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A equação de Black-Scholes com açãoimpulsiva
Everaldo de Mello Bonotto
SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP
Data de Depósito: 27 de Maio de 2008
Assinatura:
A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
Everaldo de Mello Bonotto
Orientadora: Profa. Dra. Márcia Cristina Anderson Braz Federson
Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de
Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para
obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática.
USP - São Carlos
Maio/2008
Aos meus pais,
Heleno e
Maria.
Agradecimentos
Agradeço a Deus por sempre estar presente em minha vida.
Aos meus pais, que me deram a oportunidade de estudo e graças aeles pude conquistar mais
uma etapa em minha vida. À minhas irmãs que sempre estiveram incentivando-me e torcendo por
mim.
Às professoras Eti, Lúcia Spegiorin, Ilza e Adelcira, que sempre acreditaram em mim e sempre
me ajudaram para meu egresso da universidade.
Aos meus amigos e professores do curso de graduação em Licenciatura Plena em Matemática
pela UNESP de Presidente Prudente. Não posso deixar de citaros professores José Roberto,
Biroca, Suetônio, Marcelo Messias e Maria Raquel que sempreme ajudaram e me apoiaram a
continuar os estudos, e, os alunos Angela, Rodrigo e Tacianaque são meus verdadeiros amigos
que fiz na graduação. Em especial à Profa. Dra. Monica Fürkotter, pela sua orientação, amizade e
incentivos.
Aos professores do ICMC pelo ensino de qualidade e aos funcionários do ICMC pelo excelente
trabalho que é desenvolvido neste instituto.
Aos meus amigos de minha turma de doutorado Aldicio, Andréa,Juliano, Nivaldo, Sandro
e Thiago, pelo companherismo e pelos estudos em grupo. Em especial aos amigos que sempre
estiveram presentes em minha caminhada nos momentos de diversão: Ana Carla, Daniela, Esdras,
Fernando, Graziela, José Paulo, Michele, Nivalda, Sadao, Ricardo, Sandra, Sandro e Tatiane.
Nivaldo e Suelen, obrigado pela amizade sincera que temos. Passamos por ótimos momentos
durante esta temporada em São Carlos.
A todos meus amigos de Derry na Irlanda do Norte. Este último ano de meu doutorado foi
muito gratificante. Tive a oportunidade de conhecer uma novacultura e valiosas amizades como os
amigos Aaron, Amy Rawle, Brandon Kastner, Chichi, Daiana Webster, Emmet Colton, Erin Smith,
Francis Ward, Kai-Yu Tseng, Karla Muñoz, Kevin e Laura Fowler, meus amigos da igreja Corner-
stone: Abdul, Claire Collins, Claire, Jasper, Jessica, Kirstin, Mappi, Mawusi, Nadege, Stephen
Brown e Wendy. Não posso esquecer de citar Vicent, Pauline, Hilda, Cris, Billy e Anna pela
amizade e hospitalidade.
Estar longe da família e dos amigos é uma situação difícil de se lidar. No entanto, agradeço
a família Graham: Bernie, David, Michael e Richard que me adotaram como um integrante da
família e me proporcionaram uma excelente estadia na Irlanda do Norte.
Ao meu supervisor, o prof Dr. Patrick Muldowney da University of Ulster, Irlanda do Norte.
Pat Muldowney e sua esposa Marie foram grandes amigos e agradeço a eles por tudo o que eles
fizeram por mim.
Sou extremamente grato à minha orientadora, a professora Dra. Márcia Federson, que foi de
fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho. Amizade, paciência e disposição
são poucas das qualidades que ela possui. Com certeza não teria trabalhado em diferentes áreas
simultaneamente com um outro orientador! Obrigado por tudoe por ter aceitado a me orientar.
Ao CNPq e a CAPES pelo apoio financeiro para realização deste trabalho.
Agradeço a todos os meus amigos que contribuiram de alguma forma para a realização deste
trabalho.
Resumo
Impulsos são perturbações abruptas que ocorrem em curto espaço de
tempo e podem ser consideradas instantâneas. E os mercados financeiros
estão sujeitos a choques bruscos como mudanças de governos,quebra de em-
presas, entre outros. Assim, é natural considerarmos a açãode tais eventos
na precificação de ativos financeiros. Nosso objetivo neste trabalho é obter-
mos uma formulação para a equação diferencial parcial de Black-Scholes
com ação impulsiva de modo que os impulsos representem esteschoques.
Utilizaremos a teoria de integração não-absoluta em espaçode funções para
obtenção desta formulação.
Abstract
Impulses describe the evolution of systems where the continuous devel-
opment of a process is interrupted by abrupt changes of state. Financial
markets are subject to extreme events or shocks as government changes,
companies colapse, etc. Thus it seems natural to consider the action of these
events in the valuation of derivative securities. The aim ofthis work is to ob-
tain a formulation for the Black-Scholes equation with impulse action where
the impulses can represent these shocks. We use the non-absolute integration
theory in functional spaces to obtain such formulation.
Sumário
Introdução 1
1 Preliminares 7
1.1 Fundamentos do mercado financeiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 7
1.2 Mercado de derivativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 11
1.3 Opções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1 O problema para apreçamento de uma opção de compra Européia . . . . . 14
1.4 O Modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15
1.4.1 Conceitos da Teoria de Probabilidades . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15
1.4.2 O processo de Wiener ou movimento browniano . . . . . . . . .. . . . . 18
1.4.3 O Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4.4 Hipóteses do modelo de Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 20
1.4.5 Obtenção da equação diferencial de Black-Scholes . . .. . . . . . . . . . 21
1.4.6 A fórmula do preço de uma opção de compra européia . . . . .. . . . . . 23
11
12 SUMÁRIO
2 Integração em Espaços de Funções 27
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 27
2.2 A integral de Henstock em espaços de funções . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 29
2.3 Propriedades da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 36
2.4 A integral de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 41
3 Integral de Wiener para um processo com impulsos 47
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
3.2 A Função volume para um processo com impulsos . . . . . . . . . .. . . . . . . 48
4 Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos 65
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65
4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo . . . . . .. . . . . . . . . . 66
4.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 A equação de Black-Scholes com ação impulsiva 79
5.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
5.2 A função distribuição de probabilidades para um processo impulsivo . . . . . . . . 81
5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 85
5.4 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.5 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96
Referências Bibliográficas 99
Introdução
Um ativo financeiro é uma reivindicação por algum pagamento epode ter a forma física de um
pedaço de papel no qual é escrito um contrato legal que especifique a reivindicação. Tais ativos são
negociados freqüentemente: comprados e vendidos. É importante estabelecer o valor monetário,
aqui e agora, de um ativo financeiro visto que, se seu valor correto não for conhecido, então ele
não pode ser negociado de maneira justa.
Uma nota bancária (dinheiro) também é um pedaço de papel que sinaliza um valor monetário.
E seu valor está escrito sobre ela. Isto também acontece com um cheque. Por outro lado, o valor
monetário de um conjunto de ações de uma empresa pode ser estimado através do número total
de ações emitidas pela empresa e do valor total da empresa dado por seu balancete. Este valor é
determinado pelo mercado de ações e é reportado diariamenteem jornais.
Mas existem outros tipos de ativos financeiros cujos valoressão mais difíceis de serem deter-
minados. Este é o caso, por exemplo, de contratos futuros e deopções. Os contratos futuros e as
opções são fundamentais no entendimento de derivativos, ouseja, ativos cujos valores dependem
do valor de outros ativos.
A partir dos trabalhos de F. Black e M. Scholes ([5]) e R. C. Merton ([23]), ganhadores do
Prêmio Nobel de Ecônomia em 1997, começou-se a entender a estimativa para o valor de opções.
O modelo conhecido como equação de Black-Scholes para apreçamento de opções européias (eu-
1
2 Introdução
ropean call options) usa a integral de Lebesgue e o cálculo de Itô para modelar os processos
envolvidos.
O contexto de Black-Scholes é bastante flexível. As considerações mais críticas são transações
em tempo contínuo e dinâmica contínua de preços de ativos. Quando esta última consideração é
satisfeita, o preço dado pela equação de Black-Scholes podeser justificado como uma aproximação
assintótica para o preço “arbitrado" sob uma transação discreta, quando o intervalo da transação
tende a zero. Mas preços de ativos são realmente contínuos?
Em geral, assume-se que qualquer contrato escrito será honrado. Em particular, quando um
governo ou empresa possui um título, ignora-se a possibilidade de quebra do contrato na maturi-
dade. Entretanto quebras de contrato acontecem. Há alguns anos este fato foi ilustrado, de forma
dramática, pelas crises de crédito na Ásia, América Latina eRussia. Se uma empresaA possui
uma quantidade substancial de ativos de débitos da empresaB, então uma quebra deB pode im-
plicar numa queda repentina no preço das ações da empresaA. E como é possível incorporar estes
efeitos ou choques de mercado no modelo de Black-Scholes?
Pela sua própria natureza, quebras são imprevisíveis. Se assumirmos que não há qualquer
informação que nos ajude a prever os tempos de quebra ou outros choques do mercado, então tais
tempos podem ser modelados por uma variável randômica de Poisson. Isto significa que o tempo
entre choques é distribuído exponencialmente e o número de choques no tempot, denotado por
Nt, é uma variável randômica de Poisson, com parâmetroλt para algumλ > 0. Entre os choques,
assume-se que o preço de um ativo segue o movimento brownianogeométrico (veja [3] e [9]).
Um modelo típico para a evolução do preço de um ativo de risco com choques ou saltos é dado
pordStSt
= µdt+ σdWt − δdNt, (1)
ondeWtt≥0 eNtt≥0 são independentes eµ, σ eδ são constantes. Aqui,µ é a tendência (drift),
σ é a volatilidade (volatility), Wtt≥0 é um movimento browniano geométrico,Stt≥0 é um
martingale eNtt≥0 é um processo de Poisson.
A fim de dar sentido à equação (1), considera-se sua formulação integral. Neste caso, é preciso
definir a integral estocástica com respeito aNtt≥0. Escrevendoτ(i) para o i-ésimo tempo de
salto no processo de Poisson, define-se
Introdução 3
∫ t
0
f(u, Su)dNυ =n∑
i=1
f(τ(i)−, Sτ(i)−).
Para tratar de modelos mais gerais, é preciso estender a teoria do cálculo estocástico a fim de se
incorporar os processos com saltos. Em [9], isto é feito paraa equação (1), onde se usa o cálculo
de Itô.
Sabe-se que a equação de Black-Scholes é dada por
∂f
∂t+ rx
∂f
∂x+
1
2σ2x2∂
2f
∂x2= rf,
ondef = f(x, t) denota o valor de um ativo derivativo dependendo do valorx de um ativo
subordinado no tempot, er é a taxa de juros livre de risco. Em qualquer tempo no “futuro", x ef
são variáveis randômicas eσ é relacionada com o desvio padrão dex em tempos sucessivos.
O modelo básico de Black-Scholes ([5]) assume que a variávelrandômica,x(t), possui in-
crementos de tempo que são estatisticamente independentesum do outro e têm distribuição log-
normal tal queln x(t′
) − ln x(t′′
) é distribuída de forma normal com médiaµ(t′ − t
′′
) e variância
σ2(t′ − t
′′
). Estas considerações implicam a existência de uma medidaP sobre o espaço amostral
subordinado,Ω, sobre o qual os processosx ef estão definidos.
Um tratamento (veja [3]) para a estimativa do ativo derivativo, em termos dos valores do
ativo subordinado, estabelece a dependência def sobrex e t como uma esperança:E(f) =∫
Ωf(x, t)dQ, ondeQ é uma medida sobreΩ para a qual, primeiramente, a tendênciaµ do pro-
cessolnx é substituida pela taxa de juros livre de riscor e, em segundo lugar, o processof é
um martingale sob a medidaQ, dandof = E(f). Este método de análise é conhecido como
precificação de risco neutro (livre de risco) e a teoria matemática relacionada ao método envolve
o Teorema da Extensão de Kolmogorov, o cálculo de Itô para equações diferenciais estocásticas,
o Teorema de Radon-Nikodym e o Teorema de Girsanov. Porém, seusarmos a integral de Hen-
stock em lugar da integral de Lebesgue para calcularmos a esperança, o mesmo resultado pode ser
conseguido por métodos elementares. Veja [32], por exemplo.
Em ambas as formulações de Lebesgue e de Henstock, o espaço amostralΩ para o processo
de precificação pode ser tomado como sendoR∗(t, T ]+ , comx : (t, T ] → R∗
+ no espaço amostral.
Nas duas formulações, a consideração básica para o modelo deBlack-Scholes descrita acima dá a
4 Introdução
seguinte expressão paraP(I),
∫ v1
u1
...
∫ vn
un
n∏
j=1
exp
(ln xj − ln xj−1) − µ(tj − tj−1)
2σ2(tj − tj−1)
2
2πσ2(tj − tj−1)−1/2dxjxj
,
ondeI = x : uj ≤ x(tj) < vj , j = 1, 2, ..., n, t = t0 < t1 < t2 < ... < tn = T e escrevemos
xj parax(tj). Quando a integração de Lebesgue é usada nesta etapa, o Teorema da Extensão de
Kolmogorov é aplicado para podermos estender o domínio deP, além dos intervalos cilíndricos
I, a todos os conjuntos mensuráveis do espaço amostral e, quando usamos equações diferenciais
estocásticas para representar o processo de precificação, oTeorema de Girsanov produz a mudança
de medida necessária para alcançarmos a precificação de risco neutro.
Por outro lado, o uso da integral de Henstock requer, somente, que a medida esteja definida
sobre intervalos cilíndricosI. Logo, para se obter a medidaQ necessária para a precificação de
risco neutro, tudo que é necessário é um argumento simples dandoQ(I) como segue
∫ v1
u1
...
∫ vn
un
n∏
j=1
exp
(ln xj − ln xj−1) − r(tj − tj−1)
2σ2(tj − tj−1)
2
2πσ2(tj − tj−1)−1/2dxjxj
(veja [29] e [31]). Desta forma, as expressões paraP e Q diferem, somente, na substituição da
tendência,µ, pela taxa de juros livre de risco,r. Um argumento elementar demonstra que a integral
de Henstock com respeito aQ dá uma solução da equação de Black-Scholes, [29]. (Um argumento
análogo é usado em [24] e [28] para se obter soluções de Henstock para equação de difusão e para
equação de Schrödinger.) Mais do que isto, a taxa de juros livre de risco e a volatilidade não
precisam ser contínuas por partes. Basta que sejam contínuas exceto num conjunto de medida
de Lebesgue zero ([29], Prop. 11) e isto aproxima melhor a condição real vivida pelo mercado
financeiro.
A seguir, descrevemos os tópicos da presente tese e os resultados principais.
No Capítulo 1, apresentamos a teoria base do modelo de Black-Scholes. Na seção 1.1, um
breve resumo de alguns conceitos em Finanças é apresentado.Na seção 1.2, descrevemos um
mercado de derivativos. Na seção 1.3, definimos um contrato de opções e exemplificamos um
contrato de opção de compra e um contrato de opção de venda. Finalizamos com a Seção 1.4,
apresentando o modelo de Black-Scholes. Para isso, dividimos a Seção 1.4 em seis subseções: na
Subseção 1.4.1 descrevemos alguns conceitos da teoria de probabilidades; um processo de Wiener
Introdução 5
é definido em 1.4.2, o Lema de Itô em 1.4.3, as hipóteses do modelo de Black-Scholes em 1.4.4,
equação de Black-Scholes em 1.4.5 e, na Subseção 1.4.6, estabelecemos a fórmula do preço de
uma opção de compra européia.
No Capítulo 2, apresentamos a ferramenta fundamental que iremos utilizar no modelo de
Black-Scholes, isto é, integração em espaço de funções. Na Seção 2.1, fazemos uma introdução
sobre a teoria de integração de Henstock. Na Seção 2.2, definimos a integral de Riemann ge-
neralizada em um espaço de dimensão infinita. Algumas propriedades da integral de Riemann
generalizada em um espaço de funções são feitas na Seção 2.3 e, na Seção 2.4, apresentamos a
integral de Wiener.
No Capítulo 3, obtemos a integral de Wiener para um processo com impulsos. Dividimos o
capítulo em duas seções. Na Seção 3.1, fizemos uma introduçãosobre a teoria a ser apresentada no
capítulo e, na Seção 3.2, definimos a função volume para um processo com impulsos e provamos
algumas propriedades para esta função.
Dividimos o Capítulo 4 em três seções. Iniciamos a Seção 4.1 com uma introdução. Na
Seção 4.2, estabelecemos uma equação diferencial parcial com ação impulsiva cuja solução possui
uma representação de Feynman-Kac. Finalizamos o capítulo com a Seção 4.3, apresentando um
exemplo sobre a teoria.
No Capítulo 5, a equação de Black-Scholes com ação impulsivaé estabelecida. Iniciamos o
capítulo com uma discussão sobre a teoria envolvida no modelo de Black-Scholes feita na Seção
5.1. Na Seção 5.2, apresentamos a função distribuição de probabilidades para um processo com
impulsos. Na Seção 5.3, apresentamos o modelo de Black-Scholes com impulsos e finalizamos o
capítulo com um exemplo usando a equação obtida.
CAPÍTULO
1
Preliminares
Neste capítulo, apresentamos o famoso modelo de Black-Scholes para apreçamento de uma
opção de compra européia. Iniciamos apresentando alguns conceitos básicos do mercado finan-
ceiro que usaremos no decorrer deste trabalho. Finalizamoso capítulo com o modelo de Black-
Scholes, que estabelece um fórmula determinística para o apreçamento de uma opção de compra
européia.
1.1 Fundamentos do mercado financeiro
Apresentamos, a seguir, um breve resumo de alguns conceitosem Finanças que iremos uti-
lizar posteriormente. O glosário que apresentamos e o uso dos termos técnicos em Finanças têm
como base os glosários de Baxter& Rennie [3], Bernstein [4], Brealey& Myers [6], Downes
& Goodman [7], Gélédan& Brémond [11], Pindyck& Rubinfeld [33], Siqueira [34] e o site
http://www.bertolo.pro.br/Adminfin/HTML/Dicionario. htm#commodities.
7
8 Capítulo 1 — Preliminares
Um ativo ou bem (asset) é algo capaz de produzir fluxo monetário para o proprietário. É
qualquer bem com valor comercial ou valor de troca pertencente a uma sociedade, instituição ou
pessoa física. Exemplos: imóveis, dinheiro aplicado, ações, jóias, etc.
Valor mobiliário (security) é um instrumento que indica participação em uma companhia
(ações), relacionamento de um credor com uma empresa ou entidade governamental (obrigações),
ou direitos de propriedades representados por instrumentos como opção, direito de subscrição e
bônus de subscrição.
Ação (share) é o valor mobiliário emitido pelas companhias e representativo de parcela do
capital. É o documento que indica ser o seu possuidor o proprietário de certa fração de determinada
empresa. As ações representam a menor fração do capital social destas companhias, ou seja, é o
resultado da divisão do capital social em partes iguais. Quando emitidas por companhias abertas
ou assemelhadas, são negociados em bolsa de valores ou no chamado mercado de balcão. O
investidor torna-se, portanto, sócio da empresa da qual adquiriu ações e os poderes a ele atribuídos
são limitados pelo tipo de ação que comprou e também pela quantidade de ações que possui.
Mercadorias (commodities) são produtos como cereais, metais e alimentos negociados em
uma bolsa de mercadorias ou no mercado à vista.
Dividendo (dividend) é a parcela do lucro da empresa que é distribuída aos acionistas, de
acordo com a quantidade de ações possuídas. Normalmente, é resultado dos lucros obtidos por
uma empresa.
Rentabilidade ou retorno (return) é a medida de ganho financeiro nominal sobre o total do
investimento, expressa em termos percentuais. Exemplo: uminvestimento inicial de R$ 90,00, que
hoje vale R$ 97,00, gerou um ganho financeiro nominal de R$ 7,00 e uma rentabilidade de 7%.
Risco (risky) é o grau de incerteza da rentabilidade de um investimento. Exemplo: afirmar
que um investimento é de alto risco significa que temos pouca chance de prever, com precisão, a
rentabilidade deste investimento. Em contrapartida, esseinvestimento oferece possibilidade de re-
torno superior a um investimento conservador. No jargão financeiro, a palavra “risco" está sempre
associada à probabilidade de ganhos ou perdas acima ou abaixo da média de mercado. O investidor
deve estar atento a essa diferença, porque na linguagem cotidiana a palavra “risco" muitas vezes é
1.1 Fundamentos do mercado financeiro 9
usada para indicar a possibilidade de perda (diminuição) oumanutenção do estado atual, excluindo
a possibilidade de ganho (retorno ou crescimento).
Obrigaçõesou títulos (bonds) é o reconhecimento formal, por escrito, de uma dívida, pelo
qual uma das partes promete pagar certa importância, em determinada data futura, e mais juros,
em datas pré-fixadas, até o vencimento.
Ativo financeiro (financial asset) é qualquer título representativo de partepatrimonial ou
dívida. Exemplos: títulos da dívida pública, contratos derivativos, ações, etc.
Derivativo (derivative) são ativos financeiros cujos valores e características de negociação es-
tão amarrados aos ativos que lhes servem de referência (chamados ativos-base). A palavra “deriva-
tivo” vem do fato que o preço do ativo é derivado de um outro ativo (ativo-base). Exemplo: opção
da Petrobrás, o preço desta opção é derivado do ativo-base “ação da Petrobrás".
Tendência(drift), que representamos pela letraµ, é a taxa de retorno esperada para um ativo
com relação a uma medida de probabilidade.
Volatilidade (volatility), que representamos pela letraσ, é um indicador que mede o risco de
um determinado investimento. Quanto maior a volatilidade,maior o risco para o investidor, com-
parativamente aos demais fundos do segmento em questão. O cálculo deste indicador considera
a dispersão para cima ou para baixo da rentabilidade diária em relação à média da rentabilidade
em determinado período (desvio padrão). Mede, também, o grau médio de variação das cotações
de um título ou fundo de investimento em um determinado período de tempo. Alta volatilidade
significa que o valor da cotação apresenta forte variação.
Venda a descoberto(short-selling) é uma modalidade de negociação em que um negociante
vende algum ativo ou derivativo financeiro que ele não possui, esperando que seu preço caia, para
então comprá-lo, fechando sua posição e auferindo os lucrosda transação. Exemplo: João percebe
que o preço das ações de uma empresaA está muito alto, em R$ 50,00, e que uma queda na cotação
é iminente. João não possui nenhum papel da empresaA. Ainda assim, ele resolve vender 1000
papéis. Sua conta na corretora de valores é creditada em 1000x R$ 50,00 = R$50.000,00. Dias
depois, a expectativa de João se concretiza e o preço realmente cai, chegando a R$ 40,00. João,
então, compra 1000 papéis. Sua conta é debitada em 1000 x R$ 40,00 = R$ 40.000,00. Com isto,
João auferiu um lucro de R$ 10.000,00.
10 Capítulo 1 — Preliminares
O risco óbvio de tal operação é que a expectativa não se cumprae o preço aumente ao invés de
cair. Se, em nosso exemplo, o preço deA alcançasse os R$ 60,00, João amargaria um prejuízo de
R$ 10.000,00.
