View
218
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 1
OSK Fisika 2014 Number 1
ANALISIS GRAFIK 1
Sebuah benda bergerak sepanjang sumbu ๐ฅ dimana posisinya sebagai fungsi waktu ๐ก
dapat dinyatakan dengan kurva seperti terlihat pada gambar (๐ฅ dalam meter dan ๐ก dalam
detik).
Tentukan :
a. kecepatan sesaat di titik D.
b. kecepatan awal benda.
c. kapan benda dipercepat ke kanan.
Pembahasan :
a. Dapat kita amati, bahwa garis singgung di titik ๐ท mendatar. Secara definisi, kecepatan
sesaat adalah kemiringan kurva pada grafik ๐ฅ โ ๐ก, atau turunan pertama fungsi ๐ฅ(๐ก)
terhadap waktu yang menyiratkan bahwa kecepatan ๐ฃ(๐ก) adalah kemiringan kurva
๐ฅ(๐ก) pada titik yang dimaksud (baca kalkulus : definisi turunan). Untuk garis yang
mendatar, kemiringannya adalah nol, maka kecepatan sesaat di titik ๐ท adalah
๐ฃ๐ท = 0
b. Untuk mendapatkan kecepatan awal benda, kita tinjau kemiringan kurva ๐ฅ(๐ก) pada
๐ก = 0
๐ฅ(m)
๐ก(s) 10 20 30
5
10
15
๐ถ
๐ท
๐น ๐ธ
๐ฅ(m)
๐ก(s) 10 20 30
5
10
15
๐ถ
๐ท
๐น ๐ธ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 2
Dengan menggunakan rumus gradien, kemiringan kurva di titik asal atau kecepatan
awal benda adalah
๐ฃ0 =ฮ๐ฅ
ฮ๐ก=
15 โ 0
8 โ 0=
15
8= 1,875 m/s โน ๐ฃ0 = 1,875 m/s
c. Syarat untuk benda dipercepat ke kanan adalah ๐ฃ > 0 dan ๐ > 0. Untuk benda yang
dipercepat dengan percepatan konstan sedangkan arah kecepatannya ke kanan,
kecepatan benda adalah fungsi ๐ก dan posisi benda adalah fungsi ๐ก2, artinya untuk
grafik ๐ฅ โ ๐ก, bentuknya akan melengkung ke atas. Sekarang, jika kita amati dari garfik
di soal, tidak ada grafik yang melengkung ke atas, maka benda tidak pernah
dipercepat ke kanan. Dapat kita rincikan sebagai berikut
Benda dipercepat ke kanan, berarti syaratnya :
kecepatan ๐ฃ > 0, DAN percepatan ๐ > 0
๐ฃ > 0 dipenuhi hanya pada saat 0 โค ๐ก < 10
Sedangkan pada saat itu (0 โค ๐ก < 10)
nilai ๐ < 0 (percepatan a tidak pernah positif).
Jadi benda tidak pernah dipercepat ke arah kanan.
OSK Fisika 2014 Number 2
ANALISIS GRAFIK 2
Dua mobil A dan B bergerak melalui jalan yang sama dan berangkat dari titik awal yang
sama secara bersamaan. Kurva kecepatan ๐ฃ kedua mobil sebagai fungsi waktu ๐ก diberikan
pada gambar di samping.
Tentukan:
a. persamaan jarak tempuh mobil A dan B sebagai fungsi dari waktu.
b. kapan dan dimana mobil A berhasil menyusul mobil B.
c. Sketsa kurva posisi kedua mobil terhadap waktu dalam satu gambar. Ambil selang
waktu sejak kedua mobil berangkat hingga sesaat setelah mobil A menyusul mobil B.
๐ฃ(m/s)
๐ก(s) 4
2
4
mobil A
mobil B
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 3
d. Jika setelah menempuh jarak 60 m mobil A melambat dengan besar perlambatan yang
sama dengan percepatan ketika awal perjalanan, kapan dan dimana mobil B berhasil
menyusul kembali mobil A?
