View
250
Download
8
Category
Preview:
Citation preview
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
1/345
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCURESTI"
DEPARTAMENTUL DE FIZICA
CARMEN LILIANA
SCHIOPU
( MECANICA NEWTONIANA OSCILATII MECANICE
UNDE MECANICE MECANICA ANALITICA
TEORIA RELATIVITATII RESTRANSE )
BUCURESTI / 2003
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
2/345
Cuvnt introductiv
A rsrit soarele. Incepe o nou diminea. (Ce nseamn "soare", ce
nseamn"diminea" ?)
Ne-am sculat devreme.
Am plecat la coal, la facultate, la serviciu, am lucrat - gndind sau
proiectnd sisteme complicate, audiind expuneri savante, manevrnd aparate demsur sau calculatoate, visnd la minunile zilei de mine (ce e aparatul de
msur, ce e calculatorul ?)
Ne-am ntors acas, am dat drumul la televizor, am vzut un film (ce e
un televizor, din ce e fcut, cum funcioneaz?)
In lumea asta minunat, n care am nvat strim firesc, fiecare obiect
este produsul minii iscoditoare a altor oameni ; fiecare obiect - de la cel mai
simplu pnla cel mai complicat - rspunde unei ntrebri i genereazaltele.
Sunt multe, foarte multe realizri, dar mai avem de rspuns la un
numr infinit de ntrebri.
Dacam imagina cunoaterea ca pe o scar, atunci fiecare treaptpe care
am reui so urcm ne schimbperspectiva. Orizontul devine mai vast iar cile
eseniale de legtur ntre diversele "zone" apar mai clare. Stim, vedem,
nelegem tot ce e mai jos de noi. Totodattim, vedem o poriune oarecare din
treptele pe care urmeazsurcm n continuare.
Nu tim care este captul scrii. Poate - acolo sus - ne ateaptun nou
Babilon. Dar - oricum - efortul meritfcut, pentru csuntem OAMENI i cea
mai miraculoas calitate a minii umane a fost i este capacitatea de a
cunoate, capacitatea de a pune ntrebri i de a ncerca srspundla ele.
Aut oar ea
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
3/345
FIZICGENERALI i
CURS DE FIZICA GENERALA Vol. I
1. INTRODUCERE
1.1. Cteva date importante din istoria fizicii 1
1.2. Obiectul i metodele fizicii 61.3. Mrimi fizice i clasificarea lor 71.4. Tipuri de relaii ntre mrimi 101.5. Mrimi i uniti fundamentale n istemul nternaional.
Elemente de analizdimensional 111.6. Probleme rezolvate 12
1.7. Matematica i fizica 161.7.1. Sisteme de coordonate ortogonale (elemente de
geometrie analitic) 161.7.2. Elemente de calcul vectorial 21
1.8. Probleme date ca tem 36
2. NOTIUNI DE MECANICA CLASICA NERELATIVISTA
(NEWTONIANA)
2.1. Scurt istoric al mecanicii vectoriale 39
2.2. Generaliti 422.3. Noiuni fundamentale ale mecanicii clasice newtoniene 42
2.4. Cinematica punctului material 442.5. Dinamica punctului material. Principiile dinamicii 522.6. Aplicaii ale principiilor dinamicii 61
2.6.1. Utilizarea ecuaiei fundamentale pentru studiul dinamiciipunctului material liber 61
2.6.2. Oscilatorul armonic liniar 64
2.6.3. Probleme rezolvate 65
2.7. Teoreme de conservare n mecanica vectorial 852.7.1. Teorema de conservare a impulsului (mecanic total) 88
2.7.2. Teorema de conservare a momentului cinetic (total) 892.7.3. Teorema conservrii energiei mecanice (totale) 902.7.4. Probleme rezolvate 97
3. OSCILATII
3.1. Oscilaii neamortizate (nedisipative sau conservative) 1113.1.1. Micarea oscilatorie armonic 1113.1.2. Compunerea a douoscilaii armonice paralele, avnd
aceeai frecven 1163.1.3. Compunerea oscilaiilor armonice paralele cu frecvene
puin diferite 117
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
4/345
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
5/345
FIZICGENERALI iii
5. NOTIUNI DE MECANICA ANALITICA
5.1. Limitele mecanicii vectoriale 209
5.2. Mecanica analitic: noiuni elementare 2125.2.1. Probleme rezolvate 215
5.3. Principiile mecanicii analitice. Principiul lui Hamilton 2175.3.1. Formalismul Lagrange 220
5.3.1.1. Proprietile funciei Lagrange 2215.3.1.2. Alte definiii importante 2225.3.1.3. Forma explicita functiei Lagrange 2235.3.1.4. Algoritm de rezolvare a problemelor 225
5.3.1.5. Probleme rezolvate 226
5.3.1.6. Aplicaie interesant: oscilaia moleculeibiatomice 245
5.3.2. Formalismul Hamilton 247
5.3.2.1. Forma explicita funciei lui Hamilton 2505.3.2.2. Probleme rezolvate 251
5.3.2.3. Parantezele Poisson 260
5.4. Legi de conservare 2635.4.1. Legea conservrii energiei mecanice totale 2635.4.2. Legea conservrii impulsului total 2645.4.3. Legea conservrii momentului cinetic total 265
6. ELEMENTE DE TEORIA RELATIVITATII
RESTRANSE 2716.1. Bazele experimentale ale teoriei relativitii restrnse 272
6.1.1. Experiena Michelson - Morley 2736.1.2. Experiena lui Bertozzi 276
6.2. Postulatele teoriei relativitii restrnse 2786.2.1. Observaie legatde principiul invarianei vitezei maxime
de interaciune 2786.2.2. Simultaneitatea relativist 280
6.3. Transformrile Lorentz 280
6.3.1. Demonstraii echivalente pentru deducerea relaiilorde transformare Lorentz (paragraf facultativ) 282
6.4. Consecine cinematice ale transformrilor Lorentz (partea I) 2856.4.1. Probleme rezolvate de cinematicrelativist 292
6.5. Date suplimentare referitoare la cinematica relativist 2986.5.1. Spaiul Minkowski 2986.5.2. Relaiile de transformare specialLorentz n spaiul
Minkowski 302
6.5.3. Alte consecine cinematice importante (partea a II-a) 305
6.5.4. Cuadrivectori. Exprimarea mrimilor fizice cinematiceprin intermediul acestora 310
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
6/345
CUPRINSiv
6.6. Elemente de dinamicrelativist 3146.6.1. Variaia masei cu viteza 3146.6.2. Expresii ale energiei relativiste 318
6.6.3. Forma relativista funciei Lagrange i Hamilton pentru
un punct material 3206.6.4. Probleme rezolvate 324
ANEXA. Albert Einstein - Cteva date biografice 335
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
7/345
INTRODUCERE 1
1. INTRODUCERE
1.1. Cteva date importante din istoria fiziciiDup marea majoritate a autorilor tiina, ca imagine organizat a
universului", s-a dezvoltat odatcu naterea civilizaiei i culturii greceti (anii
600 .e.n.). Totui, chiar i pnatunci, istoria (i devenirea uman) a consemnatdescoperiri remarcabile, legate indisolubil de necesitile imediate. Din acestmotiv primele nregistrri ale unor descoperiri cu coninut tiinific au vizattehnologia, tiinele naturale, matematica i astronomia.
Dac evenimentele tiinifice ale ultimelor dou milenii sunt frecventevocate, totui nu ne putem permite s ignorm momentele de nceput alecunoaterii umane, aa aproximativ, orientativ, cum au ajuns pn la noi (multedintre ele fiind transmise pe cale oral sub forma unor legende sau fcndobiectul unor descoperiri arheologice).
"Aventura" cunoaterii ncepe cu 2.400.000 .e.n. i continui astzi.Datele prezentate n continuare, organizate pe domeniile enumerate mai
sus, se opresc n anul 599 .e.n., moment n care se considerc se poate vorbideja despre gndire tiinific abstract, organizat, despre primii oameni detiin, despre coala i civilizaia greceasc.
A. DESCOPERIRI / EVENIMENTE semnificative legate de DEZVOLTAREA
TEHNOLOGICA
- primele unelte din piatr(Africa, 2.400.000 .e.n.) ;
- dovezi despre folosirea focului (Africa de Sud, 1.000.000 .e.n.) ;- inventarea arcului i a sgeii (8.000 .e.n.) ;- utilizarea unor materiale de construcii : crmizi uscate i mortar
(Israel, 7.000 .e.n. ) ;- construcia primelor vase cu pnze (Mesopotamia, 5.000 .e.n.) ;- extragerea i topirea minereului de cupru (Egipt, 5.000 .e.n.) ;- inventarea plugului tras de vite (Mesopotamia, 4.000 .e.n.) ;- egiptenii i sumerienii topesc aur i argint (4.000 .e.n.) ;- sumerienii dezvoltscrierea cuneiform(3.000 .e.n.) ;- Marea Piramida lui Keops este construitntre anii 2.900 .e.n. 2.800
.e.n. ;- n Mesopotamia se legifereaz primele uniti de msur pentru
lungime, greutate i capacitate (ntre anii 2.500 .e.n. i 2.400 .e.n.) ; cel maivechi etalon de greutate are 477 grame i a fost datat 2.400 .e.n. ;
- n Egipt apar ceasuri cu ap i clepsidre, precum i balana cu acindicator (1.450 .e.n.).
B. STIINTE NATURALE
- domesticirea animalelor : cine (Mesopotamia, 10.000 .e.n.), capr i
oaie (Iran i Israel, 9.000 .e.n.), porc i gini (Asia i China, 7.000 .e.n.),cultivarea viermilor de mtase (China, 2.700 .e.n.), etc. ;
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
8/345
DATE IMPORTANTE. OBIECTUL I METODELE FIZICII. MRIMI FIZICE(CLASIFICARE, TIPURI DE RELAII ). ELEMENTE DE ANALIZDIMENSIONAL.
2
- cultivarea diverselor plante i legume : orz i gru (Iran i Israel, 9.000.e.n.), cartof (Peru), dovleac (America Central), fasole (Peru), orez (Indochina),folosirea irigaiilor (n Valea Nilului) toate n perioada 8.000 .e.n. 7.000.e.n. , porumb, dovleac, fasole i piper (Mexic, 7.000 .e.n.) ;
- apariia primelor informaii legate de vindecarea diverselor boli : primultratat tiinific de chirurgie dateaz din anii 2.500 .e.n. i a fost redactat pepapirus, n Egipt. Papirusul Chirurgical Edwin Smith arat cum se sudeazoasele fracturate, descrie funcia de pompare a inimii i aratcpulsul poate fifolosit pentru a diagnostica funcionarea cordului. Un alt document, PapirusulEbers, se ocup de prescrierea medicamentelor i a dietelor (peste 700 detratamente, incluznd posturi, masaje, hipnoz).
C. MATEMATICA
- primele plcue de lut pe care se gsesc semne fcute pentru a ineevidena animalelor i a cantitilor de cereale (ceea ce a condus la apariiaprimului sistem de numeraie) dateaz din anii 8.000 .e.n. i aparinmesopotamienilor ;
- egiptenii dezvoltun sistem de numeraie (anii 3.500 .e.n.) ;- mesopotamienii nva s rezolve ecuaiile cuadrice (n care
necunoscutele sunt ridicate cel mult la puterea doi) n anii 2.000 .e.n. ;- tot n Mesopotamia se descoperceea ce acum se numete teorema lui
Pitagora (1.900 .e.n.) precum i tablele nmulirii (1.800 .e.n.) ;- din Egipt provin doudocumente celebre : papirusul Moscova care
conine cunotinte destul de avansate de geometrie, cum ar fi metoda de calcul avolumului unui trunchi de piramid, i papirusul Rhind , care se ocup desoluionarea ecuaiilor algebrice simple ; ambele manuscrise sunt datate 1.650.e.n. ;
- n China se utilizeazsistemul numeric zecimal (1.350 .e.n.).
