
lima
n 1
n a
a) di#erge daca 2 ;
b) con#erge daca 1 .
an,6) 'ie seria a
n an 0 si lim 1 .n 1
an 1 n
(tunci seria este di#ergenta daca:
1b) ;
2d ) .
a a 0n 1
a) con#erge daca lima
n 1 0 ;n an
b) di#erge daca lim an =1;n
c) di#erge daca lim an = A .n1) @eria a
n an 0 este:
n 1
a) con#ergenta daca limn
a 0 ;n n
b) di#ergenta daca limn a 2;
nn
c) con#ergenta daca limn a 1.
nn
an2) 'ie seria an
cu lim n 1 0. (tunci serian 1
n a
b ) este di#ergenta daca an 0 .
!) " serie de puteri a xn
are raa de con#ergenta r=2.nn 1
(tunci seria:
a) con#erge pt 5 22)d) di#erge daca 5 +2.
$) " serie de termeni poiti#i an an 0 :n 1
an 1
b) di#erge daca lim 2 ;n a
d ) di#erge daca lim n a 2.n n
n n
nn 1
seria:
b) con#erge numai pentru 5=0;
d) di#erge pentru 5 0.
,) 'ie o seria oarecare cu termeni poiti#i an an 0n 1
si lima
n 1=1. (tunci:
n an
a) lim n a 1; c) Waabe/uhamel pt a det. natura seriein n
1) @eria armonica generaliata cu α R :
n 1 n
b ) di#erge daca α *1;
d ) con#erge daca α = 2.
n3) 'ie seria cu termeni alternanti 1) a
n a
n0 .
n 1
/aca lim an =1 atunci:nb) seria di#erge conform criteriului general de di#ergenta.
n6) @eria de puteri a
n x 1) are raa de con#ergenta
n 1
r=1. (tunci seria:
b) di#erge pentru x 2) 0 ) ;
d) con#erge pentru 5 20).
30) @eria de puteri a x 1)n
are raa de con#ergentan 1
r=1. (tunci seria:
b) di#erge pentru x 0) 2 ) ;
c) con#erge pentru 5 02).
31) @eria de puteri a x 1)n
are raa de con#ergentan 1
r= . (tunci seria:
c) con#erge pentru 5 R .
32) @eria de puteri a xn
are raa de con#ergenta r =0.n 1
(tunci seria:
b) con#erge numai pentru 5=0;d) di#erge ) 5 R.
1) 'ie punctele 9111) 9222) R 2. (tunci distanta dintre
ele este egala cu:
c) d9192) = 2 .
2) 'ie punctele 915152) si 92P1P2) R 2.(tunci distanta
b) d9192)= x x )2
y y )2
.
!) 'ie 95152) R 2; (tunci distanta de la "00) la 9 este:
b) d"9)= x2
x2 .
$) 'ie sirul x ) ¡2
cu termenul general de forma
x1
n
) limita sirului este 50=01)
&) 'ie sirul x ) ¡2
cu termenul general
n 1 n
xn
nn 1
.(t.: b)sirul di#ergeXlimita 50=0 )
,) 'ie sirul de puncte x ) ¡n
. (tunci sirul:
b ) con#erge daca toate sirurile coordonatelor con#erg;
) 'ie f5P) o functie de 2 #ariabile si notam cu lg limita globala respecti# l1l2 limitele partiale ale acesteia intrun puct 50P0). Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:
a) daca ) lg atunci ) l1l2 si l1=l2=lg; c) daca )l1l2 si l1l2 atunci nu e5ista lg.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
18/20
b) 0 0 . x y x y d) .
2 2
2 y 2 x y y
2
3) 'ie f : " ¡2
¡ si 50P0) /. (tunci deri#ata partiala a lui f5P) in raport cu #ariabila 5 in punctul
50P0) se calculeaa cu relatia:
f x y ) lim
f x y0) f x
0 y
0)
x x x0 x x0
x2
6) 'ie functia f5P)= y
. (tunci:
f 2 x f x2
a) ; d)2
.
10) /eri#atele partiale ale functiei f5P)=ln5P) sunt:
f 1b) ;
x x
f 1
x y
11) 'ie functia f5P)=5P2 care din urmatoarele egalitatisunt corecteQ
2
b) f
y2
; d ) f
0 . x x2
12) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5P2 calculata in punctul 9012) are e5presia:
c) df90)=$d5A$dP
1!) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5P2A25!P in punctul 9011) are e5presia:
b) df90)= d5A$dP.
1$)/iferentiala de ordin a functiei f5P) = 5eP
are e5presia
c) df5P) = ePd5 A 5e
PdP;
1&) 'ie 5P) oo functie care satisface criteriul lui @chZart2
si care are f
xy 2
. (tunci: x y
2
b ) f
xy 2
y x
, x 21,) 'ie [5P)= hessiana atasata functiei f5P).