Pembahasan :
a. Mobil A melakukan gerak lurus berubah beraturan dengan kecepatan awal ๐ฃ๐ด,0 =
2 m/s dan percepatan
๐ =ฮ๐ฃ
ฮ๐ก=
4 โ 2
4 โ 0=
1
2 m/s
Kecepatan mobil A sebagai fungsi waktu adalah
๐ =๐๐ฃ
๐๐ก=
1
2
โซ ๐๐ฃ๐ฃ๐ด(๐ก)
๐ฃ๐ด,0=2
= โซ1
2๐๐ก
๐ก
0
๐ฃ๐ด(๐ก) โ 2 =1
2๐ก โน ๐ฃ๐ด(๐ก) = 2 +
1
2๐ก
Jarak tempuh mobil A sebagai fungsi waktu adalah
๐ฃ๐ด(๐ก) =๐๐ฅ๐ด
๐๐ก= 2 +
1
2๐ก
โซ ๐๐ฅ๐ด
๐ฅ๐ด(๐ก)
0
= โซ (2 +1
2๐ก) ๐๐ก
๐ก
0
โน ๐ฅ๐ด(๐ก) = 2๐ก +1
4๐ก2
Mobil B melakukan gerak lurus beraturan (percepatannya nol) dengan kecepatan
konstan ๐ฃ๐ต = 4 m/s, maka jerak tempuh mobil B sebagai fungsi waktu adalah
๐ฃ๐ต =๐๐ฅ๐ต
๐๐ก= 4
โซ ๐๐ฅ๐ต
๐ฅ๐ต(๐ก)
0
= โซ 4๐๐ก๐ก
0
โน ๐ฅ๐ต(๐ก) = 4๐ก
b. Ketika kedua mobil bertemu, misal saat ๐ก = ๐, maka jarak tempuh mobil akan sama
๐ฅ๐ด(๐) = ๐ฅ๐ต(๐)
2๐ +1
4๐2 = 4๐ โน ๐ = 8 s
Dan mereka bertemu pada jarak
๐ฅ๐ด(๐) = ๐ฅ๐ต(๐) โน ๐ = 32 m
c. Kurva posisi kedua mobil terhadap waktu berdasarkan persamaan di (a) adalah
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 4
d. Ketika mobil A mencapai jarak 60 meter berarti ๐ก = 12 s (silahkan buktikan) dan saat
itu kecepatannya adalah 8 m/s (silahkan buktikan). Kemudian pada saat itu pula
mobil B telah menempuh jarak 48 m. Posisi kedua mobil sekarang sebagai fungsi
waktu akan menjadi
๐ฅ๐ด(๐ก) = ๐ฅ๐ด,0โฒ + ๐ฃ0,๐ด
โฒ ๐กโฒ +1
2๐๐ด
โฒ ๐กโฒ2= 60 + 8๐กโฒ โ
1
4๐กโฒ2
๐ฅ๐ต(๐ก) = ๐ฅ๐ต,0โฒ + ๐ฃ0,๐ต
โฒ ๐กโฒ +1
2๐๐ต
โฒ ๐กโฒ2= 48 + 4๐กโฒ
Saat kedua mobil bertemu, dia berada di posisi yang sama, misal terjadi saat ๐กโฒ = ๐
๐ฅ๐ด(๐) = ๐ฅ๐ต(๐)
60 + 8๐ โ1
4๐2 = 48 + 4๐
1
4๐2 โ 4๐ โ 12 = 0
๐2 โ 16๐ โ 48 = 0
Dengan rumus kuadrat
๐ =โ(โ16) ยฑ โ(โ16)2 โ 4(1)(โ48)
2(1)
๐ =16 ยฑ โ256 + 192
2
๐ =16 ยฑ โ448
2=
16 ยฑ 8โ7
2
๐ = 8 ยฑ 4โ7
๐ = 8 + 4โ7 โ 18,6 s atau ๐ = โ2,6 s
Solusi yang fisis adalah ๐ = 18,6 s sedangkan ๐ = โ2,6 s bukanlah solusi yang
diharapkan, nilai negatif menandakan kejadian yang terjadi sebelum acuan kondisi
awal kita, yaitu ๐ก = 12 s. Hal ini karena adanya perubahan arah percepatan pada
Mobil A
Mobil B
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 5
mobil A. Kita tahu dari grafik pada c bahwa setelah bertemu untuk pertama kalinya,
mobil A akan berada di depan mobil B sehingga ketika diperlambat, mobil A dan B
hanya akan berpapasan satu kali.
Jika dihitung dari saat awal, maka kedua mobil akan bertemu kembali saat
๐ = ๐ก + ๐ = 12 + 18,6 = 30,6 s
Posisi kedua mobil saat itu dihitung dari posisi awal adalah
๐ฅ๐ต(๐) = ๐ฅ๐ด(๐) = 48 + 4(30,6 ) = 170,4 m
OSK Fisika 2014 Number 3
PANTULAN ELASTIK DI ATAS BIDANG MIRING
Sebuah bola dilepaskan pada ketinggian โ dari permukaan bidang miring yang memiliki
sudut kemiringan ๐ผ terhadap horizontal (lihat gambar). Sesampainya di permukaan
bidang miring, bola memantul-mantul secara elastik. Bidang miring diaggap sangat
panjang.
Hitung (nyatakan dalam โ dan ๐ผ.
a. Waktu tempuh bola antara pantulan pertama dan kedua.
b. Jarak antara pantulan pertama dan kedua.
Pembahasan :
a. Tepat ketika akan menumbuk bidang miring kecepatan bola adalah
๐ฃ0 = โ2๐โ
karena tumbukan elastis sempurna bola hanya berbalik
arah setelah sumbukan. Kita tinjau gerak parabola dari
sesaat setelah tumbukan pertama sampai sesaat menjelang
tumbukan kedua dengan bidang miring pada sumbu ๐ฅ
(sejajar bidang miring) dan sumbu y (tegak lurus bidang
miring).
