View
21
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
1
A. Pengertian dan Notasi Himpunan
1. Pengertian Himpunan
Istilah kelompok, kumpulan, kelas, maupun gugus dalam
matematika dikenal sebagai istilah himpunan. Konsep tentang himpunan
pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan berkebangsaan
Jerman, yaitu George Cantor yang hidup antara tahun 1845–1918.
Himpunan adalah kumpulan benda–benda yang didefinisikan dengan
jelas. Yang dimaksud didefinisikan dengan jelas adalah dapat ditentukan
dengan tegas benda apa saja yang termasuk dan tidak termasuk dalam suatu
himpunan yang diketahui. Benda–benda yang termasuk dalam suatu
himpunan disebut anggota, elemen, atau unsur dari suatu himpunan. Untuk
selanjutnya dipergunakan istilah anggota atau elemen. Berdasarkan definisi
himpunan di atas, maka suatu kumpulan atau kelompok benda belum tentu
merupakan suatu himpunan.
a. Kelompok atau kumpulan yang merupakan suatu himpunan
1) Kelompok siswa di kelasmu yang berkacamata.
Yang merupakan anggota adalah siswa di kelasmu yang berkacamata.
Yang bukan anggota adalah siswa di kelasmu yang tidak berkacamata.
2) Kumpulan hewan berkaki empat.
Yang merupakan anggota, misalnya: kerbau, kuda, sapi.
Yang bukan anggota, misalnya: ayam, itik.
3) Kumpulan bilangan yang merupakan faktor dari 12.
Yang merupakan anggota adalah 1, 2, 3, 4, 6, dan 12.
Yang bukan anggota, misalnya: 5, 7, 8, 9, 10, 11.
Jadi, contoh 1, 2, dan 3 merupakan himpunan, sebab dapat
disebutkan dengan tegas benda yang merupakan anggota dan yang bukan
anggota kelompok tersebut.
2
b. Kelompok atau kumpulan yang bukan merupakan suatu himpunan
1) Kumpulan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.
Pengertian tinggi tidak jelas harus berapa cm batasannya.
2) Kumpulan lukisan indah.
Pengertian indah tidak jelas batasannya harus seperti apa indahnya.
Oleh karena batasan untuk contoh di atas tidak jelas, maka contoh
1 dan 2 diatas bukan merupakan himpunan. Jadi, dalam matematika kita
tidak dapat menyebutkan dengan batasan yang tidak jelas, misalnya:
1) Himpunan siswa di kelasmu yang berbadan tinggi.
2) Himpunan lukisan yang indah.
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menggunakan tanda
kurung kurawal dan biasanya diberi nama dengan menggunakan huruf
kapital, misalnya A, B, C, D, dan seterusnya sampai Z. Jika ada dua atau
lebih himpunan yang berbeda, maka nama himpunan–himpunan itu juga
harus berbeda.
2. Menyatakan Suatu Himpunan
a. Dengan kata–kata atau menyebutkan syarat-syarat keanggotaan
Menyatakan himpunan dengan kata–kata sangat bermanfaat untuk
himpunan yang memiliki anggota sangat banyak dan tak beraturan,
sehingga kita akan mengalami kesulitan bila anggota–anggotanya ditulis
satu demi satu. Contoh:
1) A adalah himpunan nama gunung di Pulau Jawa.
A = {nama gunung di Pulau Jawa}
2) B adalah bilangan yang kurang dari 11.
B = {bilangan ganjil kurang dari 11}
b. Dengan menyebutkan atau mendaftar anggotanya
Anggota himpunan dituliskan dalam kurung kurawal dan
dipisahkan dengan tanda koma. Pada penulisan himpunan dengan cara
mendaftar anggotanya, jika semua anggota dapat ditulis, maka urutan
penulisan boleh diabaikan. Contoh:
3
1) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan sedikit.
A = {jerapah, gajah, macan, zebra}
B = {pensil, penggaris, jangka, busur}
2) Untuk himpunan yang anggotanya terbatas dan banyak.
Anggota–anggota boleh tidak didaftar semua, hanya beberapa
saja dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”),
kemudian dituliskan batas akhir.
C = {Surabaya, Jawa, Madura, Bali, Lombok,…, Papua}
D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99}
3) Untuk himpunan yang anggotanya tak terbatas.
