บทที 3 การเคลืÉอนทีในหนึง สอง...

บทท บทท 33 การเคล อนท ในหน งการเคล อนท ในหน ง,,สองสองบทท บทท 33 การเคล อนท ในหน งการเคล อนท ในหน ง,,สองสองและสามมตและสามมต

1

การเคล อนท ในแนวเสนตรงการเคล อนท ในแนวเสนตรง

คาจากดความของปรมาณการเคล อนท

การกระจด (displacement)

X = X - Xในแนวแกน X :

คาจากดความของปรมาณการเคล อนท

คอ ผลตางของตาแหนงระหวางตาแหนงสดทาย และตาแหนงเร มตน

2

X = X2 - X1ในแนวแกน X :

การกระจด (displacement)

3

4

ความเรวและอตราเรวความเรวและอตราเรว

ความเรว (velocity) และอตราเรว (Speed) มความแตกตางกนเพราะ ความเรว (velocity) และอตราเรว (Speed) มความแตกตางกนเพราะความเรวเปนปรมาณเวกเตอร แตอตราเรวคอปรมาณสเกลาร

ความเรว คอ อตราสวนของการกระจดตอชวงเวลาของการเคล อนท

อตราเรว คอ อตราสวนของระยะทางตอชวงเวลาของการ

5

อตราเรว คอ อตราสวนของระยะทางตอชวงเวลาของการเคล อนท

ความเรวเฉล ยความเรวเฉล ย(average velocity)(average velocity)

xคอ อตราสวนของการกระจดตอชวงเวลาของการเคล อนท

2 1ave

2 1

x xxv

t t t

= ความชนของเสนตรง PQ12 ttt

12 xxx

1x

2x

2t1t

P

Q

t

avevslope

tx

6

หมายเหต – ความเรวเฉล ยเปนปรมาณท บอกถงคาเฉล ยของความเรวตลอดการเคล อนท

- ถาเปนการเคล อนท ครบรอบจะไดความเรวเฉล ยเปนศนย

ความเรวบดดลความเรวบดดล (instantaneous velocity)(instantaneous velocity)คอ ความเรวขณะใดขณะหน งของการเคล อนท

x

ttt

tx

1x

t

7

= ความชนของเสนสมผสทางเดน

0

xv

tt

d xim

dt

ความเรงเฉล ย(average velocity)

คอ การเปล ยนแปลงความเรวตอหน งหนวยเวลาความเรงความเรง

ความเรงเฉล ย(average velocity)

2 1ave

2 1

v va

t t t

v

ความเรงบดดล (instantaneous velocity)

เปนปรมาณท บอกถงการเปล ยนแปลงความเรวตลอดชวงเวลาของการเคล อนท

8

ความเรงบดดล (instantaneous velocity)

0a

tt

v dvim

dt

เปนปรมาณท บอกถงการเปล ยนแปลงความเรวในขณะใดขณะหน ง

ตวอยางท 1.1 นกศกษาคนหน งทาการว งบนถนนตรงดวยอตราเรว เฉล ย 2เมตร/วนาท เปนเวลา 5 นาท แลวลดอตราเรวลง เปน 1.5 เมตร/วนาท เปนเวลา 2 นาท จงหาอตราเรว

เฉล ยของนกศกษาคนนxวธทา หากระยะทางของการว งของนกศกษา จาก ave ave

xV x V t

t

1 2x x x

1 1 2 2( )( ) ( )( )ave aveV t V t

(2 / )(5 60 ) (1.5 / )(2 60 )m s x s m s x s

600 180 = 780 m m m

9

600 180 = 780 m m m

หาอตราเรวเฉล ยave

xV

t

จาก

7801.86 /

(5 2)(60)m s

ตวอยางท 1.2 ถารถแขงซ งว งในถนนตรงมสมการความสมพนธระหวางการกระจดและเวลาเปน x = 5t + 0.5t3 โดย x และ t มหนวยเปนเมตรและวนาท ตามลาดบ จงหาก) ความเรวบดดลของรถแขงเม อเวลาt=4 และ 6 วนาทก) ความเรวบดดลของรถแขงเม อเวลาt=4 และ 6 วนาท