Komponen kecepatan bola setelah tumbukan pertama
adalah
๐ฃ0๐ฅ = ๐ฃ0 sin ๐ผ
๐ฃ0๐ฆ = ๐ฃ0 cos ๐ผ
๐ผ
โ
๐ฃ0 ๐ผ
๐ผ
๐ฅ
๐ฆ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 6
Karena percepatan gravitasi memiliki arah ke bawah, maka dia akan memiliki
komponen pada arah sumbu ๐ฅ dan ๐ฆ
๐๐ฅ = ๐ sin ๐ผ
๐๐ฆ = โ๐ cos ๐ผ
Persamaan posisi bola pada sumbu ๐ฅ dan ๐ฆ akan menjadi
๐ฆ = ๐ฆ0 + ๐ฃ0๐ฆ๐ก +1
2๐๐ฆ๐ก2 โน ๐ฆ = ๐ฆ0 + ๐ฃ0 cos ๐ผ ๐ก โ
1
2๐ cos ๐ผ ๐ก2 โฆ (1)
๐ฅ = ๐ฅ0 + ๐ฃ0๐ฅ๐ก +1
2๐๐ฅ๐ก2 โน ๐ฅ = ๐ฅ0 + ๐ฃ0 sin ๐ผ ๐ก +
1
2๐ sin ๐ผ ๐ก2 โฆ (2)
Untuk mendapatkan selang waktu antara tumbukan pertama dan kedua, kita gunakan
persamaan (1) dengan menggunakan posisi awal dan akhir sama dengan nol atau ๐ฆ =
๐ฆ0 = 0
0 = 0 + โ2๐โ cos ๐ผ ๐ก โ1
2๐ cos ๐ผ ๐ก2 โน ๐ก = 2โ
2โ
๐
b. Untuk mendapatkan jarak pantulan pertama dan kedua, kita gunakan persamaan (2)
dengan menggunakan selang waktu yang didapat pada a dan menjadikan titik
pantulan pertama sebagai acuan atau ๐ฅ0 = 0
๐ฅ = 0 + โ2๐โ sin ๐ผ 2โ2โ
๐+
1
2๐ sin ๐ผ (2โ
2โ
๐)
2
๐ฅ = 4โ sin ๐ผ + 4โ sin ๐ผ
๐ฅ = 8โ sin ๐ผ
OSK Fisika 2014 Number 4
RODA DAN PEGAS
Sebuah roda bermassa ๐ dan jari-jari ๐ (roda tipis) dihubungkan dengan pegas tak
bermassa yang memiliki konstanta pegas ๐, seperti ditunjukkan pada gambar. Roda itu
berotasi tanpa slip di atas lantai. Titik pusat massa roda berosilasi secara harmonik pada
arah horizontal terhadap titik setimbang di ๐ฅ = 0.
Tentukan:
a. Energi total dari sistem ini.
๐ ๐
๐
๐ฅ = 0
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 7
b. Frekuensi osilasi dari sistem ini.
Pembahasan :
a. Misalkan pusat massa roda kita simpangkan sejauh ๐ฅ ke kanan, maka karena roda
tidak bergerak slip, sudut yang putaran roda adalah
๐ =๐ฅ
2๐๐ร 2๐ =
๐ฅ
๐
Jika kita diferensialkan terhadap waktu akan didapat
๐ =๐๐
๐๐ก=
1
๐
๐๐ฅ
๐๐ก dengan
๐๐ฅ
๐๐ก= ๐ฃ adalah kecepatan pusat massa roda
Energi total sistem ini adalah energi mekanik yang terdiri dari energi potensial pegas,
energi kinetik translasi dan rotasi roda
๐ธ๐(๐ฅ) =1
2๐๐ฅ2 +
1
2๐๐ฃ2 +
1
2๐ผ๐2
Untuk roda tipis momen inersianya adalah ๐ผ = ๐๐2 maka
๐ธ๐(๐ฅ) =1
2๐๐ฅ2 +
1
2๐ (
๐๐ฅ
๐๐ก)
2
+1
2๐๐2 (
1
๐
๐๐ฅ
๐๐ก)
2
๐ธ๐(๐ฅ) =1
2๐๐ฅ2 + ๐ (
๐๐ฅ
๐๐ก)
2
b. Energi total sistem kekal atau tidak berubah terhadap waktu karena tidak ada gaya
luar non konservatif yang bekerja pada sistem
๐๐ธ๐(๐ฅ)
๐๐ก= 0 =
๐
๐๐ก(
1
2๐๐ฅ2 + ๐ (
๐๐ฅ
๐๐ก)
2
)
0 =1
2๐(2)๐ฅ
๐๐ฅ
๐๐ก+ ๐(2)
๐๐ฅ
๐๐ก
๐2๐ฅ
๐๐ก2
๐2๐ฅ
๐๐ก2+
๐
2๐๐ฅ = 0
Frekuensi sudut osilasi sistem adalah
๐ = โ๐
2๐ sehingga ๐ =
1
2๐โ
๐
2๐
OSK Fisika 2014 Number 5
PECAH MENJADI DUA
Sebuah bola berada di atas sebuah tiang vertikal (lihat gambar). Tiba-tiba bola tersebut
pecah menjadi dua bagian terpental mendatar ke kiri dengan kecepatan 3 m/s dan satu
bagian lagi terpental ke kanan dengan kecepatan 4 m/s. Pada kondisi tertentu vektor
kecepatan dari dua pecahan tersebut saling tegak lurus.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 8
Hitung (ambil ๐ = 10 m/s2):
a. Waktu yang diperlukan setelah tumbukan hingga kondisi itu tercapai.
