9-Aplikasi Flow Analysis(1)

APLIKASI FLOW ANALYSIS

Begin

Boundary layer

calculation

Pressure

Outer flow

streamlines

Surface

pressure

distribution

Potential

flow calculation

Surface shear

stress distribution

Useful flow

solution

Boundary layer

thickness

Review potential flow

Velocity potential & stream function

External flow

Φ Φ Φ Φ Φ Φ

Φ Φ Φ Φ Φ

ψ ψ ψ ψ

Internal flow

ψ ψ ψ ψ

Φ Φ Φ Φ Φ

Streamline

• Sebuah garis/kurva dalam fluida yang nilai

tangen-nya paralel dengan pada

sembarang waktu t.

• Group streamline pada waktu t adalah solusi

dari

• Dimana adalah komponen

kecepatan pada arah yang bersesuaian.

u

),(),(),( tru

dz

tru

dy

tru

dx

zyx

zyx uuu

dan,,

• Steady flow : streamline tetap dalam ruang

sepanjang waktu.

• Unsteady flow : streamline berubah dari waktu ke

waktu.

• Streamline : curve dimana di

setiap titik nilai tangen-nya

sejajar terhadap vektor

kecepatan lokal.

• Perhatikan busur:

• harus parallel dengan local

velocity vector

• Akan menghasilkan

persamaan untuk streamline

dr dxi dyj dzk

V ui vj wk

dr dx dy dz

V u v w

dr

Contoh:

Untuk medan kecepatan yang sama di

atas, plot beberapa streamline dalam

separo kanan aliran (x > 0) dan

bandingkan dengan velocity vector.

dimana C adalah constanta

dari integrasi yang dapat diset

untuk nilai yang berbeda-beda

untuk mendapatkan streamline.

NASCAR surface pressure contours

and streamlines

Airplane surface pressure contours,

volume streamlines, and surface

streamlines

Potential flow

xu

yv

v

u

y

x

dx

dy

/

/

0

y

v

x

u0

2

2

2

2

yx

Stream function

yu

xv

0

y

u

x

v0

2

2

2

2

yx

u

v

u

v

y

x

dx

dy

/

/

Untuk menyelesaikan Φ dan ψ diperlukan boundary condition.

y or r

x

u = V∞

u = V∞

u = V∞ = konstan

n

s

nsVn

snVs

xu

)( plane

y

)(

1icaxisymmetr

rr

s

tetapV

Vorticity dan Rotationality

• Vorticity vector didefinisikan sebagai curl dari velocity vector , a measure of rotation of a fluid particle.

• Vorticity sama dengan dua kali angular velocity sebuah partikel fluida. Cartesian coordinate

Cylindrical coordinate

• Di daerah dimana z = 0, flow dikatakan irrotational.

• Kondisi yang lain, flow disebut rotational.

Vz

w v u w v ui j k

y z z x x yz

1 z r z rr z

ruuu u u ue e e

r z z r r

z

Contour plot dari vorticity field zz

Daerah yang gelap

menunjukkan large

negative vorticity, dan

daerah yang terang

menunjukkan large

positive vorticity.

Perbandingan Dua Circular Flow Kasus khusus: lihat dua flow dengan circular streamline

2

0,

1 10 2

r

rz z z

u u r

rru ue e e

r r r r

z

0,

1 10 0

r

rz z z

Ku u

r

ru Kue e e

r r r r

z

Contoh soal:

Tunjukkan bahwa velocity potential Φ dan stream

function ψ berikut memenuhi persamaan kontinuitas

dan kondisi irrotational.

cos2

r

RrV Rr

sin2

r

RrV Rr

Buktikan juga akan berlaku untuk boundary conditions:

0rV Rr

cosVVrr

sin VV r

pada

pada

pada

Penyelesaian:

Pada koordinat polar, karena digunakan r dan θ

aliran dua dimensi.