ข) ความเรงเฉล ยในชวงเวลาดงกลาวค) ความเรงบดดล ณ เวลาt=2 วนาท

วธทา ก) หาความเรวบดดล :3 2(5 0.5 ) 5 3(0.5)

dx dV t t t จาก

10

3 2(5 0.5 ) 5 3(0.5)dx d

V t t tdt dt

แทนคา 24 5 3(0.5)(4) 29 /t s V m s

26 5 3(0.5)(6) 59 /t s V m s

จาก

ข) หาความเรงเฉล ย :2 1

2 1ave

v vva

t t t

ในท น1 14 , 29 /t s v m s

จาก

แทนคา 59 29 30 15 /

6 4 2avea m s

ในท น1 14 , 29 /t s v m s

2 26 , 59 /t s v m s

ค) หาความเรงบดดล : จาก

11

ค) หาความเรงบดดล : จาก

2 22(5 1.5 ) 2(1.5) (2)(1.5)(2) 6 /ave t

dv da t t a m s

dt dt

ตวอยางท 1.3 ถาขวางลกเทนนสเขากระทบกาแพงในแนวตงฉากกบกาแพงดวยอตราเรว 10 เมตร/วนาท แลวลกเทนนสกระดอนจากกาแพงดวยอตราเรว 8 เมตร/วนาท โดยเวลาท ลกเทนนสสมผสกบกาแพงเทากบ 0.02 วนาท จงหาอตราเรงเฉล ยในสมผสกบกาแพงเทากบ 0.02 วนาท จงหาอตราเรงเฉล ยในระหวางท ลกเทนนสสมผสกาแพง

วธทา จาก 2 1

2 1ave

v vva

t t t

ในท น1 1 1 20 , 10 / , 0.02 , 8 /t v m s t v m s

12

แทนคา 2(8 10) / 2 / 100 /

(0.02 0) 0.02

ave

m s m sa m s

s s

ในท น1 1 1 20 , 10 / , 0.02 , 8 /t v m s t v m s

การเคล อนท ดวยความเรงคงตวการเคล อนท ดวยความเรงคงตว

ตวอยาง : คอวตถตกอยางอสระในแนวด งและการหามลอรถยนต ตวอยาง : คอวตถตกอยางอสระในแนวด งและการหามลอรถยนต

v vv

การเคล อนท บางอยางท มความเรงไมคงตว อาจถอไดวามความเรง คงตวโดยมคาความเรงเทากบความเรงเฉล ย

13

2 1ave

2 1

a av vv

t t t

สมการของการเคล อนทสมการของการเคล อนท

01. v v at 22

1. x v t at 2

021

. 2

x v t at

2 203. 2v v ax

เม อ = ความเรว ณ เวลาใด ๆ

v

0v = ความเรวตน

14

ๆ0v = ความเรวตน

t = เวลาในการเคล อนทa = ความเรง

x = การกระจด

กราฟความสมพนธของปรมาณการเคล อนทกราฟความสมพนธของปรมาณการเคล อนทกราฟการเคล อนท ของรถท มความเรงในลกษณะตาง ๆ

x

v = 0 v = 0

v

t

t

O

O

(a)

(b)

v เพ ม v คงท

v คงท

v ลด

หย ด เร ง หย ดเบรค

15

v = 0 v = 0

a < 0

a > 0

a = 0 a = 0a = 0

a

t

t

O

O

(c)

ตวอยางท 1.4 เรอลาหน งแลนในแนวเสนตรงและเพ มอตราเรวจาก 20 เมตร/ วนาท เปน 30 เมตร/วนาท ภายในระยะทาง 200 เมตร จงหา

