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Ala a semiguscio

Torsione Il problema della torsione è di primaria importanza nelle strutture aeronautiche. Basti

pensare all’effetto dell’angolo di incidenza sulla distribuzione di portanza.

La sezione di una struttura alare puo’ essere considerata a connessione multipla (a) mentre il profilato a connessione semplice (b) o ad Omega (c)

Parete Sottile Se si considera una una sbarra prismatica indefinita secondo ass y e sottoposta ad un momento torcente si ottengono degli sforzi dangenziali come quelli in figura. La sollecitazione parallela ai lati lunghi e’ intrecciata e viar fortemente lungo lungo lo spessore (a) mentre . La sua variazione secondo I lati e’ molto più debole e comuqne si annulla in M e N

La sollecitazione normale ai lati lunghi varia in maniera parabolica dovendo annullarsi sulle facce superiore e inferiore e varia lentamente secondo I lati lunghi. Il momento torcente dovuto alla è uguale a quello della

Purtroppo una sezione di questo tipo ha una rigidezza torsionale molto modesta

Sezione a parete sottile a connessione multipla (o chiusa)

In questo caso non esistono punti dove la

parallela ai lati lunghi (linea media della sezione) si annulla come avviene nelle sezioni aperte. Dunque la non si inverte piu lungo lo spessore e la distribuzione degli sforzi diventa più efficiente: quasi costante

La Trave Aeronautica (sezioni chiuse)

Le strutture in campo aerospaziale vengono generalmente realizzate in “parete sottile” cioè tali che :

t << p << L ed irrigidite con centine, correnti, …

L

t

p

Le centine e le ordinate hanno caratteristiche così diverse dal rivestimento e dai correnti da poterle considerare:

−infinitamente rigide nel piano, per cui è possibile assumere che la forma della sezione trasversale non si modifica quando caricata;

−perfettamente flessibili fuori del piano, per cui la sezione se non vincolata risulta libera di distorcersi (warping non impedito).

Con tali ipotesi lo schema di calcolo di una trave in parete sottile si basa sulle formule semplici e pratiche.

Tali formule devono però essere impiegate con accortezza, verificando che le ipotesi su cui si fondano siano rispettate.

In questa analisi di accertamento dell’applicabilità della teoria, bisogna tenere ben presente le seguenti peculiarità delle strutture in parete sottile:

1.Il principio di St Venant è applicabile con accortezza: in particolare gli effetti di bordo sono molto più estesi di quelli che si hanno in strutture piene; pertanto in prossimità del vincolo occorre una analisi più precisa.

2.Gli sforzi di taglio non sono in genere trascurabili rispetto a quelli assiali, ma assumono valori elevati e significativi.

Torsione

1. Sezioni Aperte

Mt

Mt

x

x A’

B’

A

B

2. Sezioni Chiuse Uni-cellulari

3. Sezioni chiuse Multi-cellulari.

Prof. Renato Barboni

1.Torsione in Sez. Aperte

Poiché L/t3p >>1, le sezioni subiscono forti rotazioni e quindi non adatte a reggere a momenti torcenti.

3 3pt GptJ B JG3 3

= ⇒ = =

3 3t t tM 3M 3Md

dx B GL

t p pG tϕ

φ ≡ = = ⇒ ϕ =

x 2. Sezioni Chiuse Uni-cellulari

Lo studio della torsione di sezioni anche cave ma di forte spessore, salvo il caso di sezione circolare, presenta difficoltà analoghe a quelle delle sezioni piene. Se però lo spessore è sottile si può ipotizzare che lo sforzo di taglio τ sia costante (lungo la sezione e nello spessore) e tangente alla linea media del profilo. Questo consente soluzioni molto semplici e di facile impiego.

z

τxs

0

y

φ=0

φ=φ1

Flusso di taglio

q t= τ

B B(P) (P) (P)t

A A

M qp ds 2 qdA= =∫ ∫

Torsione nelle sezioni chiuse

−Momento (torcente) di q sull’elemento ds a distanza p(P) da P, risulta:

−Risultante R di q sull’elemento ds B B

y y yA AB B

z z zA A

dyR q ds q ds qLds

dzR q ds q ds qLds

= = =

= = =

∫ ∫

∫ ∫

2 2y z

1 1z z

y y

R q L L qL

R Ltan tan

R L− −

= + =

β = =

−Momento (torcente) di q

( tt

P) MM 2Aq2 qdA q2A

= = ⇒ =∫

−Risultante di q

y

z

R q dy 0

R q dz 0

= =

= =

∫∫

Si noti come si possa calcolare il flusso di taglio attraverso le sole condizioni di equilibrio del momento torcente (problema staticamente determinato). Nelle sezioni piene questo non era possibile.

