Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i...

Algebarske strukture i operacijeGrupoidi

Polugrupe i kvazigrupeGrupe

Prsten i Polje

Algebarske strukture

Nikola Milosavljevic

Univerzitet u NišuPrirodno Matematicki Fakultet

februar 2010

Istraživacka stanica Petnica

Nikola Milosavljevic Algebarske strukture

Prsten i Polje

Algebarske struktureOperacije

Šta je to algebra i apstraktna algebra?

Šta je to algebarska struktura?

Cemu služe algebarske strukture?

Prsten i Polje

Evariste Galois (1811 - 1832) - Jedan od osnivaca teorije grupa iprvi covek koji je uveo termin "grupa".

Prsten i Polje

Definicija

Neka je G neprazan skup i f : Gn → G. Tada za f kažemo da jen-arna operacija (operacija dužine n) skupa G.Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna,binarna, ternarna.

Primeri:

Preslikavanje f : R→ R definisano sa f (x) = −x je unarnaoperacija skupa R.Preslikavanje f : N2 → N definisano sa f (x , y) = x + y je binarnaoperacija skupa N.Preslikavanje f : Z3 → Z definisano sa f (x , y , z) = x3 − 2y + z jeternarna operacija skupa Z.

Prsten i Polje

Definicija

Neka je G neprazan skup i f : Gn → G. Tada za f kažemo da jen-arna operacija (operacija dužine n) skupa G.Specijalno, za n = 1, 2, 3, operacija f se naziva, redom, unarna,binarna, ternarna.

Primeri:

Preslikavanje f : R→ R definisano sa f (x) = −x je unarnaoperacija skupa R.Preslikavanje f : N2 → N definisano sa f (x , y) = x + y je binarnaoperacija skupa N.Preslikavanje f : Z3 → Z definisano sa f (x , y , z) = x3 − 2y + z jeternarna operacija skupa Z.

Prsten i Polje

Skup G iz prethodne definicije može biti bilo koji skup, tj. operacijenisu ogranicene samo na brojeve.

Neka je X neprazan skup. Operacije ∩ - presek i ∪ - unija suprimeri binarnih operacija skupa P(X ) (partitivni skup skupa X ).

Operacije sabiranja, oduzimanja i množenja realnih nizova subinarne operacije skupa svih realnih nizova.

Neka je A neparazan skup i AA = {f : A→ A} skup svihpreslikavanja (funkcija) iz A u A. Operacija ◦ (kompozicijapreslikavanja) je binarna operacija skupa A.

Neka je T skup svih tacaka u prostoru. Preslikavanje s : T 2 → Tkoje svaki par tacaka (A,B) slika u sredinu duži AB je binarnaoperacija skupa T .

Prsten i Polje

Nama ce od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je fbinarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x , y) cestokoristiti (prakticiniji) zapis xfy .Za oznacavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli+, •, ∗, ◦,−, /,M...

Definicija

Binarna operacija • skupa G je komutativna ako za svako a i b iz Gvaži

a • b = b • a.

Definicija

Binarna operacija • skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz Gvaži

(a • b) • c = a • (b • c).

Prsten i Polje

Nama ce od posebnog interesa biti binarne operacije. Ako je fbinarna operacija skupa G onda se umesto zapisa f (x , y) cestokoristiti (prakticiniji) zapis xfy .Za oznacavanje binarnih operacija uglvanom se koriste simboli+, •, ∗, ◦,−, /,M...

Definicija

Binarna operacija • skupa G je komutativna ako za svako a i b iz Gvaži

a • b = b • a.

Definicija

Binarna operacija • skupa G je asocijativna ako za svako a, b i c iz Gvaži

(a • b) • c = a • (b • c).

Prsten i Polje

Ukoliko je skup G konacan (npr. ima n elemenata), onda proizvoljnubinarnu operaciju skupa G možemo predstaviti tablicom n × n.

