นักวิชาการ...

38 นตยสาร สสวท.

ถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.) ไดเปดรบสมครนกเรยนเขารวมการประกวดผลงานสรางสรรคของคนมความสามารถทางคณตศาสตร โดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ประจำาป 2556 เมอเดอนกมภาพนธ 2556 หลงจากนน สสวท. ไดสงขอสอบใหผสมครไปสรางสรรคผลงานเปนเวลา 1 สปดาห ขอสอบในระดบ

ประถมศกษามทงหมด 3 ขอ โดยขอ 1 และขอ 2 เปนแบบสรางสรรครปเรขาคณต ตามเงอนไขทกำาหนดและตอบคำาถาม สวนขอ 3 เปนแบบสรางสรรคผลงานในหวขอ วนสงกรานต จากการทตรวจผลงานของนกเรยนทสงเขาประกวดพบวา มนกเรยนหลายคนยงไมสามารถตอบคำาถามได จงขอเสนอแนวคดในการทำาขอสอบขอ 1 และขอ 2 ไวเพอใหนกเรยนหรอครทสนใจไดศกษา

รอบรคณต

พลาลกษณ ทองทพยนกวชาการ สาขาคณตศาสตรมธยมศกษาตอนตน สสวท. / e-mail : pithon@ipst.ac.th

แนวคดในการทำาขอสอบการประกวดผลงานสรางสรรคของคนมความสามารถทางคณตศาสตร โดยใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad ประจำาป 2556 รอบคดเลอก ระดบประถมศกษา

ขอ 1. ใหสรางรปสเหลยมจตรส ABCD ทปรบขนาดได แลวสรางรปสเหลยมมมฉาก MNOP ใหอยภายในรปสเหลยมจตรส ABCD โดยสามารถปรบขนาด รปราง และตำาแหนง ของรปสเหลยม MNOP ได และจดยอดมมของรปสเหลยม MNOP ไมจำาเปนตองอยบนเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรส ABCD เสมอไป แตเมอเปลยนตำาแหนงของรปสเหลยม MNOP แลวตองไมมสวนหนงสวนใดของรป ออกไปอยภายนอกรปสเหลยมจตรส ABCD (คะแนนเตม 30 คะแนน)

39ปท 41 ฉบบท 184 กนยายน - ตลาคม 2556

การแกปญหาสำาหรบขอนมหลายวธทจะใหไดรปดงทกำาหนดให วธหนงสำาหรบการหาคำาตอบมขนตอน ดงน

1. สรางรปสเหลยมจตรส ABCD ทปรบขนาดได วธการสรางรปสเหลยมจตรสทปรบขนาดไดมหลายวธ ใน

ทน ขอเสนอการสรางโดยใชการแปลงทางเรขาคณตแบบหนง คอ การหมน ดงน

- สรางสวนของเสนตรง AB ทปรบขนาดได - ใชจด A เปนจดหมน หมนดาน AB ดวยมมขนาด 90

องศา ไดดาน AD

2. เนองจากโจทยตองการใหสรางสเหลยมมมฉาก MNOP ทอยภายในรปสเหลยมจตรส ABCD ทปรบขนาด รปราง และตำาแหนงได โดยทจดยอดมมทงสมมไมจำาเปนตองอยบนดานของรปสเหลยมจตรสเสมอไป วธหนงทจะทำาใหจดยอดของรปสเหลยมมมฉาก MNOP ไมออกไปอยนอกรปสเหลยมจตรส ABCD ทำาไดดงน

- สรางจด E และ F บนดาน AB และดาน BC ตามลำาดบ

- ใชจด D เปนจดหมน หมนดาน AD ไปดวยมม 90 องศา ไดดาน DC

- สรางเสนตงฉาก 2 เสน โดยเสนหนงตงฉากกบดาน AB ทจด E และอกเสนหนงตงฉากกบดาน BC ทจด F เสนตงฉากสองเสนนทำาใหเกดจดตด M ซงตรงจดตดนทำาใหเกดมมฉาก และไมสามารถลากจด M ใหออกไปอยภายนอกรปสเหลยมจตรสได ดงนนจด M จงเปนจดยอดมมจดหนงของรปสเหลยมมมฉาก MNOP ได

- สรางสวนของเสนตรงเชอมจด B และจด C กจะไดรปสเหลยมจตรส ABCD ทปรบขนาดได

- ในทำานองเดยวกนสรางจด G และ H บนดาน CD และดาน AD ตามลำาดบ

40 นตยสาร สสวท.