D. ASTRONOMIA
- primul calendar cu 365 zile (12 luni a cte 30 zile + 5 zile de srbtoare)dateazdin anul 4.241 .e.n. i a fost fcut de egipteni ;
- babilonienii prezic eclipsele (3.000 .e.n.) ;- chinezii introduc o metodde observare a cerului, bazatpe raportarea
la ecuator i la polii magnetici ai Pmntului, care reprezinti acum o metodstandard de nregistrare a observaiilor astronomice (2.400 .e.n.) ;
- chinezii nregistreazo comet(2.296 .e.n.) ;- n Babilon sunt ntocmite cataloage i hri ale stelelor (1.800 .e.n.) ;- astrologii caldeeni (Mesopotamia) identific semnele zodiacale (1.600
.e.n.) ;- n 763 .e.n. babilonienii nregistreaz o eclips solar, cea mai veche
eclipscunoscut._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
9/345
INTRODUCERE 3
Stiina greac introduce (n secolul VI .e.n.), suplimentar fa dedomeniile enumerate mai sus, studiul abstract dar i experimental asupra naturiisubstanelor care stau la baza materiei.
Filozofii1 greci sunt creatorii primelor modele atomice i totodat,
implicit, creatorii tiinelor fizico - chimice. De exemplu ntre anii 500 - 400.e.n. filozofii greci Leucip i apoi Democrit (care a fost unul dintre elevii luiLeucip) au formulat aa - numita "concepie atomist", conform creia materiaputea fi divizatpnla nivelul unor uniti fundamentale, numite atomos(ceeace n limba greac nseamn "indivizibil") ; pentru Democrit ntreaga materieconsta ntr-un ansamblu de atomi separai spaial de ctre (ceea ce denumimastzi) vid. Ulterior Platon i Aristotel (anii 400 - 300 .e.n.) au considerat caceastpresupunere este absurd.
Una dintre lucrrile filozofului grec Epicur(341 - 270 .e.n.), anume "DeRerum Natura" (Despre natura lucrurilor), a avut norocul de "a supravieui"bigotismului Evului mediu (fiind redescoperit n 1417 e.n.) i s-a constituit nprincipala sursde informaie referitoare la vechile teorii atomiste.
In anul 330 .e.n. Aristotel(384 - 322 .e.n.) a scris celebra carte "Fizica",care a avut o importan deosebit pentru acele vremuri. Cu toate c n ea segseau principii formulate corect, existau i multe afirmaii care - -ulterior - s-audovedit eronate. Cea mai cunoscut dintre ele este ideea c un corp greu cadentr-un timp mai scurt dect un corp mai uor (care parcurge aceeai distan) ;abia dup aproximativ 2000 de ani Galilei a demonstrat experimental c acestprincipiu a fost greit.
Arhimede a fost alt om de tiin care a trit nainte de Hristos. Unadintre cele mai cunoscute afirmaii ale acestuia (260 - 241 .e.n.) este principiulplutirii corpurilor la suprafaa unui lichid. El a contribuit i la cunoatereaprincipiilor de funcionare pentru prghii i scripei, istoria fizicii consemnndreplica :"Dai-mi un punct de sprijin i voi putea mica Pmntul".
Dupo ndelungatperioadde mizerie i obscurantism (corespunztoareevului mediu), secolul al XVII - lea a adus o revoluie n domeniul fizicii.Oamenii de tiinau nceput spun la ndoial ideile grecilor i ncurajai derealizrile lui Galileo Galilei i Isaac Newton au nceput s experimenteze,ajungnd la concluzia cmulte dintre ideile preluate de la greci erau greite.
Galileo a avut prima mare contribuie, descoperind legile naturale careguverneaz cderea corpurilor i oscilaia pendulului. El a studiat micareacorpurilor n cdere i (n contradicie cu Aristotel) a descoperit ctoate corpurilecad cu aceeai vitez indiferent de greutatea lor, dac se neglijeaz frecarea cuaerul. De asemenea el a studiat micarea accelerat, observnd alunecarea unorbile pe un plan nclinat.
1
In limba greactermenul de "filozof" desemna o persoannvat, un gnditor, unnelept , un om preocupat de descifrarea lucrurilor necunoscute.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
10/345
DATE IMPORTANTE. OBIECTUL I METODELE FIZICII. MRIMI FIZICE(CLASIFICARE, TIPURI DE RELAII ). ELEMENTE DE ANALIZDIMENSIONAL.
4
Tot Galilei a fost cel care a furnizat astronomiei primul instrumentperformant de observaie : luneta (1610). Mai trziu (1619) Keplera stabilit celetrei legi referitoare la micarea planetelor ; Newton a verificat aceste rezultatestabilind legile gravitaiei.
Pe lngfaptul ca descoperit legile fundamentale ale mecanicii, Newtona reuit sdezvolte un aparat matematic specific (n paralel cu Leibniz, 1666).In timpul secolului XIX mecanica a devenit o tiin bine nchegat,
graie unor oameni de tiin precum Leonhard Euler, Jean le Rondd'Alembertsau Joseph Louis Lagrange.
Mai trziu, n secolul al XIX- lea, Michelson i Morley au fcutexperimente optice care au contrazis teoriile mecanice existente. Albert Einsteina fost cel care a reuit s rezolve aceast problem formulnd (n 1905) teoriarelativitii restrnse.
Anticii erau familiarizai cu unele fenomene optice - ei tiau sfoloseascreflexia i refracia, confecionau i utilizau lentile.
In 1609 Hans Lippersheya construit primul telescop. La scurt timp dupaceea Galileo a fcut un telescop cu care a observat sateliii lui Jupiter, planetaVenus, petele solare i rotaia soarelui.
Pe la mijlocul secolului al XVII- lea doi mari fizicieni realizauexperimente cu lumin, ei ajungnd la concluzii diferite privind natura acesteia.Unul dintre ei era Newton - el reuise s separe lumina alb n culorile salecomponente i era adeptul teoriei c lumina este format din particule mici.Cellalt era Christian Huygens, care a dezvoltat teoria ondulatorie a luminii
(ceea ce i-a permis s explice multe fenomene). Ulterior muli ali fizicieni aufcut nenumrate experimente, ncercnd s aduc argumente n favoarea uneiteorii sau alteia.
In jurul anului 1800 Thomas Young, cruia i s-a alturat mai trziu(1817) Augustin - Jean Fresnel, au realizat experimente care studiauinterferena luminii. Rezultatele lor erau n favoarea teoriei ondulatorii. Inperioada 1820 - 1850 Dominique - Franois Arago, Lon Foulcault iArmand - Hippolyte Fizeau au demonstrat c viteza luminii este mai mare naer dect n ap. Acest lucru a reprezentat o reconfirmare a teoriei ondulatorii i a
convins o mare parte dintre fizicieni caceastteorie este cea adevrat. Totui,dup aproximativ 100 de ani, teoria corpuscular a luminii a nceput s fie dinnou acceptat.
Chiar nainte ca proprietile luminii sfie cunoscute, fizicienii au artatclumina este rezultatul activitii electrice n atom (cunoaterea electricitii eranecesar pentru a nelege comportamentul i proprietile luminii). In 1800Alessandro Voltaanuna realizarea unei baterii electrice care putea produce uncurent continuu. Oamenii de tiin(precum Michael Faraday) au folosit aceastsurspentru descoperirea de noi fenomene (cum ar fi electroliza sau capacitatea
cmpurilor electrice i magnetice de a se genera reciproc).In 1873 James Clerk Maxwell i-a publicat lucrarea n care formula
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
11/345
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
12/345
DATE IMPORTANTE. OBIECTUL I METODELE FIZICII. MRIMI FIZICE(CLASIFICARE, TIPURI DE RELAII ). ELEMENTE DE ANALIZDIMENSIONAL.
6
funcie de und ; aceast teorie a reprezentat una dintre pietrele de temelie alefizicii moderne. Fiecare zi care trece adaugacestui edificiu noi experimente, noiformulri, rezultate spectaculoase i decepii.
Existmulte ntrebri la care fizica nu a rspuns nc; indiscutabil - ns-
nivelul de cunoatere i de civilizaie este un rezultat direct al eforturilor tuturoracestor mari fizicieni (i ai multor altora, nenominalizai).
Srind peste particulariti, influene i alte contribuii semnificative fra mai insista (deoarece vom prezenta reperele importante n fiecare capitolabordat n continuare), putem sistematiza noiunile care, la ora actual, seconstituie n adevruri tiinifice fundamentale.
1.2. Obiectul i metodele fizicii
Fizica este tiina care studiaz formele de existen ale materiei,micrile acestora precum i transformrile lor reciproce (pentru caresubstanele nu-i schimbcompoziia chimic).3
In fizic cunoaterea se ntemeiaz pe acceptarea urmtoarelor ideifundamentale (principii) :
1.Recunoaterea obiectivitii lumii materiale i a legilor ei, coroboratcu posibilitatea practic nelimitata cunoaterii.
2. Acceptarea principiului cauzalitii (fiecare stare din lumea obiectiveste efectul unei cauze, reprezentat de un complex de stri anterioare dintr-o
anumitclas).Necesitatea determinaiei cauzale implicnoiunea de reproductibilitate ;
cu alte cuvinte daccelelalte condiii rmn neschimbate, aceleai cauze producoricnd i oriunde aceleai efecte .
3. Verificarea practic / experimental a ideilor teoretice (criteriuladevrului).
In acest context,materia este considerata drept un factor primordial allumii, avnd o realitate obiectiv, independentde voina i contiina uman.
Formele recunoscute (la aceasta dat) de prezentare a materiei sunt :- substana(formde existena materiei nzestratcu masde repaus) ;
lumii i, poate nc i mai important, o modificare a legii cauzalitii. Cei doi piloni care
marcheaz intrarea n noul teritoriu al tiinei sunt complementaritatea lui Bohr i
incertitudinea lui Heisenberg." Martori i participani au fost : N. Bohr, W. Heisenberg,
P.A.M. Dirac, J.R. Oppenheimer, J.A. Wheeler, W. Pauli. (dup : Andrei Dorobanu,
"Fondatorii", revista Stiini tehnic, noiembrie 2001)3 Vezi bibliografia de la sfrit de capitol.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
13/345
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
14/345
DATE IMPORTANTE. OBIECTUL I METODELE FIZICII. MRIMI FIZICE(CLASIFICARE, TIPURI DE RELAII ). ELEMENTE DE ANALIZDIMENSIONAL.
8
Prin mrime fizic se nelege o proprietate fizic susceptibil de a fimsurat.
Pentru ca o proprietate fizic s fie mrime fizic, ea trebuie sndeplineasc:
A) Condiii intrinseci de existen, care reflect capacitatea de a grupaobiectele realitii n clase de echivalenpentru care se pot punen eviden:- relaii de echivalen: reflexive, simetrice i tranzitive 4- relaii de ordonare : reflexive , antisimetrice i tranzitive 5- o corespondenbiunivocntre mulimea acestor clase (ordonate deja !)
i o band continu din mulimea numerelor reale, astfel nct s se pstrezeasemnarea ntre ordinea claselor de echivaleni ordinea naturala numerelorreale.