b. Jarak antara pecahan ini saat kondisi di atas terjadi.
Pembahasan :
a. Kita gunakan sistem koordinat kartesius. Vektor kecepatan masing-masing pecahan
adalah
Pecahan Kanan
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ = ๐ฃ0,๐ ๐ฬ โ ๐๐ก๐ฬ โน ๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ = 4 ๐ฬ โ 10๐ก๐ฬ
Pecahan Kiri
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฟ = โ๐ฃ0,๐ฟ ๐ฬ โ ๐๐ก๐ฬ โน ๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฟ = โ3 ๐ฬ โ 10๐ก๐ฬ
Ketika vektor kecepatan kedua pecahan tegak lurus, maka perkalian titik (dot
product) kedua vektor tersebut akan bernilai nol
๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ โ ๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฟ = |๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ ||๏ฟฝโ๏ฟฝ๐ฟ| cos 900
(4 ๐ฬ โ 10๐ก๐ฬ) โ (โ3 ๐ฬ โ 10๐ก๐ฬ) = 0
4(โ3) + (โ10๐ก)(โ10๐ก) = 0
100๐ก2 = 12 โน ๐ก =โ3
5 s
b. Karena kedua pecahan tidak memiliki kecepatan awal pada arah vertikal, setiap saat
ketinggian kedua pecahan sama, maka jarak pisah keduanya saat vektor
kecepatannya tegak lurus adalah sama dengan jarak horizontal total yang ditempuh
oleh kedua pecahan
๐ = ๐ฃ0,๐ ๐ก + ๐ฃ0,๐ฟ๐ก = 4โ3
5+ 3
โ3
5โน ๐ = 7
โ3
5 m
OSK Fisika 2014 Number 6
TUMBUKAN DAN ROTASI
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 9
Sebuah batang tegar tak bermassa dengan panjang ๐ฟ memiliki dua buah titik massa di
ujung batang A dan B masing-masing dengan massa ๐. Sistem mula-mula diam pada pada
suatu permukaan datar licin, dimana batang AB membentuk sudut ๐ terhadap garis
horizontal AC. Sebuah titik massa C dengan massa ๐ menumnuk titik massa A secara
elastik dengan kecepatan awal ๐ฃ0 . Setelah tumbukan , C bergerak dengan kecepatan ๐ฃ0โฒ
berlawanan arah mula-mula, sedangkan gerakan batang AB dapat dinyatakan dalam
bentuk kecepatan pusat massa ๐cm dan rotasi dengan kecepatan sudut ๐ terhadap pusat
massa.
a. Tentukan ๐cm , ๐ dan ๐ฃ0โฒ dalam ๐, ๐ฟ dan ๐ฃ0
b. Tentukan sudut ๐ masing-masing kasus :
i. ๐cm bernilai maksimum
ii. ๐ bernilai maksimum
iii. ๐ฃ0โฒ bernilai maksimum dan minimum
Kemudian jelaskan gerakan masing-masing benda setelah tumbukan untuk setiap kasus
tersebut.
Pembahasan :
a. Perhatikan kondisi sistem sesaat setelah tumbukan berikut!
Sistem batang ini berada di atas permukaan licin, sehingga tidak ada gaya luar yang
bekerja pada sistem pada bidang datar licin ini, maka momentum linear sistem akan
kekal.
๐ฟ
๐ฃ0 ๐ ๐
๐
๐
๐ด ๐ต
๐ถ
๐ฟ
๐ฃ0โฒ
๐ ๐
๐
๐
๐ด ๐ต
๐ถ
๐cm
๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 10
Kekekalan momentum linear
๐๐ = ๐๐
๐๐ฃ0 = ๐(โ๐ฃ0โฒ) + 2๐๐cm โน๐ฃ0 + ๐ฃ0
โฒ = 2๐cm โฆ (1)
๐ฃ0โฒ = 2๐cm โ ๐ฃ0 โฆ (2)
Tumbukan yang terjadi bersifat elastik sehingga energi kinetik sistem kekal. Energi
awal sistem hanya terdiri dari energi kinetik massa A, sedangkan energi sistem
setelah tumbukan terdiri dari energi kinetik A, energi kinetik translasi dan rotasi
batang.