Teoricamente, não há teto para o preço de um ativo ou derivativo. Um negociante poderia
amargar um prejuízo infinito em uma operação de venda a descoberto. O lucro, no entanto, é
limitado ao valor creditado no momento da venda, sendo que o negociante somente obterá esse
lucro quando o preço do ativo chegar a zero.
Arbitragem (arbitrage) é a compra de um valor mobiliário e a sua venda simultânea para a
obtenção de lucro sem risco ou a realização de lucro garantido sem incerteza, com uma ou mais
transações no mercado. Arbitragem é a obtenção de lucros comdiferenças de preço quando o
mesmo título, moeda ou mercadoria é negociado em dois ou maismercados. Exemplo: suponha
que dois bancosA eB estabeleçam a taxa de juros ao ano no valor de 8% e 10% respectivamente.
Um arbitrador dever tomar o máximo que puder de espréstimo dobancoA e depositar todo esse
valor no bancoB, uma vez que o ganho de 2% é certo.
Um mercado que é livre de arbitragem não possui oportunidades de lucros certos. Uma opor-
tunidade de arbitragem poderia ser uma estratégia de negociação autoconfiável que iniciasse com
zero e terminasse, numa data futura, com um valor positivo. Um mercado é dito livre de arbitragem
se não houver, de modo algum, tais oportunidades de arbitragem ([3], p. 197).
Custo de transação(transaction costs) são custos da compra e venda de um valor mobiliário,
que consistem principalmente na comissão de corretagem, margem do investidor ou de uma taxa
(como seria, por exemplo, a taxa cobrada por um banco ou por uma corretora para negociar títulos
do governo), mas também inclui tributos diretos, tais como acomissão da SEC nos EUA, bem
como quaisquer impostos de transferência pelo governo e outros impostos diretos.
Banco idealé o banco onde as taxas de juros de depósito e empréstimo são iguais e não há
taxas de serviço e de transação. As taxas de juros também independem do montante do principal.
Mercado perfeito é um mercado sem custos de transação e leilões; nele todos os acordos
são cumpridos; há possibilidade de comprar/vender qualquer montante de cada valor mobiliário;
as transações ocorrem continuamente e há a possibilidade davenda a descoberto ilimitada; há
ausência de impostos; a liquidação é instantânea, a transação ocorre à vista (sem parcelamento) e
1.2 Mercado de derivativos 11
existe um banco ideal constante. No caso das ações, não se considera o dividendo, e dos bonds, o
cupom.
Portfólio (portfolio) é um conjunto de títulos e valores mantido por umfundo mútuo ou por
um investidor. É uma carteira de títulos, isto é, um conjuntode títulos de rendas fixa e variável, de
propriedade de pessoas físicas ou jurídicas.
1.2 Mercado de derivativos
Os mercados de derivativos podem ser caracterizados como inovações financeiras, conforme
destaca A. B. C. Galvão [10], uma vez que surgiram como novos produtos para melhorar a repar-
tição do risco individual e a previsibilidade dos preços. Essas duas funções econômicas são impor-
tantes e o mercado as tem desempenhado nos últimos anos em decorrência da liquidez obtida.
A repartição do risco é viabilizada pelohedge, operação que possibilita a realização de se-
guro contra oscilações de preços. A segunda função corresponde à informação que esse mercado
fornece aos preços a termo dos ativos-base, ou seja, na previsão que esse mercado faz do mercado
à vista.
Assim, pode-se dizer que o mercado de derivativos existe para facilitar a transferência/distri-
buição do risco entre os agentes econômicos, ao mesmo tempo que, pelas expectativas criadas e
graças à lei da oferta e da procura, passa a influir diretamente na formação futura dos preços das
mercadorias e ativos financeiros negociados nestes mercados.
Os derivativos auxiliam na gestão do risco do instrumento a que se referem e estão ligados à
vida das empresas e bancos, tornando-se instrumentos indispensáveis na moderna gestão finan-
ceira.
J. C. Hull [17] define derivativos (também chamados decontingent claims) como produtos
financeiros que têm seu valor derivado de outro ativo, conhecido como ativo-base. Existem três
grupos de derivativos: contrato futuro e a termo, opção eswap.
1. Contrato a termo (forward contract) é um acordo que estabelece que um ativo será com-
prado e vendido em uma data futura estabelecida por um preço fixado no presente.
12 Capítulo 1 — Preliminares
2. Contrato Futuro (future contract) é semelhante ao contrato a termo com exceção que con-
tratos futuros são transacionados em bolsas e sujeitos à reavaliação diária do preço de referência.
3. Opção (option) são contratos que concedem o direito (não a obrigação) de comprar ou
vender determinado ativo em uma data futura especificada, concedido mediante pagamento de
uma quantia acordada entre as partes. Se o direito não for exercido depois do período especificado,
a opção termina pelo vencimento e o comprador da opção perde aquantia paga para obtenção da
opção.
4. Swap é o jargão utilizado no mercado financeiro para um contrato detroca, seja ele de
moedas,commoditiesou ativos financeiros. Exemplo: se obtivermos um ativo que rende uma taxa
pré-fixada, por meio de um contrato deswap, poderemos trocá-lo por um ativo que renda variação
cambial mais um coupom.
Na próxima seção, vamos nos concentrar em Opções, que é nossoobjeto de estudo.
1.3 Opções
Vimos que um contrato de opção concede o direito (não a obrigação) de comprar ou vender de-
terminado ativo em uma data futura especificada, concedido mediante pagamento de uma quantia
acordada entre as partes. A data na qual o contrato da opção expira é chamada dedata de exercí-
cio ou dematuridade (exercise date or maturity) e o preço estabelecido nesta data é chamado de
preço de exercício da opção(strike price).
Existem diferentes tipos de opções, como a opção americana ea européia. Aopção americana
é uma opção que pode ser exercida em qualquer momento até a data final de exercício. Já aopção
européiaé uma opção que pode ser exercida só na maturidade.
Vamos nos concentrar em opções européias, que é o objetivo dotrabalho.
Existem dois tipos básicos de opções:opção de compraeopção de venda.
Opção de Compra(call option) é a opção que assegura a seu titular o direito, mas não obri-
gação, de comprar um ativo em uma data futura (geralmente 3, 6ou 9 meses), por um preço esta-
belecido. Por esse direito o adquirinte da opção de compra paga ao vendedor da opção, chamado
1.3 Opções 13
lançador, uma comissão denominadaprêmio (premium), que será perdida se o comprador não
exercer a opção até a data concordada. Portanto, o adquirente de uma opção de compra especula,
esperando que o preço das ações-objeto suba dentro do período especificado.
Consideremos o seguinte exemplo apresentado por J. C. Hull em [17]: suponhamos que um
negociante queira comprar um contrato de opção de compra européia de 100 ações da IBM, cujo
preço de exercício é de$ 100 por ação e a data de maturidade é em dois meses. Suponhamosque o
preço ação seja de$5, isto é, o comprador precisa pagar um prêmio de$5 por ação. Suponhamos
ainda que o preço corrente da ação (stock price) seja de$98. Como a opção é européia, o com-
prador poderá exercer a opção somente na data de maturidade.Se na data de maturidade o preço
da ação for menor que$100, claramente o comprador não exercerá a opção, pois não hárazão
em comprar uma ação por$100, sendo que o valor de mercado é menor. Nestas circunstâncias,
o comprador perde todo o investimento inicial de$500. Por outro lado, se na data de maturidade
o preço da ação for maior que$100, o comprador exercerá a opção. Suponhamos, por exemplo,
que o preço da ação seja de$115 na maturidade. Exercendo a opção, o comprador irá comprar
100 ações por$100 cada. Se a ação for vendida imediatamente, o comprador terá um ganho de
$15 por ação, ou seja,$ 1.500,00 (ignorando custos de transações). Quando o custo inicial da
ação é levado em conta, o lucro líquido para o comprador é de$10 por ação, ou seja,$1.000,00.
Consideremos, agora, a situação em que o preço da ação seja de$103 na maturidade. O comprador
também exercerá a opção, mesmo levando em conta que ele irá perder$200. Pois antes peder$200
do que$500 se a opção não for exercida.
O oposto da opção de compra é aOpção de Venda(putt option), que assegura ao comprador o
direito de vender um ativo por um preço estabelecido até a data de vencimento. Os adquirentes de
opções de venda apostam na queda do preço da ação-objeto. Exemplo (Hull [17]): consideremos
um negociante que queira comprar um contrato de opção de venda européia em 100 ações da
Exxon cujo preço de exercício é$70, isto é, ele compra o direito de vender 100 ações da Exxon
por$70 cada. Suponhamos que o preço corrente da ação seja de$66, a data de maturidade seja em
três meses e o preço da opção seja de$7 ($7 por ação). Como a opção é européia, o comprador
poderá exercer a opção somente na data de maturidade. Se na data de maturidade o preço da ação
for menor que$70, o comprador exercerá a opção. Suponhamos, por exemplo, que o preço da ação
seja de$50 na maturidade. Exercendo a opção, o comprador irá comprar100 ações por$50 cada
14 Capítulo 1 — Preliminares
e, sob os termos da opção de venda, venderá as mesmas ações por$70, realizando um ganho$20
por ação, ou seja,$ 2.000,00 (ignorando custos de transações). Quando o custo inicial da ação é
levado em conta, o lucro líquido para o comprador é de$13 por ação, ou seja,$1.300,00. Caso o
preço da ação seja maior que$70 na maturidade, o comprador não exercerá a opção, pois a opção
não terá valor e o comprador perderá$7 por ação, ou seja$700.
1.3.1 O problema para apreçamento de uma opção de compra Eu-
ropéia
Suponhamos que uma companhia tenha, habitualmente, que negociar em um ativo de risco
intríseco, como o petróleo. A companhia pode, por exemplo, saber que em três meses serão
necessários milhares de barris de petróleo bruto. O preço dopetróleo pode flutuar desordenada-
mente. Mas, comprando opções de compra européia, com preço de exercícioK, a companhia
sabe a quantia máxima de dinheiro que irá precisar em três meses para comprar milhares de barris.
Podemos pensar na opção como um seguro contra o aumento no preço do petróleo. SejaT a dada
de maturidade. O problema de apreçamento, agora, é determinar, paraT e K dados, quanto a
companhia desejaria pagar pelo seguro.
Para este exemplo, existe uma complicação extra, pois custadinheiro armazenar petróleo. Para
simplificar nossa tarefa, vamos primeiramente precificar derivativos baseados nos ativos que po-
dem ser mantidos sem custos adicionais: tipicamente ações da companhia. Igualmente, podemos
supor que não exista benefício adicional para manter as ações, isto é, nenhum dividendo é pago.
Suponhamos, então, que a companhia entra em um contrato que dê a ela o direito, mas não a
obrigação, de comprar uma unidade do estoque por um preçoK em três meses de duração. Quanto
a companhia deveria pagar pelo contrato?
Primeiramente, precisamos saber o valor do contrato na datade maturidade. No momentoT
quando a opção expira (digamos em três meses), denotemos porST o preço da ação subjacente na
maturidade.
1.4 O Modelo de Black-Scholes 15
SeST > K, então a opção será exercida. A opção é, então, dita estardentro do preço (in
the money): uma opção que valeST pode ser comprada por apenasK. O valor da opção para a
companhia é, então,(ST −K).
Se, por outro lado,ST < K, então será mais barato comprar ações no mercado aberto e assim
a opção não será exercida. A opção vale menos e ela é dita estarfora do preço (out of money).
SeST = K, a opção é dita estarno preço(at the money).
O valor de uma opção de compra européia, no momento da expiração (payoff), é dado por
(ST −K)+ := max(ST −K), 0.
Na próxima seção, vamos estabelecer o preço adequado para umcontrato de opção de compraeuropéia, isto é, o preço justo do prêmio (premium), utilizando o modelo de F. Black e M. Scholes.
1.4 O Modelo de Black-Scholes
O modelo matemático desenvolvido por Fischer Black e Myron Scholes no início dos anos 70
foi responsável pelo grande avanço na teoria moderna de precificação de derivativos financeiros.
A facilidade de implementação do modelo aliada aos poderosos resultados, tanto na determinação
de preços de opções quanto de seus parâmetros dehedge, fizeram do modelo de Black-Scholes
um dos mais bem sucedidos da Teoria de Finanças. Além disso, omodelo possibilitou que as
instituições financeiras usassem o mercado de opções com muito mais freqüência e segurança, o
que acabou sendo determinante no sucesso e crescimento que este mercado experimentou desde
então.
Antes de apresentarmos o modelo de Black-Scholes, precisamos introduzir alguns conceitos
da teoria de probablidades.
1.4.1 Conceitos da Teoria de Probabilidades
Definição 1.1.Umamedida de probabilidade, ou simplesmente umaprobabilidadeP, é uma função
real de conjuntos, definida em umaσ-álgebraF de subconjuntos de um conjunto não-vazioΩ, que
satisfaz:
16 Capítulo 1 — Preliminares
a) P(A) ≥ 0, para todoA ∈ F (positividade;)
b) P(Ω) = 1 (normalidade);
c) P
(
+∞⋃
n=1
An
)
=+∞∑
n=1
P(An), seAn ∈ F , n = 1, 2, ... e An ∩ Am = ∅ para n 6= m (σ-
aditividade).
As condições a), b) e c) acima são conhecidas como axiomas de Kolmogorov.
Definição 1.2.Um espaço de probabilidadeé uma tripla ordenada(Ω, F , P) onde:
a) Ω é um conjunto arbitrário não-vazio;
b) F é umaσ-álgebra de subconjuntos deΩ;
c) P é uma medida de probabilidade.
Na linguagem probabilística, os pontosω ∈ Ω representam os resultados possíveis de um
experimento aleatório, os subconjuntosA ∈ F são chamados deeventose a probabilidadeP é
uma aplicação que atribui graus de incerteza aos eventos deF .
O conceito de independência, a ser definido a seguir, particulariza a teoria de probabilidade
como um ramo distinto na teoria geral de medida.
Definição 1.3.Seja(Ω, F , P) um espaço de probabilidade. Diremos que os eventosA eB emFsãoindependentesse:
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Uma classe de eventosε ⊂ F será chamadauma classe de eventos independentesse, para toda
coleção finita de eventosA1, A2, ..., An emε, tivermos
P
(
n⋂
k=1
Ak
)
=
n∏
k=1
P(Ak).
Definição 1.4.Seελ ⊂ F for uma classe de eventos, comλ pertencente a um conjunto de índices
Λ, diremos queελ : λ ∈ Λ é umafamília de classes independentesse, para cada seleção de
Aλ ∈ ελ, a classeAλ : λ ∈ Λ contiver somente eventos independentes.
1.4 O Modelo de Black-Scholes 17
No que segue, consideraremos(Ω, F , P) um espaço de probabilidade e(Ω′
, F ′
) um espaço
mensurável.
Definição 1.5.Uma aplicaçãoX : Ω → Ω′
éF −F ′
mensurável, se
X−1(B) = ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B ∈ F para todo B ∈ F ′
.
Definição 1.6.Uma aplicaçãoX : Ω → Ω′
que éF − F ′
mensurável é chamada umelemento
aleatóriocom valores emΩ′
(notação:X : (Ω, F) → (Ω′
, F ′
)). QuandoΩ′
= R(Rn) eF ′
=
B(R)(B(Rn)), o elemento aleatórioX é chamadovariável aleatória (vetor aleatório).
Definição 1.7.SejaX uma variável aleatória contínua. Afunção de densidade de probabilidade
deX é uma funçãofX(x) que satisfaz as seguintes propriedades:
1. fX(x) ≥ 0, para todox ∈ R;
2.∫ +∞
−∞fX(x)dx = 1;
3. Para quaisquera, b ∈ R, a < b, temosP(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a
fX(x)dx.
A função distribuição de probabilidadedeX é definida por
FX(x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞fX(y)dy,
para todox ∈ R. Definimos amédiaou ovalor esperadodeX por
E(X) =
∫ +∞
−∞xfX(x)dx,
e avariânciadeX por var(X) = E(X2) − [E(X)]2.
Vamos definir, agora, um tipo especial de distribuição: a distribuição normal.
Definição 1.8.Uma variável aleatória contínuaX é dita terdistribuição normal, com parâmetros
µ eσ2, se sua função densidade de probabilidade for dada por
fX(x) =1
2πσ2exp
(
−(x− µ)2
2σ2
)
,
para todox ∈ R. O valor esperado deX é dado porE(X) = µ e a variânciavar(X) = σ2.
Neste caso, escrevemosX ∼ N(µ, σ2).
18 Capítulo 1 — Preliminares
Na próxima definição, estabeleceremos o conceito de processo estocástico.
Definição 1.9.Um processo estocásticoé uma estrutura constituida de um espaço de probabilidade
(Ω, F , P), um conjunto não-vazioT e uma aplicaçãoX : T × Ω → R tais que, para cadat ∈ T,
a funçãoX(t, ·) : Ω → R é uma variável aleatória. Em outras palavras, um processo estocástico é
uma coleção de variáveis aleatórias definidas num espaço de probabilidade(Ω, F , P), indexadas
por um conjuntoT.
Para cadat ∈ T,Xt ouX(t) denotará a variável aleatóriaX(t, ·), isto é,X(t, ·) = X(t) = Xt.
A coleção de variáveis aleatóriasX(t) : t ∈ T também será denotada porX. T será chamado
espaço de índices ou parâmetros. Para cadaω ∈ Ω, a funçãoX(·, ω) : T → R será chamada
trajetória, ou realização, ou função amostralcorrespondente aω.
1.4.2 O processo de Wiener ou movimento browniano
Em 1828, o botânico Robert Brown observou um movimento irregular de poléns na água. Hoje,
este movimento é chamado de movimento browniano ou processode Wiener. No início do século
20, aplicações importantes do movimento browniano foram descobertas. A primeira deu-se na
teoria de preços de ações flutuantes por L. Bachelier (1900) [1]. A segunda deu-se na investigação
de propriedades da densidade de partículas em certa posiçãoe tempo por A. Einstein [8]. Detalhes
sobre a teoria de movimento browniano pode ser encontrado em[3], [9], [19] e [21].
A definição formal do movimento browniano é apresentada a seguir.
Definição 1.10.Um movimento brownianoou umprocesso de Wiener, é um processo estocástico
a valores reaisWtt∈T, T = [0, +∞[ ou T = [0, T ] (T ∈ R+), definido em um espaço de
probabilidade(Ω, F , P), satisfazendo as seguintes condições:
1. P(W0 = 0) = 1 eWt é contínua para todot ∈ T;
2. para cadan ≥ 1 e qualquer tempo0 ≤ t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tn, as variáveis aleatóriasWt0 ,
Wt1 −Wt0 , ...,Wtn −Wtn−1 são independentes;
1.4 O Modelo de Black-Scholes 19
3. para0 ≤ s < t o incrementoWt−Ws tem distribuição normal (gaussiana) com média zero
e variânciaσ2(t− s), isto é,
P(Wt −Ws ∈ A) =
∫
A
1√
2πσ2(t− s)exp
(
− x2
2σ2(t− s)
)
dx,
ondeA ∈ Ω.
O parâmetroσ2 na definição acima é conhecido como variância. Um processo com σ2 =
1 é chamado movimento browniano canônico. A existência do movimento browniano pode ser
demonstrada por vários argumentos. Veja, por exemplo, [19].
Definição 1.11.Um processoWtt∈T, T = [0, +∞[ ou T = [0, T ] (T ∈ R+), a valores reais
positivo é ummovimento browniano geométrico, seln(Wt)t∈T for um movimento browniano.
1.4.3 O Lema de Itô
O preço de uma ação é uma função que depende do preço da ação subjacente e do tempo.
Em geral, dizemos que a função preço de qualquer derivativo éuma função que depende do
preço do derivativo adjacente e do tempo. Um resultado importante nesta área foi descoberto pelo
matemático K. Itô, em 1951, conhecido como o Lema de Itô. Antes de enunciar este resultado,
vamos definir oprocesso de Itô.
Definição 1.12.Sejama e b funções que dependem das variáveisx e t, isto é,a = a(x, t) e
b = b(x, t). Umprocesso de Itôé representado por
dx = a(x, t)dt+ b(x, t)dz
onde
a) a(x, t) é odrift ou tendência instantânea do processo de Itô;
b) b2(x, t) é a taxa de variância instantânea do processo;
c) dz é o incremento de Wiener, isto é,dz = ǫ√dt ondeǫ é uma variável aleatória que obedece
uma distribuição normalN(0, 1).
20 Capítulo 1 — Preliminares
O processo de Itô apresenta as seguintes propriedades estatísticas:
• E(dx) = a(x, t)dt;
• var(dx) = b2(x, t)dt.
Lema 1.13(Lema de Itô). Suponhamos que a variávelx siga um processo de Itô,
dx = a(x, t)dt+ b(x, t)dz. (1.1)
Sejaf uma função que depende do processox e do tempo, isto é,f = f(x, t). Assumamos que
f é uma função de classeC2(R × R+). Entãof segue um processo de Itô que satisfaz a seguinte
equação estocástica
df =
(
∂f
∂xa +
∂f
∂t+
1
2
∂2f
∂x2b2)
dt+∂f
∂xbdz,
ondedz é o mesmo processo de Wiener da equação(1.1).
Na hipótese do Lema de Itô, a taxa dedrift e a taxa de variância do processof são dadas por∂f
∂xa+
∂f
∂t+
1
2
∂2f
∂x2b2 e
(
∂f
∂x
)2
b2 respectivamente.
1.4.4 Hipóteses do modelo de Black-Scholes
Para obtenção do modelo, Fischer Black e Myron Scholes admitiram as seguintes hipóteses:
1. o preço da ação,S, segue um processo estocástico em tempo contínuo,
dS = µSdt+ σSdz,
ondez é um movimento browniano e odrift µ e a volatilidadeσ são constantes. (S é um movi-
mento browniano geométrico);
2. a taxa de juros de curto prazo livre de riscosr é conhecida e constante no tempo;
3. a ação não paga dividendos;
4. o mercado é perfeito;
5. é possível vender a ação a descoberto (short-selling);
6. não existem oportunidades de arbitragem sem risco.
1.4 O Modelo de Black-Scholes 21
1.4.5 Obtenção da equação diferencial de Black-Scholes
Sejaf = f(S, t) uma função que designa o preço de uma opção de compra européiano
tempot para um certo valor de um ativo adjacenteS. A fim de obtermos um modelo ausente de
arbitragem, uma construção para a equação de Black-Scholesé feita a partir da construção de uma
carteira (portfólio) contendo uma opção e uma certa quantidade∂f
∂Sde ações:
−1 : opção
+∂f
∂S: ações.