B) Condiia de existen a unor convenii n legtur cu procedeul demsurare.
Procedeul de msurare este o operaiune experimental prin care seasociazmrimii fizice o valoare matematic(un numr) n raport cu o mrime
fizicde referin, numitunitate de msur.Alegerea unitii de msureste o alegere convenional: ea se referla
stabilirea unei clase de echivalen n raport cu mrimea fizic studiat, creia ise atribuie valoarea numeric1 ; toate obiectele fizice oarecare ce aparin acesteiclase de echivalen devin uniti de msur pentru mrimea respectiv (deexemplu : toate barele lungi de 1 m). Datorit necesitii de a avea aceleai
rezultate, att la Polul Nord ct i la Ecuator, a fost neaprat necesar ca unitateade msurspoatfi realizatreal, cu maxim de precizie, sub formde etalon.
Rezultatul comparrii dintre o clas de echivalen oarecare i unitateade msur aleas convenional este (indiferent de maniera concret la care serecurge, n funcie de mrimea fizicimplicat) un numr.
Prin msurare :- observaia devine o determinare cantitativ;
4
Fie o mulime F avnd elementele x, y, z....care pot fi corpuri, fenomene, procese,etc. Dacdousau mai multe elemente posedo proprietate comun(de exemplu: cinci bare
identice), astfel nct ntre ele nu se poate face o distincie pe baza unui experiment fizic,
respectivele elemente sunt echivalenten raport cu respectiva proprietate (lungime). Relaia de
echivaleneste reflexiv (x echivalent cu x : notatie x E x), simetric (x E y y E x) itranzitiv(x E y si y E z x E z).
5De exemplu : toate cele cinci bare care constituie mulimea F pot fi mai scurte dect
alte patru bare care constituie mulimea G, la rndul lor acestea fiind mai scurte dect alte aptebare care constituie mulimea H, etc. Mulimile de bare pot fi ordonate duplungime.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
15/345
INTRODUCERE 9
- modelului i se asociazmrimi msurabile ;- observaiile teoretice mbracforma unor relaii cantitative ;- modelul iniial poate fi perfecionat (feed-back),
mbuntirea acestuia fiind guvernat de principiul de coresponden (relaiile
matematice obinute n urma utilizrii unui model mai evoluat trebuie sconin,drept caz particular, relaiile matematice deduse prin studiul unui model mairudimentar, aflat ntr-o gammai restrnsde condiii ).
In procedura de clasificare a mrimilor fizice, pot fi remarcateurmtoarele criterii :
1.Dupmodul n care se introduc n fizic : mrimi primitive (introdusedirect ca o consecina unor experimente reale sau idealizate ; ca exemple pot fimasa, timpul, lungimea ) i mrimi derivate (definite cu ajutorul altora, fra se
mai cerceta valabilitatea relaiilor de echivaleni ordonare ).2.Duputilitate : mrimi fundamentale (care sunt mrimi ale cror uniti
de msurse aleg independent ; ca exemplu se pot vedea mrimile fundamentalen S.I.) i mrimi secundare (pentru care unitile de msur rezult din celefundamentale).
3. Dup principiul cauzalitii : mrimi de stare , mrimi accesorii imrimi de interacie (de proces) .
Pentru a ntelege exact care este punctul de vedere care stla baza acesteiclasificri , surmrim schema de mai jos (figura 1.2).
(Proces fizic, caracterizat de mrimi de proces (lucrul mecanic, cldura))
Mrimi de stare = mrimi care depind de valorile pe care le iauparametrii unui sistem ntr-o stare dat.
Mrimile de stare se mai numesc i funcii de stare. Exemplu : energia,entropia.
Mrimi de proces = mrimi care reflect variaia parametrilor de stare(de exemplu: lucrul mecanic).
In general mrimile de proces depind de drumul urmat (valoarea acestoraeste diferitpe diferite traiectorii ; din punct de vedere matematic, asta nseamncmrimile de proces nu sunt integrale totale exacte. )
Mrimi accesorii = alte mrimi fizice, nesemnificative pentru stareaulterioar.
Grupul complet al parametrilor de stare determinstarea sistemului laacel moment.
Sistem ntr-o starefizicA
Sistem ntr-o altstare B
Variaia parametrilor de stare
Figura 1.2
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
16/345
DATE IMPORTANTE. OBIECTUL I METODELE FIZICII. MRIMI FIZICE(CLASIFICARE, TIPURI DE RELAII ). ELEMENTE DE ANALIZDIMENSIONAL.
10
Observaie : numrul gradelor de libertate ale sistemului este dat denumrul mrimilor de stare independente.
4.Dup caliti matematice : mrimi scalare, mrimi vectoriale, mrimi
tensoriale.5.Dupscara la care sunt raportate fenomenele : mrimi macroscopice i
mrimi microscopice.
Exist, pe lng clasificrile trecute n revist pn acum i multe alteforme de clasificare, funcie de multe alte posibile criterii.
1.4. Tipuri de relaii ntre mrimi
In cadrul unui experiment se poate observa c modificarea cantitativ a
unei mrimi fizice conduce la variaii ale valorilor altor mrimi fizice implicaten respectivul proces. Aceste dependene dintre mrimi sunt, n urma modelarii,prezentate sub forma unor relaii matematice.
Aceste relatii matematice pot fi :
a) Relaii de definiie.Ele permit introducerea unei mrimi noi n fizicprin intermediul unor alte dou(sau mai multe) mrimi, cunoscute deja.
Exemple :
=
d m
d V
(densitatea se introduce prin intermediul masei si al volumului)
v =d sd t
(viteza este definita pornind de la marimile primitive spatiu si timp)
b) Legi. Acestea sunt relaii eseniale, necesare i reproductibile ntremrimi fizice , avnd un caracter obiectiv(rezultnd direct din experiment) .
Putem clasifica - ntr-o primetap- legile fizicii n :- legi de stare (relaii simultane ntre mrimile de stare) ;- legi de desfurare (de proces) ; ele sunt relaii ntre mrimi
aparinnd unor evenimente nesimultane, afectate de principiul cauzalitii.
Legile fizicii avnd un caracter obiectiv, forma lor matematictrebuie srmn invariant la transformri (modificarea sistemului de uniti folosit ,trecerea de la un sistem de referinla altul, translaiile, rotaiile, etc. nu trebuies conduc la modificarea formei relaiilor de legtur ntre mrimile fizicedefinitorii).
Anumite mrimi fizice manifestproprieti de :
- aditivitate
- conservativitate (sunt constante n cursul anumitor procese)
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
17/345
INTRODUCERE 11
Legile care exprim caracterul aditiv - conservativ al acestor mrimi senumesc legi de conservare (legea conservrii energiei totale, legea conservriisarcinii electrice, a spinului microparticulelor, etc.). Ele au un rol foarteimportant n fizic.
Legile satisfac principiul de coresponden.
c) Teoreme. Teoremele sunt relaii ntre mrimi, deduse pe calematematicdin legi i relaii de definiie.
d) Postulate.Acestea sunt afirmaii sau relaii ntre mrimi care nu pot fiverificate direct, prin experien, ci sunt deduse pe baza consecinelor lor.
Observaie important : Invariana legilor fizicii se asigur prin
omogenitatea relaiilor care exprim legile fizicii, adic prin aceea c ambiimembri ai acestor relaii au aceleai dimensiuni.
1.5. Mrimi i uniti fundamentale n Sistemul International.Elemente de analizdimensional.
Reamintim cunitatea de msurreprezintelementul etalon pentru omrime fizicdat.
Unitatea de msur a oricrei mrimi fizice ar putea fi aleas arbitrardacntre mrimea respectivi alte mrimi specifice domeniului de studiu nu ar
exista relaii de dependen.Tinnd cont de aceastobservaie, s-a dovedit utilalegerea unor unitide msur fundamentale numai pentru cteva mrimi diferite i absolutindependente ntre ele. Pentru celelalte mrimi fizice unitile de msurrezultdin relaiile de legturdintre mrimea respectivi mrimile fundamentale.
Prin urmare unitile de msurpot fi fundamentale i derivate.
Funcie de natura i mrimea unitilor fundamentale au fost alctuite, de-a lungul timpului, diferite sisteme de uniti, recunoscute pe o arie de rspndiremai restrnssau - dimpotriv- mai larg(la noi n ar, spre exemplu , uniti
particulare au fost : cotul, ocaua, bania, etc.).In anul 1960 s-a definit pe plan mondial Sistemul Internaional de Uniti
(S.I.) (vezi Tabelul 1).
Dac A este mrimea fizic, atunci cu notaia [A] este indicatdimensiunea mrimii fizice A iar cu notaia se specific unitatea demsurcorespunzatoare.
Observaie.In timp ce unitatea de msurreflectaspecte cantitative n
ceea ce privete rezultatul msurrii unei mrimi fizice date, aspectul calitativ alrespectivei mrimi este reflectat de dimensiunea acesteia.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
18/345
DATE IMPORTANTE. OBIECTUL I METODELE FIZICII. MRIMI FIZICE(CLASIFICARE, TIPURI DE RELAII ). ELEMENTE DE ANALIZDIMENSIONAL.
12
Tabelul 1.1
Mrime fizicfundamental
Dimensiune a mrimii fizice Unitate de msuramrimii fizice n S.I.
Lungime [Lungime] = L S.I.= m (metru)
Timp [Timp] = T S.I.= s (secunda)Masa [Masa] = M S.I.= Kg (kilogram)Temperatura [Temperatura] = S.I.= K (Kelvin)Intensitate curentelectric
[Intensitate curent electric]= I
S.I.= A (amper)
Intensitateluminoas
[Intensitate luminoas] =I S.I.= cd (candela)
Se mai folosesc i urmtoarele uniti suplimentare, impuse - mai mult -
de ctre matematic: radianul (rad) ca unitate de unghi plan i steradianul (sr) caunitate de unghi solid.6
Condiia de omogenitate permite precizarea dependenei ntre diferitemrimi fizice. Acest tip de abordare (de deducere) a unor relaii poartnumele deanalizdimensional.
Exemplu de analiz dimensional : Se tie (se afirm) c o oarecaremrime fizicA depinde (n urma unor constatri experimentale) de alte mrimifizice, de exemplu de mas, lungime i de timp. Acest lucru nseamnc:
A = f (mas, lungime, timp) [A] = f (M , L, T) = MLT
unde coeficienii , , reprezintgrade de omogenitate ale mrimii derivate A.
ATENTIE : A nu se face confuzie ntre dimensiuni i uniti de msur!
Deci :F = ma [F] = MLT-2(dimensiunea forei)
n timp ce :S.I.= kgms
-2= N (unitatea de msur)
1.6. Probleme rezolvate
1. S se determine formulele dimensionale i unitile de msur nSistemul Internaional (S.I.) pentru : vitez liniar, acceleraie liniar, impuls,lucru mecanic i putere.
6Deoarece unitile n S.I. nu corespund ntotdeauna ca ordin de mrime cu valorile
specifice domeniului de studiu, se pot folosi multipli i submultipli ai acestor uniti sau /uneori uniti specifice (1 = 10-10m, 1 eV = 1,6210-19J ).