1° Formula di Bredt Su tutto il contorno

(P)ss x

vu u dp / Gs x s dx

∂∂ ∂ ϕ′ ′γ = γ + γ = + = + = τ∂ ∂ ∂

2° Formula di Bredt

s(P) (P)

0

u d dp u(s) u(0) p dss G dx G dx

∂ τ ϕ τ ϕ = − ⇒ − = − ∂ ∫s s s s

(P) (P)

0 0 0 0

q d q du(s) u(0) ds p ds ds 2 dAGt dx Gt dx

ϕ ϕ− = − = −∫ ∫ ∫ ∫

t2

t02

Mq d 1 qds ds0 ds 2AGt dx 2A Gt 4A

Mdtdx 4G A

ϕ= − ⇒ = =

ϕ=∫ ∫ ∫

l

2

t

2

0

4A 4AB dsGt

M B= ⇒ = =′ϕ

∫ l

Estendendo l’integrale su tutto il contorno

Spostamento fuori del piano (Ingobbamento)

s s(P)

0 0

q du(s) u(0) ds 2 dAGt dx

ϕ− = −∫ ∫

∫

−+=

s

0

)P(

0

0t0 A

dAdA2

Mu)s(u

lll

t t02

M Mdq ;2A dx 4A

ϕ= = l

s s(P)

0

t t0

02

1u(s) u M M2A 4

(0) dsA

2 dAGt

= + −∫ ∫l

Sezione circolare

∫

−+=

s

0

)P(

0

0t0 A

dAdA2

Mu)s(u

lll

R As

C

R2s

AA

2Rsds

2RA;RA

R2s

Gts

Gtds;

GtR2

Gtds

)C(s

s

0

)C(s

2

0

ss

0s0

π=⇒==π=

π=⇒==

π==

∫

∫∫ ll

ll

0u(s) u=

Esempio

Sezione chiusa

Sezione aperta

Si assumono le seguenti ipotesi:

Sezioni Chiuse Multi-celle

−i momenti torcenti sono dati da una distribuzione di sforzi di taglio uguale a quella che si ha su una generica sezione. −le sezioni sono libere di distorcersi mantenendo inalterata la forma date le centine rigide nel loro piano e completamente flessibili fuori del loro piano.

Mt

Mt

AA BB B A ABq q 0 q q q costante′ ′− = ⇒ = ⇒ =

AA DD CC AB BD BCq q q 0 q q q′ ′ ′− − = ⇒ = +

Setti interni

Equilibrio lungo x

Prof. Renato Barboni

Bi-cella

Assumendo l’origine dell’ascissa s in 0. muovendosi in direzione antioraria, q2 è costante; giunti in 2 dove il setto verticale separa la cella 1 dalla 2, il flusso nel setto con il verso di figura risulta: . q1,2=q1−q2, Da cui si calcola q1,2 note q1,q2 quindi il numero di incognite linearmente indipendente è due pari al numero delle celle.

q1 q2

La sola equazione di equilibrio alla torsione non è sufficiente a risolvere il problema (problema staticamente indeterminato: bisogna ricorrere alle condizioni di congruenza degli spostamenti angolari delle due celle.).

−Equilibrio = 1- equazione

−Congruenza=1- equazione

q1 q2

[ ]2211t qAqA2M +=

1 2′ ′ϕ = ϕ

1 1 2 1,2 2 2 1 1,21 2

1 1q q q q2A 2A

− = −

l l l l

Sistema di due equazioni nelle due incognite q1,q2. Determinate q1,q2 si calcola la rotazione della sezione.

Torsione

1 qds2A G

ddx tϕ= ∫

Prof. Renato Barboni

2

q1

1

q2 A1

A2 An qn

3b. Sezioni Chiuse Multi-cellulari

n1nn,1n qqq −= −−

M A qt n nn

N

==∑2

1

nn n n 1 n 1,n n 1 n,n 1

n

d 1 q q qdx 2A − − + +ϕ = − − l l l

1 2 n N.... ...′ ′ ′ ′ϕ = ϕ = ϕ = ϕ

−Equilibrio = 1equazione

−Congruenza=N-1 equazioni

Sistema di N equazioni nelle N incognite q1,q2, …, qN. Determinate le q1,q2, …, qN si calcola la rotazione della sezione.