Então o valor do portfólio é dado por
∏
:= −f +∂f
∂SS. (1.2)
A variação do valor do portfólio entre os instantest e t+ dt é dada por:
∆∏
= −∆f +∂f
∂S∆S. (1.3)
ComoS satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica
dS = µSdt+ σSdz, (1.4)
pelo Lema de Itô, Lema 1.13, temos
df =
(
∂f
∂SµS +
∂f
∂t+
1
2
∂2f
∂S2σ2S2
)
dt+∂f
∂SσSdz. (1.5)
As versões discretas das equações(1.4) e (1.5) são
∆S = µS∆t+ σS∆z (1.6)
e
∆f =
(
∂f
∂SµS +
∂f
∂t+
1
2
∂2f
∂S2σ2S2
)
∆t+∂f
∂SσS∆z. (1.7)
Substituindo as equações(1.6) e (1.7) na equação(1.3), obtemos
∆∏
= −(
∂f
∂SµS +
∂f
∂t+
1
2
∂2f
∂S2σ2S2
)
∆t− ∂f
∂SσS∆z +
∂f
∂S[µS∆t+ σS∆z],
22 Capítulo 1 — Preliminares
ou seja,
∆∏
= −(
∂f
∂t+
1
2
∂2f
∂S2σ2S2
)
∆t. (1.8)
Como a equação(1.8) não contém o termo∆z, o portfólio é sem risco durante o intervalo de
tempo∆t. Assim a carteira é isenta de risco nas condições do modelo. Então, pelo princípio da
não-arbitragem, o valor da variação do portfolio deve ser, instantaneamente, o mesmo valor do
portfólio multiplicado pela taxa de juros livre de riscor, isto é,
∆∏
= r∏
∆t.
Substituindo(1.2) e (1.8) na última equação, obtemos
−(
∂f
∂t+
1
2
∂2f
∂S2σ2S2
)
∆t = r
(
−f +∂f
∂SS
)
∆t,
resultando em∂f
∂t+ rS
∂f
∂S+
1
2
∂2f
∂S2σ2S2 = rf. (1.9)
A equação(1.9) é a equação diferencial parcial de Black-Scholes. Ela possui várias soluçõesdependendo do tipo de derivativo que pode ser definido, comS como a variável subjacente. O
derivativo particular que é obtido quando a equação é resolvida depende das condições de fronteiras
que são usadas. No caso da opção de compra européia, como vimos na subseção 1.3.1, a condição
de contorno é
f(ST , T ) = maxST −K, 0,
ondeT é a maturidade,K é o preço de exercício da opção (strike price) eST é o preço da ação
subjacente na maturidade. No caso de opção de venda européia, temos
f(ST , T ) = maxK − ST , 0.
Além dessas condições, quandoS = 0, o valor do contrato se tornaf(0, t) = 0 para todot ∈ ]0, T [
e limS→+∞
f(S, t)
S= 1, t ∈ ]0, T [.
Podemos observar na equação de Black-Scholes, que o valor esperado do preço da ação não é
apresentado explicitamente. O argumento econômico para esse fato é que, em virtude de existir
umhedgeperfeito para a opção, realizado sobre determinada quantidade de ações, nenhum prêmio
por risco deve ser concedido ao investidor, mas somente o retorno de um ativo livre de risco.
1.4 O Modelo de Black-Scholes 23
Um ponto que devemos enfatizar sobre o portfólio utilizado na derivação da equação(1.9)
é que ele não é permanentemente sem risco. Ele é sem risco somente para um período de tempo
suficientemente pequeno. ComoS et variam,∂f
∂Stambém varia. Para manter o portfólio sem risco,
é necessário variar frequentemente as proporções relativas do derivativo e da ação no portfólio.
1.4.6 A fórmula do preço de uma opção de compra européia
Podemos, agora, determinar o valor de uma opção de compra européia via equação diferencial
de Black-Scholes. Suponhamos que uma ação esteja sendo comercializada por um preçoS. Seja
K o preço de exercício da ação, isto é, o direito de comprar a ação pelo preçoK na data de
maturidadeT . Sejamr a taxa de juros livre de risco eσ a volatilidade, ambas constantes. Vamos
estabelecer o preço da opção no instantet, onde0 ≤ t ≤ T .
Para resolvermos o problema
∂f(S, t)
∂t+ rS
∂f(S, t)
∂S+
1
2
∂2f(S, t)
∂S2σ2S2 − rf(S, t) = 0, t ∈ ]0, T [, S ∈ ]0, +∞[,
f(ST , T ) = maxST −K, 0,f(0, t) = 0, t ∈ ]0, T [,
limS→+∞
f(S, t)
S= 1, t ∈ ]0, T [,
vamos transformar a equação de Black-Scholes em uma equaçãode difusão de calor, que pode ser
resolvida utilizando métodos usuais. Para isso, façamos a seguinte mudança de variável
x = ln
(
S
K
)
e
τ =1
2σ2(T − t)
e escrevamos
f(S, t) = f
(
Kex, T − 2τ
σ2
)
:= Kυ(x, τ). (1.10)
Comot ∈ ]0, T [ eS ∈ ]0, +∞[, entãoτ ∈]
0,1
2σ2T
[
ex ∈ ]−∞, +∞[. Daí, substituindo(1.10)
na equação de Black-Scholes, obtemos
∂υ(x, τ)
∂τ− ∂2υ(x, τ)
∂x2+
(
1 − 2r
σ2
)
∂υ(x, τ)
∂x+
2r
σ2υ(x, τ) = 0. (1.11)
24 Capítulo 1 — Preliminares
DefinindoA1 =2r
σ2, temos
∂υ(x, τ)
∂τ− ∂2υ(x, τ)
∂x2+ (1 − A1)
∂υ(x, τ)
∂x+ A1υ(x, τ) = 0,
isto é,∂υ(x, τ)
∂τ=∂2υ(x, τ)
∂x2+ (A1 − 1)
∂υ(x, τ)
∂x− A1υ(x, τ).
Agora, consideremos a seguinte mudança
υ(x, τ) = eαx+βτu(x, τ),
ondeα = −1
2(A1 − 1) eβ = −1
4(A1 + 1)2. Então, obtemos a equação de difusão
∂u(x, τ)
∂τ=∂2u(x, τ)
∂x2,
cujas condições de fronteiras são:
• u(x, 0) = maxe 12(A1+1)x − e
12(A1−1)x, 0;
• limx→−∞
exp
(
−1
2(A1 − 1)x− 1
4(A1 + 1)2τ
)
u(x, τ) = 0;
• limx→+∞
u(x, τ)
exp
(
1
2(A1 + 1)x+
1
4(A1 + 1)2τ
) = 1.
Note que, em particular, a segunda condição acima implica que limx→−∞
u(x, τ) = 0.
Note, também, que
u(x, 0) = u0(x) =
e12(A1+1)x − e
12(A1−1)x, se x ≥ 0,
0, se x < 0.
Sabe-se que a solução da equação de difusão é dada por
u(x, τ) =1
2√πτ
∫ +∞
−∞u0(s) exp
(
−(s− x)2
4τ
)
ds,
que pode ser reescrita como
u(x, τ) =1√2π
∫ +∞
−∞u0(x+ y
√2τ ) exp
(
−y2
2
)
dy, (1.12)
1.4 O Modelo de Black-Scholes 25
onde
u0(x+ y√
2τ) =
e12(A1+1)(x+y
√2τ ) − e
12(A1−1)(x+y
√2τ ), se y ≥ − x√
2τ,
0, se y < − x√2τ.
Substituindo esta expressão em(1.12), obtemos
u(x, τ) = I1(x, τ) − I2(x, τ),
onde
I1(x, τ) =1√2π
∫ +∞
−x/√
2τ
e12(A1+1)(x+y
√2τ)e−
y2
2 dy
e
I2(x, τ) =1√2π
∫ +∞
−x/√
2τ
e12(A1−1)(x+y
√2τ)e−
y2
2 dy.
Analisando estas expressões separadamente, obtemos
I1(x, τ) = e12(A1+1)x+ 1
4(A1+1)2τN(q1)
e
I2(x, τ) = e12(A1−1)x+ 1
4(A1−1)2τN(q2),
ondeN é a função gaussiana dada por
N(y) =1√2π
∫ y
−∞e−
12q2dq
e
q1 =x√2τ
+1
2(A1 + 1)
√2τ ,
q2 =x√2τ
+1
2(A1 − 1)
√2τ .
Lembrando que
u(x, τ) = e−12(A1−1)x− 1
4(A1+1)2τu(x, τ),
x = ln
(
S
K
)
,
τ =1
2σ2(T − t),
A1 =2r
σ2
26 Capítulo 1 — Preliminares
e
f(S, t) = Kυ(x, τ),
obtemos
f(S, t) = SN(q1) −Ke−r(T−t)N(q2),
com
N(y) =1√2π
∫ y
−∞e−
12q2dq,
q1 =
ln
(
S
K
)
+
(
r +1
2σ2
)
(T − t)
σ√T − t
e
q1 =
ln
(
S
K
)
+
(
r − 1
2σ2
)
(T − t)
σ√T − t
.
Assim, acabamos de provar o resultado seguinte.
Teorema 1.14.O valor de uma opção de compra européiaf(S, t), modelada pela equação de
Black-Scholes
∂f(S, t)
∂t+ rS
∂f(S, t)
∂S+
1
2
∂2f(S, t)
∂S2σ2S2 − rf(S, t) = 0,
com
condição final: f(ST , T ) = maxST −K, 0,
condição de fronteira: f(0, t) = 0
condição assintótica: f(S, t) ∼ S, quando S → +∞,
é dada por
f(S, t) = SN(q1) −Ke−r(T−t)N(q2),
onde
N(y) =1√2π
∫ y
−∞e−
12q2dq,
q1 =
ln
(
S
K
)
+
(
r +1
2σ2
)
(T − t)
σ√T − t
e
q1 =
ln
(
S
K
)
+
(
r − 1
2σ2
)
(T − t)
σ√T − t
.
CAPÍTULO
2
Integração em Espaços de Funções
2.1 Introdução
A integral de Riemann generalizada é uma adaptação da integração de Riemann usual. A idéia
da integral de Riemann generalizada é apresentada como segue. Temos algum domínio que é
particionado por meio de uma coleção finita de conjuntos disjuntos,I, os quais podemos pensar
como “intervalos”, onde|I| denota a medida de um intervaloI. “Encolhendo” as partições,
podemos estimar a integral de Riemann de uma funçãof(x), comx pertencente a um domínio,
formando as somas de Riemann∑
f(x)|I|, com a soma sobre os intervalosI da partição.
Na integração de Riemann usual, em qualquer parcelaf(x)|I| da soma de Riemann, a única
restrição na escolha do cálculo def no pontox é quex deve pertencer ao intervaloI correspon-
dente na partição. A adaptação na integral de Riemann generalizada é fazer uma seleção de cada
intervaloI na partição depender da escolha de cada pontox em∑
f(x)|I|. Que diferença isso
faz? Isso significa que podemos formar as somas de Riemann de uma maneira que ela seja sen-
27
28 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
sível ao comportamento local do integrando. Por exemplo, sef for uma função que oscila em uma
vizinhança particular, assumindo muitos valores suficientemente grandes, positivos e negativos,
nesta vizinhança, então podemos forçar os termos locais da soma de Riemann a corresponderem
ao comportamento local def . Assim, neste cenário ondef tem um valor positivo em um pontox
e um valor negativo em um ponto próximox′, os intervalos da partiçãoI, I ′ podem ser escolhidos
de tal forma que a soma de Riemann. . .+ f(x)|I|+ f(x′)|I ′|+ . . . “capte” a variação def . Com
isto, produzimos, na soma de Riemann, um efeito de cancelamento na vizinhança dex ex′. Desta
maneira, podemos definir uma integral def , que será igual a integral de Lebesgue def , sempre
que esta última existir. Denominamos esta integral de integral de Riemann generalizada, também
conhecida como integral de Henstock ou integral de Henstock-Kurzweil.
Agora, vamos considerar algumas alterações na integral usual de Henstock. Ao invés de usar-
mos a medida de Lebesgue do intervaloI, |I|, podemos utilizar uma função de intervalos cilíndri-
cosµ(I) e a definição resultante da integral∫
f(x)µ(I) por somas de Riemann continuará válida.
Em um caso mais geral, ao invés de integrarmos o produtof(x)µ(I), podemos integrar funções
h(x, I), tomando somas de Riemann∑
h(x, I), ondex depende da partiçãoI do domínio de
integração.
A discussão feita acima pode ser lida de uma maneira a assumiro domínio de integração
como um intervalo limitado[a, b] tal que cada intervalo particionadoI seja um intervalo real li-
mitado. Entretanto, os argumentos feitos na discussão acima, continuam válidos em um domínio
de integração mais geral, como o espaço multi-dimensionalRn, no qual alguns dos intervalos
particionados não são limitados ou compactos.
O problema que estudamos neste trabalho requer que consideremos uma função do desloca-
mento,xt, no tempot em algum intervalo]τ ′, τ [ e, também, que consideremos a possibilidade de
que, em tempos arbitráriosτ ′ < t1 < · · · < tn−1 < τ , o deslocamentoxtj satisfazuj ≤ xtj ≤ vj ,
para1 ≤ j ≤ n− 1; ouxj ∈ Ij (fecho deIj), onde escrevemosIj = [uj, vj[ exj = xtj , para cada
j = 1, ..., n− 1.
Escrevendo
x = (xt)t∈]τ ′,τ [ e I = x : xj ∈ Ij, 1 ≤ j ≤ n− 1
vamos considerar somas de Riemann como∑
f(x)µ(I). A integral correspondente será denotada
2.2 A integral de Henstock em espaços de funções 29
por∫
f(x)µ(I). O domínio de integração é o conjuntox, onde cadax é uma aplicação da
forma
x : ]τ ′, τ [ 7→ R tal que xt = x(t) ∈ R, para τ ′ < t < τ.
Denotamos este domínio porR]τ ′,τ [, o qual pode ser visto como o produto cartesiano deR por ele
mesmo uma quantidade não-enumerável de vezes. Os intervalos particionadosI são subconjuntos
cilíndricos deR]τ ′,τ [, ou seja, retângulos emR]τ ′,τ [.
A idéia da integração de Riemann generalizada em espaços de dimensão finita esboçada acima
pode ser adaptada para o caso de dimensão infinita. Isto será explicado em detalhes na seção
seguinte.
2.2 A integral de Henstock em espaços de funções
SejaI um intervalo real de uma das seguintes formas:
] −∞, v[, [u, v[ ou [u, +∞[. (2.1)
Uma partição deR é uma coleção finita de intervalos disjuntosI cuja união éR. Diremos que o
intervaloI éassociadoax, se tivermos
x = −∞, x = u ou v, ou x = +∞,
respectivamente.
DenotemosR como sendo a união do domínio de integraçãoR com o conjunto dos pontos
associadosx do intervalo realI, isto é,R = R ∪ −∞, +∞.
Na integração de Riemann generalizada, a convenção é que o domínio de integração seja o
espaço que é particionado por intervalos. Um pontox não é sempre um elemento do intervaloI
ao qual ele é associado. Assim o conjunto dos pontos associadosx podem constituir um conjunto
que difere do domínio de integração. Em nosso caso, o domíniode integração éR e o conjunto de
pontos associados éR.
30 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
Definição 2.1.Sejaδ : R → R∗+ uma função positiva definida parax ∈ R. SeI for associado a
x, diremos que o par(x, I) é δ-fino, se
v < − 1
δ(x), v − u < δ(x), ou u >
1
δ(x), (2.2)
respectivamente. Chamamosδ defunção calibre.
Nesta versão de integral, os pontos associadosx de um intervaloI são um de seus próprios
vértices. Em outra versão (veja [16]), os pontos associadossão escolhidos na união dos intervalos
I com seus vértices, isto é, no fecho dosI na topologia dos intervalos abertos. Estas duas versões
são equivalentes sempre que o “integrador” (medida ou função de intervalos) for finitamente
aditivo, pois sex for um ponto interior do intervalo[u, v[, entãof(x)m([u, v[) = f(x)m([u, x[)+
f(x)m([x, v[). Veja [16].
Em outra versão (veja [12]), uma definição equivalente à integral de Lebesgue é construída,
se os intervalos associados a um pontox forem os intervalosI que satisfazem a condiçãoI ⊆]x − δ(x), x + δ(x)[. Neste caso, os pontos associados a um intervalo podem estarfora do fecho
de I na topologia dos intervalos abertos. Em qualquer caso, porém, o domínio de integração é o
espaço que é particionado por intervalos.
SeN = t1, ..., tn for um conjunto finito, comRtj = R e Rtj = R, denotaremosx =
(x(t1), ..., x(tn)) como sendo qualquer elemento do espaço
∏
Rtj : tj ∈ N = RN.
Denotemosx(tj) porxj , 1 ≤ j ≤ n. Para cadatj ∈ N , sejaIj = I(tj) um intervalo da forma
(2.1). EntãoI = I1 × ... × In é um intervalo do espaço∏Rtj : tj ∈ N = RN . Um par(x, I)
é dito serassociadoemRN , se cada par(xj , Ij) for associado emR, 1 ≤ j ≤ n, isto é, sex for
o vértice deI emRN
. Dada uma funçãoδ : RN → R+, um par associado(x, I) do domínioRN
é δ-fino, se cada par(xj , Ij) satisfizer uma das condições dadas em (2.2), dependendo do tipo de
intervaloIj (veja (2.1)). Uma coleção finitaE = (xj , Ij) de pares associados(xj , Ij), onde
cada par(xj , Ij) é associado emRN , é umadivisão de RN , se os intervalosIj forem disjuntos
com uniãoRN . Então a divisão seráδ-fina, se cada par(xj , Ij), 1 ≤ j ≤ n, for δ-fino. Uma prova
da existência de uma divisãoδ-fina para uma função calibreδ dada pode ser encontrada em [16],
Teorema 4.1.
2.2 A integral de Henstock em espaços de funções 31
SejaB um conjunto infinito e sejaF(B) a família dos subconjuntos finitos deB. No que
segue, consideraremos o espaço produto∏
t∈B Rt, comRt = R para cadat ∈ B, isto é, o conjunto
de todas as funções definidas emB a valores emR. Preferimos usar, para este produto, a notação
RB que é usual na teoria de processos estocásticos.
Denotemos porx = xB um elemento do espaçoRB
. Sendo
N = NB = t1, ..., tn ∈ F(B),
sejax(N) = x(NB) um ponto(x1, ..., xn) = (x(t1), ..., x(tn)) deRN
. Consideremos a projeção
PN : RB → RN , PN(x) = (x(t1), ..., x(tn)),
e, similarmente, a projeçãoPN : RB → R
N. Então, para cada intervaloI1 × ... × In de RN ,
existem intervalos cilíndricos correspondentesI[N ] := P−1N (I1 × ... × In), os quais formam um
subconjunto deRB. É conveniente denotarmosI1 × ... × In por I(t1) × ... × I(tn) ou I(N) de
forma queI[N ] = I(N) × RB\N . Similarmente, escrevemos
PN(xB) = x(N) ∈ RN, para x = xB ∈ R
B.
Dadosx ∈ RB
eI[N ] ⊂ RB, dizemos que(x, I[N ]) éassociadoemRB, se o par(x(N), I(N))
for associado emRN . Nosso domínio de integração éRB e o conjunto dos pontos associados é
RB
.
Definição 2.2. Uma coleção finitaE = (xj , Ij[N ]) : xj ∈ RB
e N ∈ F(B) de pares
associados é dita ser umadivisãodeRB, se os intervalosIj[N ] forem disjuntos com união igual
a RB. Denotaremos essa divisão porE = (x, I[N ]).
Exemplo 2.3. SejaN = t1, t2 ⊂ F(B). Sejamu11, u
21, u
31, u
41, u
51, u
12, u
22, u
32, u
42 eu5
2 números
reais tais que
u11 < u2
1 < u31 < u4
1 < u51
e
u12 < u2
2 < u32 < u4
2 < u52.
Consideremos os intervalos cilíndricos
32 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
I1[N ] = [u11, u
31[×[u2
2, u32[×R
B\t1 ,t2+ ,
I2[N ] = [u21, u
41[×[u4
2, u52[×R
B\t1 ,t2+ ,
I3[N ] = [u31, u
51[×[u1
2, u32[×R
B\t1 ,t2+ ,
I4[N ] = [u31, +∞[×]0, u1
2[×RB\t1 ,t2+ ,
I5[N ] = [u51, +∞[×[u1
2, u32[×R
B\t1 ,t2+ ,
I6[N ] = [u41, +∞[×[u4
2, +∞[×RB\t1,t2+ ,
I7[N ] = [u21, u
41[×[u5
2, +∞[×RB\t1,t2+ ,
I8[N ] = ]0, u21[×[u4
2, +∞[×RB\t1,t2+ ,
I9[N ] = ]0, u11[×[u2
2, u32[×R
B\t1,t2+ ,
I10[N ] = ]0, u31[×]0, u2
2[×RB\t1,t2+ ,
I11[t2] = [u32, u
42[×R
B\t2+ .
Temos11⋃
j=1
Ij[N ] = RB+. Tomandox1(N1) = (u1
1, u22), x
2(N2) = (u21, u
52), x
3(N3) = (u51, u
12),
x4(N4) = (u31, u
12), x
5(N5) = (+∞, u32), x
6(N6) = (u41, +∞), x7(N7) = (u2
1, u52), x
8(N8) =
(0, +∞), x9(N9) = (u11, u
22), x
10(N10) = (u31, 0) ex11(N11) = u3
2, então(xj, Ij[Nj ])1≤j≤11
é uma divisão deRB+, comN1 = ... = N10 = N eN11 = t2. Veja a Figura 2.1.
u11 u2
1 u31 u4
1 u51
u12
u22
u32
u42
u52
I1
I2
I3
I4
I5
I6
I7
I8
I9
I10
I11
Figura 2.1: Divisão deRB+.
2.2 A integral de Henstock em espaços de funções 33
Divisões de intervalos cilíndricos emRB são definidas de forma análoga.
Agora, vamos nos direcionar para a questão de estabelecermos uma função calibre paraRB, isto
é, uma regra que determine quais pares ponto-intervalo associados(x, I[N ]) serão considerados,
como elementos de uma divisão, para formarem uma soma de Riemann que aproxime do valor da
integral em um espaço de dimensão infinitaRB. Para fazermos isto, definiremos aplicaçõesLB
sobre o conjuntos dos pontos associadosRB
do domínio de integraçãoRB, e aplicaçõesδB sobre
RB ×F(B). Isto nos dará uma classe efetiva de funções calibre.
Definimos
LB : RB → F(B), LB(x) ∈ F(B);
δB : RB ×F(B) → R∗
+, 0 < δB(x, N) < +∞.
Uma escolha deLB e δB nos dá um membro representante das funções calibre
γB := (LB, δB). (2.3)
Diremos que um par de ponto-intervalo associados(x, I[N ]) éγB-fino, se tivermos
N ⊇ LB(x) e (x(N), I(N)) for δB-fino em RN .
Vamos descrever, a seguir, a motivação para esta regra de formação dos intervalos que serão
usados na partição do domínio de integração para as somas de Riemann da integral.
Na integração de Riemann usual, formamos somas de Riemann escolhendo partições cujos
intervalos em dimensão finita possuem lados os quais são limitados por uma constante positiva
δ. Então fazemosδ sucessivamente pequeno. O mesmo é feito na integração de Riemann ge-
neralizada, onde a constanteδ é substituída por uma função positivaδ(x). Em qualquer caso,
estamos escolhendo partições sucessivas nas quais as componentes dos intervalos “encolhem" em
algum sentido. Para a situação em dimensão infinita, procuramos, de uma forma semelhante, como
“encolher" os intervalos cilíndricosI[N ] para os quais partições sucessivas serão escolhidas.
No exemplo seguinte, mostramos diferentes maneiras pelas quais um intervalo cilíndrico pode
ser um subconjunto de um intervalo cilíndrico maior e, portanto, procuramos estabelecer regras
com as quais intervalos de partições sucessivas podem ser feitos sucessivamente pequenos.