2 , y
/aca 9121) si 9221) sunt puncte critice ale lui fatunci
c ) 91 nu este punct de e5trem iar 92 este punct de ma5im;
1) 9unctele critice ale functiei f5P) C2R 2) se obtin:
f0
xc) reol#and sistemul
f
.
0 y
13) 'unctia f5P) are deri#atele partiale ordinul de forma:
2 ln y 2 y2 x
f f yb )
x y y x; d) [5P)=
x x2
2 f x
2
c) 2 x y
2 y
2
f : ¡2
¡16) 'unctia are:
f x y) xy 1
c) un singur punct critic;
0 1d) hessiana de forma [5P)= .
1 0
f : ¡2
¡20) 'unctia are:
f x y) x y 1
b ) nici un punct critic.
221) 'ie [90)=
1hessiana atasata functiei f5P) in
punctul critic 90. (tunci 90:
a) este punct de minim local daca α= =1;
c) nu este punct de e5trem local daca α=1 si =2.
22) 'ie 90 un punct critic al functiei f5P) s i hessiana
! 2corespunatoare acestuia de forma: [90)=
2 1.
(tunci 90 #a fi punct de minim pt functia f daca:
! 1c) α= ; d) α= .
2 2
2!) [essiana functiei f5P) in punctul critic 90 este deforma [90)=
1. (tunci 90 este punct de ma5im
local pentru f daca:Ni c i # $ a
2$) [essiana functiei f5P) in punctul critic 90 are forma:2 2
[90)= . 90 de minim local pt f daca:2
2
b) α+2 si α!
+0;
2&) /aca functia f5P) are deri#atele partiale de ordin de f x x 2 y 1)
xforma
f atunci f are:
y2 x y 1) y
d ) patru puncte critice.
22,) 'ie [90)= hessiana functiei f5P) in
2 1
punctul critic 90. (tunci pentru :
b ) α=$ nu se poate precia natura lui 90;
1c) α= 90 nu este punct de e5trem local;
2d ) α=! 90 este puct de minim local.
2) [essiana atasata functiei f5P) are forma [5P)=! 22 y , xy
; (tunci diferentiala de ordin a funtiei, xy
2, x
2 y
2
are forma:
c) #2 f x y) 2 y
!#x
212 xy
2#x#y , x
2 y
2#y
2
23) /iferentiala de ordin a functiei f5P) are forma
df5P)=5AP)d5A5A2)dP. (tunci functia f5P);
c) are punctul critic unic 922)
26) 'ie [5P)=2 y 2 x
hessiana atasata functiei f5P).2 x 0
(tunci diferentiala de ordin a functiei f are forma:d) #
2 f x y) 2 y#x
2$ x#x#y
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
19/20
b ) df 5P)=Pd5A5A2P)dPAP22;
2 y 2 x!0) 'ie [5P)=
2 x 0hessiana atasata functiei f5P).
/aca 9111) 9211) sunt punctele critice ale lui f atunci
c ) 9192 nu sunt puncte de e5trem local.
1 0 0
!1) 'ie [90)= 0 0 hessiana corespunatoare0 0 1
functiei f5P) in punctul critic 90. (tunci:
a) 90 este punct de minim local daca α+1;
1c) 90 nu este punct de e5trem local daca α = ;
2d ) 90 este punct de minim local daca α=2.
!2) 'ie 90 punct critic al functiei f5P) si
#2 f P ) 2#x
2#y
2. (tunci:0
c) 90 nu este punct de e5trem local.
!$) ) 'ie 90 un punct critic al functiei f5P) si2 2 2 2# f P
0) #x $#y # z . (tunci:
a) 90 este punct de minim local.
!!) 'ie 90 un punct critic al functiei f5P) si
#2 f P ) $#x
2#x#y #y
2. (tunci:0
a) 90 este punct de minim local.
!&) 'unctia f5P) are deri#atele partiale de ordin de forma f
x2
! x 2 respecti# f
y 2
1 . (tunci numarul x y
punctelor critice ale lui f este: d ) $.
!,) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5PAP2 areforma:
!) /iferentiala de ordin a functiei f5P)=5P are forma:
c) df5P)=Pd5A5dPA5Pd;
!3) 'unctia oarecare f5P) satisface conditiile din criteriul
lui @chZar. (tunci au loc egalitatile: 2
f2 f
2 f
2 f
b) ; d) . x z z x y z z y
x2
y 2
x y!6) 'ie functia f5P)=
x ysi
l 1
lim lim f x y) l 2 lim lim f x y) limitele x 0 y 0 y 0 x 0
iterate ale functiei in "00). (tunci:d) l1=1 l2=1.