๐ธ๐พ๐ = ๐ธ๐พ๐
1
2๐๐ฃ0
2 =1
2๐๐ฃ0
โฒ 2+
1
22๐๐cm
2 +1
2(2๐ (
๐ฟ
2)
2
) ๐2
๐ฃ02 = ๐ฃ0
โฒ 2+ 2๐cm
2 +1
2(๐ฟ๐)2 โฆ (3)
Perhatikan kembali sistem di atas. Momentum sudut sistem kekal, baik terhadap titik
A ataupun pusat massa sistem. Kita tinjau kekekalan momentum sudut terhadap
pusat massa sistem.
๐ฟ๐ = ๐ฟ๐
๐๐ฃ0
๐ฟ
2sin ๐ = โ๐๐ฃ0
โฒ๐ฟ
2sin ๐ + (2๐ (
๐ฟ
2)
2
) ๐
(๐ฃ0 + ๐ฃ0โฒ ) sin ๐ = ๐ฟ๐
Subtitusi persamaan (1)
2๐cm sin ๐ = ๐ฟ๐ โฆ (4)
Subtitusi persamaan (2) dan (4) ke (3)
๐ฃ02 = (2๐cm โ ๐ฃ0)2 + 2๐cm
2 +1
2(2๐cm sin ๐)2
๐ฃ02 = 4๐cm
2 + ๐ฃ02 โ 4๐cm๐ฃ0 + 2๐cm
2 + 2๐cm2 sin2 ๐
0 = 6๐cm2 + 2๐cm
2 sin2 ๐ โ 4๐cm๐ฃ0
๐cm(3 + sin2 ๐) = 2๐ฃ0 โน ๐cm =2
3 + sin2 ๐๐ฃ0
Subtitusi ๐cm ke persamaan (2) didapat
๐ฃ0โฒ = 2
2
3 + sin2 ๐๐ฃ0 โ ๐ฃ0 =
4
3 + sin2 ๐๐ฃ0 โ
3 + sin2 ๐
3 + sin2 ๐๐ฃ0
๐ฃ0โฒ =
1 โ sin2 ๐
3 + sin2 ๐๐ฃ0 โน ๐ฃ0
โฒ =cos2 ๐
3 + sin2 ๐๐ฃ0
Subtitusi ๐cm ke persamaan (4) untuk memperoleh ๐
22
3 + sin2 ๐๐ฃ0 sin ๐ = ๐ฟ๐ โน ๐ =
4 sin ๐
3 + sin2 ๐
๐ฃ0
๐ฟ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 11
b. Syarat agar suatu fungsi bernilai maksimum atau minimum (misalkan fungsi ๐(๐ฅ))
adalah
๐๐(๐ฅ)
๐๐ฅ= 0 dan
๐2๐(๐ฅ)
๐๐ฅ2< 0 (untuk nilai maksimum) atau
๐2๐(๐ฅ)
๐๐ฅ2> 0 (untuk nilai minimum)
i. Agar ๐cm maksimum maka ๐๐cm
๐๐=
๐
๐๐(
2
3 + sin2 ๐๐ฃ0) = 0
โ2๐ฃ0
(3 + sin2 ๐)22 sin ๐ cos ๐ = 0
sin 2๐ = 0 โน ๐ = 0
Kita uji turunan keduanya
๐2๐cm
๐๐2=
๐
๐๐(
โ๐ฃ0 sin 2๐
(3 + sin2 ๐)2)
๐2๐cm
๐๐2=
(3 + sin2 ๐)2(โ2๐ฃ0 cos 2๐) โ (โ๐ฃ0 sin 2๐)2(3 + sin2 ๐)2 sin ๐ cos ๐
(3 + sin2 ๐)4
Untuk ๐ = 0 nilainya adalah
๐2๐cm
๐๐2=
32(โ2๐ฃ0)
34= โ
2๐ฃ0
9< 0 (nilai maksimum)
untuk ๐ = 0 maka โน
๐cm =2
3๐ฃ0
๐ = 0
๐ฃ0โฒ =
1
3๐ฃ0
Disini, mula-mula batang AB sejajar dengan garis horisontal CA. Tumbukan yang
terjadi hanya tumbukan satu dimensi dimana batang AB akan bergerak translasi
sejajar garis CA dan tidak mengalami gerak rotasi.
ii. Agar ๐ maksimum maka ๐๐
๐๐=
๐
๐๐(
4 sin ๐
3 + sin2 ๐
๐ฃ0
๐ฟ) = 0
๐ฃ0
๐ฟ[(3 + sin2 ๐)4 cos ๐ โ 4 sin ๐ (2 sin ๐ cos ๐)
(3 + sin2 ๐)2] = 0
๐ฃ0
๐ฟ[(3 โ sin2 ๐)4 cos ๐
(3 + sin2 ๐)2] = 0
(3 โ sin2 ๐)4 cos ๐ = 0
Karena nilai cos ๐ berada di antara selang โ1 < cos ๐ < 1 maka solusi untuk ๐
yang mungkin adalah cos ๐ = 0 atau ๐ = 900.