ก) ขนาดของความเรง ข) เวลาท เรอเรวใชในการเพ มอตราเรว

วธทา ก) หาขนาดของความเรง

จาก 2 20 2v v ax

ในท น 030 / , 20 / , 200 v m s v m s x m

16

แทนคา

ในท น 030 / , 20 / , 200 v m s v m s x m

2 2(30 / ) (20 / ) 2 (200 )m s m s a m

2 2 2 2900 / 400 / 400 m s m s a m

2 2500 /

400

m sa

m

= 1.25 m/s2= 1.25 m/s

วธทา ข) หาเวลาท เรอใช

จาก 0v v at

ในท น 2030 / , 20 / , 1.25 /v m s v m s a m s

17

แทนคา 2

10 /

1.25 /

m st

m s

= 8 s

วตถตกอยางอสระวตถตกอยางอสระ

เปนการเคล อนท ในแนวด งดวยความเรงคงตวเทากบความเรงเน องจากแรงดงดดของโลก(g)เน องจากแรงดงดดของโลก(g)

21 y v t gt

ความเรง g มคาเทากบ 9.8 m/s2 มทศทางเขาสจดศนยกลางโลก

สมการของการเคล อนท จะมลกษณะเชนเดยวกบการเคล อนท ในแนวเสนตรง

0 y yv v gt2

02

yy v t gt

2 20 2 y yv v gy

18

เม อy คอการกระจดในแนวด ง

ตวอยางท 1.5 ขณะท นกกระโดดรมคนหน งซ งกาลงเคล อนท ลงสพนดนดวยอตรา เรว 10 เมตร/วนาท ทากลองหลดมอจากระยะท สงจากพนดน 50 เมตร จงหา ก) เวลาท กลองหลนถงพนดน ข) ความเรวขณะท กลองกระทบพน กาหนดให g= 10 m/s2ความเรวขณะท กลองกระทบพน กาหนดให g= 10 m/s2

วธทา ก) จาก 20

1

2 yy v t gt

ถาคดทศลงเปน (+) จะได 2050 , 10 / , 10 / yy m v m s g m s

1

19

แทนคา 21

250 (10 / )( ) (10) m m s t t

250 10 5 m t t

จากรากของสมการ quadratic2 4

2

b b acx

a

2 2 10 0 t t

จะได22 (2) 4(1)( 10) 2 44

2(1) 2

t

2 6.6 4.6 2.3

2 2

s ใชเฉพาะคาบวก

ข) หาความเรวเม อกระทบพน

20

ข) หาความเรวเม อกระทบพนจาก

แทนคา0 yv v gt

210 / (10 / )(2.3 ) v m s m s s

= 33 m/s

1. ปลอยลกบอลกระทบพนจากท สง5 เมตร ถาลกบอลกระดอนกลบดวยความเรวคร งหน งของท ตกกระทบ จงหาความสงท ลกบอลกระดอนกลบ ( g = 10 m/s2)

แบบฝกหดแบบฝกหด

บอลกระดอนกลบ ( g = 10 m/s2)

2. อนภาคท 1 ถกปลอยลงมาจากหนาผาสง h เหนอพนราบ อก 1 วนาทตอมา อนภาคท 2 ถกปลอยลงมาจากหนาผานนเชนกนเม ออนภาคตกถงพนราบ อนภาคท 2 ยงอยเหนอพนราบ 20 เมตรจงหาความสง h

3. ถาขวางกอนหนกอนหน งขนในแนวด งจากยอกตก ซ งสง 50

21

3. ถาขวางกอนหนกอนหน งขนในแนวด งจากยอกตก ซ งสง 50 เมตร ดวยความเรวตน 20 เมตร/วนาท จงหา ก. เวลาและตาแหนงท กอนหนขนถงจดสงสด ข. เวลาและความเรวของกอนหน ณ จดท ขวาง ค. ความเรวและตาแหนงของกอนหนเม อเวลาผานไป 5 วนาท