34 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
SejaB um conjunto infinito de índices. Escolhamost1, t2 ∈ B, t1 6= t2, e sejamRt1 e
Rt2 os espaços coordenados correspondentes de∏
t∈B RB. Sejam[u21, u
31[⊂ [u1
1, u41[⊂ Rt1 , com
u11 < u2
1 < u31 < u4
1. Denotemos
I1 = [u11, u
41[×
∏
t∈B, t6=t1Rt = [u1
1, u41[×RB\t1.
Então o intervaloI2 = [u21, u
31[×RB\t1 é um subintervalo deI1 no qual o lado correspondente
do espaço coordenado “restrito"Rt1 é menor do que o lado correspondente deI1. Este tipo de
“encolhimento" é familiar em integração de Riemann em dimensão finita. Conseguimos obter isso
impondo a condição de que os lados dos intervalos sejam menores do que uma função positivaδ
e, então, tomamosδ sucessivamente menor.
Agora, seja[u12, u
22[⊂ Rt2 e consideremos
I3 = [u21, u
31[×[u1
2, u22[×RB\t1, t2
que é um subconjunto deI2 cujos comprimentos dos lados restritos podem ser os mesmos compri-
mentos dos lados restritos deI2, mas para o qual existe uma coordenada restrita adicional cor-
respondente ao indícet2. Assim, podemos “encolher” sem mudarδ, mas requerendo que o
intervalo em questão contenha coordenadas restritas adicionais. E podemos fazer isso especifi-
cando algum conjunto minimal de coordenadas nas quais o intervalo deve ser restrito. Fazemos
este conjunto minimalL(x) depender do ponto associadox do intervalo em questão, exatamente
como fazemos com a restriçãoδ(x) do comprimento dos lados. O intervalo pode ser restrito na
coordenada adicional fora do conjunto minimal. Assim os lados podem ser tão pequenos quanto
desejarmos, desde que seus comprimentos sejam limitados por δ(x). Então podemos obter o “en-
colhimento” dos intervalos aumentando, sem limite, o tamanho do conjunto minimal, assim como
podemos obter um “encolhimento” fazendo decrescer o comprimento deδ(x) que limita os com-
primentos dos lados restritos.
Podemos fazer ambos os procedimentos de encolhimento acima: maior número de coordenadas
restritas bem como lados menores. SeB for finito, não poderemos aumentarL(x) sem limite.
Neste caso, teremosL(x) = B para todox ∈ RB
. Então a definição de função calibre se reduz ao
caso já descrito em dimensão finita.
2.2 A integral de Henstock em espaços de funções 35
Definição 2.4.Uma divisãoE = (x, I[N ]) : x ∈ RB
e N ∈ F(B) do domínio de integração é
γB-fina, ou é umaγB-divisão, se cada um dos pares(x, I[N ]) for γB-fino. Neste caso, denotamos
E por EγB.
O espaçoRB admite umaγB-divisão, ondeγB é dada. Este resultado é enunciado a seguir e
uma prova para ele pode ser encontrada em [14], Teorema 1.
Teorema 2.5.Para qualquer conjunto infinitoB e para qualquer função calibreγB dada, existe
uma divisãoγB-fina deRB.
Suponhamos queh seja uma função que depende dos pares associados(x, I[N ]). Às vezes,
h(x, I[N ]) não é definida para um certo pontox ∈ RB
+ (ou RB) como, por exemplo, para aqueles
x tais quex(t) = 0 ou∞, parat ∈ N . Neste caso, podemos tomarh(x, I[N ]) como sendo zero e
esses termos são omitidos da soma de Riemann.
SeE denotar um conjunto elementar(isto é, um intervalo ou uma união finita de intervalos),
então avariaçãodeh emE será dada por
infγB
supEγB
(EγB)|h(x, I[N ])|
,
ondeEγBé qualquerγB−divisão deE. Em geral, seX for qualquer subconjunto deRB, avariação
deh emRB relativa àX será dada por
infγB
supEγB
(EγB)|h(x, I[N ])|1X(x)
onde1X(x) é a função característica ou função indicadora deX e EγBé qualquerγB-divisão de
RB. Diremos queh é devariação limitada emX, se sua variação emX for finita. Diremos que
h é VBG∗ (ouh é devariação limitada generalizadaemRB), seRB for uma união de conjuntos
disjuntosXj, comh sendo de variação limitada em cadaXj , j = 1, 2, ....
A integral de Riemann generalizada de uma funçãoh de um par associado(x, I[N ]) é definida
como segue (veja [24]).
36 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
Definição 2.6.A funçãoh é Riemann integrável generalizadasobreRB, com integralα =
∫
RB
h,
se dadoǫ > 0, existir uma função calibreγB tal que∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈EγB
h(x, I[N ]) − α
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ
para todaγB-divisãoEγBdeRB.
Às vezes, integramos funçõesh(I[N ]) que não dependem dos pontos associadosx das variáveis
I[N ]. Em integração de Riemann generalizada, isto deve ser manuzeado com cuidado. Devemos
pensar no integrando comoh(I[N ]) = h(x, I[N ]) para todox associado aI[N ]. Assim, embora a
variávelx não apareça explicitamente no integrando, os termos∑
h(I[N ]) da soma de Riemann
ainda dependem dosx’s da divisão(x, I[N ]) que determina a soma de Riemann.
Duas funçõesh1(x, I[N ]) eh2(x, I[N ]) sãovariacionalmente equivalentesemRB, seh1 −h2 tiver variação zero emRB([24], página 32). É fácil mostrar queh1 é variacionalmente equiva-
lente ah2, se dadoǫ > 0, existir uma função calibreγB tal que, para toda divisãoEγB, tenhamos
∑
(x, I[N ])∈EγB
|h1(x, I[N ]) − h2(x, I[N ])| < ǫ.
Seh1 for integrável emX ⊆ RB e seh2 for variacionalmente equivalente ah1, entãoh2 será
integrável emX, com∫
X
h1 =
∫
X
h2 (veja [24], Proposição 18, página 32 para uma prova). Este
resultado é importante pois, às vezes, gostaríamos de estabelecer uma propriedade para∫
X
h1, e é
mais fácil fazermos isto primeiramente para a integral∫
X
h2, ondeh2 é “equivalente”, no sentido
variacional, ah1.
2.3 Propriedades da Integral
Em [24], P. Muldowney faz todo o tratamento teórico da integral de Riemann generalizada em
espaços de dimensão infinita. Várias propriedades desta integral são demonstradas em [24]. A
seguir, listamos algumas destas propriedades.
ConsideremosE um conjunto elementar, isto é, um intervalo ou uma união finita de intervalos
emRB.
2.3 Propriedades da Integral 37
Proposição 2.7.Sejaa ∈ R ou C. Suponhamos queh1 e h2 sejam funções Riemann integráveis
generalizadas emE, então:
1. h1 + h2 é Riemann integrável generalizada emE e∫
E
(h1 + h2) =
∫
E
h1 +
∫
E
h2;
2. ah1 é Riemann integrável generalizada emE e∫
E
ah1 = a
∫
E
h1;
3. Seh1 ≤ h2, então∫
E
h1 ≤∫
E
h2.
Demonstração:Sejamα1 eα2 respectivamente os valores das integrais deh1 eh2 emE.
1. Comoh1 e h2 são integráveis emE, dadoǫ > 0, existem funções calibresγ1 = (L1, δ1) e
γ2 = (L2, δ2) tais que∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ1
h1(x, I[N ]) − α1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2
para todaγ1-divisãoEγ1 deE, e
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ2
h2(x, I[N ]) − α2
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2
para todaγ2-divisãoEγ2 deE. Consideremos
γ = (L, δ),
ondeL = L1 ∪ L2 e δ = minδ1, δ2, então
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ
h1(x, I[N ]) +∑
(x, I[N ])∈Eγ
h2(x, I[N ])
− (α1 + α2)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
2. Sea = 0, o resultado segue. Suponhamos|a| 6= 0. Pela integrabilidade deh1, dadoǫ > 0,
existe uma função calibreγ = (L, δ) tal que
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ1
h1(x, I[N ]) − α1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2|a|
38 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
para todaγ1-divisãoEγ1 deE. Então, para esta função calibre, temos∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ1
ah1(x, I[N ]) − aα1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤ |a|
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ1
h1(x, I[N ]) − α1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2
e o resultado segue.
3. Usando as notações e a função calibreγ = (L, δ) do item 1., temos
α1 −ǫ
2<
∑
(x, I[N ])∈Eγ
h1(x, I[N ]) ≤∑
(x, I[N ])∈Eγ
h2(x, I[N ]) < α2 +ǫ
2,
isto é,
α1 < α2 + ǫ
para todoǫ > 0. Portantoα1 ≤ α2.
Com isto, a prova da proposição está completa.
O próximo resultado trata do Critério de Cauchy para integrais em espaços de funções.
Proposição 2.8.A funçãoh será integrável emE no sentido da integral Riemann generalizada se,
e somente se, dadoǫ > 0, existir uma função calibreηǫ tal que, seE1 eE2 forem divisõesηǫ−finas
deE, então teremos∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈E1
h(x, I[N ]) −∑
(x, I[N ])∈E2
h(x, I[N ])
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
Demonstração: (⇒) SejaH a integral deh em E. Dado ǫ > 0, existe uma função calibre
γǫ = (Lǫ, δǫ) tal que
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγǫ
h(x, I[N ]) −H
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2.
Tomandoδǫ =δǫ2
eηǫ = (Lǫ, δǫ), então para quaisquer divisõesE1 eE2 ηǫ−finas deE, valem
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈E1
h(x, I[N ]) −H
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2
2.3 Propriedades da Integral 39
e∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈E2
h(x, I[N ]) −H
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2.
Portanto,∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈E1
h(x, I[N ]) −∑
(x, I[N ])∈E2
h(x, I[N ])
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
(⇐) Para cadan ∈ N, considere a função calibreγn = (Ln, δn) tal que, seE1 e E2 forem
divisõesγn−finas deE, então∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈E1
h(x, I[N ]) −∑
(x, I[N ])∈E2
h(x, I[N ])
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<1
n.
Podemos supor queδn(x, N) ≥ δn+1(x, N), para todo(x, N) ∈ E × F , n ∈ N, pois caso con-
trário, poderíamos substituirδn por δ′n(x, N) = minδ1(x, N), ..., δn(x, N). Supomos também
queLn+1(x) ⊇ Ln(x), comx ∈ E.
Para cadan ∈ N, sejaEn uma divisãoγn−fina deE. Sem > n, entãoEm também será uma
divisãoγn−fina deE. Logo, vale∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈En
h(x, I[N ]) −∑
(x, I[N ])∈Em
h(x, I[N ])
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<1
n,
param > n. Conseqüentemente, a seqüência
∑
(x, I[N ])∈Em
h(x, I[N ])
m≥1
é uma seqüência de
Cauchy emR. SejaH1 seu limite. Fazendom→ +∞, obtemos
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈En
h(x, I[N ]) −H1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<1
n,
para todon ∈ N.
Logo, dadoǫ > 0, sejaK ∈ N satisfazendoK >2
ǫ. SeE for uma divisãoγK−fina, então
teremos∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eh(x, I[N ]) −H1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≤
40 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
≤
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eh(x, I[N ]) −
∑
(x, I[N ])∈EK
h(x, I[N ])
∣
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈EK
h(x, I[N ]) −H1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<
<1
K+
1
K< ǫ.
e a prova está completa.
Proposição 2.9.Seh for Riemann integrável generalizada emE, entãoh será Riemann integrável
generalizada emP , para cadaP ⊆ E.
Demonstração:Comoh é integrável emE, dadoǫ > 0, existe uma função calibreγ = (L, δ) tal
que∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ
h(x, I[N ]) − α
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2,
para todaγ-divisãoEγ deE. Para cadaP ⊆ E, temosEγ = E1γ ∪E2
γ tal queE1γ é uma divisão deP
eE2γ é uma divisão deE \ P . Seja, agora,Fγ = E3
γ ∪ E2γ tal queE3
γ é umaγ-divisão deP . Sejam
α =∑
(x, I[N ])∈E1γ
h(x, I[N ]),
β =∑
(x, I[N ])∈E3γ
h(x, I[N ])
e
ξ =∑
(x, I[N ])∈E2γ
h(x, I[N ]).
Então∣
∣
∣
∣
α + ξ −∫
E
h
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2e
∣
∣
∣
∣
β + ξ −∫
E
h
∣
∣
∣
∣
<ǫ
2.
Assim, vale
|α− β| < ǫ,
isto é,∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈E1γ
h(x, I[N ]) −∑
(x, I[N ])∈E3γ
h(x, I[N ])
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ,
ondeE1γ eE3
γ são quaisquer partições deP . Portanto, o resultado segue pela Proposição 2.3.2.
2.4 A integral de Wiener 41
O resultado seguinte é uma versão do teorema da convergênciadominada de Lebesgue em es-
paços de funções. Uma demonstração para este resultado podeser encontrada em [24], Proposição
33.
Teorema 2.10.Suponhamos que, para cada par de associados(x, I[N ]), a sequênciahj(x, I[N ]),
j = 1, 2, 3, ..., seja uma sequência real de funções Riemann integráveis generalizadas emE
que é convergente para a funçãoh(x, I[N ]), quandoj → +∞. Suponhamos queg0(x, I[N ])
seja uma função real positiva definida emI, x, N , que é Riemann integrável generalizada em
E. Suponhamos ainda que, dadoǫ > 0, existam uma função calibreγ1 e um número inteiro
j0 = j0(x, I[N ]) > 0 tais que
|h(x, I[N ]) − hj(x, I[N ])| < ǫg0(x, I[N ]),
para quaisquerj > j0 e (x, I[N ]) ∈ Eγ1 . Seg1(x, I[N ]) e g2(x, I[N ]) forem funções Riemann
integráveis generalizadas emE, e existir uma função calibreγ2 tal que
g1(x, I[N ]) ≤ hj(x, I[N ]) ≤ g2(x, I[N ]),
para cadaj e para cada par de associadosγ2-finos,(x, I[N ]), entãoh será integrável no sentido
da integral de Riemann generalizada emE e
limj→+∞
∫
E
hj(x, I[N ]) =
∫
E
h(x, I[N ]).
2.4 A integral de Wiener
Se0 = t0 < t1 < ... < tn = τ ext for uma função de posição de uma partícula que
segue um movimento browniano, então a probabilidade de que esta partícula, com posição inicial
zero, seja encontrada emuj ≤ xj < vj, no tempotj, 1 ≤ j ≤ n− 1, e emξ, no tempoτ , é
w(I) =
∫ v1
u1
...
∫ vn−1
un−1
ρ(x1, t1)ρ(x2 − x1, t2 − t1)...ρ(xn − xn−1, tn − tn−1)dx1...dxn−1,
onde
ρ(xj − xj−1, tj − tj−1) =
√
1
4πD(tj − tj−1)exp
(
− (xj − xj−1)2
4D(tj − tj−1)
)
42 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
para todo1 ≤ j ≤ n, ondex0 = 0, t0 = 0 e D é o coeficiente de difusão que depende da
viscosidade média e das dimensões da partícula, e contém o número de Avogadro.
N. Wiener [35] mostrou que esta função de intervalos,w(I), produz uma medida no espaçoC
das funções contínuasx definidas em]0, τ [, comx(0) = 0 ex(τ) = ξ.
Em [18], M. Kac mostrou que seU for uma função positiva contínua da função de posição e
u(x) = exp
(
−∫
U(x(t))dt
)
, x ∈ C, então∫
C
u(x)dw existirá eφ(ξ, τ) =
∫
C
u(x)dw satisfará
uma equação análoga à equação de Schrödinger e à equação de difusão. Este assunto foi tratado
em [24] usando integração em espaço de funções.
A seguir, apresentaremos com detalhes este tratamento feito por P. Muldowney em [24].
ConsideremosR]0, τ [ o espaço das funções a valores reaisx definidas em]0, τ [, comx(0) = 0
ex(τ) = ξ, ondeξ ∈ R. Sejam0 = t0 < t1 < ... < tn = τ , N = t1, t2, ..., tn−1 ex(tj) = xj ,
0 ≤ j ≤ n, tal quex0 = 0 e xn = ξ. DefinamosI(tj) = Ij = [uj, vj[ e ∆Ij = vj − uj,
1 ≤ j ≤ n− 1. Sejay = (y1, ..., yn−1) ∈ I1 × ...× In−1. Definamos, agora, as seguintes funções:
w(x, N) =
n∏
j=1
exp
(
−1
2
(xj − xj−1)2
tj − tj−1
) n∏
j=1
[2π(tj − tj−1)]−1/2,
w(I, x, N) = w(x, N)
n∏
j=1
∆Ij
e
w(I, N) =
∫
In−1
...
∫
I1
w(y, N)dy1...dyn−1. (2.4)
A prova do lema seguinte é imediata.
Lema 2.11. Sejama, b, u, v ∈ R, coma > 0, b > 0, e consideremos, também, a funçãoh(α)
dada por
h(α) =
√
a
πe−a(u−α)2
√
b
πe−b(α−v)
2
.
Entãoh é Riemann integrável e vale
∫ +∞
−∞
√
a
πe−a(u−α)2
√
b
πe−b(α−v)
2
dα =
√
ab
π(a+ b)exp
(
− ab
a + b(u− v)2
)
.
2.4 A integral de Wiener 43
Observação 2.1.No Exemplo 2.3, apresentado na Seção 2.2 deste capítulo, o conjuntoN para o
qual o par associado(x, I[N ]) pertence à divisãoE não é o mesmo para todos os pares associ-
ados. De fato, temosN = t2 para o par(x, I11[N ]), enquantot1, t2 é o conjuntoN para
os demais intervalos, digamos,I1, I2, ..., I10. TomandoM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E = t1, t2,
podemos representar a soma de Riemann∑
(x, I[N ])∈Ew(I, N) como
∑
(x, I[M ])∈Ew(I, M), onde
∑
(x, I[M ])∈Ew(I, M) =
=
∫ +∞
−∞
∫ +∞
−∞
exp(
−12
(y1−y0)2t1−t0
)
√
2π(t1 − t0)
exp(
−12
(y2−y1)2t2−t1
)
√
2π(t2 − t1)
exp(
−12
(y3−y2)2t3−t2
)
√
2π(t3 − t2)dy1dy2.
De fato, pelo Lema 2.11, temos
∫
I11
w(I, N) =
∫ u42
u32
exp(
−12
(y2−y0)2t2−t0
)
√
2π(t2 − t0)
exp(
−12
(y3−y2)2
t3−t2
)
√
2π(t3 − t2)dy2 =
=
∫ u42
u32
∫ +∞
−∞
exp(
−12
(y1−y0)2t1−t0
)
√
2π(t1 − t0)
exp(
−12
(y2−y1)2t2−t1
)
√
2π(t2 − t1)
exp(
−12
(y3−y2)2t3−t2
)
√
2π(t3 − t2)dy1dy2.
Portanto, basta utilizarmos a propriedade de aditividade da integral.
A funçãow(I, N) dada por(2.4) é Riemann integrável generalizada em todo intervalo ele-
mentarE ⊆ R]0, τ [, como mostra o próximo resultado.
Teorema 2.12.A função de Wienerw(I, N) definida em(2.4) é Riemann integrável generalizada
em todo intervalo elementarE ⊆ R]0, τ [. Em particular, vale
∫
R]0, τ [
w(I, N) =1√2πτ
exp
(
− ξ2
2τ
)
.
Demonstração: Consideremos uma divisãoE = (x, I[N ]) de R]0, τ [, ondeN ∈ F(]0, τ [).
Então a soma de Riemann da funçãow(I, N) é dada por
∑
(x, I[N ])∈Ew(I, N) =
∑
(x, I[N ])∈E
∫
In−1
...
∫
I1
w(y, N)dy1...dyn−1.
SejaM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosM comot1, ..., tm−1, ondeτ ′ = t0, τ = tm e
t0 < t1 < ... < tm−1 < tm.
44 Capítulo 2 — Integração em Espaços de Funções
Cada termo dew(I, N) na soma de Riemann pode ser reescrito comow(I, M). Basta inserir-
mos expressões adicionais“yj” na expressão dew(y, N) e integrarmos de−∞ a +∞ nosyj ’s
extras. Então a soma de Riemann torna-se
∑
(x, I[M ])∈Ew(I, M) =
∑
(x, I[M ])∈E
∫
Im−1
...
∫
I1
w(y, M)dy1...dym−1,
ondeM é um conjunto fixo de dimensões. Note que, agora, estamos lidando com uma soma de
Riemann de uma integral em dimensãom − 1. Assim cada termo na soma de Riemann é uma
integral sobreI[M ] ⊂ Rm−1 e, pela aditividade finita desta integral emRm−1, temos
∑
(x, I[M ])∈Ew(I, M) =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞w(y, M)dy1...dym−1. (2.5)
Pelo Lema 2.11, obtemos∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞w(y, M)dy1...dym−1 =
1√2πτ
exp
(
− ξ2
2τ
)
.
Portanto, dadoǫ > 0, para qualquer função calibreγ, se(x, I[N ]) ∈ Eγ, comL(x) ⊆ N , então
teremos
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ
w(I, N) − 1√2πτ
exp
(
− ξ2
2τ
)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
Portanto∫
R]0, τ [
w(I, N) =1√2πτ
exp
(
− ξ2
2τ
)
e a prova está completa.
Como consequência da Proposição 37 em [24], as funçõesw(I, x, N) ew(I, N) são varia-
cionalmente equivalentes.
Suponhamos queU seja uma função a valores reais definida emR. ParaN = t1, ..., tn−1 ⊆]0, τ [ ex ∈ R]0, τ [, seja
Uj = U(xj) = U(x(tj)), 0 ≤ j ≤ n− 1.
Definamos
u(x, N) = exp
(
−n∑
j=1
Uj−1(tj − tj−1)
)
2.4 A integral de Wiener 45
e
u(I, N) =
∫
I(N)
u(x, N)w(x, N)dx(N).
Paraη > 0, 0 ≤ σ − τ < η, 0 ≤ |ζ − ξ| < η, consideremos
h(ζ, σ) =1
√
2π(σ − tn−1)exp
(
−1
2
(ζ − xn−1)2
σ − tn−1− Un−1(σ − tn−1)
)
,
W1(I, x, N) =
=n−1∏
j=1
1√
2π(tj − tj−1)exp
(
−n−1∑
j=1
[
1
2
(xj − xj−1)2
tj − tj−1
+ Uj−1(tj − tj−1)
]
)
∆I(N)
e
W2(I, x, N ; ζ, σ) = h(ζ, σ)W1(I, x, N).
Em [24], P. Muldowney provou queφ(ξ, τ) =
∫
R]0, τ [
u(I, N) é uma representação de Feynman-
Kac da solução de∂φ
∂τ=
1
2
∂2φ
∂ξ2− U(ξ)φ,
desde queU ≥ 0 seja contínua emξ,W2(I, x, N ; ζ, σ) seja Riemann integrável generalizada em
R]0, τ [ para0 ≤ σ − τ < η, 0 ≤ |ζ − ξ| < η e a derivada parcial∂φ
∂τexista.
No próximo capítulo, vamos estender estes resultados para processos com impulsos.
CAPÍTULO
3
Integral de Wiener para um processo
com impulsos
3.1 Introdução
Quando um processo browniano está submetido a condições de impulsos, onde, em momentos
de tempos específicosτk, o processo sofre saltos de tamanhoJk, obtemos o seguinte processo
impulsivo
z = zt = z(t) : t ∈ ]τ ′, τ [, onde z(t) = x(t) +∑
τk≤tJk.