·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Operacija ·4 skupa Z4

• a b c da b d b cb a c d bc d a a bd b d b d

G = {a,b, c,d}

Pitanje: Koliko binarnih operacija postoji na skupu od n elemenata?

A m-arnih?

Prsten i Polje

·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

G = {a,b, c,d}

A m-arnih?

Prsten i Polje

·4 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

G = {a,b, c,d}

A m-arnih?

Prsten i Polje

Osnovni pojmovi. PrimeriPodgrupoidHomomorfizam grupoida

Definicija

Neka je G neprazan skup i neka je • binarna operacija skupa G.Uredjeni par G = (G, •) naziva se grupoid.Skup G se u tom slucaju naziva domen grupoida G. Grupoid G jekonacan (beskonacan) ako je G konacan (beskonacan) skup.

Grupoid = Skup + Operacija

Konacni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije •.Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.

Prsten i Polje

Definicija

Neka je G neprazan skup i neka je • binarna operacija skupa G.Uredjeni par G = (G, •) naziva se grupoid.Skup G se u tom slucaju naziva domen grupoida G. Grupoid G jekonacan (beskonacan) ako je G konacan (beskonacan) skup.

Grupoid = Skup + Operacija

Konacni grupoid G možemo predstaviti tablicom operacije •.Tada kažemo da je grupoid zadat Kejlijevom tablicom.

Prsten i Polje

Šta je od navedenog grupoid?

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Pitanje: Koliko ima grupoida ciji domen ima n elemenata?

Prsten i Polje

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Prsten i Polje

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Prsten i Polje

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Prsten i Polje

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Prsten i Polje

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Prsten i Polje

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Prsten i Polje

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(N,−), (Z,−), (Q,−), (R,−)

(N, :), (Z, :), (Q, :), (R, :)

({1,2,3},+), ({−1,0,1},+), ({−1,1}, ·)

({3k |k ∈ Z},+), ({3k + 1|k ∈ Z},+)

Prsten i Polje

PRIMERI GRUPOIDA

(N,+), (Z,+), (Q,+), (R,+)

(N, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·)

(Z,−), (Q,−), (R,−)

(Q \ {0}, :), (R \ {0}, :)

(P(X ),∩), (P(X ),∪)

(AA, ◦), (T , s)

(Zn,+n), (Zn, ·n), n ∈ N

Prsten i Polje

Definicija

Grupoid G = (G, •) je komutativan ako je • komutativna operacija.

Definicija

Grupoid G = (G, •) je asocijativan ako je • asocijativna operacija.

Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni?

(R,+), (R, ·), (R,−),

(Zn,+n), (R, ·n)

(AA, ◦), (P(X ),∩), (P(X ),∪)

(T , s), gde je T ranije pomenuti skup tacaka u prostoru

Prsten i Polje

Definicija

Grupoid G = (G, •) je komutativan ako je • komutativna operacija.

Definicija

Grupoid G = (G, •) je asocijativan ako je • asocijativna operacija.

Koji od navedenih grupoida su komutativni a koji asocijativni?

(R,+), (R, ·), (R,−),

(Zn,+n), (R, ·n)

(AA, ◦), (P(X ),∩), (P(X ),∪)

(T , s), gde je T ranije pomenuti skup tacaka u prostoru

Prsten i Polje

Definicija

Grupoid G = (G, •) je grupoid sa jedinicom ako postoji elemente ∈ G tako da za svaki a ∈ G važi:

e • a = a • e = a.

Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral)grupoida G.

Definicija

Ako u grupoidu G = (G, •) postoji element e tako da za svaki a ∈ Gvaži

e • a = a

tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo dagrupoid G ima levu jedinicu.Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.

Prsten i Polje

Definicija

Grupoid G = (G, •) je grupoid sa jedinicom ako postoji elemente ∈ G tako da za svaki a ∈ G važi:

e • a = a • e = a.

Element e se tada naziva jedinica (neutralni element, neutral)grupoida G.