4. รถไฟขบวนหน งยาว 400 เมตร แลนบนรางตรงผานจดตดกบถนนดวย อตราเรว 82.4 กม./ชม. โดยคนขบไดทาการเหยยบเบรกกอนเขาส อตราเรว 82.4 กม./ชม. โดยคนขบไดทาการเหยยบเบรกกอนเขาส จดตดและเม อรถแลนผานจดตดจะมความเรว 16.4 กม./ชม. ถา ความเรงของรถไฟมคาคงตว จงหาเวลาท รถแลนผานจดตด

5. ผหญงคนหน งตกจากตกชน 17 เปนระยะ 44 เมตร เขาชนกบกลอง ระบายความรอนของตกทาใหกลองนนยบตวเปนระยะ 46 เซนตเมตร โดยท เธอบาดเจบเพยงเลกนอย ถาไมคดแรงตานของอากาศ จงหา

22

โดยท เธอบาดเจบเพยงเลกนอย ถาไมคดแรงตานของอากาศ จงหา ก. ความเรวท เธอตกกระทบกลองระบายความรอน

ข. ความเรงในขณะท เธอกระทบกลอง ค. เวลาท เธอตดอยกบกลอง

6. อนภาคแอลฟา (นวเคลยสของธาตฮเลยม) เคล อนท ไปตามทอนาสงอนภาคตรงยาว 2.0 เมตร ในเคร องเรงอนภาค(a) ถาอนภาคเขาทอนาสงดวยอตราเรว 1.0 x 104 เมตร/วนาท และ

หลดออกจากทอดวยอตราเรว 5.0x 106 เมตร/วนาท ถาสมมตใหเปนการเคล อนท ดวยความเรงคงตวคานวณหาคาความเรงของเปนการเคล อนท ดวยความเรงคงตวคานวณหาคาความเรงของอนภาค

(b) อนภาคใชเวลานานเทาใดในทอนาสง

7. เม อไฟเขยวเปด รถยนตเคล อนท ดวยความเรงคงตว2.2 เมตร/วนาท2

ในขณะเดยวกนรถบรรทกท กาลงเคล อนท ดวยความเรวคงท9.5

23

ในขณะเดยวกนรถบรรทกท กาลงเคล อนท ดวยความเรวคงท9.5 เมตร/วนาท แซงผานรถยนต(a) จากจดเร มตนรถยนตจะทนรถบรรทกท ระยะเทาใด(b) ความเรวของรถยนตมคาเทาใดท จดทนกนพอด(c) เขยนกราฟ x และ t ของรถทงสอง

8 ถานกศกษาขบรถบนถนนไฮเวย จากกรงเทพมหานคร ถงนครราชสมาในชวงคร งเวลาแรกนกศกษาเคล อนท ดวยอตราเรว56.3 กโลเมตร/ช วโมง คร งเวลาหลง88.5 กโลเมตร/ช วโมงในชวงขากลบนกศกษาเคล อนท คร งระยะทางแรกดวยอตราเรว56.3 กโลเมตร/ ช วโมงคร งระยะทางหลง88.5 กโลเมตร/ช วโมงนกศกษามช วโมงคร งระยะทางหลง88.5 กโลเมตร/ช วโมงนกศกษามอตราเรวเฉล ยเทาใดในชวง

(a) จาก กรงเทพมหานคร ถง นครราชสมา(b) จาก นครราชสมา ถง กรงเทพมหานคร(c) ทงไปและกลบ

9. อนภาคเคล อนท ในแกนx ตามสมการ x=50t + 10t2 โดย x ม

24

9. อนภาคเคล อนท ในแกนx ตามสมการ x=50t + 10t2 โดย x มหนวยเปนเมตร t เปนวนาท จงคานวณ

(a) ความเรวเฉล ยของอนภาคชวง3 วนาทแรก(b) ความเรวของอนภาคม t = 3 วนาท(c) ความเรงของอนภาคม t = 3 วนาท