Assim, somos levados a considerar a seguinte medida
µ(I) =
∫
I1
· · ·∫
In−1
n∏
j=1
e− 1
2
(zj−yj−1)2
tj−tj−1
√
2π(tj − tj−1)
dy1 . . . dyn−1,
ondezj = yj + Jj, setj for um dos instantesτk, ezj = yj caso contrário.
47
48 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
Neste capítulo, consideraremos a função volumeµ(I) para um processo impulsivozt cor-
respondente à função de Wienerw(y, N), provaremos que esta função é integrável no sentido da
integral de Riemann generalizada em um espaço de funções e estudaremos algumas propriedades
de funções que dependem de um processo com impulsos.
3.2 A Função volume para um processo com impulsos
Sejaxtt≥0 um movimento browniano. Suponhamos que, no instantetj−1 > 0, a função de
posição sejaxj−1 = x(tj−1). Assim, para um instante posteriortj, o incrementoxj − xj−1 é dado
por uma distribuição normal, com média zero e variânciatj − tj−1. Portanto a probabilidade de
quexj = x(tj) ∈ [uj, vj [ será
1√
2π(tj − tj−1)
∫ vj
uj
exp
(
−1
2
(yj − xj−1)2
tj − tj−1
)
dyj.
Logo, dadox(t0) = ξ′, a probabilidade conjunta de quex1 ∈ I1,...,xn ∈ In, ondeIj = [uj, vj [,
1 ≤ j ≤ n, será dada por
∫ v1
u1
...
∫ vn
un
n∏
j=1
exp(
−12
(yj−yj−1)2
tj−tj−1
)
√
2π(tj − tj−1)dy1...dyn. (3.1)
Assim, em movimento browniano, somos levados a considerar expressões da forma
n∏
j=1
exp(
−12
(yj−yj−1)2
tj−tj−1
)
√
2π(tj − tj−1). (3.2)
No que segue, apresentaremos uma versão para as expressões(3.1) e (3.2), quando o movi-
mento browniano estiver sujeito a condições de impulsos em alguns momentos de tempo.
Consideremos o operador impulsoJ : R → R como sendo uma função contínua. Sejam
τ ′, τ números reais tais que0 < τ ′ < τ eN = t1, ..., tn−1 ⊂ ]τ ′, τ [, ondeτ ′ = t0 e τ = tn.
Suponhamos queI = τ1, ..., τp ⊂ N , ondeτ1 < τ2 < ... < τp. Então,τ1, τ2, ..., τp =
ti1 , ti2, ..., tip, ondeij ∈ 1, 2, ..., n − 1 para1 ≤ j ≤ p. SejamN = 1, 2, ..., n e J =
i1, i2, ..., ip.
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 49
Dadox ∈ R]τ ′, τ [, definamos um processoz ∈ R]τ ′, τ [ da seguinte forma
z(t) = x(t), para τ ′ < t < τ1, (3.3)
z(t) = x(t) +∑
τj≤tJ(x(τj)), τj ≤ t < τj+1, j = 1, 2, ..., p, (3.4)
ondeτp+1 := τ . A Figura 3.1, ilustra o comportamento do processo impulsivo z(t), τ ′ < t < τ ,
ondex ∈ C(]τ ′, τ [), sendoC(]τ ′, τ [) o subconjunto de todas as funções contínuas emR]τ ′, τ [.
τ ′ τ1 τp τ
z(t)
t
x(t)
Figura 3.1: Processoz ∈ R]τ ′, τ [.
Definamos, agora, a função volume para um processo impulsivo. Para isso, definamos, primeira-
mente, a função para um processo impulsivo correspondente àfunção de Wienerw(y, N), repre-
sentada porgI(y, N) e dada por
∏
j∈N\J
exp(
−12
(yj−yj−1)2
tj−tj−1
)
√
2π(tj − tj−1)
∏
j∈J
exp(
−12
(yj−(yj−1−J(yj)))2
tj−tj−1
)
√
2π(tj − tj−1)
que é igual a
∏
j∈N\J
exp(
−12
(yj−yj−1)2
tj−tj−1
)
√
2π(tj − tj−1)
∏
j∈J
exp(
−12
(J(yj)+yj−yj−1)2
tj−tj−1
)
√
2π(tj − tj−1). (3.5)
Definição 3.1.SejamI(tj) = Ij = [uj, vj [, ∆Ij = vj−uj , 1 ≤ j ≤ n−1 eI(N) = I1×...×In−1.
A função volumepara um processo com impulsivos nos instantesτ1, ..., τp é definida por
QI(I[N ]) =
∫
I(N)
gI(y, N)dy(N).
50 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
SejaC(R, R) o conjunto das funções contínuas definidas emR a valores reais. Consideremos
o seguinte conjunto
Z =
J ∈ C(R, R) :
∫ +∞
−∞
exp(
−12
(J(yj)+yj−yj−1)2
tj−tj−1
)
√
2π(tj − tj−1)
dyj = 1, j = 1, 2, ..., p
.
Sejaα ∈ R. SeJ(w) = α, para cadaw ∈ R, entãoJ ∈ Z. Portanto,Z 6= ∅.
Definição 3.2.SejamJ ∈ Z ez um processo impulsivo dado pelas equações(3.3)− (3.4). Então
QI(I[N ]) será umafunção distribuição de probabilidades, ou seja, a probabilidade dexj ∈ Ij ,
para1 ≤ j ≤ n− 1, comx(τ ′) = ξ′ ex(τ) = ξ.
Se(x, I) for um par de associados, ondeI = I[N ], então definimos
GI(x, I[N ]) = QI(I[N ]).
E nosso objetivo, agora, é mostrar que a funçãoGI(x, I[N ]) é integrável no sentido da integral de
Riemann generalizada emR]τ ′, τ [. Para provarmos isso, vamos mostrar um resultado auxiliar.
Primeiramente, recordemos a versão do Teorema de Tonelli para integrais de Riemann gene-
ralizadas, que será útil no próximo resultado. Veja [36], Teorema 6.6.5, para uma prova deste
resultado.
Teorema 3.3.SejaJ um intervalo emRn, comJ = H ×K, ondeH eK pertencem aR
le aR
m
respectivamente,n = l +m. Sejaf uma função definida emRn. Se as seguintes condições forem
satisfeitas:
i) f é mensurável emJ ;
ii) existe uma funçãog tal que|f | ≤ g emJ e
A1 =
∫
H
(∫
K
g(x, y)dy
)
dx <∞
ou
A2 =
∫
K
(∫
H
g(x, y)dx
)
dy <∞,
entãof será Riemann integrável generalizada emJ e∫∫
J
f =
∫
H
(∫
K
f(x, y)dy
)
dx.
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 51
Temos o seguinte corolário do Teorema de Tonelli ([36], Corollary 6.6.7).
Corolário 3.4. Sef for uma função mensurável e não-negativa, então∫∫
J
f =
∫
H
(∫
K
f(x, y)dy
)
dx =
∫
K
(∫
H
f(x, y)dx
)
dy.
desde que uma das integrais existam.
Agora, consideremos as seguintes funções auxiliaresφ1, φ2 : R×]τ ′, τ [−→ R e Φj : R ×R×]τ ′, τ [×]τ ′, τ [−→ R, j = 1, 2, ..., p− 1, definidas por
φ1(yk, tk) =1
√
2π(tk − τ ′)exp
(
−1
2
(yk − ξ′)2
tk − τ ′
)
,
parak ∈ 1, 2, ..., i1 − 1,
φ2(yip, tip) =1
√
2π(τ − tip)exp
(
−1
2
(ξ − yip)2
τ − tip
)
e
Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1) =1
√
2π(tij+1−1 − tij )exp
(
−1
2
(yij+1−1 − yij)2
tij+1−1 − tij
)
,
paraj = 1, 2, ..., p− 1.
Analogamente, definamosφ1(J(yk), tk) parak ∈ J substituindoyk por J(yk) + yk na ex-
pressão deφ1(yk, tk), e definamosΦj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
) substituindoyij+1−1 por J(yij+1) +
yij+1e tij+1−1 por tij+1
na expressão deΦj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1), paraj ∈ 1, 2, ..., p− 1.
A seguinte Proposição 3.5 diz que, dadoy = (y1, . . . , yn−1) ∈ Rn−1, a funçãogI(y, N)
definida pela equação(3.5) é Riemann integrável generalizada com respeito ay emRn−1.
Proposição 3.5.SejaN = t1, t2, ..., tn−1 ⊂ ]τ ′, τ [ um conjunto fixado, comt0 = τ ′ e tn = τ .
SejagI uma função definida como em(3.5), ondey(τ ′) = y(t0) = ξ′ e y(τ) = y(tn) = ξ. Então
gI é Riemann integrável generalizada com respeito ay emRn−1 e∫
Rn−1
gI(y, N)dy1dy2...dyn−1 =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞φ1(J(yi1), ti1)
[
p−1∏
j=1
Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
)
]
φ2(yip, tip)
p∏
j=1
dyij .
52 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
Demonstração: SejaI = τ1, τ2, ..., τp = ti1 , ti2 , ..., tip, com ij ∈ 1, 2, ..., n − 1 para
1 ≤ j ≤ p. Consideremos
N = 1, 2, ..., i1 − 1, i1, i1 + 1, ...., ip − 1, ip, ip + 1, ..., n− 1, n.
Com isto, definimos as seguintes funções
ψj(yj, yj−1) =1
√
2π(tj − tj−1)exp
(
−1
2
(yj − yj−1)2
tj − tj−1
)
, j ∈ N \ J ,
e
ϕj(yj, yj−1) =1
√
2π(tj − tj−1)exp
(
−1
2
(J(yj) + yj − yj−1)2
tj − tj−1
)
, j ∈ J .
Pelo Lema 2.11, podemos concluir que
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ψ1(y1, y0)...ψi1−1(yi1−1, yi1−2)dy1...dyi1−2 =
=1
√
2π(ti1−1 − τ ′)exp
(
−1
2
(yi1−1 − ξ′)2
ti1−1 − τ ′
)
= φ1(yi1−1, ti1−1), (3.6)
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ψij+1(yij+1, yij)...ψij+1−1(yij+1−1, yij+1−2)dyij+1...dyij+1−2 =
=1
√
2π(tij+1−1 − tij )exp
(
−1
2
(yij+1−1 − yij )2
tij+1−1 − tij
)
= Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1), (3.7)
j = 1, 2, ..., p− 1, e
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ψip+1(yip+1, yip)...ψn(yn, yn−1)dyip+1...dyn−1 =
=1
√
2π(τ − tip)exp
(
−1
2
(ξ − yip)2
τ − tip
)
= φ2(yip, tip). (3.8)
Assim, tomandotip+ℓ := tn−1, ℓ ∈ N, das equações (3.6), (3.7) e (3.8), obtemos
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞gI(y, N)
[
i1−2∏
j=1
dyj
][
p−1∏
j=1
dyij+1...dyij+1−2
]
ℓ∏
j=1
dyip+j = (3.9)
= φ1(yi1−1, ti1−1)
[
p−1∏
j=1
ϕij (yij , yij−1)Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1)
]
ϕip(yip, yip−1)φ2(yip, tip).
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 53
Pelo Lema 2.11, temos
∫ +∞
−∞φ1(yi1−1, ti1−1)ϕi1(yi1 , yi1−1)dyi1−1 = φ1(J(yi1), ti1) (3.10)
e∫ +∞
−∞Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1)ϕij+1
(yij+1, yij+1−1)dyij+1−1 = (3.11)
= Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
), j = 1, ..., p− 1.
De (3.9), (3.10) e (3.11), obtemos
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞gI(y, N)
∏
j∈N\Jdyj =
= φ1(J(yi1), ti1)
[
p−1∏
j=1
Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
)
]
φ2(yip, tip). (3.12)
Agora, definamos funçõesf, F : Rp → R dadas por
f(yi1, ..., yip) =
[
p−1∏
j=1
Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
)
]
φ2(yip, tip)
e
F (yi1, ..., yip) = φ1(J(yi1), ti1)f(yi1, ..., yip).
EntãoF é contínua,|F (yi1, ..., yip)| ≤f(yi1, ..., yip)√
2π(ti1 − τ ′)e
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
f(yi1, ..., yip)√
2π(ti1 − τ ′)dyi1...dyip =
1√
2π(ti1 − τ ′).
Pelo Teorema de Tonelli (Teorema 3.3), a funçãoF é Riemann integrável generalizada emRp
e a integral
∫
Rp
F (yi1, ..., yip)dyi1...dyip =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞F (yi1, ..., yip)dyi1...dyip
é finita. Então, da equação (3.12), segue
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞gI(y, N)dy1dy2...dyn−1 =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞F (yi1, ..., yip)dyi1...dyip <∞.
54 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
Pelo Corolário do Teorema de Tonelli (Corolário 3.4), podemos concluir quegI(y, N) é integrável
com respeito ay emRn−1 e vale
∫
Rn−1
gI(y, N)dy1...dyn−1 =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞gI(y, N)dy1dy2...dyn−1 =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞φ1(J(yi1), ti1)
[
p−1∏
j=1
Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
)
]
φ2(yip, tip)
p∏
j=1
dyij ,
o que completa a prova.
Agora, apresentaremos o resultado que estabelece a integrabilidade deGI(x, I[N ]) no espaço
de funçõesR]τ ′, τ [.
Teorema 3.6.A funçãoGI(x, I[N ]) é Riemann integrável generalizada, isto é, a integral
∫
R]τ ′, τ [
GI(x, I[N ])
existe.
Demonstração:Consideremos uma divisçãoE = (x, I[N ]) deR]τ ′, τ [, onde cadaN escolhido
é tal queI ⊆ N ∈ F(]τ ′, τ [). Então a soma de Riemann deGI é dada por
∑
(x, I[N ])∈EGI(x, I[N ]) =
∑
(x, I[N ])∈EQI(I[N ]).
SejaM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosM comot1, ..., tm−1, ondeτ ′ = t0, τ = tm e
t0 < t1 < ... < tm−1 < tm. Cada termoQI(I[N ]) da soma de Riemann pode ser reescrito como
QI(I[M ]); basta inserirmosyj ’s adicionais na expressão degI, j ∈ N \ J , e integrarmos de−∞a+∞ sobre osyj ’s extras. Então a soma de Riemann torna-se
∑
(x, I[M ])∈EQI(I[M ]),
comM sendo um conjunto fixo de dimensões. Desta maneira, estamos lidando com uma soma
de Riemann de uma integral emm− 1 dimensões. Logo, cada termo da soma de Riemann é uma
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 55
integral sobreI[M ] ⊂ Rm−1 e, pela propriedade de aditividade finita desta integral emRm−1,
temos∑
(x, I[M ])∈EQI(I([M ]) =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞gI(y, M)dy1...dym−1. (3.13)
Pela Proposição 3.5, a integral em (3.13) existe e podemos reescrever
∑
(x, I[M ])∈EQI(I[M ])
como∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞φ1(J(yi1), ti1)
[
p−1∏
j=1
Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
)
]
φ2(yip, tip)
p∏
j=1
dyij . (3.14)
Sejaβ o valor da integral em (3.14). Assim, dadoǫ > 0, para qualquer função calibreγ escolhida
tal queL(x) ⊇ I, para todo(x, I[N ]) ∈ Eγ, I ⊆ L(x) ⊆ N implica que∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ
GI(x, I[N ]) − β
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
Portanto∫
R]τ ′, τ [
GI(x, I[N ]) = β e a prova está completa.
Mostraremos, a seguir, que as expressõesgI(x, N)
n−1∏
j=1
∆Ij e GI(x, I[N ]) são variacional-
mente equivalentes emR]τ ′, τ [. Este resultado será conseqüência da Proposição 3.7, que apresenta-
mos na seqüência.
Definamos a função auxiliarqI(I(N)) por
qI(I(N)) = gI(x, N)n−1∏
j=1
∆Ij .
Se(x, I) for um par de associados, ondeI = I(N), então definimos
qI(x, I[N ]) = qI(I(N)).
Proposição 3.7.Sejak(x(N)) = k(x(t1), ..., x(tn−1)) uma função real que depende das var-
iáveis(x(t1), ..., x(tn−1)). Sek for contínua em cadaxj , 1 ≤ j ≤ n − 1, então as expressões
k(x(N))qI(x, I[N ]) e∫
I(N)
k(y(N))gI(y, N)dy(N) serão variacionalmente equivalentes emR]τ ′, τ [,
sempre que a integral de uma delas existir.
56 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
Demonstração: Sejaǫ > 0 dado. Como o operador impulsoJ é uma função contínua, para
x ∈ R]τ ′,τ [
, podemos escolherL(x) e δ(x, N) tais que, seN ⊇ L(x) ⊇ I, (I(N), x(N)) for
δ−fina e sey ∈ I(N), então teremos
|k(x(N))gI(x, N) − k(y(N))gI(y, N)| < ǫ
4
√
2π(ti1 − τ ′)gI(x, I)
e
gI(y, N) >1
2gI(x, N).
Logo,∣
∣
∣
∣
k(x(N))qI(x, I[N ]) −∫
I(N)
k(y(N))gI(y, N)dy(N)
∣
∣
∣
∣
=
=
∣
∣
∣
∣
∣
k(x(N))gI(x, N)n−1∏
j=1
∆Ij −∫
I(N)
k(y(N))gI(y, N)dy(N)
∣
∣
∣
∣
∣
=
=
∣
∣
∣
∣
∫
I(N)
[k(x(N))gI(x, N) − k(y(N))gI(y, N)] dy(N)
∣
∣
∣
∣
≤
≤ ǫ
2
√
2π(ti1 − τ ′)
∫
I(N)
gI(y, N)dy(N).
Assim, podemos escolher uma função calibreγ tal que, para toda divisãoEγ, vale
∑
(x, I[N ])∈Eγ
∣
∣
∣
∣
k(x(N))qI(x, I[N ]) −∫
I(N)
k(y(N))gI(y, N)dy(N)
∣
∣
∣
∣
≤
≤ ǫ
2
√
2π(ti1 − τ ′)∑
(x, I[N ])∈Eγ
∫
I(N)
gI(y, N)dy(N) =
=ǫ
2
√
2π(ti1 − τ ′)
∫
Rn−1
gI(y, N)dy(N) < ǫ.
Portanto,
∫
R]τ ′,τ [
k(x(N))qI(x, I[N ]) =
∫
R]τ ′,τ [
∫
I(N)
k(y(N))gI(y, N)dy(N)
e a prova está completa.
Corolário 3.8. As expressõesqI(x, I[N ]) eGI(x, I[N ]) são variacionalmente equivalentes em
R]τ ′, τ [.
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 57
Definição 3.9.Dadoτ ′ < T1 < τ , definamos o conjunto
D1 = x ∈ R]τ ′, τ [ : x é discontínua emT1.
Pretendemos mostrar que∫
D1
GI(x, I[N ]) existe e é igual a zero. Este resultado será útil no
próximo capítulo.
Antes, porém, precisamos estabelecer alguns resultados auxiliares.
Definição 3.10.SejaM = T1, ..., Tm ⊂ ]τ ′, τ [. Dizemos que um funcionalh que satisfaz
h(x) = h(x(M)) para todox ∈ R]τ ′, τ [ é umfuncional cilíndrico.
Note queh depende somente dos valores das coordenadas dex emT1, ..., Tm, e podemos tratar
isso como uma função dex(M) ∈ Rm ou como uma função dex ∈ R]τ ′,τ [.
Consideremos o caso particular em queM = T1, T2 e h(x) = h(x(M)). Definimos
HI(I[N ]) como sendo o valor da integral∫
I(N)
h(x(M))gI(x, N)dx1...dxn−1.
Seτi < T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 0, 1, 2, ..., p, τ0 = τ ′ e τp+1 = τ , definamos
H1(x,M) = h(x(M))
i∏
j=1
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
×
×exp
(
−1
2
(xT1 − xτi)2
T1 − τi
)
√
2π(T1 − τi)
exp
(
−1
2
(xT2 − xT1)2
T2 − T1
)
√
2π(T2 − T1)
exp
(
−1
2
(xτi+1+ J(xτi+1
) − xT2)2
τi+1 − T2
)
√
2π(τi+1 − T2)×
×
p∏
j=i+2
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
exp
(
−1
2
(xτ − xτp)2
τ − τp
)
√
2π(τ − τp)
e, seT1 = τi eT1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 1, 2, ..., p, definamos
H2(x,M) = h(x(M))
i∏
j=1
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
×
58 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
×exp
(
−1
2
(xT2 − xτi)2
T2 − τi
)
√
2π(T2 − τi)
exp
(
−1
2
(xτi+1+ J(xτi+1
) − xT2)2
τi+1 − T2
)
√
2π(τi+1 − T2)×
×p∏
j=i+2
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
exp
(
−1
2
(xτ − xτp)2
τ − τp
)
√
2π(τ − τp).
O próximo teorema estabelece condições sobreH1(x, M) e H2(x, M) para que a função
HI(I[N ]) seja Riemann integrável generalizada emR]τ ′,τ [.
Teorema 3.11.Suponhamos queh, uma função dex(M) = (x(T1), x(T2)) ∈ R2, seja positiva e
contínua em quase toda parte.
1. Seτi < T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 0, 1, ..., p eH1(x, M) for Riemann integrável
generalizada emRp+2 com respeito às variáveisxτ1 , ..., xτi , xT1 , xT2 , xτi+1, ..., xτp , então
HI(I[N ]) será Riemann integrável generalizada emR]τ ′,τ [, e
∫
R]τ ′,τ [
HI(I[N ]) =
∫
Rp+2
H1(x, M)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1...dxτp .
2. SeT1 = τi e T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 1, 2, ..., p e H2(x, M) for Riemann
integrável generalizada emRp+1 com respeito às variáveisxτ1 , ..., xτi , xT2 , xτi+1, ..., xτp ,
entãoHI(I[N)] será Riemann integrável generalizada emR]τ ′,τ [, e
∫
R]τ ′,τ [
HI(I[N ]) =
∫
Rp+1
H2(x, M)dxτ1 ...dxτidxT2dxτi+1...dxτp .
Demonstração:Provemos o item 1. SejaE = (x, I[N ]) uma divisão deR]τ ′, τ [, onde cadaN é
tal queI ⊆ N ∈ F(]τ ′, τ [). Seja
HI(I[N ]) =
∫
I(N)
h(x(M))gI(x, N)dx1...dxn−1.
TomemosO = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosO comot1, ..., tr−1, ondeτ ′ = t0, τ = tr
e t0 < t1 < ... < tr−1 < tr. Como na prova do Teorema 3.6, cada termoHI(I[N ]) da soma de
Riemann pode ser reescrito comoHI(I[O]). Assim, pela aditividade finita da integral, a soma de
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 59
Riemann torna-se
∑
(x, I[N ])∈EHI(I[N ]) =
∑
(x, I[O])∈EHI(I[O]) =
∑
(x, I[O])∈E
∫
I(O)
h(x(M))gI(x, O)dx1...dxr−1.
Mas,∑
(x, I[O])∈E
∫
I(O)
h(x(M))gI(x, O)dx1...dxr−1 =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞h(x(M))gI(x, O)dx1...dxr−1 =
(∗)=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞H1(x,M)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1
...dxτp ,
onde a passagem(∗) segue do Lema 2.11 e Corolário 3.4.