Kita uji turunan keduanya
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 12
๐2๐
๐๐2=
๐
๐๐
๐ฃ0
๐ฟ[(3 โ sin2 ๐)4 cos ๐
(3 + sin2 ๐)2]
๐2๐
๐๐2=
๐ฃ0
๐ฟ[(3 + sin2 ๐)2[โ(3 โ sin2 ๐)4 sin ๐ + 4 cos ๐ (โ2 sin ๐ cos ๐)]
(3 + sin2 ๐)4
โ(3 โ sin2 ๐)4 cos ๐ 2(3 + sin2 ๐)(+2 sin ๐ cos ๐)
(3 + sin2 ๐)4]
Untuk ๐ = 900
๐2๐
๐๐2< 0 (nilai maksimum)
untuk ๐ = 900 maka โน
๐cm =1
2๐ฃ0
๐ =๐ฃ0
๐ฟ๐ฃ0
โฒ = 0
Disini, mula-mula batang AB tegaklurus dengan garis horisontal. Setelah
tumbukan, massa C diam, batang AB bergerak translasi dan rotasi dengan
kecepatan pusat massa ๐cm = ๐ฃ0/2 dan kecepatan sudut pusat massa ๐ = ๐ฃ0/๐ฟ.
iii. Agar ๐ฃ0โฒ maksimum atau minimum maka
๐๐ฃ0โฒ
๐๐=
๐
๐๐(
cos2 ๐
3 + sin2 ๐๐ฃ0) = 0
๐๐ฃ0โฒ
๐๐= ๐ฃ0 [
(3 + sin2 ๐)2 cos ๐ (โ sin ๐) โ cos2 ๐ (2 sin ๐ cos ๐)
(3 + sin2 ๐)2]
๐๐ฃ0โฒ
๐๐= ๐ฃ0 [
2 sin ๐ cos ๐
(3 + sin2 ๐)2] = ๐ฃ0 [
sin 2๐
(3 + sin2 ๐)2] = 0
Dari sini kita dapatkan sin 2๐ = 0 sehingga ๐ = 0 atau ๐ = 900. Berdasarkan hasil
sebelumnya, kita ketahui bahwa ๐ = 0 adalah sudut ketika ๐ฃ0โฒ bernilai maksimum
dan ๐ = 900 adalah sudut ketika ๐ฃ0โฒ bernilai minimum.
OSK Fisika 2014 Number 7
BATANG BERPOROS
Sebatang tongkat homogen panjang ๐ฟ dan massa ๐ digantungkan pada sebuah poros
yang melalui suatu lubang kecil A di ujung tongkat bagian atas. Tongkat diberi impuls
sebesar ฮ๐ dari sebuah gaya ke arah kanan pada suatu titik berjarak d dari poros tadi.
Agar setelah dipukul, tongkat dapat berotasi mengelilingi titik A.
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 13
Tentukan :
a. jarak ๐ minimum.
b. Impuls yang diberikan oleh poros A pada batang.
c. periode osilasinya, jika tongkat kemudian berosilasi.
d. jika tongkat tersebut kita anggap menjadi sebuah bandul matematis, tentukan
panjang tali dari bandul matematis agar menghasilkan periode osilasi yang sama
dengan jawaban b) di atas.
Pembahasan :
a. Misalkan setelah diberi impuls, tongkat berotasi dengan kecepatan sudut awal ๐0.
Karena tongkat terhubung ke poros, ketika impuls luar diberikan, misal kita sebut
impuls ini sebagai ฮ๐, poros juga akan memberikan impuls ฮ๐โฒ yang arahnya ke kiri.
Maka, dengan teorema impuls momentum akan kita dapatkan
ฮ๐ โ ฮ๐โฒ = ๐๐ฃpm โฆ (1)
Dengan ๐ฃpm adalah kecepatan pusat massa batang sesaat setelah diberi impuls luar.