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
19/345
INTRODUCERE 13
Rezolvare
a) [ ] 1S.I.1 smviarLTv
dt
dsv =>> Z2 se observcArAi ; dacZ1 Z2 (mediul reflectant este mai puin dens dect mediul
iniial), atunci sgnAr = sgnAi (unde "sgn" desemneaz semnul - pozitiv sau
negativ - al unei mrimi) ; egalitatea de semne spune creflexia se face n acest
caz frschimbare de semn, deci frpierdere de faz;
c)dacZ1< Z2(mediul reflectant e mai dens dect mediul iniial), atunci
sgnAr= -sgnAi, deci are loc o reflexie cu schimbare de semn, deci cu pierdere
de faz.
Caz particular. Reflexia total.Relaia :
= sinv
vsin 2
1
v
(1)
(2)
(3)
(3')(1')
L
conduce la concluzia c, atunci cnd
:12 v>
> > sinsin (4.38)
Inegalitatea (4.38) conduce la
concluzia cexistun unghi de inciden
Lpentru care 1sindeci,
2
=
= .
Pentru 1sinv
v
1
2 >
Figura 4.9
unghiul ia valori imaginare. Fenomenul poart
numele de reflexie totali are drept consecine urmtoarele afirmaii :1. Unda transmis intr n cel de-al doilea mediu numai pe o distan
foarte mic, de ordinul lungimii de und, amortizndu-se rapid.
2. Intensitatea undei reflectate este egalcu intensitatea undei incidente.
Demonstraie la afirmaia 1.
r1
v
j
tjtt
t2eeA
rr
=Unda transmisare expresia :
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
193/345
UNDE ELASTICE 187
x
y
cosx
siny
rr
t1rFigura 4.10
Ne ocupm n detaliu de produsul
scalar :
+= sinycosxr1trr
(proiecia lui rr
pe direcia , vezi figura
4.10).t1
r
Dar :
1sinv
jsinv
1sin1cos
2
2
2
22
=
==vv 11
222
2
kv
==
r
de unde se observc:
+
= sinv
y1sinv
jxr1v 112
t
2
v22
2rr
Notm :
)y(2
xjPr1
v
P1sinv
v
4
2
t
2
2
1
2
+
=
=
rr
sinyv1
=
De aici rezult:
( )
= tj2x
P
tt eeA2
=I
Se observ c semnul "+" din relaia de mai sus nu este justificat din
punct de vedere fizic (dacx atunci t). Prin urmare, dacse are nvedere numai semnul "-" i se calculeaz intensitatea undei transmise (cu
formula ), rezultc: *
2
xP
2tt
*t eA
=tI =
Dac2
x
crete, atunci intensitatea undei transmise scade exponenial,
tinznd rapid ctre zero.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
194/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE188
Demonstraia celei de-a doua afirmaii
Raportul :
i2ir
*rr
j2i
*r
j2ir
j2
j22
j22
2
1
221
2
1
221
i
r
IAAAIeAA,eAA
eeQM
eQMjQMjQM
1sinv
vjZcosZ
1sin
v
vjZcosZ
AA
=====
=++=
+=
+
=
deci intensitatea undei reflectate este egalcu intensitatea undei incidente.
Suplimentar fade toate noiunile i mrimile introduse i utilizate pnacum, n studiul fenomenelor de reflexie - refracie se utilizeazfrecvent i alte
mrimi importante, cum ar fi :
- factorul de reflexie (reflectana) :2ii AI
2rr AIR ==
- factorul de transmisie (transmitana) :2
2tt
A
A
I
I
ii
==T
Se observc: R+T = 1.
4.6.2. Interferena undelor scalare (elastice)
Prin interferense nelege fenomenul de suprapunere a unor unde (carendeplinesc anumite condiii) n acelai punct. Discutm cazul interferenei unor
unde scalare, care se propagntr-un mediu ideal.
Fiecare dintre cele dou sau mai multe unde scalare sunt soluii ale
ecuaiei generale de propagare a undelor (relaia 4.10), respectiv :
0tv
1
zyx 2
2
22
2
2
2
2
2
=
+
+
Dat fiind faptul cun mediu ideal este - totodat- un mediu liniar, dac
ecuaia (4.10) are soluiile 1 , 2 , 3 ....n , atunci i funcia de und avndexpresia :
=
=n
1ii (4.39)
este la rndul ei o soluie a ecuaiei de propagare.
In aceste condiii, fie situaia exemplificat n
figura 4.11, unde se pune problema ce se petrece n
punctul M.
M
1
2
S1
S2
l
Figura 4.11
Pentru a desfura un calcul adecvat n condiii
minime de stress matematic, vom recurge la cteva ipoteze
simplificatoare :
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
195/345
UNDE ELASTICE 189
cele douunde care dau un fenomen de interferen n punctul M auaceeai frecven;
distanele 1i 2sunt considerate a fi foarte mari, mult mai mari dectdistana dintre cele dousurse (adicl l>> 21, ), astfel nct pe un domeniu
restrns cele douunde pot fi considerate unde armonice plane.Prin urmare, fie expresiile corespunztoare :
( )
( )( )tktj22
ktj11
2
1
eA
eA
+
=
=
unde mrimea (t) reprezintdiferena ntre fazele iniiale ale celor douunde(presupusa fi dependentde timp).
Conform proprietii de liniaritate a mediului, unda rezultant are
expresia :
( ) ( ) ( )( ) ( )( )tkjjktjtktjktj 2121 eAeAeeAeAt,M + +=+= 2121
Amplitudinea ei poate fi stabilit- aa cum am vzut n cazul compunerii
oscilaiilor - folosind calculul n complex simplificat :
( )( ) ( )( )
( )[ ]tkcosAA2AA 2122
21 ++=
eAeAeeAeAe*Atkj
2jk
1tjtkj
2jk
1tj2 2121 =++== +++
(4.40)
unde
desemneaz
diferen
a de drum. Prin urmare :
( )A 21 A,A,A =
Se observexistena urmtoarelor situaii particulare :
( )
2
t-k cos2AAAAA 21 ===
21max AAAA)N(mm2tk +
( ) ===
( ) ( ) 21min AAAA)N(m1m2tk =
= + =
( ) .constt =
4.6.2.1. Interferena staionarAtunci cnd diferena dintre fazele iniiale ale celor dou unde este
constant:
= se spune ccele dousurse sunt coerente.
Prin unde coerente se neleg dou(sau mai multe) unde care au aceeai
frecveniar diferena dintre fazele lor este invariabil(constant) n timp.
In cazul (mai simplu) n care :
A1= A2= A2
kcosA4A 222 = (4.42)
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
196/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE190
se pot ntlni (pentru anumite situaii speciale, corespunztoare unor puncte
particulare din spaiu) egalitile:
( ) 0AINmcu2
1m22
k
A4AINmcu2
m22
k
2minmin
22MM
==+=
==
=
Atunci cnd diferena de fazeste nul(= 0) cele doucazuri / condiiide mai sus captforma simplificat:
( ) ( ) )I(pentru12m1m22
)I(pentru2
2mm2
m22
2M
+=
+=
222
min
==
=
Se observdin relaiile de mai sus cecuaiile corespunztoare punctelor
de maxim pot fi scrise explicit :
2
0
12
12
12
=
=
=
S1
S2Planul ()
Franje de interferenta
Figura 4.12
...................
reprezentnd, din punct de vedere matematic, o
familie de hiperboloizi cu dou pnze, avnd
focarele n cele dou surse S1 i S2 . Imaginea
franjelor de interferen corespunztoare este
indicatn figura 4.12.
Observaie. Atunci cnd =
2 locul maximelor i al minimelor se
inverseaz.
4.6.2.2. Unde staionare pe o singurdirecieAcest caz particular de unde staionare se obine ca rezultat al
interferenei a dou unde plane de amplitudini i frecvene egale, care se
propag n sensuri contrare pe
aceeai dreapt suport
(direcie).
N M
lxx1
Unda directa (unda incidenta)
Unda
reflectata
Rezolvarea general a
unei asemenea probleme
pornete de la observaia c
avem de a face cu ointerferen staionar pentru
Figura 4.13
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
197/345
UNDE ELASTICE 191
care una dintre unde (cea reflectat) preia proprieti puse n evidenla studiul
reflexiei.
Astfel, n timp ce expresia undei incidente este :
( ) ( )1kx-tj1i eAt,x =
pentru unda reflectattrebuie folositrelaia :
( ) ( )[ ]++= xk-tj1r eAt,x l
unde :
1x2x =+ ll iar faza "" introdus suplimentar ine cont de faptul c - n funcie de relaiadintre impedanele de mediu Z1 i Z2 - reflexia se poate produce cu / fr
schimbare de semn.
Impedana Z1 caracterizeaz mediul n care are loc interferena celor
dou unde n timp ce impedana Z2 caracterizeaz mediul ce produce reflexia(respectiv caracteristica de material a punctului M, vezi figura 4.18).
Reamintim cla reflexie s-a artat cputem avea dousituaii diferite :
a) Z1 > Z2 (primul mediu este mai dens dect cel de-al doilea), caz n
care reflexia are loc fr schimbare de semn, deci fr apariia unei faze
suplimentare n expresia undei reflectate ;
b)Z1< Z2(cel de-al doilea mediu, cruia i aparine punctul M este mai
dens dect mediul n care studiem interferena celor dou unde), caz n care
apare o modificare a fazei undei reflectate cu .In aceste condiii rezultatul interferenei celor dou unde are expresia
general:
( ) ( ) ( ) ( ) tj11
1r1i1rez exx2k
cosA2t,xt,xt,x
2
=+=
l
Ne vom concentra atenia asupra amplitudinii, ntruct dependenaarmonicde timp nu aduce nimic nou.
Se observc:
( )
=
=
2
x2
cos
2
kxcos
2
x2kcos 1
l
i prin urmare amplitudinea unde rezultante depinde de distana dintre punctul
M i punctul curent n care se face evaluarea elongaiei rezultante duprelaia :
=2
kxcosA2A rez
Dac:
a)Z1> Z2= 0 , deci kxcosA2A rez = Atunci cnd x = 0 (n punctul M) se observc: Arez= 2A = amplitudine
maxim.
Punctele n care amplitudinea este maxim se numesc ventre icorespund condiiei :
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
198/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE192
1x2
coskxcos MM =
=
ceea ce implic:
==
ncu
2nxnx
2 (n)
M
)n(
M
Distana dintre douventre succesive este :
( ) ( ) ( )222
n1nxx nM1n
M
=
+=+
Punctele n care amplitudinea este minimcorespund condiiei :
( )0A0kxcos rezmin ==
i - din punct de vedere trigonometric - nseamn:
( ) ( ) ( ) ( )4
1n2 x2
1n2x2 n
minn
min
+=+=
( ) ( ) ( )
Punctele corespunztoare se numesc noduri.
Se observc:
( )24
1n24
12n2xx nmin1n
min
++=+
( ) ( )
+ =
deci ntotdeauna - ntre dou noduri succesive - distana este de jumtate de
lungime de und(numitsemiund).Distana dintre un nod i cel mai apropiat ventru este :
42n
41n2xx nM
)n(min
+= =
deci - practic - succesiunea nodurilor i a ventrelor este cea indicat n figura
4.14.
Figura 4.14Nod Ventru Nod Ventru Nod
4/ 4/ 4/ 4/
2/
2/
Observaie final.Datoritcondiiei iniiale (Z1> Z2 ) se observc n
punctul M (la x = 0), indiferent de plasarea spaiala sursei, apare un ventru.
b)DacZ1< Z2atunci = , deci :
= 2kxcosA2A rez
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
199/345
UNDE ELASTICE 193
La x = 0 , Arez= 0 , deci obligatoriu punctul M este un nod.