Sejaβ o valor da integral
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞H1(x,M)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1
...dxτp .
Dadoǫ > 0, podemos escolher uma função calibreγ tal que, para toda divisãoEγ, tenhamos
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ
HI(I[N ]) − β
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
Portanto∫
R]τ ′, τ [
HI(I[N ]) = β.
Analogamente, prova-se o item 2.
Definição 3.12.Sejaτ ′ < T1 < τ e sejaD1 = x ∈ R]τ ′, τ [ : x é discontínua emT1. DadoT2
tal queτ ′ < T2 < τ , T2 6= T1, definimos
X1 =
x ∈ R]τ ′, τ [ : lim supT2→T1
|x(T2) − x(T1)|2 ≥ 1
,
Xj =
x ∈ R]τ ′, τ [ :1
j≤ lim sup
T2→T1
|x(T2) − x(T1)|2 ≤1
j − 1
,
j = 2, 3, ....
Lema 3.13.SendoDr =r⋃
j=1
Xj, temosD1 =+∞⋃
r=1
Dr.
60 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
Provaremos, a seguir, queGI(x, I[N ]) é Riemann integrável generalizada emDr, com integral
igual a zero e, então, concluiremos que esta função é Riemannintegrável generalizada emD1, com
integral igual a zero.
Lema 3.14.Parar = 1, 2, 3, ...,∫
Dr
GI(x, I[N ]) existe e é igual a zero.
Demonstração:Suponhamos queT1 /∈ τ1, ..., τp. Podemos supor, sem perda de generalidade,
queτi < T1 < T2 < τi+1 para algumi ∈ 0, 1, 2, ..., p, τ0 = τ ′ e τp+1 = τ . Note que
1√
2π(T2 − T1)
∫ +∞
−∞(xT2 − xT1)
2 exp
(
−1
2
(xT2 − xT1)2
T2 − T1
)
dxT1 =
=2(T2 − T1)√
π
∫ +∞
−∞u2 exp(−u2)du =
2(T2 − T1)√π
Γ
(
3
2
)
=
=2(T2 − T1)√
π
√π
2= T2 − T1 = |T2 − T1|.
Então,
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
|xT2 − xT1 |2√
2π(τ1 − τ ′)
i∏
j=2
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)×
×exp
(
−1
2
(xT1 − xτi)2
T1 − τi
)
√
2π(T1 − τi)
exp
(
−1
2
(xT2 − xT1)2
T2 − T1
)
√
2π(T2 − T1)×
×exp
(
−1
2
(xτi+1+ J(xτi+1
) − xT2)2
τi+1 − T2
)
√
2π(τi+1 − T2)
p∏
j=i+2
exp
(
−1
2
(J(xτj ) + xτj − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)×
×exp
(
−1
2
(xτ − xτp)2
τ − τp
)
√
2π(τ − τp)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1
...dxτp =|T2 − T1|
√
2π(τ1 − τ ′).
Sejaς o valor desta última integral. Consideremosh(x(M)) = (xT2 − xT1)2 na expressão de
H1(x, M). Então, pelo item1. do Teorema 3.11, obtemos∫
R]τ ′, τ [
HI(I[N ]) =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞|xT2 − xT1 |2
i∏
j=1
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
×
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 61
×exp
(
−1
2
(xT1 − xτi)2
T1 − τi
)
√
2π(T1 − τi)
exp
(
−1
2
(xT2 − xT1)2
T2 − T1
)
√
2π(T2 − T1)×
×exp
(
−1
2
(xτi+1+ J(xτi+1
) − xT2)2
τi+1 − T2
)
√
2π(τi+1 − T2)
p∏
j=i+2
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
×
×exp
(
−1
2
(xτ − xτp)2
τ − τp
)
√
2π(τ − τp)dxτ1 ...dxτidxT1dxT2dxτi+1
...dxτp
≤ ς =|T2 − T1|
√
2π(τ1 − τ ′),
onde a última desigualdade segue do Teorema de Tonelli (Teorema 3.3).
Dadosǫ > 0 e j ∈ N, podemos escolherT2 e uma divisãoEγ tais que
ǫ
j>
∑
(x, I[N ])∈Eγ
HI(I[N ])(∗)=
∑
(x, I[O])∈Eγ
∫
I(O)
(xT2 − xT1)2gI(x, O)dx1...dxr−1 ≥
≥∑
(x, I[O])∈Eγ
χ(Xj , x)
∫
I(O)
(xT2 − xT1)2gI(x, O)dx1...dxr−1 ≥
≥ 1
j
∑
(x, I[O])∈Eγ
χ(Xj , x)
∫
I(O)
gI(x, O)dx1...dxr−1 =
=1
j
∑
(x, I[O])∈Eγ
χ(Xj , x)GI(x, I[O]).
O símboloO na passagem(∗) é dado porO = ∪N : (x, I[N ]) ∈ Eγ. Comoǫ é arbitrário,∫
R]τ ′, τ [
χ(Xj, x)GI(x, I[N ]) = 0 para todoj = 1, 2, .... Então, pela propriedade de aditividade
finita da integral,∫
R]τ ′, τ [
χ(Dr, x)GI(x, I[N ]) = 0.
SeT1 ∈ τ1, ..., τp, entãoT1 = τi para algumi ∈ 1, 2, ..., p. ConsideremosT1 < T2 < τi+1.
Como∫ +∞
−∞
|xT2 − xτi |2√
2π(T2 − τi)exp
(
−1
2
(xT2 − xτi)2
T2 − τi
)
dxτi = |T2 − T1|, então
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
|xT2 − xT1 |2√
2π(τ1 − τ ′)
i∏
j=2
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
×
62 Capítulo 3 — Integral de Wiener para um processo com impulsos
×exp
(
−1
2
(xT2 − xτi)2
T2 − τi
)
√
2π(T2 − τi)
exp
(
−1
2
(J(xτi+1) + xτi+1
− xT2)2
τi+1 − T2
)
√
2π(τi+1 − T2)×
×p∏
j=i+2
exp
(
−1
2
(xτj + J(xτj ) − xτj−1)2
τj − τj−1
)
√
2π(τj − τj−1)
exp
(
−1
2
(xτ − xτp)2
τ − τp
)
√
2π(τ − τp)×
×dxτ1 ...dxτidxT2dxτi+1...dxτp =
|T2 − T1|√
2π(τ1 − τ).
Portanto,∫
R]τ ′, τ [
HI(I[N ]) ≤ |T2 − T1|√
2π(τ1 − τ ′),
onde∫
R]τ ′,τ [
HI(I[N ]) =
∫
Rp+1
H2(x, M)dxτ1 ...dxτidxT2dxτi+1...dxτp
comh(x(M)) = (xT2 − xT1)2 na expressão deH2(x, M). O resto da prova segue por um argu-
mento análogo.
Teorema 3.15.A integral∫
D1
GI(x, I[N ]) existe e é igual a zero.
Demonstração: Note queD1 =
+∞⋃
r=1
Dr eDr ⊂ Dr+1. Para cada par de associados(x, I[N ]),
definamos
fk(x, I[N ]) = χ(Dk, x)GI(x, I[N ]), k = 1, 2, 3....
Dadox ∈ D1, existe um inteiro positivok0 tal quex ∈ Dk, parak ≥ k0. Assimχ(Dk, x) =
χ(D1, x), parak ≥ k0. Conseqüentemente, para cada par de associados(x, I[N ]), teremos
fk(x, I[N ])k→+∞−→ f0(x, I[N ]),
ondef0(x, I[N ]) = χ(D1, x)GI(x, I[N ]). Note que
|f0(x, I[N ])| ≤ GI(x, I[N ]) e |fk(x, I[N ])| ≤ GI(x, I[N ]), k = 1, 2, 3, . . . .
Dadoǫ > 0, existek1 > 0 tal que
|f0(x, I[N ]) − fk(x, I[N ])| < ǫGI(x, I[N ]),
3.2 A Função volume para um processo com impulsos 63
parak > k1 e para todo par de associados(x, I[N ]). Pelo Teorema 3.6,GI(x, I[N ]) é Riemann
integrável generalizada emR]τ ′, τ [. Pelo Teorema 2.10,f0 é Riemann integrável generalizada em
R]τ ′, τ [ e vale∫
R]τ ′, τ [
f0(x, I[N ]) = limk→+∞
∫
R]τ ′, τ [
fk(x, I[N ]).
Daí, usando o Lema 3.14, obtemos∫
R]τ ′, τ [
χ(D1, x)GI(x, I[N ]) = 0,
o que termina a demonstração.
CAPÍTULO
4
Uma equação diferencial do tipo
Schrödinger com impulsos
4.1 Introdução
Neste capítulo, investigaremos sistemas nos quais um processo impulsivo
z = zt = z(t) : t ∈ ]τ ′, τ [, onde z(t) = x(t) +∑
τi≤tJi,
está sujeito a uma força externa que produz uma manifestaçãoadicional no processo em questão.
Representaremos esta força externa pela função potencialV , que depende da função de posição
z(t) em qualquer momento de tempot.
Uma função de estado,φ(ξ, τ), que descreve a evolução desde sistema, comξ := x(τ), é
freqüentemente obtida como uma solução de uma equação de difusão parabólica apropriada e, às
65
66 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos
vezes, esta solução possui uma representação do tipo Feynman-Kac
φ(ξ, τ) =
∫
R]τ ′,τ [
f(x)µ(I).
Investigaremos um método para determinarmos a funçãoφ(ξ, τ) e mostraremos como as dis-
continuidades deφ estão relatadas com os impulsos do processoz.
Nossa investigação é restrita a uma função impulsoJ , que é determinística e depende da função
de posiçãoz(t). Os impulsos ocorrem em tempos pré-fixadosτi, i = 1, 2, . . . , p. Finalizaremos
este capítulo apresentando um exemplo que ilustra a teoria em questão, exibindo o valor explícito
deφ quando os impulsos e a funçãoV são constantes.
4.2 Uma equação de difusão para um processo impul-
sivo
Iniciaremos esta seção apresentando o conceito de solução para uma equação diferencial par-
cial com impulsos. Tais conceitos, que apresentamos a seguir, foram inspirados nos conceitos
apresentados por J. Luo em [22].
Suponhamos que0 = τ0 < τ1 < τ2 < ... < τp < τ sejam números dados eτ ∈ ]0, +∞[.
Definamos
∆ = R × [0, τ ],
Γk = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ ]τk, τk+1[ , 0 ≤ k ≤ p− 1,
Γk = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ [τk, τk+1[ , 0 ≤ k ≤ p− 1,
Γp = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ ]τp, τ [ ,
Γp = (ψ, t) : ψ ∈ R, t ∈ [τp, τ [ ,
Γ =
p⋃
k=0
Γk e Γ =
p⋃
k=0
Γk.
Representemos porK(∆, R) a classe das funçõesu : ∆ → R que satisfazem as seguintes
propriedades:
4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo 67
i) as funçõesu|Γk, k = 0, 1, ..., p são contínuas.
ii) para cadak, k = 1, ..., p, o limite lim(ν, t)→(ψ, τ−
k)u(ν, t) = u(ψ, τ−k ), ψ ∈ R, existe.
iii) para cadak, k = 1, ..., p, o limite lim(ν, t)→(ψ, τ+
k)u(ν, t) = u(ψ, τ+
k ), ψ ∈ R, existe.
Consideremos a seguinte equação diferencial parcial do tipo Schrödinger definida para todo
(ψ, t) ∈ Γ∂
∂tu(ψ, t) − 1
2
∂2
∂ψ2u(ψ, t) + V (ψ)u(ψ, t) = 0, (4.1)
e sujeita à condição de impulso
u(ψ, τk) − u(ψ, τ−k ) = I(ψ, τk, u(ψ, τk)), (4.2)
parak = 1, 2, ..., p, ondeV : R → R e I : R3 → R são funções reais.
Definição 4.1.Diremos que uma funçãou : ∆ → R é uma solução do problema(4.1) − (4.2) se
as seguintes condições estiverem satisfeitas
i) u ∈ K(∆, R);
ii) as derivadasut(ψ, t), uψψ(ψ, t) existem para cada(ψ, t) ∈ Γ;
iii) u satisfaz(4.1) emΓ e satisfaz(4.2) em cadaτk, k = 1, 2, ..., p.
ConsideremosUI como sendo uma função com valores reais defina emR que admite derivada
de segunda ordem.
Dadoss ∈ ]τ ′, τ [ e ς ∈ R, sejaN (σ) = t1, ...., tr−1, ondet0 = τ ′ e tr = s. Definamos
vI(N(s), I(s); ς, s) =
∫
I(N(s))
gI(y, N(s))e−UI(xr−1)(s−τ ′)dy(N (s))
e
qI(x, N(s), I(s)) = gI(x, N
(s))
r−1∏
j=1
∆Ij .
Lembremos queI(N (s)) = [u1, v1[×...× [ur−1, vr−1[ e∆Ij = vj − uj, 1 ≤ j ≤ r − 1.
68 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos
Assim, definamos a função
WI(x, N(s), I(s); ς, s) = qI(x, N
(s), I(s))e−UI(xr−1)(s−τ ′).
SeWI(x, N (s), I(s); ς, s) for Riemann integrável generalizada emR]τ ′, s[, então definiremos
φI(ς, s) =
∫
R]τ ′, s[
WI(x, N(s), I(s); ς, s).
Notemos que o domínio de integração éR]τ ′, s[ ao invés deR]τ ′, τ [ e os elementosx,N (s) eI(s) são
tomados emR]τ ′, s[.
Pela prova que P. Muldowney fez na Proposição 41, [24], podemos concluir que as expressões
WI(x, N (s), I(s); ς, s), vI(N (s), I(s); ς, s) e e−UI(xr−1)(s−τ ′)GI(x, I[N (s)]) são variacionalmente
equivalentes emR]τ ′, s[. Portanto, temos o resultado seguinte.
Proposição 4.2.As seguintes igualdades são válidas
φI(ς, s) =
∫
R]τ ′, s[
vI(N(s) I(s); ς, s) =
∫
R]τ ′, s[
e−UI(xr−1)(s−τ ′)GI(x, I[N(s)]),
sempre que uma das integrais existir.
Consideremos a seguinte equação diferencial do tipo Schrödinger emΓ
∂
∂su(ς, s) − 1
2
∂2
∂ς2u(ς, s) + V (ς)u(ς, s) = 0, (4.3)
ondeV (ς) = −1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]
, sujeita à condição de impulso
u(ξk, τk) − u(ξk, τ−k ) = I(ξk, τk, u(ξk, τk)), (4.4)
ondex(τk) = ξk para cadak = 1, 2, ..., p, e
I(ξ1, τ1, u(ξ1, τ1)) = A1,
com
A1 =exp
(
−12
(xi1+J(xi1
)−ξ′)2τ1−τ ′ − UI(ξ1)(τ1 − τ ′)
)
√
2π(τ1 − τ ′)−
exp(
−12
(xi1−ξ′)2
τ1−τ ′ − UI(ξ1)(τ1 − τ ′))
√
2π(τ1 − τ ′)
e
I(ξk, τk, u(ξk, τk)) =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞A×Bdxi1 ...dxik−1
, if 2 ≤ k ≤ p
4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo 69
com
A =
k−1∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
,
e
B =exp
(
−12
(xik+J(xik
)−xik−1)2
tik−tik−1− UI(ξk)(τk − τ ′)
)
√
2π(tik − tik−1)
+
−exp
(
−12
(xik−xik−1
)2
tik−tik−1− UI(ξk)(τk − τ ′)
)
√
2π(tik − tik−1)
.
Nosso objetivo é provar que a funçãoφI(ς, s) é solução do problema(4.3) − (4.4), paraτ ′ <
s < τ e ς ∈ R.
Antes, porém, vamos provar a integrabilidade da funçãoWI(x, N (s), I(s); ς, s) e estudar a
continuidade da funçãoφI(ς, s).
Proposição 4.3.Sejamτ ′ < s < τ ex(s) = ς. Então a funçãoWI(x, N (s), I(s); ς, s) é Riemann
integrável generalizada emR]τ ′, s[ e∫
R]τ ′, s[
WI(x, N(s), I(s); ς, s) =
= e−UI(ς)(s−τ ′)∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
r(s)+1∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
dxi1 ...dxir(s)
,
ondeti0 = t0 = τ ′, r(s) = max
j : j ∈ 1, 2, ..., p e tij < s
e tir(s)+1= s.
Demonstração: ComoUI é contínua emς, dadoǫ > 0, o Teorema 3.15 nos diz que, parax ∈R]τ ′, s[ contínuo ems, podemos escolherL(x) de maneira que
N (s) = t1, ..., tr−1 ⊇ L(x) ⊇ I
implica na seguinte desigualdade∣
∣
∣e−UI(xr−1)(s−τ ′) − e−UI(ς)(s−τ ′)
∣
∣
∣<
ǫ
ϕ(ς, s),
onde
ϕ(ς, s) =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
r(s)+1∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
dxi1 ...dxir(s)
.
70 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos
Pela Proposição 3.5,0 < ϕ(ς, s) < +∞, para todos ∈ ]τ ′, τ [ e todoς ∈ R. Pelo Teorema 3.6,
temos∫
R]τ ′, s[
GI(x, I[N(s)]) = ϕ(ς, s).
Então podemos escolher uma função calibreγ tal que, para cada divisãoγ-fina,Eγ, vale
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x,I[N(s)])∈Eγ
[
e−UI(xr−1)(s−τ ′)GI(x, I[N(s)]) − e−UI(ς)(s−τ ′)GI(x, I[N
(s)])]
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<
<ǫ
ϕ(ς, s)
∑
(x,I[N(s)])∈Eγ
GI(x, I[N(s)]) <
ǫ
ϕ(ς, s)(ǫ+ ϕ(ς, s)),
donde obtemos o resultado.
Como conseqüência da Proposição 4.3, temos o resultado seguinte.
Corolário 4.4. A funçãoφI satisfaz a condição dada em(4.4).
A seguir, mostraremos um resultado que determina a continuidade da funçãoφI nos intervalos
onde não há impulsos.
Proposição 4.5.Sejams ∈ ]τ ′, τ [\τ1, ..., τp e ς ∈ R. Dado ǫ > 0, existeδ > 0 tal que, se
|s1 − s| < δ e |ς1 − ς| < δ, então|φI(ς1, s1) − φI(ς, s)| < ǫ.
Demonstração: Sejas ∈ ]τ ′, τ [\τ1, ..., τp. Podemos supor, sem perda de generalidade, que
τk < s < τk+1, para algumk ∈ 0, 1, ...., p, ondeτ0 = t0 = τ ′ eτp+1 = τ . Então existe umδ > 0
tal que]s− δ, s+ δ[⊂ ]τk, τk+1[. Pela Proposição 4.3, vale
φI(ψ, β) = e−UI(ψ)(β−τ ′)∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
k+1∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
dxi1 ...dxik ,
para todoβ ∈ ]s− δ, s + δ[ e para todoψ ∈ R, ondeti0 = τ ′, tik+1= β, x(τ ′) = ξ′, x(β) = ψ e
J(xik+1) = 0. Dadoβ ∈ ]s− δ, s+ δ[, β 6= s, consideremos as seguintes expressões
ωI(ς, s) = e−UI(ς)(s−τ ′)
k∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
exp(
−12
(ς−xik)2
s−tik
)
√
2π(s− tik)
4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo 71
e
ωI(ψ, β) = e−UI(ψ)(β−τ ′)
k∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
exp(
−12
(ψ−xik)2
β−tik
)
√
2π(β − tik).
ComoUI é contínua, entãoωI(ψ, β) → ωI(ς, s) quandoψ → ς eβ → s. Note queωI(ς, s) > 0.
Assim, dadoǫ > 0, existeδ1 > 0, δ1 < δ, tal que
|ωI(ψ, β) − ωI(ς, s)| < ǫωI(ς, s).
sempre que0 < |ψ − ς| < δ1 e 0 < |β − s| < δ1. Pelo teorema da convergência dominada
(Teorema 2.10), obtemos
φI(ψ, β) → φI(ς, s),
quandoψ → ς eβ → s. Portanto o resultado está provado.
O próximo resultado diz queφI admite limites laterais nos pontosτ1, ..., τp.
Teorema 4.6.Sejamx(τk) = ξk, parak = 1, 2, ..., p. Então os limites
lim(ς, s)→(ξk, τ
+k
)φI(ς, s) e lim
(ς, s)→(ξk, τ−
k)φI(ς, s)
existem para cadak = 1, 2, ..., p.
Demonstração:Sejas = τk para algumk ∈ 1, 2, ..., p. Sejaδ > 0 suficientemente pequeno, tal
que,τk−1 < s− δ < s+ δ < τk+1. Pela Proposição 4.3, temos
φI(ς, τk + δ) = e−UI(ς)(τk+δ−τ ′)∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
k∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
×
×exp
(
−12
(ς−ξk)2
δ
)
√2πδ
dxi1...dxik .
Agora, notemos que
k∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij −tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
exp(
−12
(ς−ξk)2
δ
)
√2πδ
≤
72 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos
≤(
1√
2π(ti1 − ti0)
)
k∏
j=2
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij −tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
exp(
−12
(ς−ξk)2
δ
)
√2πδ
.
Definamosα como sendo o lado direito da desigualdade acima. Então a integral
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞αdxi1 ...dxik
existe e seu valor é igual a1
√
2π(ti1 − ti0)=
1√
2π(τ1 − τ ′). Assim,
φI(ς, τk + δ) ≤ e−UI(ς)(τk+δ−τ ′)√
2π(τ1 − τ ′).
Portanto o limite lim(ς, s)→(ξk, τ
+k
)φI(ς, s) existe.
Notemos, agora, que
φI(ς, τk − δ) = e−UI(ς)(τk−δ−τ ′)∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
k−1∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij −tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
×
×exp
(
−12
(ς−ξk−1)2
(τk−δ−τk−1)
)
√
2π(τk − δ − τk−1)dxi1 ...dxik−1
.
Analogamente ao que fizemos acima, obtemos
φI(ς, τk − δ) ≤ e−UI(ς)(τk−δ−τ ′)√
2π(τ1 − δ − τ ′)se k = 1
e
φI(ς, τk − δ) ≤ e−UI(ς)(τk−δ−τ ′)√
2π(τ1 − τ ′)se k = 2, 3, ..., p.
Assim, o limite lim(ς, s)→(ξk , τ
−
k)φI(ς, s) também existe.
Na prova da Proposição 4.5, definimosωI(ς, s) por
ωI(ς, s) = e−UI(ς)(s−τ ′)
r(s)∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
exp
(
−12
(ς−xir(s))2
s−tir(s)
)
√
2π(s− tir(s))
,
4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo 73
paraτ ′ < s < τ tal ques 6= τj , para cadaj = 1, 2, ..., p, ς ∈ R. Notemos, também, que
φI(ς, s) =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
As derivadas parciais∂ωI(ς, s)
∂se∂2ωI(ς, s)
∂ς2são dadas a seguir:
∂ωI(ς, s)
∂s= −UI(ς)ωI(ς, s) −
1
2(s− tir(s))ωI(ς, s) +
1
2
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)2
ωI(ς, s),
∂ωI(ς, s)
∂ς= −UI(ς)(s− τ ′)ωI(ς, s) −
(ς − xir(s))
s− tir(s)
ωI(ς, s)
e
∂2ωI(ς, s)
∂ς2=
[
−UI(ς)(s− τ ′) + [UI(ς)(s− τ ′)]2 + 2UI(ς)(s− τ ′)
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)]
ωI(ς, s)+
− 1
s− tir(s)
ωI(ς, s) +
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)2
ωI(ς, s).