Definicija

Ako u grupoidu G = (G, •) postoji element e tako da za svaki a ∈ Gvaži

e • a = a

tada element e nazivamo leva jedinica grupoida G i kažemo dagrupoid G ima levu jedinicu.Analogno se definiše desna jedinica grupoida G.

Prsten i Polje

PRIMERI JEDINICA

(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0

(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1

(P(X ),∪) - jedinica je ∅

(P(X ),∩) - jedinica je X

(AA, ◦) - jedinica je identicno preslikavanje

(Z,−), (R \ {0},+), (T , s) - nemaju jedinice

Prsten i Polje

PRIMERI JEDINICA

(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0

(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1

Prsten i Polje

PRIMERI JEDINICA

(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0

(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1

Prsten i Polje

PRIMERI JEDINICA

(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0

(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1

Prsten i Polje

PRIMERI JEDINICA

(Z,+), (Q,+), (R,+) - jedinica je 0

(Z, ·), (Z, ·), (Q, ·), (R, ·) - jedinica je 1

Prsten i Polje

Pitanje: Koji od sledecih grupoida sadrži jedinicu:

• a b c da a d a bb b b b cc a b c dd d c d a

• a b c da b d b cb a b c dc d a a bd b d b d

TeoremaAko u grupoidu postoji jedinica, onda je ona jedinstvena.

TeoremaAko grupoid G ima levu jedinicu el i desnu jedinicu ed , onda jeel = ed jedinica grupoida G.

Prsten i Polje

Definicija

Element a grupoida G = (G, •) je idempotent ako je a • a = a.

Definicija

Element a grupoida G = (G, •) je levo skrativ ako važi

(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c

Analogno se definiše desno skrativ element. Element a je skrativako je levo i desno skrativ. Grupoid u kome je svaki element skrativnaziva se grupoid sa kracenjem.

Grupoidi (R,+), (R,−), (R \ {0}, ·), (R \ {0}, :) su grupoidi sakracenjem.Da li je grupoid (AA, ◦) grupoid sa kracenjem?

Prsten i Polje

Definicija

(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c

Prsten i Polje

Definicija

(∀a,b, c ∈ G) a • b = a • c ⇒ b = c

Prsten i Polje

Definicija

Neka je (G = (G, •) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo(desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je

b • a = e (a • c = e).

Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element jeinvertibilan ako je i levo i desno invertibilan.

Primeri

U grupoidima (Z,+), (Q,+), (R,+) svaki element je invertibilan

U grupoidima (Q, ·), (R, ·) svaki element osim nule je invertibilan

U grupoidu (Z, ·) jedini invertibilni elementi su −1 i 1

U grupoidima (P(X ),∩), (P(X ),∪) nema invertibilnih elemenataosim jedinice.

Prsten i Polje

Definicija

Neka je (G = (G, •) grupoid sa jedinicom e. Element a je levo(desno) invertibilan ako postoji element b (c) u G takav da je

b • a = e (a • c = e).

Za element b (c) kažemo da je levi (desni) inverz od a. Element jeinvertibilan ako je i levo i desno invertibilan.

Primeri

U grupoidima (Z,+), (Q,+), (R,+) svaki element je invertibilan

U grupoidima (Q, ·), (R, ·) svaki element osim nule je invertibilan

U grupoidu (Z, ·) jedini invertibilni elementi su −1 i 1

U grupoidima (P(X ),∩), (P(X ),∪) nema invertibilnih elemenataosim jedinice.

Prsten i Polje

Zadatak: Odrediti sve levo i desno invertibilne elemente u sledecemgrupoidu:

• a b c d ea b d b c ab a e c d bc d a a b cd b e e d de a b c d e

Prsten i Polje

Definicija

Neka je G = (G, •) grupoid i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, •|H×H) grupoid.Tada pišemo H < G.

Teorema

Neka je G = (G, •) grupoid i i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G akko važi

(∀a,b ∈ H) a • b ∈ H.

Prsten i Polje

Definicija

Neka je G = (G, •) grupoid i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G ako je H = (H, •|H×H) grupoid.Tada pišemo H < G.