In ceea ce privete condiiile pentru identificarea poziiei ventrelor i a
nodurilor, calculele se repetasemntor :
ventre : =
=
n
2
x2
1
2
x2
cos MM (cu n N)
de unde :
( ) ( )4
1n2x nM
+=
noduri : ( )2
n x02
x2
cos nminmin
==
Se observ c - fa de cazul precedent - poziia maximelor i a
minimelor se inverseaz (comut). Ceea ce rmne ns n continuare constant
este faptul c distana dintre maxime succesive ca i distana dintre minime
succesive este egal cu o semiund, n timp ce ntre un maxim i minimul cel
mai apropiat distana rmne egalcu /4.
Observaii.1. Fie condiia pentru douventre succesive :
( ) A2A12
22cos
22x rez
2M +==
=
( )
A2A13cos2
32
cos23x rez3
M ===
=
Prin urmare, dei nu am discutat pnacum acest aspect, se observc
dou ventre succesive - dei au amplitudine rezultant maxim - oscileaz n
antifaz (reamintim c ) : atunci cnd ntr-un ventru avem un maxim
pozitiv, n urmtorul ventru avem elongaie maximdar n sens contrar.
= je1
2.In cel de-al doilea caz (Z1< Z2) dacimpunem condiia ca n punctul
iniial N (vezi figura 4.18) savem un nod, adic:
- la x = l = , Arez= 0 , se obine :( )nx min
2n
=l (cu nN)
cu alte cuvinte lungimea totala drumului parcurs de cele douunde trebuie s
fie un numr ntreg de semiunde.
3.Discuia purtatpnacum poate fi pusi dintr-un punct de vedere
radical diferit : fie o coardelastic(o strunde vioar) fixatla capete, deci
de lungime impus" l " i evolund obligatoriu ntre punctele N (nod) i M(nod). In ce condiii apar undele staionare ?
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
200/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE194
l
Nod NodN M
Figura 4.15
Vom alege, pentru rezolvarea acestei situaii particulare, o alt metod
(pentru a vedea i altmanier- mai simpl- de a utiliza ecuaia undelor).
Deoarece se presupune c pe coarda elastic se propag o und plan,
putem folosi direct ecuaia atemporal a undelor (ecuaia Helmholtz (4.20)) a
crei formparticular(corespunztoare propagrii pe o singurdirecie) este :
( )( ) ( )xkx
vdx
xd 22
2
2
2
=
=
(4.43)
Ecuaia :
( )( ) 0xk
dx
xd 22
2
=+
(4.44)
are o form asemntoare ecuaiilor pe care le-am ntlnit n capitolul de
oscilaii ; prin urmare, fr demonstraii suplimentare, reamintim c soluia
generaleste de forma :
( ) kxcosbkxsinax += Se pun condiiile la limit:
x = 0 (0) = 0 b = 0
x = (l ) = 0l 0sinka = l
adic:
=
=
== ,...
2k,knkundedenk 21nl
lll
Setul complet al valorilor vectorului de und formeaz spectrul
valorilor proprii ale ecuaiei (4.44) / care este o ecuaie cu valori proprii a
operatorului2d2dx
( )
. Prin urmare soluiile ecuaiei (4.44) au forma :
== xnsina)xksin(ax nnnn l
i poartnumele de funcii proprii ale ecuaiei mai sus menionate.Relaia (4.43) permite stabilirea setului de valori pentru frecvene, cu alte
cuvinte irul frecvenelor proprii:
lnn
==n
vkv
unde "v" este viteza de faz.
Frecvena 1 poart numele de frecven fundamental, n timp cefrecvenele 2, 3, ...nse numesc armonicede ordinul II, III, ...n.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
201/345
UNDE ELASTICE 195
Deoarece frecvenele iau numai anumite valori, spectrul de frecvene
este discret.
Cumulnd observaiile referitoate la dependena spaiali la dependena
temporala funciei de und, rezultforma generala soluiilor ecuaiei undelor
pentru coarda elastic:( )
=
n
tjn
nexn
sinat,xl
unde s-a folosit proprietatea de liniaritate a mediului (soluia generalse obineca suma soluiilor particulare / relaia (4.39)).
Observaii
Fiecare soluie particular: ( ) tjnn nexn
sinat,x
=
l
nn
reprezint
o undstaionar.Toate punctele corzii oscileazcu aceeai faz t= . Amplitudinea
undei este numai funcie de x, depinznd periodic de aceastvariabil:
( )
( )nl
2Nmcum2
nm
mn
xn
sinmxn
sinxn
sin
nn
nn
l
llll
==
+
=
+
=
Mrimea nreprezintlungimea de unda undei staionare.
Amplitudinea este nuln punctele de abscisxmin:( ) ( )Nscusxn
0xn
sina sminminn =
=
l l
( )
2s
2
1
n
2sx nsmin
==
l (4.45)
Amplitudinea este maximatunci cnd :
( ) ( ) ( )4
1s2x2
1s2x1xsin MMM +=nn ns +==ll
In figura 4.16 sunt indicate cteva exemple concrete.
(4.46)
Condiiile pentru ventre i pentru noduri coincid cu cele obinute nanaliza fcutpuin mai nainte - pentru cazul n care Z2> Z1.
N V N V N(n = 2,
2
)N V N
(n = 1, 1)
N V N V N V N
(n = 3, 3)Figura 4.16
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
202/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE196
Se constatcpentru n = 1 lungimea coardei este egalcu o semiund;
pentru n = 2 lungimea , etc.
Ca o ultimobservaie, trebuie fcutdiferena calitativdintre o undstaionari o undprogresiv. Ea poate fi urmritn figura 4.17.
or variazde
distri
mo
importa
( )( )+= 1nkxtjn eAunda re
=l
Pentru unda staionarse observcamplitudinea oscilaiil
la punct la punct ; oscilaiile au loc n faz sau n antifaz iar energia se
buie neuniform (este maximn ventre i minimn noduri), indiferent de
mentul de timp n care se face observaia.
In cazul undei progresive, aceasta se deplaseazspaial cu viteza de faz
"v" ; fazele oscilaiilor se schimbde la punct la punct, n timp ce amplitudinea
acestora se menine constant (aceeai) - reprezentnd (n acelai timp) un
transport uniform
Discu d acestui paragraf are extrem de mult
de energie.
ia desfurat n ca rul
n, pentru cea este direct implicat n emisia i proprietile undelor
sonore.
4.6.2.3. Interferena multiplIn cazul n care ntr-un punct din spaiu se ntlnesc "n" unde coerente,
avnd expresiile :( )
( +
=
=
kxtj2
kxtj1
eA
eA
)
( )+= 2kxtj3........................
eA
zultantare expresia :
( ) ( )
( ) ++++= 1nj2j e...ee1S
Factorul notat cu "S" se prezintdrept suma unei progresii geometrice :
++++=++++=j
1nj2jjkxtjn321 e...ee1eA...
x
l
t0 0
Unda stationara(x , t)
1 tt
x
t0
01 tt Figura 4.
(x , t) Unda progresiva
17
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
203/345
UNDE ELASTICE 197
( )
1q
1qaqa...qaqaaS
n
11n
12
111
=++++=
i prin urmare :
( ) ( ) ( )
( )
+
=
=
==
21-nkx-tj
21nj
kxtj
j
jnkxtj
e
2sin
2nsin
A
2sin
2nsineeA1e
1eeA
Se observcamplitudinea undei rezultante are forma :
( )( )2/sin
2/nsinAA
=
deci este dependentde defazaj. Pentru unele valori particulare ale acestuia :
( ) 0A2m
deci,Nmm2n ==
=
n22
min
ObservaNpcu
ia de mai sus este valabilcu excepia cazurilor :npm,2nm,nm,0m ====
pentru care :
n22lim2lim =
2cos
2
1
ncosn1
2sin
nsin
p2p2
plitudinii rezultante maxime este :
(
=
In acest caz valoarea am
nAA =
i are aceeai valoare !) iar imaginea corespunztoare este indicatn fig. 4.18.
Figura 4.18
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
204/345
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
205/345
UNDE ELASTICE 199
Cutm/ propunem o soluie armonicde forma :tje)r( =
r
care - nlocuit n ecuaia de mai sus (4.47) - conduce la o nou ecuaie(atemporal) :
( ) ( ) 0)r(j)r(+)r( = 2 rr r (4.48)adic:
( ) ( ) 0)r(]j[+)r( 2 = rr
(4.49)
Se noteaz:
( ) ( )= jk~ 22 (4.50)
unde2
j-k=k~ e observceste o mrime complex.
s
Dacse considerc ropagarea are loc numai pe axa Ox , atunci :p
x 2
Select
=+
+== 0)x(k~)x(
ecuatieiasolutieBeAe)x()r( 22
xk~jxk
~jr
m unda progresiv:
( )xk~-tjxk~j- Ae=t)(x,Ae=(x)
Se observc:
( )
( )
x0
x2*
*
kxtjx
2-
eIeA=I
eeA=t)(x,
eAe=t)(x,
==
(4.51)
Relaia (4.51) este legea absorbiei undelor, pus n evidenexperimental ori de cte ori o undse propagntr-un mediu disipativ.
Expresia (4.51) a fost gsit pentru prima oar (pe cale experim ta ,
fiind studiate fenomene de propagare a undelor electromagnetice) de ctre Beer
i (inde alabilnumai dacvectorul de undcomplex
notat
kxtjx
2-
*
en l
pendent) Bouguer. Ea este v~ nu depinde de intensitatea undei.
Mrimea (partea imaginar a vectorului de und compexk
~k) se
numet absorbie i este asociat - firesc - cu fenomenul deabsorbie care are loc ntr-un mediu disipativ (semnul "-" arat faptul c
ial pe msur ce unda "intr" mai mult n
mediul disipativ).Se mai poate defini i mrimea :
e coeficient de
intensitatea undei scade exponen
=
numit i adncime de ptrundere (sau penetraie), cu ajutorul cre
2
ia relaia(4.51) captforma echivalent:
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
206/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE200
=x
2
0 eII (4.52)
Adncimea de ptrundere reprezintdistana pe care amplitudinea undei
se reduce cu 1/e din valoarea sa iniial(la x = 0) :A I=
====
==
e
A
e
IeII=Ax
IA0x
0020
00
Adncimea de ptrundere are dimensiunea unei lungimi.
Reinem relaia
=2
. Cutm expresia i valoarea lui :
( ) ( )
( )
( ) ( )
=
4
k 22
=
=
=
=kk
2
jk24
k2
jk 2
de unde rezult
= jk~ 2
2
22
2
:
( ) ( )
( )
2
+
+
= k2
22
22 (4.53)
( ) ( )
( )
+
=
2
2
22
22
(4.55)
Adncimea de ptrundere este dependentde frecven. Cu ct frecvena
este mai mare, cu att unda ptrunde mai puin n mediu. Totodatea depinde de
natura mediului absorbant, ca i de natura undei propriu - zise.
Fenomenul de absorbie apare i n cazul altor tipuri de unde (cum ar fi
undele electromagnetice), unde forma legii absorbiei se pstreazdar - evident -
valoarea numerica coeficienilor implicai este diferit.O observaie distincttrebuie fcutn legturcu viteza de faz. Astfel,
(4.53) indic o dependen a vectorului de und de tipul
k = k(
2
deoarece relaia
), rezultpentru viteza de fazo dependende tipul :
( ) ( )
( )( ) ( )
( )v
=
+
+=
kdeoarece
2
1
v
12
22
2
deci, aa cum se constat, ea depinde de frecven.
persia undelor.
