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Tema 2 acciones dinámicas
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Dinámica de las Estructuras (S-02) - Vibración Libre
Vibración Libre
Se dice que una estructura vibra en forma libre cuando su posición de equilibrio estático es perturbada sin ninguna excitacióndinámica externa.
Vibración Libre sin Amortiguamiento
La ecuación de movimiento de un sistema de un solo gradode libertad (UGL) en vibración libre sin amortiguamiento es:
E Iv
m u'' t( )( ) k u t( ) 0= que puede ser modelado por unmarco idealizado de un solo nivel ouna masa sujeta a un resorte o auna columna:
Resolviendo esta ecuación diferencial lineal y homogénea, sujeta a las siguientes condiciones iniciales, es decir:
que parte de una posición inicial: u u 0( )=
a una velocidad dada: u' 0( )
u t( ) u0 cos ωn t u'0
ωnsin ωn t = u t ωn u0 u'0 u0 cos ωn t
u'0
ωnsin ωn t
Tn = Periodo natural de la estructura
ωn = Frecuencia natural circular, muchas vecesreferida también como frecuencia natural de laestructura
fn = Frecuencia natural cíclica
u0 = Amplitud (desplazamiento máximo o mínimo)
Tn2 π
ωn=
Esta ecuación resulta ser larespuesta de un sistema UGLen movimiento armónicosimple, de donde observamoslas siguientes características
ωnk
ms=
fn1
Tn=
ρ0 u 0( )2 u' 0( )
ωn
2
=
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1 104
1 103
0.01 0.1 1 10 100
0
0.11
0.22
0.33
0.44
0.55
0.66
0.77
0.88
0.99
1.1
1
0.5ω' ρ( )
ρ
La frecuencia natural de un marco de un solo nivel con su base empotrada, tenemos que la rigidez lateral (la rigidez en ladirección de la excitación) está dada por:
si L 2h=
k12 E Ic Ic L 6 Iv h
h3
2 Ic L 3 Iv h = k
24 E Ic
h3
12ρ 1
12ρ 4= ρ
Iv
4 Ic=
si Iv ∞= ρ ∞= k24 E Ic
h3
E
ωn ρ ∞=
k
m=
24 E Ic
mh3
=
E Iv
si Iv 0= ρ 0= k6 E Ic
h3
E
ωn ρ 0=
k
m=
6 E Ic
mh3
=
ahora la frecuencia natural circularquedaría como: ωn
k
m=
24 E Ic
mh3
12ρ 1
12ρ 4=
ωn
24 E Ic
mh3
12ρ 1
12ρ 4= ω' ρ( )
12ρ 1
12ρ 4
ρ 1 104
1 103
1 102
ωnρ ∞=
24 E Ic
mh3
=
ωnρ 0=
6 E Ic
mh3
=
En la gráfica se puede observar que la frecuencia natural es afectada por la relación de rigidez entre columna y viga, llegando aser el doble cuando la viga es muy rígida con relación a la columna. También es afectada por las condiciones de poyo que tienen
las columnas, si las columnas están articuladas en la base y la viga es rígida tenemos también ωn
6 E Ic
mh3
= , que resulta ser la
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mitad que cuando las columnas están empotradas.
Ejemplo 1.Una nave industrial tiene las características mostradas en la figura, determine la ecuación demovimiento de vibración libre, la amplitud, el periodo, la frecuencia circular y la frecuencianaturales en las dos direcciones de la estructura. Grafique la respuesta si u0 2cm . y u'0 0
Ix
3350.663 cm4
Iy
3350.663 cm4
HSS 16x16x1/2
E 2.039 106
kgf
cm2
Contraventeo: ϕcontrv 1in
Masa del sistemade techo es: W 150
kgf
m2
Planta de la nave industrial
Elevación del marco en el claro corto
Simplificaremos el modelo idealizando quela masa se concentra en el centro degravedad del techo
msW 10m( ) 6m( )
g917.745 kgf
s2
m
para el marco del claro grande, tenemos 3 marcos
h 2.7m Ic Ix
klat 1 224 E Ic
h3
1666.088Ton
m
Elevación del marco en el claro largo
la ecuación de movimiento es: ms u'' t( ) klat 1 u t( ) 0=
ωn
klat 1
ms42.608
rad
s u1 t( ) u t ωn u0 u'0
Tn2 π
ωn0.147s fn
1
Tn6.781 Hz
0 0.5 1 1.5
2
1
1
2
u1 t( ) cm( )1
t
Analizando ahora la otra dirección (marcos
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contraventeados):
PA E
Lδ= P
fs
cos θ( )= δ u cos θ( )=
fs
cos θ( )
A E
Lu cos θ( )( )= fs
A E
Lcos θ( )
2 u= kcntrv
A E
Lcos θ( )
2=
θ atan2.7m
6m
24.228 ° Aπ
4ϕcontrv
2 5.067 cm
2
L 2.7m( )2
6m( )2
657.951 cm
la rigidez lateral total es: Ic Iy
klat 2 224 E Ic
h3
2A E
Lcos θ( )
2
4277802.186kgf
m
la ecuación de movimiento es: ms u'' t( ) klat 2 u t( ) 0= ωn
klat 2
ms68.273
rad
s u2 t( ) u t ωn u0 u'0
Tn2 π
ωn0.092s fn
1
Tn10.866 Hz
0 0.5 1 1.5
2
1
1
2
u2 t( ) cm( )1
t
Comparando las dos
0 0.5 1 1.5
2
1
1
2
u1 t( ) cm( )1
u2 t( ) cm( )1
tSe observa que el marco contraventeado es más rígido lo que resulta en un periodo más corto o un frecuencia más alta.