Teorema

Neka je G = (G, •) grupoid i i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup Hodredjuje podgrupoid grupoida G akko važi

(∀a,b ∈ H) a • b ∈ H.

Prsten i Polje

PRIMERI PODGRUPOIDA

(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)

(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)

(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z

Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)

(B[A], ◦) < (AA, ◦) i (C[A], ◦) < (AA, ◦)B[A] i C[A] su, redom, bijekcije i neprekidne funkcije na skupu A

(Tα, s) < (T , s), gde je Tα skup svih tacaka u ravni α

Prsten i Polje

PRIMERI PODGRUPOIDA

(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)

(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)

(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z

Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)

Prsten i Polje

PRIMERI PODGRUPOIDA

(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)

(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)

(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z

Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)

Prsten i Polje

PRIMERI PODGRUPOIDA

(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)

(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)

(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z

Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)

Prsten i Polje

PRIMERI PODGRUPOIDA

(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)

(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)

(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z

Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)

Prsten i Polje

PRIMERI PODGRUPOIDA

(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)

(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)

(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z

Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)

Prsten i Polje

PRIMERI PODGRUPOIDA

(N,+) < (Z,+) < (Q,+) < (R,+)

(N, ·) < (Z, ·) < (Q, ·) < (R, ·)

(kZ,+) < (Z,+) i (kZ, ·) < (Z, ·), k ∈ Z

Y ⊆ X ⇒ (P(Y ),∩) < (P(X ),∩) i (P(Y ),∪) < (P(X ),∪)

Prsten i Polje

Da li je (Z,−) < (R,−)?

Da li je (N,−) < (Z,−)?

Da li je (Zn,+n) < (Z,+)?

Zadatak: Naci sve konacne podgrupoide grupoida (R,+) i (R, ·).

TeoremaPodgrupoid komutativnog (asocijativnog) grupoida je komutativan(asocijativan) grupoid.

Pitanje: Da li je podgrupoid grupoida sa jedinicom grupoid sajedinicom?

Prsten i Polje

Da li je (Z,−) < (R,−)?

Da li je (N,−) < (Z,−)?

Prsten i Polje

Da li je (Z,−) < (R,−)?

Da li je (N,−) < (Z,−)?

Prsten i Polje

Da li je (Z,−) < (R,−)?

Da li je (N,−) < (Z,−)?

Prsten i Polje

Da li je (Z,−) < (R,−)?

Da li je (N,−) < (Z,−)?

Prsten i Polje

Da li je (Z,−) < (R,−)?

Da li je (N,−) < (Z,−)?

Prsten i Polje

Definicija

Neka su G = (G, •) i S = (S, ∗) grupoidi. Preslikavanje h : G→ S zakoje važi

(∀a,b ∈ G) h(a • b) = h(a) ∗ h(b)

naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje seh : G→ S.

Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarskustrukturu.

Skup svih homomorfizama iz G u S oznacava se sa Hom(G,S).

Prsten i Polje

Definicija

Neka su G = (G, •) i S = (S, ∗) grupoidi. Preslikavanje h : G→ S zakoje važi

(∀a,b ∈ G) h(a • b) = h(a) ∗ h(b)

naziva se homomorfizam iz grupoida G u grupoid S i zapisuje seh : G→ S.

Homomorfizmi su preslikavanja koja održavaju algebarskustrukturu.

Skup svih homomorfizama iz G u S oznacava se sa Hom(G,S).

Prsten i Polje

Definicija

Neka su G i S grupoidi i neka je h : G→ S homomorfizam.1 h je monomorfizam (utapanje) ako je h injekcija.2 h je epimorfizam (homomorfizam na) ako je h surjekcija.3 h je izomorfizam ako je h bijekcija.4 h je endomorfizam (unutrašnje preslikavanje) ako je G = S.5 h je automorfizam ako je ujedno i endomorfizam i izomorfizam.