ขอ 2. ใหสรางรปตามเงอนไขตอไปน 1) ABCD เปนรปสเหลยมจตรสทปรบขนาดได 2) จด E เปนจดอยบนดาน CD 3) จด F เปนจดตดทเกดจากเสนตรงซงตงฉากกบดาน

CD ทจด E ตดกบเสนทแยงมม BD 4) จด G เปนจดตดทเกดจากเสนตรงซงขนานกบดาน

CD และผานจด F ตดกบดาน AD หลงจากนนซอนเสนตงฉากและเสนขนาน แลวสรางรปสเหลยม DEFG และรปสามเหลยม ABF ใหทดลองเคลอนทจด E ไปยงตำาแหนงตาง ๆ บนดาน CD เชน ทำาใหระยะ DC เทากบระยะ DE แลวพจารณาผลลพธทไดจากการหารพนทรปสามเหลยม ABF ดวยพนทรปสเหลยม DEFG ซงเกดการเคลอนทจด E ในแตละครง

ถาให T เปนจดบนดาน CD เมอจด E เคลอนทไปยงจด T แลวทำาใหผลลพธทไดจากการหารพนทรปสามเหลยม ABF ดวยพนทรปสเหลยม DEFG เทากบ 435 ใหหาวาระยะ CD จะเปนกเทาของระยะ DT พรอมทงสรางจด T ดงกลาว (คะแนนเตม 30 คะแนน)

สำาหรบปญหาขอนมขนตอนในการหาคำาตอบ 2 ขนตอน คอ การสรางรปตามทกำาหนด หลงจากนนใหสำารวจความสมพนธจากรปทสรางนนตามเงอนไขทกำาหนด ดงน

1. การสรางรปตามเงอนไขทกำาหนด- สรางรปสเหลยมจตรส ABCD ทปรบขนาดได โดยอาจ

สรางตามวธการทสรางในขอสอบขอ 1 แลวสรางจด E บนดาน CD

- สรางเสนตงฉาก 2 เสน โดยเสนหนงตงฉากกบดาน CD ทจด G และอกเสนหนงตงฉากกบดาน AD ทจด H เสนตงฉากสองเสนนจะตดกบเสนตงฉากสองเสนเดมทผานจด E และ F ทำาใหเกดจดตดอก 3 จด คอ จด N, O และ P ดงรป ซงตรงจดตดเหลานทำาใหเกดมมฉาก และไมสามารถลากจด N, O และ P ใหออกไปอยภายนอกรปสเหลยมจตรสไดเชนกน

- ซอนเสนตรงทงส และจด E, F, G และ H หลงจากนนสรางรปสเหลยมมมฉาก MNOP จะไดรปสเหลยมมมฉากทตองการ

เราสามารถลากจดยอดมมของรปสเหลยมมมฉาก MNOP เพอปรบขนาด รปราง และตำาแหนง ของรปสเหลยมมมฉากนได โดยไมมสวนใดสวนหนงของรปออกไปอยภายนอกรปสเหลยมจตรส ABCD

41ปท 41 ฉบบท 184 กนยายน - ตลาคม 2556

2. การสำารวจหาตำาแหนงของจด T บนดาน CD- เมอสรางรปไดตามทกำาหนดแลว จากนนหาพนทของ

รปสเหลยม DEFG และพนทของรปสามเหลยม ABF โดยใชคำาสง พนท จากเมน การวด จะไดผล ดงรป

- สรางเสนตงฉากกบดาน CD ทจด E สรางเสนทแยงมม BD หลงจากนนสรางจดตด F ซงเปนจดตดระหวางเสนตงฉากกบเสนทแยงมมทสรางไว

- ซอนเสนตรงทงสองเสน หลงจากนนสรางรปสเหลยม DEFG และรปสามเหลยม ABF และสรางบรเวณภายในของรปทงสอง ซงเปนรปตามทตองการ

- หาผลหาร จากการหารพนทรปสามเหลยม ABF ดวยพนทรปสเหลยม DEFG โดยใชคำาสง การคำานวณใหม จากเมน การวด ดงรป