Prin urmare undele avnd diferite frecvene se propagcu viteze de faz
diferite, ceea ce conduce la un fenomen de dispersie a acestora.Putem trage concluzia cn medii disipative apare i dis
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
207/345
UNDE ELASTICE 201
4.6.4. Efectul Doppler (nerelativist)In paragrafele precedente s-a artat cviteza undelor elastice depinde de
mediu i (datorit faptului c densitatea acestuia variaz cu temperatura) de
temperatur. Vom da cteva exemple :
Tabelul 4.1Mediu Temperatur Vitez(m / s)
00C 332Aer
200C 340
CO2 00C 358
He 0 C0
971
H2 0 C 12610
Ap 200C 1485
Fier 18 C 51000
Toate vitezele menionate mai sus sunt mult mai mici dect viteza
luminii, deci discuia are loc ntr-un context "clasic".
In anul 1842 fizicianul austriac Christian Johann Doppler (1803 1853)a obser na undelor emise de o sursvat cfrecve
a
aflatn micare se modificn
raport cu frecven acel ate n rt cu observatorul.Aceast constatare este u n zile nci cnd urmrim
aterizarea pectiv deco nui avion : su are nsoete micarile
corespunz e aude diferit (dei frecvena osc i mecanice a motorului
este aceeaExperimentele fcute au pus n evidenexi a dousituaii diferite :
I. A i cnd ntre i observator d se menine constant,frecvena sesizat de observator (prin intermediul unui receptor
4) coincide
eiai surse afl
or de fcut
repaus n rapo
le atunoastre,n ci res larea u etul
ilaietoare s
i !).stena
tunc surs istana cu
frecvena undei emise de ct .
I.Atunci cnd distana dintre sursi receptor se modificn timp (fie
crece
en poartnumele de efect
Dopple
re sursI
ptorul se micrelativ la surs, fie csursa se micfade receptor) se
constatexperimental c . Acest fenomreceptor sursr.
Pentru a lmuri ce se ntmpl n fapt, cu alte cuvinte care este relaiadintre frecvena perceputde observator (receptor) i frecvena proprie a sursei
n funcie de viteza (ca mrime i sens) relativdintre ele, vom studia separat
cele dousituaii posibile.
a)Sursa S se miccu viteza ur
relativ la cei doi receptori R1i R2(care
i pstreazpoziia iniial(vezi figura 4.19).
= frecvena sursei ;Vom folosi notaiile :
4
Receptorul este un instrument care detecteaz (de o manier specific tipului deund) prezena i caracteristicile acesteia (dintre care, n cazul nostru, frecvena undei).
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
208/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE202
1R
= frecvena msuratde ctre receptorul R1;
2R
= frecvena sesizatde ctre receptorul R2.
Din punctul iniial S
(unde este plasat sursa la
momentul t0 ) este emis un
semnal (sursa ncepe s
oscileze). Timpul necesar ca
acest semnal s ajung la
receptul R2este :
v01
dtt +=
unde 12 SRSRd == iar "v" este
viteza de propagare a undei.scurgerea unei perioade T sursa ncepe o
nouoscila
Sursa oscileazperiodic. Dup
i Inte. re timp - ns- ea s-a deplasat cu viteza ur
n punctul notat pe
figura 19 orul R2 dup un4. cu Aceast a doua oscilaie ajunge n receptS'.
interval de timp egal cu :
v
uTd Tt
v
'SSSRt 0
22 ++=
+=
deoarece distana
Tt 0+
'SS a fost parcursde sursn timp de o perioadT cu viteza u
( )Tu'SS =Diferen
intervalul de timp echivalent cu o perioad (el percepe o oscilaie identic cu
prima dup p), deci :
.
a 12 tt reprezint - din punctul de vedere al receptorului R2 -
scurgerea acestui interval de tim
v
uvT
dt
v
uT
v
dTtT 012 v
0tt 2R
=++=
Deoar
(4.56.a)=
ece :
v
uv
vT
2R
=
= (4.56.b)
i
uv
v
2RT
1
== (4.56.c)
cSe observ >2R
. Atunci cnd u = 0, =2R
, deci principiul de
corespondeneste rificat.
d
ve
Fa e receptorul R1analiza aratc:
v
dtt 01 +=
dar - dup scurgerea unui interval de timp egal cu o perioad (a oscilaiei nsurs) i dupdeplasarea acesteia, distana 1R'S crete ; prin urmare :
S1 R2R
d d
Situatia la momentul initial t0
S'ur
d + uT d - uT
Situatia dupa o perioada T (a sursei)
Figura 4.19
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
209/345
UNDE ELASTICE 203
v
uvTT
v
uTdTtt
1R02
+=
+++= (4.57.a)
uv
v;
uv
v 11RR +
(4.57.b)
n acest caz
=+
=
Se constatc 0 la aproprierea S - R2 i u < 0 la
nd
b)Co ea caz situaia n care sursa este fix iar
cei doi receptori (vezi figura 4. rteazde ea cu aceeair
.
mentul iniial t0ajunge la receptorulmentul :
v
dtt 01 +=
Ce-a de-a doua oscilaie, care pleac din surs dup trecerea unei
perioade T, ajunge la receptorul ajuns n poziia '2R , deci :
v
TudTt
v
RRSRTtt 2
R
0
'222
02
++=
++=
Diferena de timp t2 - t1 reprezint maniera n care observatorul a
perceput trecerea unei perioade (din punctul lui de vedere) :
uvv 22R12R
vTT
uTTttT 2
R
+=== (4.58.a)
>+
=+
=222 RRR
v
;uv
(4.58.b)
Pentru receptorul R1, n urma unui raionament asemn or, pentru care(ns) :
uvv
t
R S R2
la momentul initial t0d d
Situatia
1
ur
ur'
1R'2R
d + uT ' d - uT '
Situatia dupa o perioada T (a sursei)
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
210/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE204
v
uTdt
1R
2
+= Tt 0 ++
se obine :
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
211/345
UNDE ELASTICE 205
4.7. Probleme rezolvate1. S se obin, prin analiz dimensional, expresia vitezei v de
propagare a unei unde longitudinale, n funcie de modulul de elasticitate Ei de
densitatea a mediului de propagare, tiind cviteza depinde numai de acestedou mrimi.
Rezolvare
Relaia cutatare - conform textului
Pe de alt parte, pentru stab
poate folosi legea lui Hooke, adic:
problemei - forma necunoscut:
ilirea dimensiunii modulului lui Young, se
= E.constv
0
ES
F
l
l=
ceea ce implic:
[ ][ ][ ]
21
2TML
LSE ===
Densitatea are dimensiunea :
[ ] 3ML= prin urm
2MLTF
are ecuaia dimensionalare forma :
( ) ( ) + = 233211 MLTMLLT = TLMde unde - prin identificare - rezult:
==
=
=
E.constEconst. vdeci
1213-- 22
= 2-12-
==+
10 11
at ntr-un mediu elastic emite unde plane de
forma :
2.O surs de oscilaii afl
(mm)tsin25,0y = . Lungimea de unda undelor longitudinale carese propagn acest mediu este = 15 m.
a) Dupct timp va ncepe soscileze un punct situat la distana x1= 10
mfade surs?zaj exist ntre oscilaia punctului aflat la distana x i
oscilai
c) La ce distanse afl puncte ale cror oscilaii sunt defazate cu
b) Ce defa 1a sursei ?
dou
6rad ?
d) Evaluai defazajul dintre doupuncte situate la distana2
d = .
a)Elongaia oscilaiei din surs(pentru x = 0) este de forma :
Rezolvare
( )0tsinA)t,0(y +=
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
212/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE206
Prin identificare se obine :
rad0
m
rad
m25,0A
0 =
=
=
Punctul situat la distana x1 va ncepe s oscileze dup un interval de
timp t1, duplegea :
]v
xt 11= ( ) ([ 11 ttsinAxy ) 0+= unde
Viteza de propagare v poate fi calculatdin expresia lungimii de und:
s
m5,7
2
15
2 v
v2vTv =
=
=
=
==
Deci :
s310x
3,15,7v
t 11 ===
b) Defazajul dintre cele douoscilaii este :
( )[ ] [ ] rad4
tttt 100112 ==++== 3
Ecuaiile de oscilaie ale celor doupuncte x2i x3= x2+ x (vezifigura 4.22) sunt :
c)
( )
2x +
= 02 2tsinAt,xy
i respe
ctiv :
( )
=3 tsinAt,xy +
03x2
Defazajul dintre cele douoscilaii este :
=
+
+
=
x2
x2t
x2t 0
20
323
deci :
m25,14
==5
12
15
12262x =
=
=
=
a
doupu
d) Conform rezultatelor de la punctul c) defazajul dintre elongaiile
ncte situate la distana d este :
rad
2
2d2
=
=
=
adicpunctele oscileazn antifaz.
x1 x2O xxx 23 +=
x
Figura 4.22
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
213/345
UNDE ELASTICE 207
3.Dousurse sincrone S1i S2aflate la distana d = 3 cmuna de cealalt
produc oscilaii de frecven = 100 Hzi amplitudini A1= 5 mmi A2= 10
mm. Sse calculeze amplitudinea oscilaiei unui punct situat la distana x2= 5cm de sursa S2 pe perpendiculara dus din S2 pe dreapta care trece prin cele
dousun care se afl sursele este
v = 20 m/s.
Rezolvare
lasarea n spaiu a celor dou surse i
respectinii rezultante urma
compunerii celor dou unde coerente este
indicatn figura 4.23.Ecua
( ) ( )t2sinAt,0y +=
rse.Viteza de propagare a undelor prin mediul
P
iv poziia punctului n care se cere
calculul amplitud n
iile de oscila
ie ale surselor sincrone sunt :
( ) ( )011 t2sinAt,0y
022
+=
Ele produc n punctul D oscilaiile rezultate prin propagare :
( )
( )
+=
02
22
0
x2t2sinAt,Dy
unde x3
+= 311x
2t2sinAt,Dy
este distana dintre sursa S1i punctul D :cm6925dxx =+=+=
c sunt unde transversale cu oscilaia pe
aceeai direcie - i anume perpendicular pe planul BCD.
In urma interferenei punctul D oscileaz de maniera exprimat prin
2223
Aceste dou unde interfer n punctul D dac se produc pe aceeai
direcie, ceea ce este posibil numai da
ecuaia :
( ) ( )+= tsinAt,Dy unde amplitudinea este :
++= cosAA2AAA 2122
21
iar este defazajul celor douoscilaii n D :
== 1020
1002
Deci cele dou oscilaii sunt n faz, ampl
fiind :AAA 1+=
=
+
+=xxxx 2323
22t22t2 00
mm152 =
S1
S2D
x2
x3
Figura 4.23
d
itudinea oscilaiei rezultante
v
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
214/345
NOIUNI GENERALE DESPRE UNDE208
[1]
85[2] T. Creu, "Fizicgeneral", vol I, Editura Tehnic, Bucureti, 1984
. Zemansky, H.D. Young, "Fizica", Editura didactici
reti, 1983[4] R.V. Deutsch, "Fizic", Editura didacti i pedagogic, Bucureti, 1970
ditura didactic i pedagogic,
[6] M. Al. Oncescu, "Fizica" , vol. I, Editura didactic i pedagogic,Bucureti, 1973
[7] Al. Hellemans, B. Bunch, "Istoria descoperirilor tiinifice", Editura
Orizonturi, Bucureti, 1996 / reeditat2002
Bibliografie capitolul IV
P. Sterian, M. Stan, "Fizica", Editura didactici pedagogic, Bucureti,
19
[3] F.W. Sears, M.W
pedagogic, Bucuc
[5] R. Brenneke, G. Schuster, "Fizic", E
Bucureti, 1973
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
215/345
MECANICANALITIC 209
5. NOTIUNI DE MECANICA ANALITICA
5.1. Limitele mecanicii vectorialeMecanica vectorial s-a dezvoltat pe baza principiilor stabilite de
Newton.