Skup svih endomorfizama grupoida G oznacavamo sa End(G)

Skup svih automorfizama grupoida G oznacavamo sa Aut(G)

Ako postoji izomorfizam iz grupoida G u grupoid S onda kažemoda su grupoidi G i S izomorfni i pišemo G ∼= S.

Izomorfizmi govore o "jednakosti" izmedju algebarskih struktura.

Prsten i Polje

Definicija

Prsten i Polje

Definicija

Prsten i Polje

Definicija

Prsten i Polje

PRIMERI HOMOMORFIZAMA

Preslikavanje h : N→ N definisano sa h(n) = 2n jehomomorfizam iz (N,+) u (N,+).

Preslikavanje h : Z→ Zn definisano sa h(z) = z mod n (ostatakpri deljenju sa n) je homomorfizam iz (Z,+) u (Zn,+n).

Preslikavanje h : R+ → R definisano sa h(r) = ln(r) jehomomorfizam iz (R+, ·) u (R,+).

Neka je H < G. Preslikavanje h : H→ G definisano sa h(a) = aje homomorfizam iz H u G.

Odgovarajuce preslikavanje skupa tacaka prave p u realnebrojeve je homomrfizam grupoida (Tp, s) u grupoid (R, ∗), gde je∗ definisana sa a ∗ b = a+b

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Definicija

Polugrupa je asocijativni grupoid.

Podgrupoid polugrupe naziva se potpolugrupa

Definicija

Polugrupa S = (S, •) je komutativna ako je grupoid (S, •)komutativan.Polugrupa S = (S, •) je sa jedinicom ako grupoid (S, •) imajedinicu. Polugrupa sa jedinicom se naziva monoid.

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Teorema (Opšti asocijativni zakon)

Neka je S = (S, •) polugrupa, n ∈ N i a1,a2, . . . ,an ∈ S proizvoljnielementi. Tada važi:Svi proizvodi elemenata a1,a2, . . . ,an, u istom poretku, su jednaki.

Drugim recima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi odrasporeda zagrada

Definicija (Stepen u polugrupi)

Neka je S = (S, •) polugrupa, a ∈ S i n ∈ N. Tada je

a1 = aan+1 = an • a

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Teorema (Opšti asocijativni zakon)

Neka je S = (S, •) polugrupa, n ∈ N i a1,a2, . . . ,an ∈ S proizvoljnielementi. Tada važi:Svi proizvodi elemenata a1,a2, . . . ,an, u istom poretku, su jednaki.

Drugim recima, proizvod elemenata u polugrupi ne zavisi odrasporeda zagrada

Definicija (Stepen u polugrupi)

Neka je S = (S, •) polugrupa, a ∈ S i n ∈ N. Tada je

a1 = aan+1 = an • a

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako element a ima leviinverz b i desni inverz c onda je b = c.

PosledicaNeka je S polugrupa sa jedinicom i a ∈ S. Ako elment a ima inverz,onda je on jedinstven.

TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom i I skup svih invertibilnih elemenata.Tada je I potpolugrupa polugrupe S.

TeoremaNeka je S polugrupa sa jedinicom. Tada je svaki invertibilan elementu S skrativ.

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Definicija

Grupoid G = (G, •) je kvazigrupa ako za svaki a,b ∈ G svaka odjednacina

a • x = b

y • a = b

ima jedinstveno rešenje u G, tj. ako

(∀a,b ∈ G) (∃!c,d ∈ G) a • c = b ∧ d • a = b.

Primeri(Z,+), (Q,+), (R,+)

(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·)

(Zp, ·p), p - prost broj

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Na osnovu Kejlijeve tablice konacnog grupoida ne možemo lakozakljuciti da li se radi o polugrupi ali možemo lako zakljuciti da li je upitanju kvazigrupa.

Pitanje: Koji je od sledecih grupoida kvazigrupa?

• a b c da b d a cb a b c dc d c b ad c a d b

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Teorema

Konacan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuca Kejlijevatablica latinski kvadrat.

Teorema

Svaka kvazigrupa je grupoid sa kracenjem. Da li važi obrat?