Kecepatan ini bisa dihubungkan dengan kecepatan sudut awal batang menjadi
๐ฃpm =๐0๐ฟ
2โฆ (3)
Impuls luar inilah yang membuat tongkat berotasi, perubahan momentum sudut
tongkat sama dengan impuls sudut terhadap poros A
ฮ๐๐ = ๐๐ฃpm โฆ (4)
Kita tinjau ketika tongkat sudah berotasi mengelilingi poros A dan pusat massanya
tepat di atas titik A. Kecepatan sudut batang ketika berada di puncak akan minimum
ketika poros tidak memberikan gaya pada tongkat. Tinjau gerak sentripetal tongkat
ketika di puncak akan kita dapatkan
๐๐ = ๐๐2๐ฟ
2โน ๐2 =
2๐
๐ฟโฆ (5)
Poros bisa diasumsikan licin sehingga tidak memberikan usaha pada batang dan
energi mekanik batang kekak. Tinjau kondisi awal batang sesaat setelah diberi impuls
luar dan kondisi akhir ketika pusat massa batang tepat di atas poros A dan
menjadikan poros A sebagai acuan energi potensial sama dengan nol, akan kita
dapatkan
๐ฟ
๐ด
๐ ๐ถ
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 14
๐ธ๐๐ = ๐ธ๐๐
1
2(
1
3๐๐ฟ2) ๐0
2 โ ๐๐๐ฟ
2=
1
2(
1
3๐๐ฟ2) ๐2 + ๐๐
๐ฟ
2
Subtitusi persamaan (5) 1
6๐ฟ2๐0
2=
1
6๐ฟ2
2๐
๐ฟ+ ๐๐ฟ
1
6๐ฟ2๐0
2=
4
3๐๐ฟ โน ๐0๐ฟ = 2โ2๐๐ฟ โฆ (6)
Dari persamaan (6), (3), (4) akan kita dapatkan
ฮ๐๐ = ๐๐0๐ฟ
2
ฮ๐๐ = ๐2โ2๐๐ฟ
2โน ๐ =
๐
ฮ๐โ2๐๐ฟ
b. Subtitusi persamaan (3) dan (6) ke (1)
ฮ๐ โ ฮ๐โฒ = ๐2โ2๐๐ฟ
2โน ฮ๐โฒ = ฮ๐ โ ๐โ2๐๐ฟ
c. Untuk bandul fisis yang berbentuk tongkat, periode osilasinya terhadap poros
ujungnya dapat diturunkan sebagai berikut.
Misal tongkat disimpangkan dengan sudut kecil ๐ sehingga akan berlaku sin ๐ โ ๐,
maka torsi pemulihnya adalah
โ๐๐๐ฟ
2sin ๐ =
1
3๐๐ฟ2๏ฟฝฬ๏ฟฝ โน ๏ฟฝฬ๏ฟฝ +
3๐
2๐ฟ๐ โ 0
Sehingga ๐ = โ3๐
2๐ฟ dan ๐ = 2๐โ
2๐ฟ
3๐
d. Untuk bandul matematis, periode osilasinya adalah
๐โฒ = 2๐โ๐ฟโฒ
๐
Agar periodenya sama dengan hasil c, maka panjang tali bandul tersebut adalah
2๐โ2๐ฟ
3๐= 2๐โ
๐ฟโฒ
๐โน ๐ฟโฒ =
2
3๐ฟ
OSK Fisika 2014 Number 8
TANGGA MELUNCUR
Sebuah tangga pejal homogen dengan massa ๐ dan panjang ๐ bersandar pada dinding
licin dan berada di atas lantai yang juga licin. Mula-mula tangga di sandarkan HAMPIR
menempel dengan dinding dan dalam keadaan diam. Setelah di lepas tangga itu pada
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 15
bagian atasnya merosot ke bawah, dan tangga bagian bawah bergerak ke kanan, seperti
ditunjukkan pada gambar di samping.
Tentukan :
a. Kecepatan pusat massa dari tangga tersebut selama bergerak.
b. Sudut ๐ (sudut antara tangga terhadap dinding) dimana kecepatan pusat massa
komponen horizontal mencapai maksimum.
c. Kecepatan maksimum pusat massa komponen horizontal.
Pembahasan :
a. Kita gunakan definisi dari soal bahwa sudut antara tangga dan dinding adalah ๐.
Kecepatan pusat tangga berubah-ubah dan kita bisa menyatakannya sebagai fungsi
dari sudut ๐. Hal ini boleh dilakukan karena soal menanyakan kecepatan pusat massa
batang selama bergerak, sedangkan nilainya berubah-ubah, maka kita bisa
menyatakannya sebagai satu buah variabel yang berubah dan dalam hal ini kita pilih
๐. Sebenarnya bisa juga kita nyatakan dalam variabel lain seperti tinggi titik sentuh
tangga dengan dinding, atau jarak titik sentuh tangga dengan lantai terhadap dinding,
namun bentuk yang cukup sederhana adalah ketika kita nyatakan sebagai fungsi ๐.
Soal ini lebih mudah kita kerjakan menggunakan Hukum Kekekalan Energi Mekanik
(yap betul, energi mekanik sistem kekal karena tidak ada gaya non konservatif yang
bekerja pada tangga, hal ini juga karena seluruh permukaan licin). Kita jadikan lantai
sebagai acuan energi potensial sama dengan nol, energi mekanik awal sistem adalah
๐ธ๐๐ =1
2๐๐๐ฟ
Kemudian kita tinjau energi tangga ketika sudah bergerak dan membentuk sudut ๐
terhadap dinding. Hal yang perlu diamati di sini adalah energi kinetik batang. Batang
memiliki komponen kecepatan pusat massa arah horizontal ๐ฃ๐ฅ dan arah vertikal ๐ฃ๐ฆ
serta batang juga berotasi terhadap pusat massanya sendiri dengan kecepatan sudut
๐. Sehingga energi tangga akan menjadi
๐ธ๐๐ =1
2๐๐๐ฟ cos ๐ +
1
2๐(๐ฃ๐ฅ
2 + ๐ฃ๐ฆ2) +
1
2๐ผ๐2
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 16
Selanjutnya kita cari dulu hubungan ๐ฃ๐ฅ, ๐ฃ๐ฆ, dan ๐.