Anggotanya didaftar beberapa saja (paling sedikit empat saja)
dan dilanjutkan dengan titik tiga (artinya: “dan seterusnya”)
E = {2, 3, 5, 7,…}
F = {1, 10, 100, 1000,…}
Himpunan E = {2, 3, 5, 7,…} dan F = {1, 10, 100, 1000,…}
memiliki banyak anggota yang tak terbatas karena tidak diketahui berapa
bilangan terakhir. Oleh karena itu, himpunan E dan F yang memiliki
anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
Himpunan seperti D = {1, 3, 5, 7, 9, 11,…, 99} memiliki banyak
anggota yang terbatas karena bilangan awal dan bilangan terakhir
diketahui, yaitu 1 dan 99. Oleh karena itu, himpunan D yang memiliki
banyak anggota terbatas disebut himpunan berhingga.
Walaupun suatu himpunan lebih mudah atau lebih singkat bila
dinyatakan dalam salah satu cara diatas, namun hampir semua himpunan
pula dinyatakan dalam ketiga cara tersebut.
c. Dengan notasi pembentuk himpunan
Menyatakan suatu himpunan dengan notasi pembentuk himpunan
adalah menyatakan suatu himpunan hanya dengan syarat keanggotaan
himpunan.
1) Benda atau objeknya dilambangkan dengan sebuah peubah.
Contoh: a, b, c,…, z
4
2) Menuliskan syarat keanggotaannya dibelakang tanda”|”.
Contoh: A = {x|x<5, x bilangan asli}
Dibaca: himpunan setiap x sedemikian hingga x kurang dari 5
dan x bilangan asli.
d. Dengan diagram venn
Menyatakan himpunan dengan gambar atau diagram
Contoh:
Gambar di atas adalah diagram venn dari himpunan:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
3. Anggota Himpunan
Di atas piring terdapat buah–buahan, yaitu pisang, jeruk, dan
rambutan. Dapat dikatakan bahwa:
Pisang termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring,
Jeruk termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring,
Rambutan termasuk dalam kelompok buah–buahan dalam piring.
Meskipun di atas piring itu terdapat 12 buah pisang, 3 buah jeruk,
dan 5 buah rambutan, tapi penulisan tiap–tiap anggota kelompok itu
dilakukan hanya satu kali saja. Misalkan B menyatakan himpunan buah–
buahan di atas piring, maka B = {pisang, jeruk, rambutan}
Dengan demikian, dapat diketahui sebagai berikut.
Karena pisang termasuk dalam himpunan B, maka pisang anggota
himpunan B.
Karena jeruk termasuk dalam himpunan B, maka jeruk anggota
himpunan B.
5
Karena rambutan termasuk dalam himpunan B, maka rambutan anggota
himpunan B.
Dalam suatu himpunan, masing–masing anggota berbeda dengan
anggota lainnya.
a. Menyatakan anggota suatu himpunan
Untuk menyatakan suatu benda yang merupakan anggota suatu
himpunan digunakan lambang . Sedangkan untuk menyatakan bahwa
suatu benda bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang .
Contoh: Bila A = {s, i, w, a}, maka:
s anggota P, ditulis s P.
w anggota P, ditulis w P.
m bukan anggota P, ditulis m P.
b. Menyatakan banyak anggota suatu himpunan
Banyak anggota himpunan A dapat dinyatakan dengan notasi
n(A). Jadi, notasi n(R) artinya banyak anggota pada himpunan R.
Contoh: P = {s, i, w, a}
Banyak anggota himpunan P adalah 4 buah.
Ditulis: n(P)=4
4. Mengenal Beberapa Himpunan Bilangan
Dalam himpunan bilangan, terdapat beberapa macam himpunan
diantaranya:
a. Himpunan bilangan asli
Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan huruf “A”.
A = {1, 2, 3, 4,…}
b. Himpunan bilangan bulat
Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf “B”.
B = {…., -2, -1, 0, 1, 2,…}
c. Himpunan bilangan cacah
Himpunan bilangan cacah dilambangkan dengan huruf “C”.
C = {0, 1, 2, 3,…}
6
d. Himpunan bilangan cacah genap
Himpunan bilangan cacah genap dilambangkan dengan huruf “G”.
G = {0, 2, 4, 6, 8,…}
e. Himpunan bilangan cacah kuadrat
{0, 1, 4, 9, 16,…}
f. Himpunan bilangan ganjil
Himpunan bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf “J”.