10. รถกระบะอซซหนก M kg ขบมาดวยความเรวคงท vi m/s มสนกว งตดหนาคนขบเลยแตะเบรคทาใหลอหยดหมนทนท

ก. หากคาสมประสทธแรงเสยดทานจลนระหวางยางรถกบผวถนนเปน รถจะไถลไปเปนระยะทางเทาไรกอนหยดน งkถนนเปน รถจะไถลไปเปนระยะทางเทาไรกอนหยดน ง

ข. หากรถกระบะบรรทกทเรยนจนหนกเปนสองเทาของนาหนกเดม รถจะไถลไปเปนระยะทางเทาไร

ค. หากรถว งมาดวยความเรวท ชาลงคร งหน งรถจะไถลไปเปนระยะทางเทาไร

k

25

การเคล อนท ในสองมตและสามมตการเคล อนท ในสองมตและสามมต

การเคล อนท ของวตถหรออนภาคโดยท วไปจะเปนการเคล อนท ในสามมต แตการเคล อนท ของวตถท เราพบเหนในชวตประจาวนจะเหนเปนมต แตการเคล อนท ของวตถท เราพบเหนในชวตประจาวนจะเหนเปนเสมอนการเคล อนท ในสองมต เชน การเคล อนท ของลกเทนนส และการเคล อนท ของลกกระสนปนใหญ เปนตน

เราสามารถใชความรดานแคลคลสของเวกเตอร (vector calculus) เพ ออธบายการเคล อนท ของวตถในสามมตไดโดยสะดวกโดยใชกาหนดคา

26

อธบายการเคล อนท ของวตถในสามมตไดโดยสะดวกโดยใชกาหนดคานยามของปรมาณการเคล อนท ตางๆ เชน การกระจด ความเรวความเรง เปนตน

เวกเตอรบอกตาแหนงเวกเตอรบอกตาแหนง ( position vector )( position vector )เปนปรมาณท กาหนดตาแหนงของวตถ ณ เวลาใด ๆ

ทางเดนอนภาค

O x

y

z

a

v

r

27

kzjyixr ในระบบพกดฉาก (rectangular coordinate) :

z

การกระจดการกระจด ( displacement )( displacement )

เปนปรมาณท บอกถงความแตกตางของตาแหนงวตถระหวางจด 2 จดใดๆ

r1

O x

y

z

r2 r

t1

t2

(a)

ใดๆ

28

z(a)

2 1r r r

y

ความเรวความเรว (velocity)(velocity)

y

คออตราสวนของการกระจดตอชวงเวลาของการเคล อนท

r1

O x

y

z

r2 r

t1

t2

(a)

r

O x

y

z

r1

t1

t2

r2

(b)

29

2 1

2 1ave

r rrv

t t t

t

rim=vt

0

ความเรวเฉล ย : ความเรวบดดล :

dt

rdv

เวกเตอรองคประกอบของความเรวเวกเตอรองคประกอบของความเรว

d r d ˆ ˆ ˆv x i y j z k

เปนองคประกอบของความเรวในแนวแกน X, Y และ Z

d r d ˆ ˆ ˆv x i y j z kd t d t

d x d y d zˆ ˆ ˆi j kd t d t d t

= ความชนของกราฟ ระหวางการกระจดและเวลา

30

x y z

dx dy dzv v v

d t d t d t

องคประกอบของความเรวในแนวแกน X , Y และ Z :

ความเรงความเรง (acceleration )(acceleration )

ความเรงเฉล ย : 2 1v vva

คออตราการเปล ยนแปลงความเรวตอหน งหนวยเวลา

ความเรงเฉล ย : 2 1

2 1ave

v vva

t t t

ความเรงบดดล :0t

v d va i m

t d t

= ความชนของกราฟระหวางความเรวและเวลา

31

, ,yx zx y z

dvdv dva a a

dt dt dt

องคประกอบของความเรงในแนวแกน X, Y และ Z :