Prsten i Polje

PolugrupeKvazigrupe

Teorema

Konacan grupoid je kvazigrupa akko mu je odgovarajuca Kejlijevatablica latinski kvadrat.

Teorema

Svaka kvazigrupa je grupoid sa kracenjem. Da li važi obrat?

Prsten i Polje

Definicija. PrimeriOsobineRed elementa

Grupa je jedna od najbitnijih algebarskih struktura.

Definicija

Polugrupa sa jedinicom u kojoj je svaki element invertibilan naziva segrupa.

Alternativna definicija grupe, polazeci od najosnovnijih pojmova,izgleda ovako:

Definicija

Grupoid G = (G, •) je grupa ako važi:1 (∀a,b, c ∈ G) (a • b) • c = a • (b • c)2 (∃e ∈ G)(∀a ∈ G) e • a = a • e = a3 (∀a ∈ G)(∃a−1 ∈ G) a−1 • a = a • a−1 = e

Prsten i Polje

PRIMERI GRUPA

(Z,+), (Q,+), (R,+) - Jedinica je 0, a inverz za x je −x

(Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) - Jedinica je 1, a inverz za x je 1x

(Zn,+n) - Jedinica je 0 a inverz za x je n − x

(Zp \ {0}), gde je p prost broj (ovo nije nimalo ocigledno)

(P(X ),4), gde je 4 simetricna razlika

(Sn, ◦), gde je Sn skup svih permutacija skupa {1,2, . . . ,n}, a ◦kompozicija permutacija

Prsten i Polje

Rubikova kocka

Prsten i Polje

Dijedarska grupa

◦ R0 R1 R2 S0 S1 S2

R0 R0 R1 R2 S0 S1 S2

R1 R1 R2 R0 S1 S2 S0

R2 R2 R0 R1 S2 S0 S1

S0 S0 S2 S1 R0 R2 R1

S1 S1 S0 S2 R1 R0 R2

S2 S2 S1 S0 R2 R1 R0

Prsten i Polje

Teorema

Grupa je grupoid sa kracenjem.

TeoremaJedini idempotentan element u grupi je jedinica.

Teorema

Neka je G = (G, •) grupa. Tada važi1 (a−1)−1 = a2 (a • b)−1 = b−1 • a−1

Prsten i Polje

Teorema

Prsten i Polje

Teorema

Prsten i Polje

Definicija

Grupa G = (G, •) je komutativna ako je grupoid (G, •) komutativan.Takvu grupu nazivamo Abelova grupa.

Najmanja nekomutativna grupa ima 6 elemenata

Definicija

Neka je G = (G, •) grupa i neka je ∅ 6= H ⊆ G. Podskup H odredjujepodgrupu grupe G ako je H = (H, •|H×H) grupa.Tada pišemo H < G.

Prsten i Polje

Definicija

Prsten i Polje

Definicija

Prsten i Polje

Definicija

Red grupe je broj elemenata grupe ako je grupa konacna. Usuprotnom, kažemo da je grupa beskonacnog reda.

Pitanje: Ako je G grupa konacnog reda i ako je a ∈ G proizvoljan, dali se u nizu

a,a2 . . . an, . . .

mora naci jedinica grupe G?

Definicija

Neka je G = (G, •) grupa sa jedinicom e. Red elementa a, u oznacir(a) definišemo kao najmanji prirodan broj k (ukoliko postoji) za kojije ak = e. Ukoliko takav broj ne postoji, tada je r(a) =∞.

Prsten i Polje

Definicija

a,a2 . . . an, . . .

Definicija

Prsten i Polje

Definicija

a,a2 . . . an, . . .

Definicija

Prsten i Polje

Neka je a proizvoljan element grupe G. Kako izgleda najmanjapodgrupa koja sadrži a?

Teorema

Ako je G grupa konacnog reda i a ∈ G, tada je r(a) konacan ir(a) ≤ G.

Teorema

Ako je G grupa i a ∈ G element konacnog reda. Tada za svakiprirodan broj m važi

am = e⇔ r(a)|m.