Effetto dei setti sulla rigidezza torsionale

∑∑<≤

n n

2n

nn

2

LA

4BL

A4

q1 q2 h=0,3a

a

q1 h=0,3a

a

B0

B/B0=1

B/B0=1,006

q1 q2 h=0,3a

a

2a/3

B/B0=1,016

q1 q2 h=0,3a

a

3a/4

Effetto dei setti sulla rigidezza torsionale

∑∑<≤

n n

2n

nn

2

LA

4BL

A4

q1 h=0,3a

a

B0

B/B0=1,03

B/B0=1,056

B/B0=1,077

q1 q2 h=0,3a

a

a/3

q3

q1 q2 h=0,3a

a

2a/4

q3

q1 q2 h=0,3a

a

3a/5

q3

Flessione (pura) y

IM̂z

IM̂

z

z

y

yxx +=σ

t

y

z

G

b I

thy =

3

12

h/2

A=bt

I bth

y =

2

2

h

•

X Piano di

carico

23 3

y

3 23

th bt hI 2* bt12 12 2

th bh t 0(t )12 2

= + + =

= + +

Taglio (+ flessione)

a)−Torsione, dovuta al momento torcente Mt di trasporto dal reale punto di applicazione della forza T al centro di taglio della sezione; le tensioni conseguenti sono gli sforzi τM nel piano della sezione.

b)−Flessione, dovuta al momento flettente proporzionale all’intensità della forza per la distanza di applicazione della stessa dalla sezione in esame; le tensioni conseguenti sono gli sforzi σ, normali al piano della sezione.

c)−Taglio, dovuto alla forza T applicata nel centro di taglio della sezione; le tensioni conseguenti sono gli sforzi τT nel piano della sezione.

Taglio (+ flessione): parete dritta

xzx

z xx

q

q

tz

d (z)t

d xz

x∂

= − ⇒∂

= −

∂σ∂∂σ∂

z2 2z z

0y yh/

zx2

T T tq z(tdz) (4z h )

8Iq

I−

= − = − −∫y zzx

y y

zxM Tx

qd dq1 t z tzdz I dz I

= − ⇒ = −∂

∂yx

yMz

Iσ =

-0,6 -0,4 -0,2

0 0,2 0,4 0,6

0,05 0,1 0,15

2z

y

thT

qI

z/h Per il principio di reciprocità, qxz=qzx :

Equilibrio in direzione x

z2 2z z

0y yh/

xz2

T T tq z(tdz) (4zq(z) h )

I 8Iq

−

= −= = − −∫

Verso di q

h / 2 h / 2 2 32z z

y yh / 2z

z

hz

/ 2

z

T t Th thq(z)dz (2z )dz4I 2 I 12

0

R T

T P− −

= = − − = ≡

− =

∫ ∫

Verifica (equivalenza o equilibrio)

La risultante sulla sezione (faccia positiva) del flusso di taglio è equivalente alla forza tagliante applicata sulla sezione ed e’ uguale ed opposto alla forza di taglio agente sulla sezione avente faccia negativa.

Taglio (+ flessione): parete curva

xt

dsdq

xt

sq xxxx

∂∂σ

−=⇒∂∂σ

−=∂∂

y zz y

ˆ ˆM Mˆ ˆT ; Tx x

∂ ∂= =

∂ ∂

)s(qq)tds(yIT̂

)tds(zIT̂q)s(q *

0

s

0z

ys

0y

z0 +=−−= ∫∫

yI

M̂zI

M̂

z

z

y

yxx +=σ

Verifica di equivalenza

B B

z zA AB B

y yA A

dzq (s)ds q(s) ds Tds

dyq (s)ds q(s) ds Tds

= ≡

= ≡

∫ ∫

∫ ∫

Indicando con qz e qy le componenti del flusso secondo gli assi z e y si ha:

Taglio: sezioni aperte T nel Centro di Taglio (C.T.) supposto noto

s sy *z

y z0 00

ˆˆ TTq(s) z(tds) y(tds) qq )

I0 (s

I= − − = +∫ ∫

0

All’estremo di una sezione aperta il flusso di taglio =0 dunque se prendo l’origine in s=0 si ha la costante q0 =0

Ipotesi necessaria poiche’ le sezioni aperta hanno scarsa rigidezza torsionale

Prof. Renato Barboni

Taglio sez. chiuse 1-cella: M. diretto

H 0* (P)

HT T q p ds 2Aqζ ηη − ζ = +∫0

* (H) * (0

H)1q p ds 2A 0 q p dq s2A

q+ = ⇒ = −∫ ∫

s* z

y 0

sy

z 0

T̂q (s) z(tds)I

T̂y(tds)