J = {1, 3, 5, 7, 9,…}
g. Himpunan bilangan komposit (tersusun)
Himpunan bilangan komposit (tersusun) dilambangkan dengan
huruf “T”. Bilangan komposit adalah bilangan cacah yang mempunyai
lebih dari 2 faktor.
T = {4, 6, 8, 9, 10,…}
h. Himpunan bilangan prima
Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf “P”.
Bilangan prima adalah bilangan yang hanya mempunyai dua faktor, atau
bilangan yang hanya habis dibagi oleh 1 dan bilangan itu sendiri, kecuali
0 dan 1.
P = {2, 3, 5, 7, …}
A. Jenis-Jenis Himpunan
Ditinjau dari jumlah anggotanya, ada tiga jenis himpunan
1. Himpunan tak berhingga
Suatu himpunan disebut himpunan tak berhingga apabila banyak
anggotanya tak berhingga/tak dapat dihitung.
Contoh: A = {1, 3, 5, 7,…}; n(A) tak berhingga, atau n(A) = .
A disebut himpunan tak berhingga.
2. Himpunan berhingga
Suatu himpunan disebut himpunan berhingga apabila jumlah
anggotanya terbatas.
7
Contoh: B = {1, 3, 5, 7, 9}; n(B) = 5.
B disebut himpunan berhingga.
3. Himpunan kosong
Suatu himpunan disebut himpunan kosong apabila himpunan itu
tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dinyatakan dengan notasi {}
atau .
Contoh: C = {bilangan prima antara 7 dan 9}
Tidak ada bilangan prima antara 7 dan 9, sehingga n(C) = 0.
C disebut himpunan kosong.
Jika A merupakan himpunan kosong, maka A tidak memiliki
anggota, jadi n(A) = 0.
Nol disini menunjukkan jumlah anggota A tidak ada. Hal ini berbeda
dengan B = {0} yang menunjukkan bahwa B memiliki anggota, yaitu 0.
Jadi, B bukan himpunan kosong karena n(B) = 1.
Selanjutnya adalah jenis lain dari himpunan:
1. Himpunan bagian
Untuk memahami pengertian himpunan bagian, perhatikan
himpunan–himpunan berikut ini!
A = {a, b, c}
B = {a, b, c, d, e}
Dari kedua himpunan tersebut, ternyata setiap anggota A, yaitu a, b,
c menjadi anggota B.
Himpunan A merupakan himpunan bagian dari B, bila setiap
anggota A menjadi anggota B, ditulis dengan notasi A B.
Setiap himpunan adalah bagian dari dirinya sendiri. A A, B B, ….
{} adalah bagian dari setiap himpunan. {} {}, {} A, {} B, ….
Menentukan banyak himpunan bagian
Banyaknya himpunan bagian dari himpunan yang mempunyai n
elemen adalah 2n.
8
Contoh:
Dari himpunan P = {1, 2, 3}, kita dapat membentuk himpunan bagian–
himpunan bagiannya, yaitu:
{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} dan {1, 2, 3}
Banyaknya himpunan bagian dari P adalah 8 = 23, dimana 3 adalah
banyaknya himpunan anggota P.
2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota
himpunan yang dibicarakan. Lambang himpunan semesta adalah S.
Contoh :
Bila A = {8,12,16,20} maka beberapa semesta pembicaraan yang mungkin
untuk A adalah :
1) S = {bilangan asli}
2) S = {bilangan cacah}
3) S = {bilangan kelipatan 2}
4) S = {bilangan kelipatan 4}
B. Diagram Venn
Untuk mempermudah dalam mempelajari himpunan, John Venn seorang
ahli matematika dari Inggris (1834–1923), memperkenalkan cara menyatakan
himpunan dengan diagram. Diagram tersebut dinamakan diagram venn.
1. Menyatakan Diagram Venn
a. Semesta pembicaraan dari himpunan itu digambarkan dengan persegi
panjang dan pada pojok kiri atas ditulis huruf U atau S.
b. Setiap anggota digambarkan dengan noktah (titik) didalam kurva, dan
nama anggotanya dituliskan berdekatan dengan noktahnya.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
9
Diagram venn dari himpunan S ditunjukkan sebagai berikut:
c. Himpunan digambarkan dengan kurva tertutup sederhana.
Misal: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {2, 4, 6, 8}
Karena semua anggota himpunan A termuat didalam himpunan S, maka
himpunan A terdapat didalam himpunan S.
Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:
d. Dalam menggambar himpunan–himpunan yang mempunyai anggota
sangat banyak, pada diagram venn-nya tidak menggunakan noktah.
Misal: S = {siswa di sekolahmu}
D = {siswa di kelasmu}
Diagram venn dari himpunan tersebut ditunjukkan sebagai berikut:
10
2. Contoh
a. Jika diketahui semesta pembicaraanya adalah S = {0, 1, 2, 3, …, 10} dan
himpunan A = {0, 1, 4, 9}, maka diagram venn yang menunjukkan
himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
b. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {2, 3, 5, 7}, dan B = {1, 3, 5, 7,
9}. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut
ditunjukkan pada gambar berikut.
c. Diketahui S = {0, 1, 2, 3, …, 10}, A = {1, 2, 3}, dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan tersebut
ditunjukkan pada gambar berikut.
11
d. Jika diketahui S = {1, 2, 3, …, 100}, n(S) = 100, A = {11, 12, 13,…, 30},
maka n (A) = 20. Diagram venn yang menunjukkan himpunan–himpunan
tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
e. Diketahui n(A) = 18 + 13 = 31, n(B) = 25 + 13 = 38,
n(S) = 18 + 13 + 25 + 9 = 65. Diagram venn yang menunjukkan
himpunan–himpunan tersebut ditunjukkan pada gambar berikut.
C. Operasi Himpunan
Dalam himpunan dikenal beberapa operasi himpunan, antara lain irisan
atau interseksi, gabungan atau union, selisih dua himpunan (difference), dan
komplemen.
1. Irisan atau Interseksi
Perhatikan gambar diagram Venn dibawah ini!
12
Tampak bahwa:
A= {2,3,5,7} dan B={1,5,3,7,9}
Daerah arsiran menunjukkan daerah anggota–anggota yang menjadi
anggota A juga menjadi anggota B, sehingga dibentuk sebuah himpunan
baru yang beranggotakan semua anggota yang terletak pada daerah arsiran,
yaitu {3,5,7}. Himpunan baru ini disebut irisan A dan B, ditulis “A B“.
Jadi, A B = {3,5,7}.
A irisan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang
merupakan anggota A dan juga anggota B. Dengan notasi pembentuk
himpunan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥| 𝑥 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ 𝐵}.
Contoh:
Jika A = {0, 1, 3, 6, 10} dan B = {0, 1, 4, 9} maka (A B) = {0, 1}.
2. Gabungan atau Union
Perhatikan diagram venn di bawah ini!
Tampak bahwa A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} dan B={2, 4, 6, 8, 10}.
Daerah yang diarsis memuat semua anggota A atau semua anggota B
ataupun semua anggota A dan B. Daerah arsiran menunjukkan gabungan A
dan B, ditulis “A B”. Jadi, A B = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
A gabungan B (A B) adalah himpunan semua anggota yang
merupakan anggota A atau anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ∈ 𝐵}.
Contoh :
Jika A = {1, 3, 5} dan B = {2, 3, 5, 7} maka A B = {1, 2, 3, 5, 7}.
13
3. Selisih Dua Himpunan (Difference)
Dari himpunan A dan B kita dapat membentuk himpunan baru yang
terdiri dari anggota–anggota A yang bukan anggota B. Himpunan A
dikurang himpunan B ditulis A – B.
Selisih A dan B (A – B) adalah himpunan semua anggota A tetapi
bukan Anggota B. Dengan notasi pembentuk himpunan:
𝐴 – 𝐵 = {𝑥|𝑥 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝑥 𝐵}
Contoh:
a. Jika A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {1, 3, 5, 7, 9} maka, A – B = {2, 4} dan
B – A = {7, 9}. Dalam diagram venn akan menjadi lebih jelas.
Perhatikan gambar diagram berikut.
A – B ditunjukkan dengan daerah yang diarsir.
b. P = {1, 2} dan Q = {1, 2, 3, 4}
P – Q = Q – P = {3, 4}
(Tidak ada daerah yang diarsir) (Ditunjukkan dengan daerah diarsir)
14
c. M = {1, 3, 5} dan N = {2, 4, 6}
M – N = M N – M = N
Ditunjukkan dengan daerah Ditunjukkan dengan daerah
yang diarsir yang diarsir
4. Komplemen
Perhatikan diagram venn di bawah ini!
Bagian yang diarsir pada gambar menunjukkan daerah komplemen
dari himpunan A. Komplemen dapat dituliskan dengan notasi 𝐴′ atau 𝐴𝑐.