= ความชนของกราฟระหวางความเรวและเวลา

แบบฝกทกษะ จากสมการการเคล อนท ตอไปน จงคานวณหาkttjittr 32 236)(

• 1. ตาแหนงของวตถท เวลา 0, 2 ,4 วนาท• 1. ตาแหนงของวตถท เวลา 0, 2 ,4 วนาท• 2. ความเรวท เวลา 0, 2 ,4 วนาท

• 3. ความเรงท เวลา 0, 2 ,4 วนาท

• เฉลย

• 1. 0 , 24i-6j+16k, 96i-12j+128k

32

1. 0 , 24i-6j+16k, 96i-12j+128k• 2. -3j, 24i-3j+24k, 48i-3j+96k• 3. 12i, 12i+24k, 12i+48k

v

vv y v

y

การเคล อนท แบบโพรเจกไตลการเคล อนท แบบโพรเจกไตลเปนการเคล อนท ในสองมตหรอบนระนาบท ความเรงในแนวด งและความเรว

ในแนวราบมคาคงตว

x

v

v

v

v

v y

v y

v y

v y

v y v x

v x

v x

v x

0

Rv xO

33

0v

0ถาเม อt = 0 , วตถมความเรวตน ท ทามมกบแนวราบ

ความเรวตนในแนวราบ :

ความเรวตนในแนวด ง : 0 0cosxov v

0 0 0sinyv v

การเคล อนท ในแนวราบการเคล อนท ในแนวราบ

0 0 cosx xo xv v a t v ความเรว : 0 0 cosx xo xv v a t v ความเรว :

การกระจด : 0 0 cos x v t

การเคล อนท ในแนวด งการเคล อนท ในแนวด ง

ความเรว :

34

20 0

1 sin

2y v t gt

ความเรว :

การกระจด :

0 0 0 siny y yv v a t v gt

ความสมพนธของการกระจดความสมพนธของการกระจด

หาคาไดจากสมการของการกระจดในแนวราบและแนวด งซ งจะอยในรปของสมการพาราโบลา

20 2

0 0

tan2 cos

gy x x x

v

พสยพสย (range )(range )

ซ งจะอยในรปของสมการพาราโบลา

คอระยะในแนวราบจากจดยงถงจดตก ซ งหาคาไดโดยอาศย

35

20

0 s in 2v

Rg

คอระยะในแนวราบจากจดยงถงจดตก ซ งหาคาไดโดยอาศยสมการความสมพนธของการกระจด เม อy = 0

H

อตราสวนความสงท สดอตราสวนความสงท สด(H) (H) ตอพสยตอพสย (R)(R)

H

R

0

ถามมยงของโพรเจกไตลวดจากแนวราบเปน ดง0

36

ถามมยงของโพรเจกไตลวดจากแนวราบเปน ดงรป

0

อตราสวนระยะสงสดตอพสยจะมคาเปน

0

1tan

4

H

R

ตวอยางท 1.6 ถานกศกษาคนหน งซ งยนอยบนหอสง ทาการขวางกอนหนขนไปในอากาศโดยทามม 30๐ กบแนวระดบ และดวย

อตราเรว 20 เมตร/วนาท ถาหอสง 45 เมตร g=10 m/s2

ก) เวลาท กอนหนลอยอยในอากาศกอนตกลงสพนข) ความเรวท กอนหนกระทบพน

45 m

30๐V0=20 m/s

ข) ความเรวท กอนหนกระทบพน

วธทา ถากาหนดทศทางขนเปนบวกจะได ความเรวตน :

1

0 0

3cos30 (20 / )( ) 17.3 /

2xv v m s m s แนวราบ

37

0 0

1sin 30 (20 / )( ) 10 /

2yv v m s m s

พจารณาการเคล อนท ในแนวด ง : จาก 20

1

2yy v t gt

แนวด ง

ในท น 20 45 , 10 / , 10 / yy m v m s g m s

แทนคา 2 2145 (10 / ) (10 / )