Dapat kita lihat bahwa ujung atas tangga hanya bergerak dalam arah vertikal dan
ujung bawah tangga hanya bergerak dalam arah vertikal. Kita tinjau gerak pusat
massa arah horizontal relatif terhadap ujung atas tangga akan kita dapatkan
๐ฃ๐ฅ =๐๐ฟ
2cos ๐
Kemudian tinjau gerak pusat massa arah vertikal relatif terhadap ujung bawah tangga
akan kita dapatkan pula
๐ฃ๐ฆ =๐๐ฟ
2sin ๐
Kita modifikasi menjadi
๐ฃ๐ฅ2 + ๐ฃ๐ฆ
2 = (๐๐ฟ
2cos ๐)
2
+ (๐๐ฟ
2sin ๐)
2
=๐2๐ฟ2
4
Juga kita tahu bahwa ๐ฃ๐ฅ2 + ๐ฃ๐ฆ
2 = ๐ฃ2 adalah kecepatan pusat massa batang sehingga
๐2 =4๐ฃ2
๐ฟ2
momen inersia batang terhadap pusat massanya adalah ๐ผ =1
12๐๐ฟ2
๐ธ๐๐ =1
2๐๐๐ฟ cos ๐ +
1
2๐๐ฃ2 +
1
2(
1
12๐๐ฟ2) (
4๐ฃ2
๐ฟ2)
๐ธ๐๐ =1
2๐๐๐ฟ cos ๐ +
2
3๐๐ฃ2
Hukum Kekekalan Energi mekanik
๐ธ๐๐ = ๐ธ๐๐
1
2๐๐๐ฟ =
1
2๐๐๐ฟ cos ๐ +
2
3๐๐ฃ2
1
2๐๐ฟ(1 โ cos ๐) =
2
3๐ฃ2
๐ฃ๐ฅ
๐ฃ๐ฆ
๐ฃ๐ด
๐ฃ๐ต ๐ ๐
Basyir Al Banjari
0896-5985-6821
mechtermlighlismfism
DC3BCE5B
xanderbasyir99@gmail.com
www.basyiralbanjari.wordpress.com
Ahmad Basyir Najwan Jln. Mr. Cokrokusumo No.54 RT.015/005, Kel. Cempaka, Kec. Cempaka, Kota
Banjarbaru, Kalimantan Selatan, Kode Pos 70733 Contact Person : 0896-5985-6821
Follow my Instagram @basyir.elphisic.elbanjari
Hal | 17
๐ฃ2 =4๐๐ฟ
3(1 โ cos ๐) โน ๐ฃ = โ
3๐๐ฟ
4(1 โ cos ๐)
b. Kecepatan sudut batang tangga adalah
๐2 =4
๐ฟ2[3๐๐ฟ
4(1 โ cos ๐)] โน ๐ = โ
3๐
๐ฟ(1 โ cos ๐)
Komponen horizontal kecepatan pusat massa tangga adalah
๐ฃ๐ฅ = (โ3๐
๐ฟ(1 โ cos ๐))
๐ฟ
2cos ๐
๐ฃ๐ฅ = cos ๐ โ3๐๐ฟ
4(1 โ cos ๐)
๐ฃ๐ฅ2 =
3๐๐ฟ
4(1 โ cos ๐) cos2 ๐
Diferensialkan persamaan di atas terhadap ๐
๐๐ฃ๐ฅ2
๐๐=
๐
๐๐(
3๐๐ฟ
4(1 โ cos ๐) cos2 ๐)
2๐ฃ๐ฅ
๐๐ฃ๐ฅ
๐๐=
3๐๐ฟ
4[cos2 ๐ (โ(โ sin ๐)) + (1 โ cos ๐)(2 cos ๐)(โ sin ๐)]
Ketika kecepatan horizontalnya maksimum maka ๐๐ฃ๐ฅ
๐๐= 0
0 = sin ๐ cos2 ๐ โ 2 sin ๐ cos ๐ + 2 sin ๐ cos2 ๐
3 cos ๐ = 2 โน cos ๐ =2
3โน ๐ = arccos (
2
3) โ 48,190
c. Kecepatan maksimum pusat massa komponen horizontal tangga adalah
๐ฃ๐ฅ,max =2
3โ
3๐๐ฟ
4(1 โ
2
3) โน ๐ฃ๐ฅ,max =
1
3โ๐๐ฟ
Recommended