Dalam makalah ini disepakati notasi komplemen yang digunakan adalah 𝐴′.
Komplemen A(A`) adalah himpunan yang anggota-anggotanya
merupakan anggota semesta pembicaraan tetapi bukan merupakan anggota
himpunan A. Dengan notasi pembentuk himpunan:
𝐴′ = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}
Contoh:
a. Jika S = {1, 2, 3, …, 10} dan A = {2, 4, 6, 8} maka:
A` = {1, 3, 5, 7, 9, 10}
15
b. Jika S = {1, 2, 3, …, 10}, A = {8, 9, 10, 11}, B = {10, 11, …, 15}, dan
(A B)` = {1, 2, 3, …, 7} maka:
A` = {1, 2, …, 7, 12, 13, 14, 15}, B` = {1, 2, 3, …, 9},
A B = {8, 9, 10, …, 15}, A B = {10, 11}, dan
(A B)` = {1, 2, 3, …, 9, 12, 13, 14, 15}
c. Perhatikan gambar!
Dari gambar diagram venn di atas didapat:
1) A B = {1, 2, 3, …, 7}
(A B)` = {8}
2) A B = {4, 5}
(A B)` = {1,2, 3, 6, 7, 8}
D. Sifat–Sifat Operasi Himpunan
1. Sifat Komutatif
𝐴 ∩ 𝐵 = 𝐵 ∩ 𝐴
𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴
2. Sifat Asosiatif
(𝐴 ∩ 𝐵) ∩ 𝐶 = 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐶)
(𝐴 ∪ 𝐵) ∪ 𝐶 = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)
3. Sifat distributif
𝐴 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐶)
𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ (𝐴 ∪ 𝐶)
16
E. Penerapan Himpunan
Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan pengertian irisan
atau gabungan dua himpunan atau lebih. Soal-soal yang berkaitan dengan
irisan atau gabungan dua himpunan ini dapat diselesaikan dengan pertolongan
diagram venn.
Contoh:
1. SMP Nusa Bangsa mengadakan ekstrakurikuler basket dan voli. Kedua
kegiatan diselenggarakan pada hari yang berbeda.
Dari murid-murid kelas VIIA yang mengikuti kegiatan tersebut, tercatat
data sebagai berikut.
25 anak mengikuti basket, 23 anak mengikuti voli, 15 anak mengikuti
keduanya, dan 7 anak tidak mengikuti kedua kegiatan tersebut.
Dari data–data di atas, dapat digambarkan diagram venn seperti pada
gambar di bawah ini, dimana B = basket dan V = Voli.
Pada gambar, tampak bahwa:
a. Yang mengikuti 2 kegiatan sebanyak 15 anak;
b. Yang mengikuti basket sebanyak,
(10 + 15) anak = 25 anak;
c. Yang mengikuti voli sebanyak,
(8 + 15) anak = 23 anak;
d. Yang tidak mengikuti kegiatan sebanyak 7 anak;
e. Jumlah siswa kelas VIIA dapat dihitung, yaitu;
(10 + 15 + 8 + 7) anak = 40 anak.
17
2. Dari 50 anak tercatat 35 anak gemar musik, 30 anak gemar olahraga, dan 21
anak gemar keduanya. Jika M adalah himpunan anak yang gemar M dan O
adalah himpunan anak yang gemar olahraga, tentukan:
a. n(M), n(O), dan n(M O);
b. gambarlah diagram venn;
c. banyak anak yang gemar musik tetapi tidak gemar olahraga;
d. banyak anak yang gemar olahraga tetapi tidak gemar musik;
e. banyak anak yang gemar musik maupun olahraga!
Jawab:
a. n(M) = 35, n(O) = 30, dan n(M O) = 21
b. diagram venn:
c. n(M O`) = 14
d. n(M` O) = 9
e. n(M O)` = x = 50 – (14 + 21 + 9)
= 50 – 44
= 6
18
DAFTAR PUSTAKA
A. Wagiyo, F. Surati, dan Irene Supradiarini. 2008. Pegangan Belajar
Matematika. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Adinawan, M. Cholik dan Sugijono. 2005. Matematika Untuk SMP/MTs. Jakarta:
Erlangga.
Alamsyah, Yoes. 2011. Smart Math Pintar Matematika dengan Rumus Cepat.
Jakarta: PT. Putra Pratama.
Recommended