Prsten i Polje

Teorema

am = e⇔ r(a)|m.

Prsten i Polje

Teorema

am = e⇔ r(a)|m.

Prsten i Polje

Teorema (Lagranž)

Ako je G konacna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe Hdeli red grupe G.

Teorema

Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p - a. Tada ap−1 ≡ 1mod p.

Teorema

Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.

Prsten i Polje

Teorema (Lagranž)

Ako je G konacna grupa i H podgrupa grupe G, tada red podgrupe Hdeli red grupe G.

Teorema

Neka je p prost broj i a prirodan broj tako da p - a. Tada ap−1 ≡ 1mod p.

Teorema

Prostih brojeva ima beskonacno mnogo.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju?

Definicija

Neka je R neprazan skup i neka su + i • binarne operacije skupa R.Ako važe uslovi

1 (R,+) je Abelova grupa2 (R, •) je polugrupa3 Za svaki a,b, c ∈ R važi

a • (b + c) = a • b + a • c

(a + b) • c = a • c + b • c

tada je uredjena trojka R = (R,+, •) prsten.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Šta se dešava kada skupu dodamo još jednu operaciju?

Definicija

Neka je R neprazan skup i neka su + i • binarne operacije skupa R.Ako važe uslovi

1 (R,+) je Abelova grupa2 (R, •) je polugrupa3 Za svaki a,b, c ∈ R važi

a • (b + c) = a • b + a • c

(a + b) • c = a • c + b • c

tada je uredjena trojka R = (R,+, •) prsten.

Prsten i Polje

PrstenPolje

PRIMERI PRSTENA

(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)

(R[x ],+, ·) - prsten polinoma nad R

(nZ,+, ·), n ∈ N

(Zn,+n, ·n), n ∈ N

(P(x),4,∩)

(RR ,+, ·), gde je (R,+, ·) prsten.

Prsten i Polje

PrstenPolje

PRIMERI PRSTENA

(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)

(nZ,+, ·), n ∈ N

(Zn,+n, ·n), n ∈ N

(P(x),4,∩)

Prsten i Polje

PrstenPolje

PRIMERI PRSTENA

(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)

(nZ,+, ·), n ∈ N

(Zn,+n, ·n), n ∈ N

(P(x),4,∩)

Prsten i Polje

PrstenPolje

PRIMERI PRSTENA

(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)

(nZ,+, ·), n ∈ N

(Zn,+n, ·n), n ∈ N

(P(x),4,∩)

Prsten i Polje

PrstenPolje

PRIMERI PRSTENA

(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)

(nZ,+, ·), n ∈ N

(Zn,+n, ·n), n ∈ N

(P(x),4,∩)

Prsten i Polje

PrstenPolje

PRIMERI PRSTENA

(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)

(nZ,+, ·), n ∈ N

(Zn,+n, ·n), n ∈ N

(P(x),4,∩)

Prsten i Polje

PrstenPolje

PRIMERI PRSTENA

(Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·)

(nZ,+, ·), n ∈ N

(Zn,+n, ·n), n ∈ N

(P(x),4,∩)

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

Za jedinicu 0 Abelove grupe (R,+) kažemo da je nula prstena(R,+, ·).

Definicija

Prsten (R,+, ·) ima jedinicu ako polugrupa (R, ·) ima jedinicu.Jedinica se najcešce obeležava sa 1.

Teorema

Neka je (R,+, •) prsten. Tada za svaki element a ∈ R važia • 0 = 0 • a = 0.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

Za jedinicu 0 Abelove grupe (R,+) kažemo da je nula prstena(R,+, ·).

Definicija

Prsten (R,+, ·) ima jedinicu ako polugrupa (R, ·) ima jedinicu.Jedinica se najcešce obeležava sa 1.

Teorema

Neka je (R,+, •) prsten. Tada za svaki element a ∈ R važia • 0 = 0 • a = 0.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

Prsten R = (R,+, •) je bez delitelja nule ako za svako x , y ∈ R važi

x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0

Pitanje: Za koje n je prsten (Zn,+n, ·n) bez delitelja nule?