Succesul teoriilor lui Newton, confirmat prin explicarea unui numrmare de fenomene (cderea corpurilor, orbitele planetelor, micarea punctuluimaterial, a sistemelor de puncte materiale, a solidului rigid precum i asistemelor rigide) a avut att consecine tiintifice ct i urmri n plan filozofic.Astfel, s-a nscut o filozofie mecanic, bazat pe convingerea c un numrmare de fenomene din multe alte domenii (chimie, biologie) pot fi modelate de
legi mecanice simple.Filozofii materialiti francezi (Denis Diderot, baronul dHolbach) au
extrapolat ecuaiile Newton, ajungnd safirme cntreaga naturse comportca un sistem pur mecanic. Umanitatea, att din punct de vedere fizic ct i din
punct de vedere spiritual, era n aceastviziune sub incidena unor legi alenaturii, considerate a fi nite legi raionale.
In secolul XVII existau dou moduri diferite de abordare a filozofiei :empirimul (la cunoatere se poate ajunge numai pe cale experimental) iraionalismul (judecata stla baza cunoaterii).
Immanuel Kant (filozof al secolului XVIII) a fost cel care a impustermenul de iluminism, prin care se reconcilia empirismul cu raionalismul,afirmndu-se c se pot dobndi cunotine nu numai prin experiene ci i
folosind capacitatea de a raiona, ambele mergnd mn n mn. Kant aimpus drept principiu general conceptul de cauzalitate, conform cruia fiecareeveniment l determinpe altul. De asemenea, dupKant, spaiul i timpul sunttot concepte a priori(de acceptat pe calea raiunii dar de nedemonstrat !), carecondiioneazfelul de a percepe lumea fizic. De aceea (a argumentat el) fizicanu este o tiin care se bazeaz numai pe perceperea experimental ci i peconcepte a priori care fac posibilacumularea de cunotine prin utilizarea unuisistem raional, cum ar fi matematica.
Materialismul radical al gnditorilor iluminiti a nscut drept reacie
la sfritul secolului XVIII, curentul filozofic numit romantism, n cadrulcruia reprezentanii de marc (Johann Wolfgang von Goethe, FriedrichWilhelm von Schelling) au pus accent pe sentimente, n dauna raiunii. Naturaera considerat un organism unitar, dotat i guvernat de spirit, percepiesubiectivi emoii.
Intre anii 1740 i 1800 cunotinele din domeniul mecanicii s-auamplificat n paralel cu dezvoltarea matematicii.
S-a observat c fizica newtonianputea trata numai problemele n caretoat masa unui corp era considerat ca fiind concentrat ntr-un singur punct(centrul de mas).
Pe de altparte, metodele de calcul ale mecanicii newtoniene nu fceau
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
216/345
MECANICANALITIC: NOIUNI ELEMENTARE210
distincie i nu eliminau automat forele de legturi1i reaciunile care apreaun ecuaiile de micare (de exemplu : problema punctului material supus lalegturi se rezolva prin eliberarea punctului i nlocuirea legturilor sale cu ofornumitforde legtursau reaciune). Lucrurile erau i mai complicate n
cazul sistemelor de puncte materiale, unde intervin i forele interioare ;eliminarea acestora, prin aplicarea teoremelor generale ale dinamicii (impulsul,momentul cinetic) era destul de dificil. De asemenea, aplicarea acestor teoremegenerale n studiul micrii sistemelor de N puncte materiale impunea scriereaunor sisteme de ecuaii difereniale foarte diferite de la o problem la alta,caracterul de generalitate fiind restrns.
Bazele mecanicii analitice au fost puse de ctre Leonhard Euler(1736).Studiind micarea punctului material i a rigidului, a definit centrul de greutate,independent de forele care se exercitasupra corpului i a studiat momentele deinerie. El a fost primul care a introdus noiunea de coordonate ale unui corp, unsistem matematic care permite analiza oricrei micari, orict de complexe.
Joseph Louis Lagrange a mbuntit sistemul de coordonate al luiEuler, fcndu-l s poat fi aplicat unor grupuri de mai multe corpuri aflatesimultan n micare. De asemenea, el a demonstrat cprincipiul celei mai miciaciuni (de exemplu faptul c energia cinetic atinge o valoare minim atuncicnd corpurile sunt lsate sse mite liber) putea fi derivat din legile de micarenewtoniene.
Cronologic, istoria fizicii a reinut urmtoarele evenimente :1743 Jean le Rond dAlembert publicTrait de dynamique n care
dezvolt legile newtoniene de micare, prezinto metod generalde studiu amicrii sistemelor de corpuri i formuleaz principiul care i poart numele :Intr-un sistem nchis format din corpuri n micare, forele de aciune ireaciune sunt n echilibru.
1744 Pierre de Maupertuis este iniiatorul principiului minimei aciuni(aciunea = fora x distana x timpul) : Fenomenele au loc astfel nctaciunea sfie minim, principiu valabil i astzi. (In 1750 Maupertuis afirmcprincipiul celei mai mici aciuni demonstreazexistena lui Dumnezeu.)
1747 DAlembert publiclucrarea Reflecii asupra cauzei generale a
vnturilor n care indic prima metod generalizat de utilizare a ecuaiilordifereniale pariale n fizica matematic. In acelai an tot dAlembert publicteoria coardelor vibratoare, dnd o soluie general a ecuaiei difereniale
pariale care descrie micarea undelor n plan.1755 Euler public un manual de calcul diferenial. Matematicianul
francez Jean Louis Lagrange i scrie lui Euler despre noile sale contribuii lacalculul variaional i despre ecuaiile difereniale ale suprafeelor minimale.
1
Forele care constrng corpul sse mite pe o anumit traiectorie se numesc forede constrngere sau legturi.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
217/345
MECANICANALITIC 211
1765 Leonhard Euler studiaz, n Teoria micrii corpurilor solide irigide, toate cazurile posibile de micare a corpurilor solide, inclusiv cea aPmntului.
1766 1786 Lagrange este chemat de Frederic cel Mare la Berlin,
unde va tri 20 de ani i va scrie cele mai bune lucrri.1788 Lagrange public (la Paris) tratatul Mcanique analytique ncare studiaz mecanica la cel mai nalt grad de generalitate, utiliznd numaimetode algebrice i analitice; cartea nu conine nici un desen dar conine iversiunea Lagrange a principiului minimei aciuni.
Secolul XIX2 a adus, odat cu formularea i utilizarea unor problemespeciale de analiz matematic (calculul variaional, teoria invarianilorintegrali, teoria ecuaiilor difereniale cu derivate pariale, etc) contribuia unorali matematicieni- fizicieni de prestigiu, printre care Sir William RowanHamilton (care n 1834 a transformat formulele lui Lagrange n ecuaiicanonice / hamiltoniene), Karl Gustav Jacobi (1842), Mihail VasilieviciOstrogradski, Simon Denis Poisson (n 1833 a publicatprimul manual de
baz n studiul problemelor de mecanic Tratat de mecanic). Astfel s-aelaborat mecanica analitic(n forma prezentatn acest capitol), care se ocupacu studiul micrii unui sistem de puncte materiale, supus la aciunea unor foredate i a unor fore de legtur (fr frecare), cunoscndu-se valorile - lamomentul iniial - ale vectorilor de poziie i ale vectorilor vitez ai punctelormateriale (altfel spus, starea mecanic iniial a sistemului, conform definitieicunoscute deja). Utiliznd metode generale, analitice i eliminnd forele delegtur, se poate obine un sistem de ecuaii difereniale, cu ajutorul cruia se
poate determina micarea ntregului sistem de puncte materiale.Mecanica analitic este - aa cum rezult i din denumirea ei - o
mecanic de calcul, ale crei metode s-au perfecionat n paralel cu evoluiaanalizei matematice.
Mecanica analitic, bazat tot pe principiile mecanicii newtoniene, i-apropus :
2
In secolul al XIX-lea majoritatea problemelor de mecanicau fost impuse de nevoitehnice, motiv pentru care s-au dezvoltat foarte mult ramurile mecanicii aplicate : mecanica
fluidelor, teoria elasticitii, rezistena materialelor, etc.
Secolul XX a adus - odatcu afirmaiile lui Max Planck (1858 - 1947), Werner Karl
Heisenberg (1901 - 1976), Erwin Schrdinger (1887 - 1961), .a. - punerea bazelor mecanicii
cuantice(1925 - 1926).
Tot n aceeai perioadAlbert Einstein (1879 - 1955), n articolul su celebru "Cu
privire la electrodinamica corpurilor mobile" (1905) a pus bazele teoriei relativitii, unadintre teoriile fundamentale ale fizicii moderne.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
218/345
MECANICANALITIC: NOIUNI ELEMENTARE212
- sgseascmetode directe de determinare a ecuaiilor de micare, n care snumai aparforele de legtur;
- s permit scrierea unui sistem de ecuaii difereniale sub o form general,aceeai indiferent de problema dat (echivalentul aplicrii unui
algoritm) ;- spermit formularea unor noi principii, cu un grad de aplicabilitate ct mailarg (o caracteristicimportanta mecanicii analitice constn faptul cea permite formulri cu caracter de maximgeneralitate , aplicabile unordomenii fizice diferite cum ar fi : teoria relativitii, mecanica mediilorcontinue sau electromagnetismul).
Prin urmare, mecanica analitic a pus la punct metode de rezolvare aproblemelor de echilibru i de micare mecanic a tuturor categoriilor decorpuri, indiferent de tipul legturilor acestora. Reamintim faptul c rezolvareaeste limitatla categoria legaturilor ideale(frfrecare), ceea ce nu nseamn-ns- cnu pot fi tratate (printr-o metodunitar) probleme complicate, att caaspect teoretic ct i ca aplicaie tehnicimediat.
5.2. Mecanica analitic: noiuni elementare
Formularea generala problemei pe care trebuie so rezolve mecanicaanaliticeste urmtoarea :
Fiind dat un sistem de N puncte materiale Ak (k N= 1, ), avnd maselemk , vectorii de poziie rrk, fiind supus aciunii unor fore rFk (rFk acioneaz
asupra lui Ak) i unor legturi L0( l,10= ) i cunoscndrr tk0 0( ) i
rv tk0 0( ) ale
punctelor Ak la acelai moment iniial t0 , se cere s se determine micareasistemului n intervalul de timp (t0, t), n care forele
rFki legturile L0sunt date
ca funcii de coordonatele punctelor Ak, de vitezele lor i de timp.