Otras expresiones útiles son: ωng
δst= fn
1
2 π
g
δst= y Tn 2 π
δst
g= donde: δst
m g
k=
Vibración Libre con Amortiguamiento Viscoso
Como se mencionó con anterioridad, en la realidad una estructura no permanece vibrado en forma continua cuando ha cesado alexcitación, existe una serie de mecanismos que disipan la energía de vibración, cuyo efecto inducen a que la amplitud demovimiento decaiga en forma continua hasta que la estructura nuevamente esté en reposo.
Ahora agregaremos el termino de amortiguamiento a la ecuación de movimiento: m u'' t( ) c u' t( ) k u t( ) 0=
m u'' t( ) c u' t( ) k u t( ) 0= u'' t( )c
mu' t( )
k
mu t( ) 0= u'' t( )
2c ωn
2m ωnu' t( ) ωn
2u t( ) 0= u'' t( ) 2 ξ ωn u' t( ) ωn
2u t( ) 0=
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donde nos referiremos a ξc
2ms ωn=
c
ccr= como la relación de
amortiguamientocrítico (adimensional)
ccr 2ms ωn= 2 ms k=2 k
ωn= coeficiente de
amortiguamiento crítico
Se observa que el amortiguamiento en un estructura afecta su respuesta ante una perturbación:
Si ξ 1= ó c ccr=
Si ξ 1 ó c ccr La estructura retorna a su posición de equilibrio sin oscilar o vibrar.
El sistema oscila al rededor de su posición de equilibrio con una disminución progresiva de suamplitud de movimiento.El coeficiente de amortiguamiento crítico es la valor mínimo del amortiguamiento (c) que anula laoscilación completamente, es decir, representa la frontera entre el movimiento con o sin oscilación.
Si ξ 1 ó c ccr
En este curso nos ocuparemos del los sistemas subamortiguado, ya que las estructuras de interés en el análisis estructural, talescomo edificios, puentes, presas, estructuras marinas, etc., son estructuras subamortiguadas, donde ξ 0.10 es un valor típico de larelación de amortiguamiento
La solución a la ecuación de movimiento devibración libre con amortiguamiento parasistemas subamortiguado's es:
u t( ) eξ ωn t
u0 cos ωD t u'0 ξ ωn u0
ωDsin ωD t
= ωD ωn 1 ξ2
=
uD t ωn ωD ξ u0 u'0 eξ ωn t
u0 cos ωD t u'0 ξ ωn u0
ωDsin ωD t
Ejemplo 2.Grafique la respuesta de vibración libre amortiguada de un sistema estructural con las características mostradas. Compare conun sistema sin amortiguamiento.
k 25Ton
m ms 2Ton
s2
m c 2.5Ton
s
m u0 50cm u'0 2
m
s
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ωnk
ms3.536 Hz ccr 2 ms ωn 14.142 Ton
s
m ξ
c
ccr17.678 %
Calculando los parámetrosde las soluciones:
ωD ωn 1 ξ2
3.48 Hz ρ u02 u'0 ξ ωn u0
ωD
2
83.163 cm
Tn2 π
ωn1.777s TD
Tn
1 ξ2
1.806s
La función para vibración libre sinamortiguamiento
uLibre t( ) u t ωn u0 u'0
La función para la vibración libre conamortiguamiento es:
uamrt t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0 ρ' ξ ωn t ρ eξ ωn t
0 2 4 6 8
100
50
50
100
uamrt t( ) cm( )1
uLibre t( ) cm( )1
ρ' ξ ωn t cm( )1
ρ' ξ ωn t cm( )1
t
Tenemos que el efecto del amortiguamiento hace que lafrecuencia circular tienda a ser más corta y el periodo aser más largo. Estas diferencias llegan a serprácticamente despreciables cuando las relaciones deamortiguamiento ξ son menores o iguales al 20%. Dehecho la mayoría de las estructuras están dentro de esterango de amortiguamiento.