(Terbukti)

Substitusi Φ ke persamaan di atas didapat:

01

2

2

rrr

r

0cos1

cos12

2

2

r

RrV

rr

RrV

r

0cos1cos12

2

2

2

r

RV

r

RV

00

Untuk ψ persamaan kontinuitas:

01

2

2

rrr

r

0sin1

sin12

2

2

r

RrV

rr

RrV

r

Substitusi ψ ke persamaan di atas didapat:

0sin1sin12

2

2

2

r

RV

r

RV

(Terbukti) 00

Kondisi irrotational untuk bidang datar pada koordinat

polar:

01

rz VrV

rr z

cos12

2

r

RV

rVr

sin

1 2

r

Rr

r

V

rV

z cos1

1sin

12

2

2

2

r

RV

rr

RrV

rrz

sin1

1sin1

12

2

2

2

r

RV

rr

RV

r

0zz (Terbukti)

Hasil yang sama untuk Vr dan Vθ dicari dari ψ:

cos12

2

r

RV

cos

112

2

r

RrV

rrVr

sin12

2

r

RV

rV

rVr

rVr

1

rV

1

rV

Pada boundary condition :

Pada r = R:

RrRr

rr

RV

rV

cos1

2

2

0rV

RrRr

rr

Rr

r

V

rV

cos

1 2

0rV

cosVVrcosVVr

rr

rr

RV

rV

cos1

2

2

Pada r ∞:

rr

rr

Rr

r

V

rV

cos

1 2

rrr

Rr

r

V

rV

sin

1 2

sin VV

rr

RV

rV

sin1

2

2

sin VV

Plane potential flow dari Singularitas Singularitas sebuah titik di mana persamaan atur

tidak terpenuhi.

Pada titik ini fluida mempunyai vortisitas tak

terhingga. Massa dapat diciptakan atau dimusnahkan.

Ini merupakan cara matematis untuk menghasilkan

aliran yang realistis.

Sebagi contoh singularitas adalah: source dan sink

serta line vortex.

+ x

y

r

θ Source terletak

pada titik asal.

Source menghasilkan volume rate konstan, λ (source

strength). Fluida mengalir secara radial keluar dari

source seragam ke segala arah. Streamline searah garis

radial. Arah kecepatan juga radial, bervariasi terhadap

radius.

Untuk menghitung kecepatan persamaan integral

kontinuitas:

rVr

2

2

0

rdVQ r

rrV2

0V

Vr tidak tergantung pada θ

Plane source

02

10

11

rrV

rrV

rrr

rrrVr

2

1

0 r

Dari persamaan kontinuitas:

kecuali

0

11

z r

z

V

rr

rV

r

Irrotationalitas:

Untuk memperoleh velocity potential

dan stream function:

Mengitegralkan:

Cr ln2

C

2

Pada umumnya nilai C = 0

222cos

yx

xVu r

sourcek sin

Plane source

Sink negative source.

Dalam koordinat rectangular:

Jika source/sink tidak terletak pada titik asal

(pada (a,b)):

x

y1tan2

222 byax

axu

22ln4

yx

222sin

yx

yVv r

Line vortex karena Φ dan ψ diset dalam garis

ortogonal, potential flow yang baru diperoleh dengan cara

menukar posisi Φdan ψ.

2

rln2

Line vortex

Equipotential & streamlines free vortex:

+ Φ ψ ψ ψ

Φ

Φ

Kecepatan:

Substiusi kecepatan pada persamaan

kontinuitas:

011

V

rrV

rrr

01

rrVr

rrrV

2

1

Line vortex

Persamaan vorticity:

z

2

111

rr

V

rr

rV

r

rz

Aliran adalah irotational kecuali di titik asal, di mana

vorticity adalah tak terhingga. Γ sirkulasi.

Jika diambil sirkulasi terhadap titik asal:

drdVsdV

2

0

2

02

Free vortex

Sirkulasi untuk semua lintasan yang mengitari titik asal

Γ, sedang yang tidak 0.

Free vortex dalam koordinat rectangular untuk vortex

yang terletak di sembarang titik (a,b):

222 byax

byu

222 byax

axv

ax

by1tan2

22ln

4byax

sinVv

cosVu

sincos yVxV

Uniform flow & parallel flow

Untuk aliran yang membentuk sudut α terhadap sumbu

x:

Velocity potential:

Stream function:

sincos xVyV