Definicija

Prsten R = (R,+, •) je komutativan ako je (R, •) komutativnapolugrupa.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0

Definicija

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

x • y = 0⇒ x = 0 ∨ y = 0

Definicija

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

Komutativan prsten sa jedinicom bez delitelja nule naziva seintegralni domen.

Definicija

Prsten R = (R,+, •) je telo (kvazi polje) ako je (R \ {0}, •) grupa.

Definicija

Prsten R = (R,+, •) je polje ako je (R \ {0}, •) Abelova grupa.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

Prsten i Polje

PrstenPolje

Definicija

Prsten i Polje

PrstenPolje

Teorema

Dokazati da je komutativni grupoid (G, •) u kome važi

(x • y) • z = (z • x) • y

polugrupa.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Teorema

Neka je (G, •) polugrupa sa jedinicom. Ako je svaki element iz G levoinvertibilan ili desno invertibilan, onda je (G, •) grupa.

Prsten i Polje

PrstenPolje

Teorema

Neka je (R,+, ·) polje sa elementima 0, x1, x2, . . . , xn. Dokazati da je1 + x1x2 . . . xn = 0.

Algebarske strukture i operacije Grupoidi Grupe Prsten i...

Documents

Osnovne strukture podataka - mef-lab.commef-lab.com/osnove-2015/Osnovne strukture podataka.pdf · Osnovne strukture podataka Strukture podataka se bave organizacijom podataka i načinom

POLITIČNE MIROVNE OPERACIJE

Tehnoloke Operacije 1 - Mehanike Operacije

Algebarske strukture predavanja

Implementacija komprimirane podatkovne strukture …Prvi indeks nudi dvije razliˇcite operacije: brojanje pojavljivanja teksta P i lociranje teksta P. Vremenska složenost lociranja

Ginekoloske operacije

Difuzione operacije

Mehanicke operacije - Koharic

Opis matematičkih kolegija za diplomski studij Matematike ... · PDF filePoloženi kolegiji Algebarske strukture i Vektorski prostori I Odslušan kolegij Algebra I Očekivani ishodi

Linearna algebra i geometrijarati algebarske strukture na datom skupu odre ene samo jednom binarnom operacijom, aok ²to su grupoid, polugrupa i grupa, aok i strukture sa dvije binarne

tehnološke operacije VUP

Izvođenje anestezije u kardiovaskularnoj hirurgiji Date ......Kardiohirurške procedure operacije na koronarnim arterijama operacije zamene ili rekonstrukcije srčanih zalistaka operacije

Osnovne Algebarske Strukture Skripta

Osnovne algebarske strukture 3. Grupe - marjan.fesb.hrmarjan.fesb.hr/~borka/files/UAAG strukture_pred6_16_17.pdf · Osnovne algebarske strukture3. Grupe 2 3.1 Binarna operacija. Grupoid

Strukture i baze podataka - Nelinearne strukture strukture.pdf · 3 STABLA 1. NELINEARNE STRUKTURE PODATAKA Najznačajnije nelinearne strukture podataka su stabla i grafovi

OPERACIJE V PORODNIŠTVU - Študentski.net...- operacije jajcevodov - operacije jajčnikov - operacije maternice . MARSUPIALIZACIJA ABSCESA ... - odstranitev tkiva vulve do periosta

Osnovne algebarske strukture 5. Vektorski prostorimarjan.fesb.hr/~borka/files/UAAG strukture_pred8_16_17.pdf · Osnovne algebarske strukture5. Vektorski prostori 3 Deﬁnicija 5.2

TOPLOTNE OPERACIJE

Algebarske strukture Boris Sirola• - PMF · bila bi da je to nauka o algebarskim operacijama; tojest, prou•cavanje algebarskih struk-tura. ... Jasno, L(V) je u isto vrijeme i

mehanicke operacije