El efecto más importante del amortiguamiento es la tasaa la que la vibración libre disminuye.
Ejemplo 3.Grafique la respuesta de vibración libre amortiguada del mismo sistema estructural con las misma características, pero con lassiguientes relaciones de amortiguamiento
a) 2%, b) 5%, c) 10%
ξ 2% um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0
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0 10 20 30 40 50
100
50
50
100
um t( ) cm( )1
t s( )1
ξ 5% um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0
0 10 20 30 40 50
100
50
50
100
um t( ) cm( )1
t s( )1
ξ 10% um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0
0 10 20 30 40 50
100
50
50
100
um t( ) cm( )1
t s( )1
Decremento de la Amplitud de Movimiento
La relación entre dos picos de tiempo "t" y "t + TD" de una vibración libre con amortiguamiento,
es independiente del tiempo, tenemos que:
u t( )
u t TD eξ ωn TD
= e
2π ξ
1 ξ2
=
Ejemplo 4.Ecuación de decremento entre picos ξ 15% k 50
Ton
m ms 2Ton
s2
m
ωnk
ms5 Hz ωD ωn 1 ξ
2 4.943 Hz u0 80cm u'0 0
Tn2 π
ωn1.257s TD
Tn
1 ξ2
1.271s um t( ) uD t ωn ωD ξ u0 u'0
ρ u02 u'0 ξ ωn u0
ωD
2
80.915 cm ρ' ξ ωn t ρ eξ ωn t
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0 0.6 1.2 1.8 2.4 3 3.6 4.2 4.8 5.4 6
100
50
50
100
um t( ) cm( )1
ρ' ξ ωn t cm( )1
ρ' ξ ωn t cm( )1
t s( )1
Tenemos que como estamos partiendo desde un desplzamiento inducido y con velocidad cero, elprimer pico lo tenemos al inicio
t 0
um t( )
um t TD 2.594
um t( ) 80 cm
eξ ωn TD
2.594um t TD 30.838 cm
e
2π ξ
1 ξ2
2.594
De la segunda igualdadu t( )
u t TD e
2π ξ
1 ξ2
=
2π ξ
1 ξ2
lnui
ui+1
= δ= podemos tener una relación llamadadecremento logarítmico δ
Para valores pequeños de ξ 1 ξ2
≈1 δ 2π ξ= del ejemplo: δ2π ξ
1 ξ2
0.953 ≈ 2π ξ 0.942
ξ 0 0.02 1
0 0.2 0.4 0.6 0.8
10
20
30
2π ξ
1 ξ2
2π ξ
ξ
Comparando las dos relaciones en unagráfica, podemos observar que tenemosvalores prácticamente iguales en valoresde relación de amortiguamiento menores al20%.
Es conveniente relacionar las dospicos separados por vario ciclos,entonces:
u'1
u'j+1e
ξ ωn j TD = e
2π ξ
1 ξ2
j
= ej δ
= j δ lnυ1
υj+1
= δ1
jln
υ1
υj+1
= 2π ξ=
Ejemplo 5.Con los datos del ejemplo 4 calcule el número de ciclos que necesario para que la amplitud del desplazamiento caiga al 5%
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j 1 ξ 15%
tenemo que la relación sería si Givenυj+1
υ1%decr= υj+1 Find υj+1 %decr υ1υj+1
suponiendo υ1 1 υj+1 5%( ) υ1 0.05 Given1
jln
υ1
υj+1
2π ξ= j Find j( ) 3.179 ciclos
Ejemplo 6.En un estudio que se ralizó a un modelo etructural se obtuvieron losdatos mostrados en la tabla. Obtenga el periodo natural de vibrar y larelación de amortiguamiento del sistema
t'
a
Pico No. Tiempo [s] Pico [g's]
1 1.11 0.915
11 3.844 0.076
t' t' s
tenemos que el periodo lo obtenemoscalculando la diferencia entre picos: j 11 1 10 TD
t'2
t'1
j0.273s
la expresión 1
jln
υ1
υj+1
2π ξ= también se aplica en el caso de aceleraciones1
jln
υ''1
υ''j+1
2π ξ=
υ''1 a1
0.915 υ''j+1 a2
0.076 Given1
jln
υ''1
υ''j+1
2π ξ= ξ Find ξ( ) 0.039601
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