Intruct mecanica analitic este un edificiu teoretic construit pe bazatuturor noiunilor i informaiilor furnizate de mecanica newtonian, o mare
parte dintre concepte (inclusiv definiiile corespunztoare) sunt deja cunoscute.Le reamintim, schematic, pe cele pe care urmeazsle utilizm :- proces mecanic : micarea se conservsub formexclusiv mecanic, nu apar
fenomene disipative (termice, electromagnetice, etc.);
- referenial : ansamblu rigid de corpuri, solidar cu un ceas, n raport cu care sestudiazmicarea ;
- referenial inerial : referenial n raport cu care se vdesc proprietile deomogenitate i izotropie ale spaiului, precum i cea de uniformitate atimpului ;
- punct material : dimensiunile corpului se consider mult mai mici dectdistanele la alte obiecte ; pentru punctul material se definesc :
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
219/345
MECANICANALITIC 213
simultan.cunoscuti,vsir
parametriideadefinitcomplet
estematerialpunctuluiStarea
r=(t)v:materialpunctuluiviteza-
s(t):iatraiector-
(t)r:pozitiedevectorul-
rr
(
&rr
r
- sistem de N puncte materiale (obiecte clasice, pentru care reamintim condiiav
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
220/345
MECANICANALITIC: NOIUNI ELEMENTARE214
timpdeteindependensunt
matematiceexpresiile:scleronomelegaturi-
impulexplicit taparetoarecorespunza
analiticeexpresiilein:reonomelegaturi-
timpdedependenta
:criteriu;Boltzmann
Revenind la sistemul de N puncte materiale, putem avea urmtoareasituaie :
- sistemul pretinde cunoaterea a 3N coordonate scalare, dar- sistemul este supus unui numr de l legturi (ntre punctele materiale
ce compun sistemul existlrelaii de dependen).Prin urmare, ar fi suficient s cunoatem f = 3N-l coordonate, toate
celelalte (pn la 3N) putnd fi calculate pe seama relaiilor de dependendintre ele.
Mrimea f = 3N- reprezint numrul gradelor de libertate alesistemului dat.
Dacne propunem saflm ntregul ansamblu de coordonate al tuturorpunctelor materiale (N) ce compun sistemul, avem nevoie strict de cunoaterea anumai f mrimi independente, fie ele : q1 , q2 ,....qf , numite coordonategeneralizate (sau coordonatele lui Lagrange).
Notaia - diferitde cea cunoscutla mecanica vectorial- atrage ateniaasupra faptului c - n general - coordonatele generalizate nu coincid cu celeclasice. (Vom vedea, n urmtoarea problemrezolvat, cputem folosi drept
coordonatgeneralizatun unghi !)Cele f coordonate generalizate permit definirea unui spaiu cu f
dimensiuni, ale crui coordonate sunt chiar coordonatele generalizate.Acest spaiu se numete spaiu de configuraie (sau spaiu figurativ) .Configuraia sistemului la un moment dat (complet determinat de
ansamblul coordonatelor generalizate) se reprezint n spaiul de configuraieprintr-un punct reprezentativ.
La trecerea sistemului dintr-o stare 1ntr-o stare 2punctul figurativ vadescrie o traiectorie n
spaiul de configuraie.(Reprezentarea n spaiulde configuraie a micrii
punctului material este,
de fapt, o descrieregeometric a evoluiei ntimp a acestuia , vezi
figura 5.2.)
qf
q1
q2
Sistem aflat in starea mecanica
1(q1, q2, .qf)
Sistem aflat in starea mecanica
2
(q1
, q2
, .qf
)
Proces mecanic pentru care
=
=
=
)t(qq
...............
)t(qq
)t(qq
ff
22
11
Figura 5.2
Traiectoria
punctului reprezentativpoate s fie real (dac
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
221/345
MECANICANALITIC 215
procesul corespunzator are loc n conformitate cu legile mecanicii) sau virtual(atunci cnd corespunde unui proces fictiv).
Dac ntr-o problem se dau (se aleg) f coordonate generalizate q1 , q2
,...qf toate coordonatele scalare ale sistemului depind de aceste coordonategeneralizate prin relaii de forma:
N1,=iunde
)q,....q,q(zz
)q,....q,q(yy
)q,....q,q(xx
f21ii
f21ii
f21ii
=
=
=
Atunci cnd ne propunem s calculm i toate vitezele punctelor careconstituie sistemul, se constatc:
==
=
=
=
++
+
=
=
f
1jj
j
if
1j
j
j
i
f
f
i2
2
i1
1
if21ii
x
dt
dq
q
x
dt
dq
q
x...
dt
dq
q
x
dt
dq
q
x
t
)q,..q,q(xx
&
&
Mrimile &qdq
dtjj
= poartnumele de viteze generalizate.
Din relaia de mai sus se observc & & ( , & )x x q qi i j j= cu j = 1,f .Similar se aratc:
f1,=jcu)q,q(zzqq
z
dt
dq
q
z
t
)q,..q,q(zz
f1,=jcu)q,q(yyqq
y
dt
dq
q
y
t
)q,..q,q(yy
jjii
f
1jj
j
if
1j
j
j
if21ii
jjii
f
1jj
j
if
1j
j
j
if21ii
&&&&&
&&&&&
=
=
=
=
==
=
=
==
==
Prin urmare, vitezele i coordonatele reale ale sistemului de N punctemateriale pot fi calculate (folosind relaiile de mai sus) atunci cnd se cunosccele 3f coordonate generalizate i cele 3f viteze generalizate.
Starea mecanica unui sistem fizic de N puncte materiale cu f grade delibertate este - cu aceste noi definiii i observaii - complet determinat de 2f
parametrii , i anume :- f coordonate generalizate ;
- f viteze generalizate.
5.2.1. Probleme rezolvate
1.Un punct material este obligat s se mite pe suprafaa unei sfere derazr0. Sse gseasccare sunt coordonatele lui generalizate.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
222/345
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
223/345
MECANICANALITIC 217
12
0102
bqaq
b.constm
n
a.constqm
nqDar
+=
==
==
Dependena dintre q1 i q2 este o dependen liniar ; n consecintraiectoria punctului material n spaiul de configuraie este o dreapt.
5.3. Principiile mecanicii analitice. Principiul lui Hamilton.Evoluia (istoric) a mecanicii analitice a consemnat formularea a mai
multe principii. Dupmaniera lor de formulare3, ele pot fi clasificate n :- principii difereniale : principiul lui dAlembert, principiul deplasrilor
virtuale, principiul lucrului mecanic virtual al forelor de legtur, principiulgeneralizat al lui dAlembert, principiul celei mai mici constrngeri, etc.
- principii integrale : principiul lui Hamilton, principiul lui Maupertius -Lagrange.
Nu vom insista asupra principiilor difereniale, ntruct ele constituie - nsine - obiect de studiu al unui curs de specialitate.
In ceea ce privete principiile integrale, ele permit familiarizarea cunoiuni utile, aplicabile i n cazul unor alte capitole ale cursului de fizic,
precum i rezolvarea de o manierlejera unor probleme de dificultate medie.Prin urmare, vom prezenta n detaliu unul dintre cele mai utilizate / utilizabile
principii integrale, i anume principiul lui Hamilton.
Principiul lui Hamilton se aplicn cazul legturilor olonome(expresiimatematice integrabile), reonome (n expresiile analitice corespunztoaredependena de timp apare explicit) i n condiii conservative(fora derivdinenergia potenial).
Acest principiu introduce o funcie de stare (adic o funcie decoordonate generalizate, viteze generalizate i timp), numit funcia luiLagrange (lagrangeian), care descrie complet starea mecanica sistemului :
L q q q q q q tf f( , ,.. , & , & ,.. & , )1 2 1 2 (5.1)
In privina proprietilor acestei funcii nou introduse, precum i aobiectivelor mecanicii analitice, trebuiesc fcute urmtoarele observaii :
3Legile fizicii pot fi exprimate att sub formdiferenialct i sub formintegral.
Forma diferenial (local) descrie desfurarea unui fenomen (proces) n vecintatea unui
punct, n timp ce forma integral descrie evoluia procesului n ansamblu, ntr-un volum
macroscopic. De exemplu toate ecuaiile difereniale ale micrii descriu micarea unui sistem
n vecintatea unui punct de pe traiectoria sa (informaie local), n timp ce ecuaiile de
micare de tipul x = x(t), y = y(t), z = z(t) descriu micarea sistemului pe distane mari(informaie globalasupra micrii executate) (vezi bibl. L. Mller).
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
224/345
218 PRINCIPIILE MECANICII ANALITICE. FORMALISMUL LAGRANGE IAPLICAII
- Lagrangeiana unui sistem, determinatn raport cu un anumit sistem dereferin, difer - n general - de lagrangeiana aceluiai sistem, determinat nraport cu alt referenial, ntruct ele sunt funcii de coordonate generalizate i deviteze generalizate diferite.
- Pe de alt parte, ecuaiile de micare, reprezentnd legi obiective alenaturii, trebuie s-i pstreze aceeai form n orice referenial inerial ; prinurmare utilizarea funciei lui Lagrange n ecuaii de micare specifice unuianume formalism trebuie s asigure invariana acestor ecuaii n raport cutransformarea coordonatelor dintr-un referenial n coordonatele din altreferenial.
Tinnd cont de aceste douobservaii, principiul lui Hamilton recurge laconstrucia unei funcionale, n expresia creia intr funcia lui Lagrange de oasemenea maniernct condiia de invarianeste respectat.
Inainte de a enuna formularea clasic a principiului lui Hamilton, maitrebuiesc fcute nite precizri n privina noiunilor folosite.
Intr-un limbaj matematic simplificat, prin funcional se nelege oaplicaie (o operaie) care realizeazcorespondena dintre fiecare funcie dintr-oclas de funcii i un numr (un exemplu de funcional este lucrul mecanic
efectuat de o for neconservativ ntre dou puncte : L F dr ABA
B
= r r
; ne
reamintim c s-a afirmat c n acest caz lucrul mecanic - valoarea numeric
obinut n urma efecturii acestei integrale - depinde de drumul pe care sedeplaseazsistemul ntre cele doupuncte).O altnoiune la care face apel principiul lui Hamilton este noiunea de
traiectorie virtual, care a mai fost amintit puin mai devreme (cnd s-adiscutat despre traiectoria punctului reprezentativ n spaiul de configuraie).
De regul, sub aciunea forelor aplicate i a legturilor existente,punctele materiale ce compun un sistem vor suferi o deplasare real.Deplasrile reale sunt ntotdeauna compatibile cu legturile, pe toat duratamicrii sistemului. In paralel cu aceste deplasri reale, ne putem imagina o
infinitate de deplasri posibile, virtuale, compatibile cu legturile numai la unmoment dat.
Problema formulatde fizicieni este urmtoarea : cum putem alege, dininfinitatea de deplasri posibile, virtuale, exact deplasarea real? Ce criteriu
folosim pentru a o evidenia ?
Un rspuns posibil (n optic) a fost formulat de principiul lui Fermat(1662) : ntre doupuncte A i B lumina se propagpe acea traiectorie care
corespunde unui timp minim de propagare.
In mecanic, dup cum vom vedea, principiul lui Hamilton (principiulminimei aciuni) joacun rol echivalent.
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
225/345
8/13/2019 74693201 Curs de Fizica Generala Vol 1 PUB
226/345
220 PRINCIPIILE MECANICII ANALITICE. FORMALISMUL LAGRANGE IAPLICAII
cu alte cuvinte cele douoperaii (de derivare i de variaie a coordonatei) suntcomutative.
Din punct de vedere matematic, operatorul de variaie acioneazasemenea celui de derivare.
Principiul lui Hamilton postuleazexistena unei funcionale :
S L q q q q q q tf ft
t
= ( , ,... , & , &
Recommended