I

= −

−

∫

∫

1)-”taglio”

e calcolo q(s)=q0+q*(s)

2)-il valore q0 deve essere tale da soddisfare l’equilibrio alla torsione, ovvero scegliendo come polo il punto P i momenti esterni devono essere uguali a quelli interni:

Soluzione vera se T e’ applicata nel C.T della sezione aperta che comunque e’ diverso da H

Taglio sez. chiuse 1-cella: M. [C.T.]

s sy* z

y z0 0

* [C.T]0

T̂Tq (s) z(tds) y(tds)I I

q p d

1

2 A 0) 2 q

)

s

= − −

+ =

∫ ∫

∫

[CT]0

* qq q= +

tMtq M2A

=

M* *t0 0q q (q q ) q q= + + = +

T applicato in H ≡ T nel [C.T.] + un momento torcente Mt:

-per calcolo di qM dovuto a Mt

-per calcolo di q [CT] dovuto a T nel [C.T.] come nel metodo diretto.

Prof. Renato Barboni

a)-Calcolo q* : ipotetico taglio in ogni cella dove origina l’ascissa s : ⇒

Metodo diretto. s s

y* zn

y z0 0

ˆˆ TTq (s) z(tds) y(tds)

I I= − −∫ ∫

b)-Calcolo q0,n : b1)-equilibrio dei momenti. Se il polo P

è il punto di applicazione della T: ⇒

N N* (P)n 0,n n

n 1 n 1n

q (s)p ds 2 q A 0= =

+ =∑ ∑∫ b2)-congruenza: (rot. relativa) 1 2 n N 1 N.... .... −φ = φ = φ = = φ = φ

q1 q2 A1

A2 An qn

b1)+b2) N relazioni nelle N costanti incognite q0,n

Metodo del [C.T.] (supposto noto)

T applicato in P ≡ T nel [C.T.] + un momento torcente Mt: -per calcolo di q [CT] dovuto a T nel [C.T.] come sopra a),b); -per calcolo di qM dovuto a Mt : si rimanda alla torsione di multi-cella

Taglio sez. chiuse Multi-celle

Momento totale

Determinazione del C.T. In alcuni casi l’individuazione del C.T. è alquanto semplice. -se la sezione ha un asse di simmetria, il C.T. giace su tale asse; -se gli assi di simmetria sono due il C.T. è dato dalla loro

intersezione che coincide ovviamente con il baricentro. -per sezioni di figura è l’intersezione delle pareti poiché rispetto ad

essa è nullo il momento generato dal flusso di taglio.

C.T.

C.T.

C.T.

Prof. Renato Barboni

Determinazione (C.T) , (sez aperte). • Sezione con asse di simmetria

yC.T. (in ambito elastico) non dipende dall’intensità di T ma è una proprietà della sezione.

fs(y) (G) (G)t t z z

0

M M T y q(s)p ds T y= − = −∫f

f

s(G)

z s0 (G)z

y

(C.T.)

(zsy 0z z

C.T.

yy0

)

y

p ds T 0T Q p ds T 0IT Tz(tds) Q

yy

q(s)

q(s)I I

− =

⇒ − − == − =

−

∫∫

∫

Applico una forza ortogonale all’asse di simmetria e trovo il flusso. In generale questo ha una risulante = Tz e un momento torcente M

Se vario il punto il momento varia

Se y >0 esiste una posizione dove M=0

Prof. Renato Barboni

Esempio: ricerca del (C.T.)

G

y

z

Z

Y1

Y2

h G

y

z

Tz

b

C.T.

ηCT

Tz

P

1 21 2 CT CT

Y Y hM (Y Y )h / 2 Z 0 f (h,b)Z 2+

= + +η = ⇒ η = − =

• Sezione senza asse di simmetria a) T1 con le componenti di figura: z

z z y 1 yy

Tˆ ˆT T ; T 0 q Q (s)I

= = ⇒ = −

1 1

(P) (P)q T

s(P)

1 1 1

0

M M

q p ds d T

= ⇒

=∫

b) T2 con le componenti di figura: yy y z 2 z

z

Tˆ ˆT T ; T 0 q Q (s)I

= = ⇒ = −

Il (C.T.) è l’intersezione delle due linee

Determinazione (C.T) , (sez aperte).