Portanto,∂ωI(ς, s)
∂s− 1
2
∂2ωI(ς, s)
∂ς2= ρ(ς, s)ωI(ς, s), (4.5)
ondeρ(ς, s) =1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)(s− τ ′)
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)
− 2UI(ς)
]
.
O próximo resultado diz queρ(ς, s)ωI(ς, s) é Riemann integrável generalizada.
Proposição 4.7.Sejamτ ′ < s < τ , coms 6= τj para todoj = 1, 2, ..., p, e x(s) = ς. Então a
funçãoρ(ς, s)ωI(ς, s) é Riemann integrável generalizada e
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ρ(ς, s)ωI(ς, s)dxi1...dxir(s)
=
=1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]
φI(ς, s).
Demonstração:É suficiente provarmos que
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)
ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)= 0.
74 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos
De fato. Notemos que
∫ +∞
−∞
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
) exp
(
−12
(ς−xir(s))2
s−tir(s)
)
√
2π(s− tir(s))
dxir(s)= 0.
Definamos
κ(ς, s) = e−UI(ς)(s−τ ′)(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)
r(s)−1∏
j=1
exp(
−12
(xij+J(xij
)−xij−1)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
×
× 1√
2π(tir(s)− tir(s)−1
)
exp
(
−12
(ς−xir(s))2
s−tir(s)
)
√
2π(s− tir(s))
.
Pelo Teorema de Fubini ([36], Teorema 6.6.3), obtemos
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞κ(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
= 0.
Como
0 ≤(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)
ωI(ς, s) ≤ κ(ς, s) ou κ(ς, s) ≤(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)
ωI(ς, s) ≤ 0,
segue do Teorema de Tonelli (Teorema 3.3) que
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)
ωI(ς, s) é Riemann integrável ge-
neralizada e∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
(
ς − xir(s)
s− tir(s)
)
ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)= 0.
Portanto temos o resultado desejado.
Pela Proposição 4.7, a expressão∂ωI(ς, s)
∂s− 1
2
∂2ωI(ς, s)
∂ς2na equação(4.5) é Riemann inte-
grável generalizada e
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
(
∂ωI(ς, s)
∂s− 1
2
∂2ωI(ς, s)
∂ς2
)
dxi1 ...dxir(s)=
=1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]
φI(ς, s).
4.2 Uma equação de difusão para um processo impulsivo 75
Agora, o problema é mostrarmos que
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
∂ωI(ς, s)
∂sdxi1 ...dxir(s)
=∂
∂s
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
e∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞
∂2ωI(ς, s)
∂ς2dxi1 ...dxir(s)
=∂2
∂ς2
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
de onde concluiremos que
∂φI∂s
(ς, s) − 1
2
∂2φI∂ς2
(ς, s) − 1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]
φI(ς, s) = 0
para cada(ς, s) ∈ Γ. Para provarmos isso, introduziremos algumas notações adicionais a seguir.
Consideremosf(ς, s), e definamos
Dabcf(ς, s) =1
afa(ς, s) −
1
2bcfbc(ς, s),
onde
fa(ς, s) = f(ς, s+ a) − f(ς, s)
e
fbc(ς, s) = f(ς + b+ c, s) − f(ς + b, s) − f(ς + c, s) + f(ς, s)
paraa, b, c números reais não-nulos quaisquer. Então
lima,b,c→0
Dabcf(ς, s)
existirá e será igual a∂f
∂s(ς, s) − 1
2
∂2f
∂ς2(ς, s)
se, e somente se, as derivadas parciais∂f
∂s,∂2f
∂ς2
existirem.
No caso em quef = ωI , as derivadas∂ωI(ς, s)
∂s,∂2ωI(ς, s)
∂ς2existem. Então
lima,b,c→0
DabcωI(ς, s) =∂ωI∂s
(ς, s) − 1
2
∂2ωI∂ς2
(ς, s) = ρ(ς, s)ωI(ς, s). (4.6)
76 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos
Pela Proposição 4.7, o limitelima,b,c→0
DabcωI(ς, s) é Riemann integrável generalizado e
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞lim
a,b,c→0DabcωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
=
=1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]
φI(ς, s). (4.7)
Daí, se provarmos que∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞lim
a,b,c→0DabcωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
=
= lima,b,c→0
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞DabcωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
,
então concluiremos que∂φI∂s
e∂2φI∂ς2
existem.
O próximo teorema mostra a existência das derivadas∂φI∂s
e∂2φI∂ς2
.
Teorema 4.8.Sejamτ ′ < s < τ , ondes 6= τj para todoj = 1, 2, ..., p, e x(s) = ς. Então as
derivadas parciais∂φI∂s
(ς, s) e∂2φI∂ς2
(ς, s) existem para cada(ς, s) ∈ Γ.
Demonstração: Sejaǫ > 0 dado. Pela equação(4.6), podemos escolherµ > 0 tal que se0 <
|α| < µ, 0 < |β| < µ e0 < |γ| < µ, então
|DαβγωI(ς, s) − ρ(ς, s)ωI(ς, s)| < ωI(ς, s)ǫ.
Dadosx, N , I, escolhamosα0, β0 eγ0 satisfazendo0 < α0 < µ, 0 < β0 < µ e0 < γ0 < µ e tais
que
sup0<|α|<α0
0<|β|<β0
0<|γ|<γ0
|DαβγωI(ς, s) − ρ(ς, s)ωI(ς, s)| < ωI(ς, s).
Como0 < |α| < α0, 0 < |β| < β0 e0 < |γ| < γ0, então
−ωI(ς, s) ≤ DαβγωI(ς, s) − ρ(ς, s)ωI(ς, s) ≤ ωI(ς, s).
Daí, pelo teorema da convergência dominada (Teorema 2.10),obtemos
limα, β, γ→0
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞DαβγωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
=
4.3 Exemplo 77
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ρ(ς, s)ωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
=
=1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]
φI(ς, s) =
(4.7)=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞lim
α, β, γ→0DαβγωI(ς, s)dxi1 ...dxir(s)
.
E, como
limα, β, γ→0
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞DαβγωI(ς, s)dxi1...dxir(s)
=∂φI(ς, s)
∂s− 1
2
∂2φI(ς, s)
∂ς2,
o teorema está provado.
Assim, concluímos o resultado seguinte.
Teorema 4.9.A função
φI(ς, s) =
∫
R]τ ′, s[
WI(x, N(s), I(s); ς, s)
satisfaz a equação diferencial do tipo Schrödinger emΓ
∂
∂su(ς, s) − 1
2
∂2
∂ς2u(ς, s) + V (ς)u(ς, s) = 0,
ondeV (ς) = −1
2
[
UI(ς)(s− τ ′) − [UI(ς)(s− τ ′)]2 − 2UI(ς)]
, sujeita à condição de impulso
u(ξk, τk) − u(ξk, τ−k ) = I(ξk, τk, u(ξk, τk)),
ondex(τk) = ξk e I(ξk, τk, u(ξk, τk)) é dado em(4.4), k = 1, 2, ..., p.
4.3 Exemplo
Vamos apresentar o valor explícito da funçãoφI, quando os impulsos são independentes da
função de posiçãox(t) e a funçãoVI(t) = β para todot ∈ R, comβ ∈ R. Consideremos o
operador impulsoJ : R → R dado porJ(x(τj)) = αj, 1 ≤ j ≤ p. Sejams ∈ ]τ ′, τ [, ς ∈ R e
N (s) = t1, ...., tr−1, comt0 = τ ′ e tr = s.
Consideremos a função auxiliar : R → R dada por
(x(t)) =
x(t), se t 6= τj para todoj = 1..., p,
x(t) + J(x(t)), se t = τj para algumj = 1, ..., p.
78 Capítulo 4 — Uma equação diferencial do tipo Schrödinger com impulsos
Então
ωI(ς, s) = e−β(s−τ ′)
r(s)∏
j=1
exp(
−12
(xij+αj−xij−1
)2
tij−tij−1
)
√
2π(tij − tij−1)
exp
(
−12
((ς)−xir(s))2
s−tir(s)
)
√
2π(s− tir(s))
.
Pelo Lemma 2.11, obtemos∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞ωI(ς, s)dxi1...dxir(s)
=
=e−β(s−τ ′)
√
2π(s− τ ′)exp
(
−1
2
((ς) − ξ′ + α1 + ... + αr(s))2
s− τ ′
)
.
Daí, pelo Teorema 4.9, concluímos que
φI(ς, s) =e−β(s−τ ′)
√
2π(s− τ ′)exp
−1
2
(ς) − ξ′ +∑
s≥τjαj
2
s− τ ′
é solução da equação diferencial parcial do tipo Schrödinger emΓ
∂
∂τu(τ, ξ) − 1
2
∂2
∂ξ2u(τ, ξ) + βu(τ, ξ) = 0,
sujeita à condição de impulso
u(ξ1, τ1) − u(ξ1, τ−1 ) =
=1
√
2π(τ1 − τ ′)
[
exp
(
−1
2
(ξ1 − ξ′ + α1)2
τ1 − τ ′
)
− exp
(
−1
2
(ξ1 − ξ′)2
τ1 − τ ′
)]
.
e
u(ξk, τk) − u(ξk, τ−k ) =
=1
√
2π(τk − τ ′)
exp
−1
2
(
ξk − ξ′ +k∑
i=1
αi
)2
τk − τ ′
− exp
−1
2
(
ξk − ξ′ +k−1∑
i=1
αi
)2
τk − τ ′
,
para cadak = 2, ..., p.
CAPÍTULO
5A equação de Black-Scholes com ação
impulsiva
5.1 Introdução
No modelo de Black-Scholes (veja [5]), o preço de um ativo econômico é uma função randômica
temporal e é considerado um movimento browniano geométrico. Isto implica que, se o valorxj−1
ocorrer no tempotj−1, então a probabilidade de que emtj o processo tenha valorxj , uj ≤ xj < vj ,
é dada por∫ vj
uj
1
xjAjexp
(
−(ln xj − ln xj−1)2
2σ2(tj − tj−1)
)
dxj ,
ondeAj é o fator normalizador√
2πσ2(tj − tj−1), paraj = 1, 2, ..., n.
Quando precificamos um ativo derivativo, tal como uma opção de compra européia (veja [3]),
cujo valor depende do movimento do valor do ativo adjacente,a probabilidade envolvida é dada
79
80 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
por∫ vj
uj
1
xjAjexp
[
− 1
2σ2
(
ln xj − ln xj−1 − (µ− 12σ2)(tj − tj−1)
tj − tj−1
)2
(tj − tj−1)
]
dxj,
ondeσ é a volatilidade eµ é a tendência (drift rate) do movimento browniano.
De um modo geral, a probabilidade de que, no tempotj , o preço do ativo subjacente sejaxj ,
ondeuj ≤ xj < vj e1 ≤ j ≤ n, é dada pela integral∫ v1
u1
...
∫ vn
un
n∏
j=1
Bjdx1...dxn,
onde
Bj =1
xjAjexp
[
− 1
2σ2
(
ln xj − ln xj−1 − (r − 12σ2)(tj − tj−1)
tj − tj−1
)2
(tj − tj−1)
]
eAj =√
2πσ2(tj − tj−1), 1 ≤ j ≤ n.
A teoria de apreçamento requer que o espaço amostral para os eventos ocorridos seja estendido
usando o Teorema de Kolmogorov para uma sigma álgebra de conjuntos mensuráveis em um es-
paço amostral de dimensão infinita, cujos elementos representativos são funções contínuas, requer
que o processo envolvido seja representando por uma equaçãodiferencial estocástica apropriada,
que uma medida adequada para o espaço amostral seja encontrada por meio dos teoremas de Gir-
sanov e Radon-Nikodym e requer, também, que o valor do ativo derivativo seja determinado por
meio de um valor esperado (esperança) usando a integral de Lebesgue.
Em [29], P. Muldowney considerou uma opção de compra européia, cuja dependência do
valor do ativo subjacente tem uma forma bastante simples, e obteve um valor esperado estatís-
tico dado por uma integral emn dimensões, com respeito a probabilidade definida pela integral
n-dimensional acima. Assim, P. Muldowney obteve um resultado similar ao resultado conhecido
pelo modelo contínuo usando a integral de Henstock em lugar da integral de Lebesgue. Além
disso, o valor esperado satisfaz a clássica equação diferencial parcial de Black-Scholes (veja [3],
p. 91).
Neste capítulo, estenderemos o trabalho feito por P. Muldowney em [29], para um processo
sujeito a uma ação impulsiva em tempos pré-determinados. Utilizaremos a teoria moderna de
integração não-absoluta baseada na teoria de integração deRiemann generalizada de Henstock e
Kurzweil.
5.2 A função distribuição de probabilidades para um processo impulsivo 81
5.2 A função distribuição de probabilidades para um pro-
cesso impulsivo
SejaJ : R → R∗+ o operador impulso que consideraremos uma função contínua.Sejamτ ′, τ
números reais tais que0 < τ ′ < τ eN = t1, ..., tn−1, tn ⊂ ]τ ′, τ ], ondeτ ′ = t0 e τ = tn, e
consideremos o conjuntoI = τ1, ..., τp ⊂ N , τ1 < τ2 < ... < τp.
Denotaremos o espaço de funçõesR]τ ′, τ ]+ como sendo o espaço de todas as funções definidas
em ]τ ′, τ ] com valores emR∗+.
Sejaσ ∈ R+ uma constante positiva. Dadoy ∈ R]τ ′, τ ]+ , assumamos que o preço do ativo
adjacente seja dado por uma distribuição log-normal com volatilidadeσ. Seja a função definida
no exemplo da Seção 4.3 do Capítulo 4. DefinamoshI(y, N) por
hI(y, N) =
n∏
j=1
exp
(
− 1
2σ2
(ln (yj) − ln yj−1)2
tj − tj−1
)
√
2πσ2(tj − tj−1). (5.1)
e a funçãoKI(x, N, I; ξ, τ ′), por
KI(x, N, I; ξ, τ′) =
∫
I(N)
hI(x, N)dx1
x1...dxnxn
=
∫ v1
u1
...
∫ vn
un
hI(x, N)dx1
x1...dxnxn
,
ondeN = t1, t2, ..., tn−1, tn, com t0 = τ ′, tn = τ e x(τ ′) = ξ > 0. Notemos queI(N) =
[u1, v1[×...× [un, vn[.
Sejamx, N e I associados, isto é,(x, I[N ]) é um par de associados. Então definimos no
espaço de dimensão infinitaR]τ ′, τ ]+ a função
KI(x, I[N ]) := KI(x, N, I; ξ, τ′).
Para provarmos queKI(x, I[N ]) representa uma função distribuição de probabilidade, pre-
cisamos impor alguma condição sobre o operador de impulsoJ . Assim, paray ∈ R]τ ′, τ ]+ , conside-
remos o conjunto de operadores de impulsos
L =
J ∈ C(R, R) :
∫ +∞
0
e− 1
2σ2
[lnJ(yij)+ln yij−ln yij−1 ]
2
tij−tij−1
yij√
2πσ2(tij − tij−1)
dyij = 1, j = 1, 2, ..., p
.
82 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
Note queL 6= ∅, tendo em vista que uma função constante pertence a este conjunto. Assumiremos,
neste capítulo, que o operador de impulsoJ ∈ L.
Nosso interesse, agora, é verificar se a funçãoKI(x, I[N ]) é integrável no sentido da integral
de Riemann generalizada emR]τ ′, τ ]+ .
Recordemos algumas funções auxiliares que foram apresentadas no Capítulo 3, a saber,φ1, φ2 :
R×]τ ′, τ [−→ R eΦj : R × R×]τ ′, τ [×]τ ′, τ [−→ R, j = 1, 2, ..., p− 1, definidas por
φ1(yk, tk) =1
√
2πσ2(tk − τ ′)exp
(
− 1
2σ2
(yk − ξ)2
tk − τ ′
)
,
parak ∈ 1, 2, ..., i1 − 1,
φ2(yip, tip) =1
√
2πσ2(τ − tip)exp
(
− 1
2σ2
(yn − yip)2
τ − tip
)
e
Φj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1) =1
√
2πσ2(tij+1−1 − tij )exp
(
− 1
2σ2
(yij+1−1 − yij )2
tij+1−1 − tij
)
,
paraj = 1, 2, ..., p− 1.
Como fizemos anteriormente, definimosφ1(J(yk), tk) parak ∈ J = i1, i2, ..., ip, substi-
tuindo yk por J(yk) + yk na expressão de φ1(yk, tk), e definimos
Φj(yij , J(yij+1), tij , tij+1
), substituindoyij+1−1 porJ(yij+1) + yij+1
e tij+1−1 por tij+1na expressão
deΦj(yij , yij+1−1, tij , tij+1−1), paraj ∈ 1, 2, ..., p− 1.
Proposição 5.1.SejaN = t1, t2, ..., tn ⊂ ]τ ′, τ ], comt0 = τ ′ e tn = τ . SejahI(y, N) dada por
(5.1), ondey(τ ′) = y(t0) = ξ. Então a funçãohI(y, N) é Riemann integrável generalizada com
respeito ay emRn+ e
∫
Rn+
hI(y, N)dy1
y1...dynyn
= 1.
Demonstração:Fazendo a mudança de variávelxj = ln yj, para cadaj = 1, 2, ..., n, obtemos
∫ +∞
0
...
∫ +∞
0
hI(y, N)dy1
y1...dynyn
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞gI(x, N)dx1...dxn,
5.2 A função distribuição de probabilidades para um processo impulsivo 83
ondex0 := ln ξ e a função impulso na expressão degI é dada pela composiçãoJ ′ = ln J exp.
Pela Proposição 3.5,gI(x, N) é Riemann integrável generalizada emRn−1 e∫
Rn−1
gI(x, N)dx1...dxn−1 =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞φ1(J
′(yi1), ti1)
[
p−1∏
j=1
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1)
]
φ2(yip, tip)
p∏
j=1
dyij .
Como
∫ +∞
−∞φ2(yip, tip)dxn =
∫ +∞
−∞
exp
(
− 1
2σ2
(xn − yip)2
τ − tip
)
√
2πσ2(τ − tip)dxn = 1,
podemos concluir que∫
Rn
gI(x, N)dx1...dxn−1dxn =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞φ1(J
′(yi1), ti1)
[
p−1∏
j=1
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1)
]
p∏
j=1
dyij .
ComoJ ∈ L, concluímos que∫
Rn+
hI(y, N)dy1
y1...dynyn
= 1
e temos o resultado.
Agora, podemos obter a integrabilidade deKI(x, I[N ]) no espaço de dimensão infinitaR]τ ′, τ ]+ .
Teorema 5.2.A funçãoKI(x, I[N ]) é Riemann integrável generalizada emR]τ ′, τ ]+ , isto é, a inte-
gral∫
R]τ ′, τ ]+
KI(x, I[N ])
existe e vale1.
Demonstração:Consideremos uma divisãoE = (x, I[N ]) deR]τ ′, τ ]+ , onde cadaN escolhido é
tal queI ⊆ N ∈ F(]τ ′, τ ]). Então a soma de Riemann deKI é dada por
∑
(x, I[N ])∈EKI(x, I[N ]).
SejaM = ∪N : (x, I[N ]) ∈ E e enumeremosM comot1, ..., tm, ondeτ ′ = t0, τ = tm e
t0 < t1 < ... < tm−1 < tm. Cada termoKI(x, I[N ]) da soma de Riemann pode ser reescrito como
84 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
KI(x, I[M ]); basta inserirmosln yj ’s adicionais na expressão dehI , j ∈ N \J , e integrarmos de
0 a+∞ sobre osyj ’s extras. Então a soma de Riemann torna-se
∑
(x, I[M ])∈EKI(x, I[M ]),
comM sendo um conjunto fixo de dimensões. Desta maneira, estamos lidando com uma soma de
Riemann de uma integral emm dimensões. Logo, cada termo da soma de Riemann é uma integral
sobreI[M ] ⊂ Rm e, pela propriedade de aditividade finita desta integral emRm, temos
∑
(x, I[M ])∈EKI(x, I[M ]) =
∫ +∞
0
...
∫ +∞
0
hI(y, M)dy1
y1
...dymym
. (5.2)
Pela Proposição 5.1, a integral (5.2) existe e seu valor é igual a1. Assim
∑
(x, I[M ])∈EKI(x, I[M ]) = 1.
Então dadoǫ > 0, para qualquer função calibreγ, escolhida tal queL(x) ⊇ I, para todo
(x, I[N ]) ∈ Eγ, I ⊆ L(x) ⊆ N implica que
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∑
(x, I[N ])∈Eγ
KI(x, I[N ]) − 1
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< ǫ.
Portanto∫
R]τ ′, τ ]
KI(x, I[N ]) = 1 e a prova está completa.
Assim,KI(x, I[N ]) é uma função distribuição de probabilidades, ou seja, se um ativo finan-
ceiro tiver valorx(tj−1) := xj−1 no momento de tempotj−1, então a funçãoKI(x, N, I; ξ, τ ′)
nos dará a probabilidade de que, no tempotj, o preço tenha um valorxj = x(tj) entreuj evj .
Como conseqüência do Corolário 3.8 (veja também a Proposição 3.7), obtemos o resultado a
seguir.
Proposição 5.3.As funçõeshI(x, N)
n∏
j=1
∆Ijxj
eKI(x, I[N ]) são variacionalmente equivalentes.
5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos 85
5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos
Sejamσ e µ respectivamente a volatilidade e a tendência para um processo de Wienerx(t).
Consideremosµ uma constante real. DadoN = t1, ..., tn, comt0 = τ ′ e tn = τ , P. Muldowney
([29]) definegµσ(x, N ; µ, σ) por
n∏
j=1
[
exp
(
− 1
2σ2
(
ln xj − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)
tj − tj−1
)2
(tj − tj−1)
)]
√
2πσ2(tj − tj−1).
e a funçãoQµσ(I[N ]) por
Qµσ(I[N ]) =
∫
I(N)
gµσ(x, N ; µ, σ)n∏
j=1
dxjxj
.
Em uma aproximação usual, usando o cálculo de Itô e a integração de Lebesgue,Qµσ(I[N ])
pode ser vista como uma pré-medida que é usada para gerar uma medida de probabilidadePQµσ
sobre um espaço amostralΩ, e que pode determinar o valor esperado de funcionaish definidos no
espaço amostralΩ.
Consideremosh(x) como sendo a função descontoe−r(T−t) maxx(T ) −K, 0, r > 0. Pela
fórmula de Black-Scholes, o preço de uma opção de compra do tipo européia no tempot, com
preço de exercícioK na maturidadeT , é dada pelo valor esperadoE(h) =
∫
C(]τ ′, τ ])
hdPQµσ,
desde queµ seja tomado como sendo a taxa de juros livre de riscosr. O espaçoC(]τ ′, τ ]) na
integral denota o espaço das funções contínuas emR]τ ′, τ ].