- จะไดผลลพธจากการหารพนทรปสามเหลยม ABF ดวยพนทรปสเหลยม DEFG ดงรป

- ลองเลอนจด E ไปมาบนดาน CD แลวสงเกตผลหารจะพบวาผลหารจะมคาเพมขน เมอจด E เคลอนทเขาหาจด D เพราะเมอจด E เขาใกลจด D ทำาใหรปสามเหลยม ABF มพนทเพมขน แตรปสเหลยม DEFG มพนทลดลง จากการลองเลอนจด E จะพบวาการเลอนจด E ใหตรงกบตำาแหนงททำาใหผลหารมคาเทากบ 435 พอดทำาไดยาก ในทนจงขอเสนอวธการหาคำาตอบ โดยการดแบบรปจากการทดลองเลอนจด E ไปยงตำาแหนงตาง ๆ เชน

- สรางเสนขนานกบดาน CD และผานจด F แลวสรางจดตด G ทเกดจากเสนขนานนตดกบดาน AD

42 นตยสาร สสวท.

พจารณาแบบรปในตารางจะพบความสมพนธ ดงนผลบวกของ กบผลหารของพนท ทอยในแถวเดยวกน

จะเทากบ ผลหารของพนทแถวลางทอยถดลงมาจากความสมพนธดงกลาว จะหาไดวา ผลหารของพนทจะ

เทากบ 435 เมอ เทากบ 30 นนคอระยะ CD เปน 30 เทาของระยะ DE ดงนน เราสามารถสรางจด T โดยการยอ/ขยายระยะ CD ดวย

อตราสวนของการยอ/ขยาย จากนนสรางปมแสดงการทำางาน การเคลอนท เพอเคลอนทจด E ไปยงจด T จะไดผล ดงรป

จะเหนวาการหาคำาตอบของขอสอบขางตนมการใชการสรางตาราง การสรางปมแสดงการเคลอนท และการแปลงทางเรขาคณต ซงเปนทกษะพนฐานสำาหรบนกเรยนในการใชโปรแกรม GSP ถาหากนกเรยนไมมความรในเรองดงกลาว กสามารถศกษาดวยตนเองหรอปรกษาครทปรกษาในการใชคำาสงดงกลาวได เพราะไดใหเวลาในการศกษาคนควาและทำาขอสอบเปนเวลา 1 อาทตย

เมอนกเรยนหรอคณครเหนแนวคดในการทำาขอสอบครงนแลว จะเหนวาขอสอบของ สสวท. ไมไดยากจนนกเรยนทำาไมได เพยงแตตองใชความคดและความเพยรพยายามกจะสามารถทำางานใหสำาเรจลงได

o ลองเลอนจด E ไปทจดกงกลางของดาน CD นน คอทำาใหระยะ DE เปน ของระยะ CD ซงจะหาจดดงกลาวโดยใชโปรแกรม GSP มาชวย ดงน ระบใหจด D เปนจดศนยกลางของการยอ/ขยาย จากนนคลกเลอกจด C เลอกคำาสง ยอ/ขยาย จากเมน การแปลง ในกลองโตตอบ ยอ/ขยาย ทปรากฏใหเตม ในชองอตราสวนคงท แลวคลก ยอ/ขยาย จะไดจดกงกลางของดาน CD

o วดระยะ CD และระยะ DE แลวหาผลหาร โดยใชคำาสง การคำานวณใหม จากเมน การวด หลงจากนนสรางปมแสดงการทำางาน การเคลอนท จากเมน แกไข เพอเคลอนทจด E ไปยงจดกงกลางน จะพบวาผลหารของพนทเทากบ 1 และคาของ นนคอระยะ CD เปน 2 เทาของระยะ DE

o สรางตารางเพอสงเกตความสมพนธ ระหวางคา และผลหารของพนท โดยคลกเลอกคา และผลหารของพนท แลวเลอกคำาสง สรางตาราง จากเมน กราฟ หนาจอจะปรากฏผล ดงรป

o ในทำานองเดยวกนหาตำาแหนงของจดททำาใหระยะ DE เปน , , ,... ของระยะ CD แลวสรางปมแสดงการทำางาน การเคลอนท เพอเคลอนทจด E ไปยงตำาแหนงของจดขางตนแตละจด หลงจากนนเพมขอมลในตารางเมอเคลอนทจด E ไปยงจดแตละจด จะไดผล ดงรป

2

3 4 5

2

= 2