2 m m s t m s t

2 2 9.0 0 t t

22 2 4(1)( 9)

2(1)

t

2 40 2 6.3 8.34.2

2 2 2

s ใชเฉพาะคาบวก

หาความเรวกระทบพน : 0 y yv v gt

38

หาความเรวกระทบพน : จาก

0 y yv v gt

2 2 2 2(17.3) (32) 1323.3 36.4 / x yv v v m s

210 / (10 / )(4.2 ) 32 / yv m s m s s m s

ดงนน

แทนคา

เปนการเคล อนท บนระนาบท มขนาดของความเรวและความเรงคงตว แตมทศทางเปล ยนแปลงตลอดเวลา เชน การโคจรของดาวเทยมรอบโลก

การเคล อนท แบบวงกลมดวยอตราเรวคงตวการเคล อนท แบบวงกลมดวยอตราเรวคงตว

ถาวตถเคล อนท เปนวงกลมรศมr ดวยความเรว v จะไดความเรงเฉล ย

v t

vQ2

O

v1

v2

v2

v1

P2

P1

r

C

r

P2

P1

r

C

r

Q1

(a) (b) (c)

39

2

ave

va

r

ถาวตถเคล อนท เปนวงกลมรศมr ดวยความเรว v จะไดความเรงเฉล ย

22 sin sin2 2 /

2ave

vv va

t r v r

sin 2 2 t 0เม อ , ดงนน

การเคล อนท ตามแนวเสนโคงการเคล อนท ตามแนวเสนโคง

เปนการเคล อนท ๆความเรวเปล ยนทงขนาดและทศทาง เชน รถยนตเลยวโคง รถยนตเลยวโคง

วตถจะมความเรงทงในแนวสศนยกลาง ( aC )และความเรงในแนวเสนสมผสทางเดน( aT )

2 2a a a ความเรง:

40

2 2T Ca a a ความเรง:

2

C

va

rเม อ

ตวอยางท 1.7 รถยนตคนหน งว งไปบนถนนโคงท มรศมความโคง 100 เมตร ดวยอตราเรว 36 กโลเมตร/ชม. ทาใหมความเรงทา

มมกบแนวเสนผาศนยกลางเทากบ 30๐ จงหาความเรงดงกลาวและความเรงในแนวเสนสมผส

a30๐a

0

วธทา2

cos30cos30 cos30

c

c

a va a a

r

ในท น3(36 / )(10 / )

10 / , 1003600

km h m kmv m s r m

s

2 22(10 / )

1 /100

c

m sa m s

r m

2

210 /1.15 / ,

100 3 / 2

m sa m s

m แทนคา

41

2 2 2 2 T c T ca a a a a a

แทนคา2

2 2(10 / )(1.15) 1.33 1 0.33 0.57 /

100T

m sa m s

m

100r m

จาก

100 3 / 2mแทนคา

1. ในการฝกภาคสนามของนกศกษาวชาทหาร (นศท.) ครงหน งเปนการฝกยงปนใหญ ปรากฏวา นศท. ตองยกลากลองปนใหทามมกบแนวระดบเปนมม 30o

ลกกระสนจงตกกระทบเปาซ งอยในระดบเดยวกนกบปนและหางจากปนเปน

แบบฝกหดแบบฝกหด

ลกกระสนจงตกกระทบเปาซ งอยในระดบเดยวกนกบปนและหางจากปนเปนระยะ กโลเมตร ดงรป ถา g = 10 เมตร/วนาท2 จงหาก) ความเรวตนของลกกระสนปนใหญ ท ทาใหกระสนตกกระทบเปาพอดข) ระยะสงสด (H) ของลกกระสนปนใหญในการยงครงนค) ความเรว (V) และทศทางของลกกระสนขณะกระทบเปา