Entretanto, usando a integral de Riemann generalizada de Henstock, P. Muldowney, em [29],
deduz a fórmula de precificação diretamente da pré-medidaQµσ(I[N ]), calculando a integral∫
C(]τ ′, τ ])
h(x)Qµσ(I[N ]) como uma integral de Henstock. O cálculo de Itô não é usado nesta
aproximação, e, a menos de alguns detalhes técnicos apresentados em [29], o resultado segue
diretamente da definição da integral de Henstock [15]. Veja também [14] e [24].
Estenderemos este resultado a seguir. Consideraremos um processo qualquer definido em um
espaço da formaR]τ ′, τ ] sujeito a uma ação impulsiva. Primeiramente, estabeleceremos a função
distribuição de probabilidades para um processo com impulsos em um espaço de funções que
utilizaremos na equação de Balck-Scholes.
86 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
DadoN = t1, ..., tn, comt0 = τ ′ e tn = τ , definamos a funçãoH1I(x, N ; µ, σ) por
n∏
j=1
[
exp
(
− 1
2σ2
(
ln (xj) − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)
tj − tj−1
)2
(tj − tj−1)
)]
√
2πσ2(tj − tj−1).
Definimos a distribuição de probabilidades deH1I(x, N ; µ, σ) por
QµσI (I[N ]) =
∫
I(N)
H1I(x, N ; µ, σ)
n∏
j=1
dxjxj
.
Notemos que a funçãoH1I(x, N ; µ, σ) é igual a
n∏
j=1
[
exp
(
− 1
2σ2
[ln (xj) − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)]2
tj − tj−1
)]
√
2πσ2(tj − tj−1).
Sejamxk−1, xk, xk+1 números reais estritamente positivos etk−1 < tk < tk+1. Pelo Lema
2.11, temos
∫ +∞
0
k+1∏
j=k
[
exp
(
− 1
2σ2
[ln xj − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)]2
tj − tj−1
)]
xk√
2πσ2(tj − tj−1)dxk =
=
[
exp
(
− 1
2σ2
[ln xk+1 − ln(xk−1) + (µ− 12σ2)(tk+1 − tk−1)]2
tk+1 − tk−1
)]
√
2πσ2(tk+1 − tk−1).
Desta maneira, podemos concluir, como fizemos na Proposição5.1, que∫ +∞
0
...
∫ +∞
0
H1I(x, N ; µ, σ)
n∏
j=1
dxjxj
=
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞φ1(ξ, τ
′)
(
p−1∏
j=1
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1)
)
×
× φ2(yip, tip)
(
p∏
j=1
dyij
)
dyτ , (5.3)
ondeJ ′ = ln J exp,
φ1(ξ, τ′) =
1√
2πσ2(ti1 − τ ′)exp
(
− 1
2σ2
[J ′(yi1) + yi1 − ln ξ′ − (µ− σ2
2)(ti1 − τ ′)]2
ti1 − τ ′
)
,
5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos 87
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1) =
=1
√
2πσ2(tij+1− tij )
exp
(
− 1
2σ2
[J ′(yij+1) + yij+1
− yij − (µ− σ2
2)(tij+1
− tij )]2
tij+1− tij
)
e
φ2(yip, tip) =1
√
2πσ2(τ − tip)exp
(
− 1
2σ2
[yτ − yip − (µ− σ2
2)(τ − tip)]
2
τ − tip
)
.
Como∫ +∞
−∞φ2(yip, tip)dyτ = 1 eJ ∈ L, obtemos
∫ +∞
0
...
∫ +∞
0
H1I(x, N ; µ, σ)
n∏
j=1
dxjxj
= 1.
Analogamente, como fizemos na prova do Teorema 5.2, obtemos∫
R]τ ′, τ ]+
QµσI (I[N ]) = 1.
Novamente pelo Corolário 3.8, obtemos o resultado a seguir.
Proposição 5.4.As funçõesH1I(x, N ; µ, σ)
n∏
j=1
∆Ijxj
eQµσI (I[N ]) são variacionalmente equiva-
lentes emR]τ ′, τ ]+ .
Como apresentado no Capítulo 1, uma opção de compra européiaassegura a seu titular o di-
reito, mas não obrigação, de comprar um ativo em uma data futuraT (maturidade), por um preço
estabelecidoK (preço de exercício da opção).
Vamos estabelecer o preço de uma opção de compra em um tempot < T , admitindo que entre
t eT hajam momentos de impulsos nos instantesτ1, ..., τp, comt < τ1 < ... < τp < T .
Então, consideremosN = t1, ....tn, comt0 = t, tn = T ex(t0) = x(t) = ξ > 0. Definamos
o funcional cilíndricoh(x) = h(x(tn−1)) por
e−r(T−t) maxxn−1 −K, 0
e a função
f(ξ, t) =
∫
R]t, T ]+
h(x)QµσI (I[N ])
88 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
sempre que a integral existir.
Apresentamos a existência def(ξ, t) na seguinte proposição, cuja prova segue da equação
(5.3) e da idéia da prova da Proposição 4.3.
Proposição 5.5.Sejah(yT , t) = e−r(T−t) maxeyT −K, 0 eµ(ξ, t) dada por
h(yT , t)φ1(ξ, t)
p∏
j=1
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1),
ondeΦp(yip, J′(yip+1), tip, tip+1) := φ2(yip, tip). Seµ(ξ, t) for Riemann integrável generalizada
emRp+1, entãoh(x(tn−1))QµσI (I[N ]) será Riemann integrável generalizada emR
]t, T ]+ e f(ξ, t)
será dada por
f(ξ, t) =
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞µ(ξ, t)
(
p∏
j=1
dyij
)
dyT .
O resultado seguinte diz quef(ξ, t) é contínua paraξ > 0 e t 6= τj , j = 1, ..., p. A prova deste
fato segue da Proposição 5.5 e da demonstração feita na Proposição 4.5.
Proposição 5.6.Sejams ∈ ]τ ′, τ [\τ1, ..., τp e ξ > 0. Dado ǫ > 0, existeδ > 0 tal que, se
|s1 − s| < δ e |ξ1 − ξ| < δ, então|f(ξ1, s1) − f(ξ, s)| < ǫ.
Para que o preço de uma ação não tenda ao infinito em momentos detempo suficientemente
próximos de um tempo em que o mercado de ações sofre uma queda,vamos impor mais uma
condição sobre a função impulsoJ . Assim, diremos que a funçãoJ ∈ L, satisfaz a condiçãoC,
se para cadak = 1, 2, ..., p, o limite
limδ→0+
∫ +∞
−∞
exp
(
− 12σ2
[J ′(ξik )+ξik−ς−(µ−σ2
2)δ]2
δ
)
√2πδ
×
×exp
(
− 12σ2
[J ′(ξik+1)+ξik+1
−ξik−(µ−σ2
2)(tik+1
−tik )]2
tik+1−tik
)
√
2πσ2(tik+1− tik)
dxik
existir, comς ∈ R eJ ′ = ln J exp, e seu valor será uma funçãoκ(xik+1) tal que a função
κ(xik+1)
p−1∏
j=k+1
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1)φ2(yip, tip)
5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos 89
é Riemann integrável generalizada emRp−k+1.
Se a funçãoJ ′ = ln J exp independer da função de posiçãox(t), isto é, seJ ′(x(t)) = f(t),
ondef é uma função real definida emR, segue pelo Lema 2.11 queJ ∈ L eJ satisfaz a condição
C.
Com a condiçãoC estabelecida acima, temos que a funçãof(ξ, t) admite os limites laterais
emτj , j = 1, 2, ..., p, como mostra o resultado seguinte.
Teorema 5.7.Sejax(τk) = ξk, k = 1, 2, ..., p. SeJ ∈ L satisfizer a condiçãoC, então os limites
lim(ς, s)→(ξk, τ
+k
)f(ς, s) e lim
(ς, s)→(ξk, τ−
k)f(ς, s)
existirão e lim(ς, s)→(ξk, τ
+k
)f(ς, s) = f(ξk, τk), para cadak = 1, 2, ..., p.
Demonstração: Sejaτk arbitrário, ondek ∈ 1, 2, ..., p. Consideremos as seqüências reais
tℓℓ≥1 eςℓℓ≥1 tais que
tℓℓ→+∞−→ τk e ςℓ
ℓ→+∞−→ ξk,
com tℓ > τk para cadaℓ = 1, 2, .... Assim, existeℓ0 > 0 tal quetℓ < τk+1, para todoℓ > ℓ0.
Denotemosτp+1 = tip+1 = τ eJ ′(yip+1) = 0.
Pela Proposição 5.5, seℓ > ℓ0, então
µ(ξk, τk) = h(yT , τk)φ1(ξk, τk)
p∏
j=k+1
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1)
e
µ(ςℓ, tℓ) = h(yT , tℓ)φ1(ςℓ, tℓ)
p∏
j=k+1
Φj(yij , J′(yij+1
), tij , tij+1),
onde
h(yT , τk)φ1(ξk, τk) = maxeyT −K, 0×
× e−r(T−τk)
√
2πσ2(τk+1 − τk)exp
(
− 1
2σ2
[J ′(yik+1) + yik+1
− ln ξk − (µ− σ2
2)(τk+1 − τk)]
2
τk+1 − τk
)
e
h(yT , tℓ)φ1(ςℓ, tℓ) = maxeyT −K, 0×
× e−r(T−tℓ)√
2πσ2(τk+1 − tℓ)exp
(
− 1
2σ2
[J ′(yik+1) + yik+1
− ln ςℓ − (µ− σ2
2)(τk+1 − tℓ)]
2
τk+1 − tℓ
)
.
90 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
Então,
µ(ςℓ, tℓ)ℓ→+∞−→ µ(ξk, τk).
Dadoǫ > 0, existeℓ1 > 0, comℓ1 > ℓ0, tal que
|µ(ςℓ, tℓ) − µ(ξk, τk)| < ǫµ(ξk, τk),
para todoℓ > ℓ1. Daí, pelo teorema da convergência dominada (Teorema 2.10), concluímos o
resultado, isto é,
lim(ς, s)→(ξk, τ
+k
)f(ς, s) = f(ξk, τk).
A existência do limite lim(ς, s)→(ξk , τ
−
k)f(ς, s), segue da condiçãoC e do teorema da convergência
dominada (Teorema 2.10).
SendoN = t1, ..., tn, com t0 = t, tn = T e t1 < τ1, denotaremosw(ξ, t) como sendo a
seguinte expressão
exp
− 1
2σ2
(
ln x1 − ln ξ
t1 − t− (µ− 1
2σ2)
)2
(t1 − t) − r(T − t)
√
2πσ2(t1 − t),
Então,
∂w
∂t=
w
2(t1 − t)− w
2σ2
(
ln x1 − ln ξ
t1 − t
)2
+ w
(
µ(µ− σ2
2)
2σ2−
σ2
2(µ− σ2
2)
2σ2
)
+ rw,
∂w
∂ξ=
w
ξσ2
[
ln x1 − ln ξ
t1 − t−(
µ− σ2
2
)]
e∂2w
∂ξ2=
w
ξ2σ4
(
lnx1 − ln ξ
t1 − t
)2
− 2µw
ξ2σ4
(
ln x1 − ln ξ
t1 − t
)
+w
ξ2σ2
(
ln x1 − ln ξ
t1 − t
)
+
+w
ξ2σ4µ
(
µ− σ2
2
)
− w
2ξ2σ2
(
µ− σ2
2
)
− w
ξ2σ2
(
ln x1 − ln ξ
t1 − t
)
+
+w
ξ2σ2
(
µ− σ2
2
)
− w
ξ2σ2(t1 − t)
Portanto,∂w
∂t+ µξ
∂w
∂ξ+σ2ξ2
2
∂2w
∂ξ2= rw. (5.4)
5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos 91
Agora, denotemosw′ = maxx(T ) −K, 0 × w′′, onde
w′′ =
n∏
j=2
[
exp
(
− 1
2σ2
(
ln (xj) − ln(xj−1) + (µ− 12σ2)(tj − tj−1)
tj − tj−1
)2
(tj − tj−1)
)]
[2πσ2(tj − tj−1)]1/2×
×n∏
j=1
∆Ijxj
.
Notemos que
ww′ = h(x)H1I(x, N ;µ, σ)
n∏
j=1
∆Ijxj
.
porém, vamos continuar representandoh(x)H1I(x, N ;µ, σ)
n∏
j=1
∆Ijxj
porww′.
Comow′ independe deξ e t, então multiplicando a equação(5.4) porw′, obtemos
∂w′w
∂t+ µξ
∂w′w
∂ξ+σ2ξ2
2
∂2w′w
∂ξ2= rw′w.
Comoh(x(tn−1))QµσI (I[N ]) é Riemann integrável generalizada emR
]t, T ]+ e
∫
R]t, T ]+
h(x(tn−1))QJµσ(I[N ]) = f(ξ, t),
segue da Proposição 5.4 que∫
R]t, T ]+
(
∂w′w
∂t+ µξ
∂w′w
∂ξ+σ2ξ2
2
∂2w′w
∂ξ2
)
= rf(ξ, t).
De mesma forma que fizemos no capítulo 4, vamos provar que∫
R]t, T ]+
∂w′w
∂t=
∂
∂t
∫
R]t, T ]+
ww′,
∫
R]t, T ]+
∂w′w
∂ξ=
∂
∂ξ
∫
R]t, T ]+
ww′
e∫
R]t, T ]+
∂2w′w
∂ξ2=
∂2
∂ξ2
∫
R]t, T ]+
ww′.
Para isso, definamos
Dabcf(ξ, t) =1
afa(ξ, t) + µξ
1
bfb(ξ, t) +
1
2bcσ2ξ2fbc(ξ, t),
onde
fa(ξ, t) = f(ξ, t+ a) − f(ξ, t),
92 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
fb(ξ, t) = f(ξ + b, t) − f(ξ, t)
e
fbc(ξ, t) = f(ξ + b+ c, t) − f(ξ + b, t) − f(ξ + c, t) + f(ξ, t)
paraa, b, c números reais não-nulos quaisquer. Então
lima,b,c→0
Dabcf(ξ, t)
existirá e será igual a∂f
∂t(ξ, t) + µξ
∂f
∂ξ(ξ, t) +
1
2σ2ξ2∂
2f
∂ξ2(ξ, t)
se, e somente se, as derivadas parciais∂f
∂t,∂f
∂ξe∂2f
∂ξ2existirem.
Como as derivadas∂ww′
∂t,∂ww′
∂ξe∂2ww′
∂ξ2existem, então
lima,b,c→0
Dabcww′ =
∂ww′
∂t+ µξ
∂ww′
∂ξ+σ2ξ2
2
∂2ww′
∂ξ2= rww′. (5.5)
Comoww′ é Riemann integrável generalizada, obtemos∫
R]t, T ]
lima,b,c→0
Dabcww′ = rf(ξ, t),
isto é,∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞lim
a,b,c→0Dabcww
′dxi1 ...dxipdxT = rf(ξ, t) (5.6)
Dadoǫ > 0, pela equação(5.5), podemos escolherµ > 0 tal que se0 < |α| < µ, 0 < |β| < µ
e0 < |γ| < µ, então
|Dαβγww′ − rww′| < Qµσ
I (I[N ])ǫ.
Dadosx, N , I, escolhamosα0, β0 e γ0 satisfazendo0 < α0 < µ, 0 < β0 < µ e 0 < γ0 < µ tais
que
sup0<|α|<α0
0<|β|<β0
0<|γ|<γ0
|Dαβγww′ − rww′| < Qµσ
I (I[N ]).
Como0 < |α| < α0, 0 < |β| < β0 e0 < |γ| < γ0, então
−QµσI (I[N ]) ≤ Dαβγww
′ − rww′ ≤ QµσI (I[N ]).
5.3 A equação de Black-Scholes com impulsos 93
A funçãoQµσI (I[N ]) é Riemann integrável generalizada com valor da integral igual a 1, como
apresentamos no início desta seção. Daí, pelo teorema da convergência dominada (Teorema 2.10),
obtemos
limα, β, γ→0
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞Dαβγww
′dxi1 ...dxipdxT =
=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞rww′dxi1 ...dxipdxT = rf(ξ, t) =
(5.6)=
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞lim
α, β, γ→0Dαβγww
′dxi1...dxipdxT .
E, como
limα, β, γ→0
∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞Dαβγww
′dxi1 ...dxipdxT =
=∂f
∂t(ξ, t) + µξ
∂f
∂ξ(ξ, t) +
1
2σ2ξ2∂
2f
∂ξ2(ξ, t).
concluímos que∂f
∂t+ µξ
∂f
∂ξ+
1
2σ2ξ2∂
2f
∂ξ2= rf.
Pela definição de solução de uma equação diferencial parcialcom impulsos (Definição 4.2.1),
acabamos de provar o resultado seguinte.
Teorema 5.8.A funçãof = f(ξ, t) satisfaz a equação diferencial parcial emΓ
∂f(ξ, t)
∂t+ µξ
∂f(ξ, t)
∂ξ+
1
2σ2ξ2∂
2f(ξ, t)
∂ξ2= rf(ξ, t) (5.7)
sujeita à condição de impulso
f(ξk, τk) − f(ξk, τ−k ) := f(ξk, τk) − lim
s→τ−k
f(ξk, s),
para cadak = 1, 2, ..., p, e com condição de fronteira
f(ξT , T ) = maxξT −K, 0.
Tomamosµ como sendo uma variável arbitrária. Em particular, quandoµ = r e r é a taxa de
juros livre de riscos, então a equação diferencial parcial(5.7) se reduz à equação de Black-Scholes.
Vejamos como aplicar esta equação no seguinte exemplo.
94 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
5.4 Exemplo
Suponhamos que uma ação esteja sendo comercializada por um preçoS e sejat = 0 o tempo
correspondente. SejaK o preço de exercício da ação, ou seja, o direito de comprar a ação pelo
preçoK na data de maturidadeT . Sejamr a taxa de juros livre de risco eσ a volatilidade, ambas
constantes. Suponhamos que entret = 0 e t = T , digamosτ1, ...., τp, com0 < τ1 < ... < τp < T ,
haja choques do mercado de ações. SejaJ : R → R∗+ o operador impulso, que representa os
choques do mercado, tal que
J(x(τj)) = αj ,
paraj = 1, 2, ..., p.
Vamos determinar o valor de uma opção de compra européia no tempo t = 0, via equação
diferencial de Black-Scholes com impulsos.
Pelo Lema 2.11, temos∫ +∞
−∞...
∫ +∞
−∞µ(ξ, t)dxi1 ...dxip =
=e−rT√2πσ2T
maxexT −K, 0 exp
− 1
2σ2T
[
xT − ln ξ −(
r − σ2
2
)
T +
p∑
j=1
αj
]2
.
Então,
f(ξ, 0) =
∫ +∞
−∞
e−rT√2πσ2T
maxexT −K, 0×
× exp
− 1
2σ2T
(
xT − ln ξ −(
r − σ2
2
)
T +
p∑
j=1
αj
)2
dxT =
=
∫ +∞
lnK
e−rT√2πσ2T
(exT −K) exp
− 1
2σ2T
(
xT − ln ξ −(
r − σ2
2
)
T +
p∑
j=1
αj
)2
dxT .
TomemosA = (r − σ2
2)T −
p∑
j=1
αj eB =√σ2T . Assim, fazendo a seguinte mudança de
variável
u = −xT − ln ξ −A
B,
5.4 Exemplo 95
obtemos
f(ξ, 0) =e−rT√
2π
∫ a
−∞(ξe−Bu+A −K)e−
12u2
du,
ondea =ln(
ξK
)
+ A
B.
Como
∫ a
−∞e−
12u2−Bu+Adu = eA+ 1
2B2
∫ a
−∞e−
12[u+B]2du = eA+ 1
2B2
∫ a+B
−∞e−
12u2
du
e lembrando queA = (r − σ2
2)T −
p∑
j=1
αj eB =√σ2T , obtemos
f(ξ, 0) = ξ exp
(
−p∑
j=1
αj
)(
1√2π
∫ a+σ√T
−∞e−
12u2
du
)
−Ke−rT(
1√2π
∫ a
−∞e−
12u2
du
)
, (5.8)
onde
a =
ln(ξ/K) + (r − σ2
2)T −
p∑
j=1
αj
σ√T
.
Portantof(ξ, 0), obtida na equação(5.8), nos dá o valor de uma opção de compra européia.
Notemos que, quandoαj = 0 para todoj = 1, 2, ..., p, obtemos a clássica fórmula de Black-
Scholes para o apreçamento para uma opção de compra.
Notemos, também, que o valor da opção de compra européia no tempot, 0 ≤ t < T , digamos
f(ξ, t), é dado por
ξ exp
−∑
t≥τjαj
(
1√2π
∫ b+σ√
(T−t)
−∞e−
12u2
du
)
−Ke−r(T−t)(
1√2π
∫ b
−∞e−
12u2
du
)
onde
b =
ln(ξ/K) + (r − σ2
2)(T − t) −
∑
t≥τjαj
σ√T − t
.
A funçãof(ξ, t) é solução da equação diferencial parcial com impulsos dada pelo Teorema
5.8, ondeµ é substituído porr.
96 Capítulo 5 — A equação de Black-Scholes com ação impulsiva
5.5 Considerações finais
A hipótese básica da teoria de Black-Scholes para o apreçamento de um ativo é que, como
uma variável randômica, o preço de um ativo, em qualquer tempo particular no futuro, segue uma
distribuição log-normal. Com isto, o valor real de mercado éobtido como um “consenso" do
mercado em consequência das inúmeras transações que são realizadas.
Em Física, pensamos na pressão atmosférica como sendo um macro-fenômeno, medido por um
macro-instrumento (o barômetro, por exemplo), que é o efeito final de incontáveis impactos das
moléculas de gás atmosférico no instrumento medidor. É razoável assumirmos que os impactos
das moléculas de gas no medidor possuem uma certa quantidadede energia e que a energia entre
as moléculas ocorrem em menores proporções. Portanto, mesmo antes da medida real ser tomada,
pode-se estimar o valor da pressão atmosférica, em circunstâncias de tempo não excepcionais, com
uma probabilidade pequena de que a pressão, quando medida, seja diferente do valor estimado.
Em analogia com o mercado financeiro, o preço do mercado de um ativo correponde à pressão
atmosférica. Os impactos moleculares correpondem às transações dos indivíduos com o ativo, com
a condição de contorno de que o conjunto dos eventos que contribuem para o resultado liquído são
em pequena escala e não excepcionais.
Todavia, em mercados financeiros, assim como acontece com o fenômeno tempo, eventos ex-
cepcionais e extremos ocorrem e em larga escala. Às vezes, tais eventos podem ser representados
por eventos impulsivos os quais podem ser resultados de decisões políticas, guerras ou desastres
naturais. Ou, eles podem ser fenômenos atípicos de mercados, como a recente crise das hipotecas
nos EUA.
Neste contexto, ao considerarmos a teoria de apreçamento deuma opção do tipo européia,
sujeita a choques do mercado, através do tratamento pela teoria de integração não-absoluta em
espaços de funções, surgem alguns outros problemas que pretendemos tratar num futuro próximo:
• O estudo do operador de impulsoJ , para a obtenção de um preço justo da opção de compra
européia sujeita a choques do mercado;
5.5 Considerações finais 97
• A construção do modelo de Black-Scholes sujeita a choques emtempo desconhecido (tempo
variável);
• A investigação do modelo de Black-Scholes quando as variáveis r (taxa de juros livre de
riscos) eσ (volatilidade) forem funções randômicas no tempo.
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