$0) 'ie functia f5P)=e5P
.(tunci:
f xyc) ye . x
2 0 1
$2) 'ie [90)= 0 1 1 hessiana atasata functiei
1 1 1
f5P) in punctul critic 90. (tunci:
c) 90 nu este punct de e5trem local.
$1) 'ie functia f5P)= e5AP
. (tunci:
d) f
e x y
. x
$!) 'ie functia f5P)=5APA. (tunci:b ) functia f nu are puncte critice;
c) functia f nu are puncte de e5trem local.
$$) /aca 9050P0) este punct critic pentru functia f5P)
atunci:
f f b)
x P
0) 0 si
y P
0) 0 ; c) df90)=0
$&) 'ie [90)= hessiana atasata functiei f5P) in0
punctul critic 90. (tunci daca: Nici #$a
$3) -etoda multiplicarilor lui agrange se foloseste la
determinarea punctelor de e5trem local in caul functiilor:
d) ale caror #ariabile sunt supuse la o serie de legaturi.
2 y!
, xy$,) 'ie [5P)=
xy2
, x2 y
matricea hessiana atasata
functiei f5P). (tunci daca functia f5P) satisface criteriul
lui @chZar a#em:a) α=! =,;
2 y 2 x
$) 'ie [5P)= x 0 ! z 2
hessiana atasata
0 z 2
, yz
2 !functiei f5P)= x y yz . /eoarece f satisface criteriul
lui @chZar a#em: c) α=0 =2 =!.
$6) 'ie functia f5P)=52AP2 cu #ariabilele satisfacand
legatura 5AP=1. (tunci functia lui agrange atasata are
e5presia:
c) 5P)=52AP2A 5AP1)
&0) Criteriul lui @chZar afirma ca functia f5P) are:
c) deri#atele partiale mi5te de ordinul 2 egale.
&1) Care din urmatoarele afirmatii sunt ade#arate:
b) orice punct de e5trem local este punct critic;
c) in un punct critic deri#atele partiale de ordinul sunt nuled) punctele de ectrem local se gasesc printre pct. critice.
&!) " functie f : ¡n
¡ are intotdeauna:
d) numarul punctelor critice si de e5trem nu depinde de n.
&2) " functie f : ¡n
¡ are intotdeauna:
a) n deri#ate partiale de ordinul ;
d ) n2 deri#ate partiale de ordinul .
&$) [essiana atasata functiei oarecare f : ¡n
¡ :
a) este o matrice patratica de ordinul n;
d) este formata cu deri#atele partiale de ordin ale functiei
&&) 9unctul 90 R n
este punct critic pentru functia
f : ¡n
¡ daca deri#atele partiale:c) de ordin se anuleaa in 90.
&,) 'ie f : ¡2
¡ . Criteriul lui @chZar afirma ca: &) Criteriul luii @chZar implica faptul ca functia
f : ¡ n ¡ are:a) matricea hessiana simetrica;
&3) " functie oarecare f : ¡n
¡ are:
d) numarul punctelor critice si de e5trem nu depinde de n.
8/19/2019 (732444197) Grile-Rezolvate-La-Matematici-Aplicate-in-Economie (1)
20/20
2 f
2 f
a) ; d) deri#. part.de ordin continue x y y x
b) deri#atele partiale de ordinul mi5te egale.
&6) /aca punctul 90 este punct de ma5im pentru functia f
atunci:
b ) d2f90) este negati# definita
d ) 90 este punct critic pentru f.
,0) /aca punctul 90 este punct de minim pentru functia f
atunci:
a) d2f90) este poiti# definita;
d) 90 este punct critic pentru functia f.
,1) /aca 1 2 sunt minorii diagonali ai hessienei [90)
atunci punctul critic 9050P0) este punct de minim daca:
a) 1 0 2 0 .
,2) /aca 1 2 sunt minorii diagonali ai hessienei [90)
atunci punctul critic 9050P0) este punct de ma5im daca:
d) 1 0 2 0 ;
,!) /aca 1 2 ! sunt minorii diagonali ai hessienei
[90) atunci punctul critic 9050P00) este punct de
ma5im daca:b) 1 0 2 0 ! 0 .
,$)/aca 1 2 ! sunt minorii diagonali ai hessienei
[90) atunci punctul critic 9050P00) este punct de
minim daca:a) 1 0 2 0 ! 0
,&) " functie oarecare f5P) are:
b ) 2 deri#ate partiale de ordinul si $ deri#ate partiale de
ordinul ;d ) 2 deri#ate partiale de ordinul mi5te dreptunghiulare).
,,) " functie oarecare f5P) are:
c) ! deri#ate partiale de ordinul si 6 deri#ate partiale de
ordinul ;d) , deri#ate partiale de ordinul 2 mi5te dreptunghiulare).
,) 9unctele critice ale functiei f5P);
f 0
yb) sunt solutiile sistemului
f0
y
Recommended