2 2

(P) (P)q T

s(P)

2 2 2

0

M M

q p ds d T

= ⇒

=∫

Si applica una forza T ortogonale all’asse di simmetria: 1. si calcola q* ; 2. si calcola il flusso costante qΦ tale che sia nulla la rotazione Φ. In questo modo il flusso q=q*+qΦ è quello corrispondente alla T applicata nel

[C.T.] la cui posizione è incognita. 3. si calcola la posizione del [C.T.] imponendo:

Determinazione [C.T.] 1-cella [sez chiuse]. Sezione con asse di simmetria

f

f

s(P)

z [C.T.]0

s(P)

[C.T.]z 0

T d q(s)p ds 0

1d q(s)p dsT

− =

=

∫

∫

Riepilogo

Trazione ? SI

Flessione ? SI

Torsione ? NO

Taglio ? SI e NO

SI

NO

Riepilogo

Trazione ? SI

Flessione ? SI

Torsione ? SI

Taglio ? SI

Prof. Renato Barboni

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Effetto dei correnti

+−

+−= ∫ ∑∫ ∑

==

s

0

s

1jjj

z

ys

0

s

1jjj

y

z0 By)tds(y

IT̂

Bz)tds(zIT̂q)s(q

j yx zj 1 j j j j j j

y z

ˆˆP TTq q B z B y Bx x I I+

∆ ∂σ− = − = − = − −

∆ ∂

Idealizzazione

+−

+−= ∫ ∑∫ ∑

==

s

0

s

1jjj

z

ys

0

s

1jjj

y

z0 By)tds(y

IT̂

Bz)tds(zIT̂q)s(q

*0

s

1jjj

z

ys

1jjj

y

z0 qqBy

IT̂

BzIT̂q)s(q +=−−= ∑∑

==

Idealizzazione

Equivalenza pareti curve e dritte (se q=cost)

Un generico pannello curvo ACB può essere pensato come un “pannello dritto” A*B* sul quale si trova il (C.T.) del tratto ACB.

Ne consegue che l’applicazione di una forza lungo la retta distante d da P non induce rotazione della sezione.

(P) (P) (P)(P) 2qA 2qA 2AR d 2qA quindi d

R qL L= = = =

Sezioni staticamente determinate Le formule ricavate nei vari casi di sollecitazione derivano dall’avere sempre

soddisfatto le equazioni di equilibrio delle forze e dei momenti. a) le forze di taglio sulle pareti di una sezione devono soddisfare le tre relazioni

di equilibrio della statica nel piano della sezione: che consentono di determinare flussi incogniti costanti qualora il numero di

pareti è ≤ 3 (salvo che le risultanti dei flussi delle tre pareti non risultino parallele o si incontrino in un punto);

b) gli sforzi assiali sulle flange devono soddisfare alle tre relazioni di equilibrio della statica fuori del piano della sezione:

che consentono di determinare gli sforzi incogniti qualora il numero di

flange è ≤ 3

F F My z t∑ ∑ ∑= = =0 0 0; ;

F M Mx y z∑ ∑ ∑= = =0 0 0; ;

Sezione con una parete e due flange Resiste solo ad My, e Tz nel (C.T.) Tre incognite, un q sulla parete e due forze

assiali sulle due aree concentrate:

zz z

TF 0 qL T qL

= ⇒ + ⇒ = −∑

1 2x y1 2

1 yy

F 0 P P 0 MP P

M 0 P L M 0 L

= ⇒ + = ⇒ = − = − = ⇒ + =

∑∑

2 2

y z1 1

dy dzR q ds 0 ; R q ds qLds ds

= = = =∫ ∫(0) (0) (0)

(C.T.)z

2qA 2qA 2AdR qL L

= = =

Sezione con due pareti e due flange Resiste solo ad My, Mt e Tz . Oltre a P1,P2 analoghe al caso precedente, si

hanno due incognite, q1,q2 sulle due pareti. Utilizzando il concetto di pannello “dritto”:

1 1 2 2R q L ; R q L= =

z1 (0)

z z 1 2(0) (0)t z 1

2 z (0)

TqF T R R 0 2A1M T 2A q 0 q TL 2A

= −= + − =∑ ⇒ = + =∑ = −

d

dd

(0)1 [C.T.] [C.T.] 1

[C.T.](0) (0)1 2 1 2 1

L L 2A t1 1 0 d2A t t 2A L t Lt

− + − = ⇒ = +

d d

Sezione con due pareti e tre flange

è in grado di sopportare momenti flettenti agenti su qualsiasi piano ma non momenti torcenti. Quindi:

• T può avere direzione qualsiasi; • T deve essere applicato nel C.T.

perché la sezione aperta non è in grado di resistere a torsione.