2 3

42

30o

HVo

2 3 km V

2. เคร องบนทงระเบดบนลงทามม 30 องศา กบแนวระดบแลวทงระเบดขณะอยสงจากพน 465 m ลกระเบดกระทบพนดนในเวลา 3 s จงหาความเรวเคร องบนขณะทงลกระเบด( )g s m10 2/( )g s m10 2/

30o

3. ปนใหญกระบอกหน งตงอยในทงราบ ยงไปยงเปาซ งอยในแนวราบระดบเดยวกนและอยหางจากจดท ตงปนใหญ 2

43

แนวราบระดบเดยวกนและอยหางจากจดท ตงปนใหญ 2 กโลเมตร ลกปนออกจากกระบอกปนดวยความเรวตน 200 เมตร/วนาท ไมคดแรงเสยดทานจากอากาศ (g = 10 m/s2)

4. ในการแขงขนกระโดดนาในประเภทกระดานกระโดดสง 10 เมตร ปรากฏวานกกระโดดนาทามม 30 องศากบแนวระดบดวยความเรว 20 เมตร/วนาท จงหาเวลาท เขาลอยตวอยในอากาศและความเรวท เขากระทบนา ( g = 10 m/s2)

5. กอนหนถกขวางในแนวราบจากยอดตกซ งสง20 เมตรเหนอพนดน กอนหนตกถงพนดนซ งอยหางตกออกไป45 เมตรความเรวตนของกอนหนเปนเทาใด ( g = 10 m/s2)

6. ทหารไทยทาการยงปนใหญจากเชงเขาไปยงเปาหมายท อย

44

6. ทหารไทยทาการยงปนใหญจากเชงเขาไปยงเปาหมายท อยบนเนนเขาท เอยงทามม 30 องศากบแนวระดบถากระบอกปนเอยงทามม 60 องศากบแนวระดบ และความเรวตนของกระสนเปน 9 เมตร/วนาท จงหาวาเปาอยหางจากเชงเขาเทาไร

7. เดกคนหน งขวางกอนหนขนตรง ๆ ในแนวด งไดระยะสงสดเปน H ถาเดกคนเดยวกนนขวางกอนหนไปในแนวระดบดวยความเรวตนเทาเดม จะไดระยะไกลสดเทาใด

8. ในการแขงขนกฬากระโดดไกล ปรากฏวานกกฬาท ชนะเลศ 8. ในการแขงขนกฬากระโดดไกล ปรากฏวานกกฬาท ชนะเลศ ใชความเรวตน 11 เมตร/วนาท และกระโดดทามม 20องศากบแนวระดบ จงหาระยะทางในแนวราบและระยะสงสดท เขากระโดดได

9. นกยงธนตองการจดคบเพลงดวยการยงธนเพลงไปยงกระถางคบเพลงท อยหางออกไปตามแนวราบ 60 เมตร และกระถาง

45

คบเพลงท อยหางออกไปตามแนวราบ 60 เมตร และกระถางคลเพลงสง 24 เมตร ถาไมคดแรงตานของอากาศ จงหามมทนกยงธนตองยงลกธน (วดเทยบกบแนวราบ) เพ อใหลกธนไปถงกระถางคบเพลงในตาแหนงสงสดของวถของลกธน

10. จงหาความเรงเขาสศนยกลางความเรงในแนวเสนสมผสและความเรงรวมของรถยนตท มการเคล อนท ดวยอตราเรว 10 เมตร/วนาท บนถนนวงกลมท มรศม 500 เมตรวนาท บนถนนวงกลมท มรศม 500 เมตร

11. ดาวเทยมโคจรรอบโลกเปนวงกลมรศม 640 กโลเมตร เหนอผวโลก เวลาในการโคจรครบหน งรอบ98.0 นาท จงหา

(a) อตราเรวของดาวเทยม

46

(a) อตราเรวของดาวเทยม(b) ความเรงเขาสจดศนยกลางท วงโคจร(free-fall acceleration)